不等式在现实生活中的应用 (1)

不等式在现实生活中的应用
克孜勒苏柯尔克孜自治州第二中学 黄长春
高中数学教学大纲指出：培养学生的创新意识和实践能力成为数学教学的一个重要目的和一条基本原则。

在教学中要激发学生学习数学的好奇心，不断追求新知，要启发学生能够发现问题、提出问题，善于独立思考，要学会分析问题和创造性地解决问题，使数学教学成为再创造、再发现的教学。

实际生活中的问题用数学的方法解决，是教学大纲的要求，也是高考的要求。

我们数学教育工作者在教学中善于用具体的数学思路和方法解决纯理论的数学问题，而不善于将数学原理用于解决实际问题。

笔者现将一些生产和生活中遇到的有实际意义的问题，从数学的角度来解释说明。

实际生活中的问题，一般先构建数学模型，然后转化成数学符号和语言，加以解决。

例1：糖水加糖会变甜，从数学的角度解释。

b 克糖水中有a 克糖（b>a>0）若在添上m 克糖（m>0）糖水变甜了。

分析：利用含糖量（浓度）的增加来说明即可。

① 有加m 克糖的糖水的浓度
a b ②加了m 克糖的糖水的浓度
++a m b m ③比较大小 a
b —++a m b m ＝(b+m)-b(a+m)(a-b)=<0(b+m)(b+m)
a m
b b 糖的浓度增加，说明糖水变甜。

例2：甲、乙两人在每一月里，总是相约到一家小