第12章 结构的动力计算(3)

Y12 12 m2 r2 Y22 11 m1 l 2
【例12-23】试求图示结构的自振频率及主振型。各杆EI为常 数，弹性支座的刚度系数 k 9EI 32l 3 。
y2 y1 D
y2 y1 D 1 3m
1
D
D 3m
3m
3m
A
EIA
B EI k
B
C k
2m
C
3m
3m 3m 3m C C
称为振型方程或特征向量方程。为了求得Y1、Y2不全为0的解， 应使该系数行列式等于零，即 1 11 m1 2 12 m2 w D 0 1 21 m1 22 m2 2 w 称为频率方程或特征方程。由它可以求出w1和w2。
展开，得
1 1 11m1 2 22 m2 2 12 m2 21m1 0 w w
B
2
m2 2m2
1 C
1 3l /32 3l /32 B B
C
C
A
A
1
1
C
l /2 l /2
y y y2 2 y1 1 l /2 l /2 l /2 l /2 l /2 l /2 EI = C EI = C
13l /64 13l /64
M 1图
1 2 22
1 A 1 B C
A AA 3l /32 3l /32 B
w1
1 EI 0.1408 m l1
6.585 m l2 EI
w2
1
EI 0.3897 m l2
(3)求主振型ri
Y11 1 r1 Y21 0.52
Y12 1 r2 Y22 1.92
(4)作振型曲线
Y12 1 r2 Y22 1.92
Y 22 =-1.92
A 1 B A
第二主振型（对称）
1 m B
m
反对称半边结构
对称半边结构
如果结构和质量布置都是对称的，体系的振型必定是对称或 反对称的 ,可以利用对称性，取半边结构计算体系的第一频 率,第二频率 。这样，就将两个自由度体系的计算问题，简 化为按两个单自由度体系分别进行计算。
【例12-25】试计算图示刚架的自振频率和主振型。
多自由度体系自由振动的重要特性：
1) 多自由度自振频率和主振型的个数均与体系自由度的个数相等；
2) 每个自振频率有其相应的主振型，而这些主振型就是多自由度 体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式；
3) 多自由度体系的自振频率和主振型是体系自身的固有动力特性， 它们只取决于体系自身的刚度系数及其质量的分布情形，而与外 部荷载无关。
AA
B B 3/4
4m
4m
2m
解 (1)计算柔度系数ij
应考虑弹性支座变形对位移的影响。
A
3/4
1
M 1图
1
D
2m
D
C
2m
1 1 2 1 2 3 3 32l 3 41 11 ( 3 3) ( 3) 3 2 3 ( 3 4 ) ( 3) C A B EI 2 3 2 3 3/2 4 4 9EI EI
k 12
k 12
k 22
12EI 3EI 15EI 3 3 3 l l l
(2)求自振频率wi 将m1=2m和m2=m以及已求出的kij代入
w12, 2
2 1 k11 k 22 k11k 22 k12 1 k11 k 22 2mm 2 2m m 2 2m m
1 w 2Y1 sin(w t ) y 2 2 w Y2 sin(w t ) y 代入运动方程，并消去公因子 sinwt
(3)求自振频率wi
Y1 11 w 2m1Y1 12 w 2m2Y2 Y2 21
2 2 1 1 22
l2 7m 12EI
w2
1
l2
1.309
EI 1 261 . 86 s m l3
(3)求主振型ri
第一主振型
r1
Y11 12 m2 1 Y21 11 m1 l1 1
第二主振型
Y12 12 m2 1 r2 Y22 11 m1 l 2 1
(a)
令l =
1
w
2
，代入式(a)，得关于l 的二次方程
l2 (11m1 22 m2 )l m1m2 (11 22 12 21 ) 0
可解出l的两个根，即 1 l1, 2 [(11m1 22 m2 ) (11m1 22 m2 ) 2 411 22 12 21 m1m2 ] 2 约定l1>l2(从而满足w1<w2，于是求得
1 1
C C C
l Βιβλιοθήκη Baidu4
M 基1
1 1 B
图
C
M 2图
B B
13ll /64 13l /64 /4
解:(1)求柔度系数ij
A
1 A B 2 C
11
M1M 基 1 l /4 EI
23 dx 24EI
M 基2 图
l /4
22
M 2 M 基2 EI
dx
23 24EI
M 1 M 基2 EI dx 3 8EI
12 21
M 2 M 基1 EI
dx
(2)求自振频率wi
l1, 2
1 [( 11 m1 22 m 2 ) ( 11 m1 22 m 2 ) 2 4 11 22 12 21 m1 m 2 ] 2 m 211 212 2 1 EI w1 0.866 173.20 s 1 l1 4m 3EI m l1
l /2
l
B
m y C
m = m/l
D
l
B
A
9l /56
1
3l /56
B
某一瞬时t，刚架上作用的惯性力如图所示。
由分布质量所产生的惯性力对 m B C点的合力矩为 C
Iq
- my m = m/l D B C m D - ml
1 l 2 l 1 m l 3q 1 ml 2q m lq 2 3 3 A 3
Y1 11 w 2m1Y1 12 w 2m2Y2
将式通除以 w 2
Y2 21
w m Y w m Y
2 2 1 1 22 2 2
(11m1
1
w
2
)Y1 12 m2Y2 0 1
21m1Y1 ( 22 m2
w
2
)Y2 0
解：本例两层框架为两个自由度体系，用刚度法计算较为方便。 2=1 =1
2
l
(1)求刚度系数kij
12 EI 3EI 51EI k 22 k 22 k11 3 4 3 3 l l l 15EI 12EI 3EI k 21 k12 3 3 3 l l l
A
B
C
3 1 1 2 18 3 3 32l 12 21 ( 3 4 ) ( 2 ) 3 2 1 3/2 EI 3 2 4 2 9EI EI
(2)求自振频率wi
将m1=m2=m及已求得的ij代入
50 .415 m l1 EI
w m Y w m Y
2 2
表明，主振型的位移幅值(Y1及Y2)，就是体系在此主振型惯 性力幅值作用下引起的静力位移，如图所示。 惯性力为: 1 m1w 2Y1 sin(w t ) FI 1 m1 y
2 m2w 2Y2 sin(w t ) FI 2 m2 y
m l
解：取集中质量m处 竖向位移y和刚性杆 CD绕C点的转角q 作 为独立的几何位移 。 由于本题是由线位移 和角位移耦合组成的 振动，因此，不能简 单地利用前面按柔度 法推出的公式计算自 振频率和主振型，而 应从考虑结构整体平 衡，建立运动方程入 手。
B EI
m
C
m=
D
EI 1 =∞ EI A
l /2
w1
1
l1
, w2
1
l2
(4)求主振型
(11m1 1 )Y1 12 m2Y2 0 1
w
2
21m1Y1 ( 22 m2
1) 第一主振型：将w w1代入
w
2
)Y2 0
Y11 12 m2 r1 Y21 11 m1 l1
2) 第二主振型：将w w2代入
Y12 =1
Y11 1 r1 Y21 0.52
Y 21 =0.52
Y11 =1 D A B C
D A B C
第一主振型
第二主振型
【例12-24】试求图示等截面梁的自振频率和主振型。质量 m1=m2=m＝1000kg。E＝200GPa，I＝2×104cm4，l=4m。
A A
1
m1 1 m1
B
第二主振型
r2
Y12 k12 15 15 1 2 Y22 k11 w2 m1 51 32.09 2 13.18 0.88
(4)作振型曲线，如图所示。
Y 21 =2.28 Y22 =-0.88
Y11 =1
Y12 =1
第一主振型
第二主振型
2.柔度法 思路
对于图示体系，在自 由振动中的任一时刻t， 质量m1、m2的位移、 应当等于体系在当时 惯性力 1 m1 y 2 m2 y 作用下所产生的静力位移（图a）
(1)运动方程的建立
111 m2 212 y1 m1 y y 1 21 m2 2 22 y2 m1 y y
ij是体系的柔度系数
也可写为
1 y1 y 11 12 m1 0 0 21 22 0 m2 y2 y2
3/2
B
A
EI
B k 2m
(1)计算柔度系数ij
4m
C
3m
3m
3m 3m
A
B 3/4
C
y1
3m
1 3m
1 D
D 3m 3m
2m
A
B 3/4
C
A
B
C
M 1图
1 D
3/2
M 2图
22
1 EI
3 2m 2 1 2 16 1 3 3 32l ( 2 2 ) ( 2 ) ( 2 4 ) ( 2 ) 2 2 2 9EI EI 3 2 3
y 0 [ ][M ] y
注意：[]与[K]虽然互为逆阵，但[]中之ij与[K]中之kij元素一般并不互 逆（仅单自由度体系例外）。
(2)运动方程的求解
设特解
1 11 m2 2 12 y1 m1 y y 1 21 m2 2 22 y 2 m1 y y
或
y 0 [ ][M ] y
以上运动方程，也可利用刚度法所建立的运动方程间接导出：
[M ] y [K ] y 0
前乘以[]，得 因 所以，有
[ ][M ] y [ ][ K ] y 0 K I
2
w12, 2 20.25 11.84
所以
EI ml 3
2 w2 32.09
w12 8.41
由此得
EI m l3
EI m l3
EI w1 2.9 m l3
EI w 2 5.66 m l3
(3)求主振型（振型常数ri） 第一主振型
r1
Y11 k12 15 15 1 Y21 k11 w12 m1 51 8.41 2 34.18 2.28
(4)作振型曲线
A Y 21 =-1 1 Y11 =1 B 2 Y12 =1 Y22 =1 C A 1 B 2 C
第一主振型（反对称）
A 1 m B A
第二主振型（对称）
1 m B
A
Y 21 =-1 1 Y11 =1 B 2 Y12 =1 Y22 =1 C A 1 B 2 C
第一主振型（反对称 )
【例12-22】图示框架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼 层上，试计算其自振频率和主振型。
m m
ll
y2 y2
y1y1
k 21 k 21
1 =1
EI =∞ EI =∞ 00 ④ EI ⑤EI EI ④ EI ⑤ m m mm
1 =1
k 11
k 11
EI EI =∞ EI EI =∞ 0 =∞ 0 =∞ 00 ① ① EI ② ③③ ② EI EIEI EI EI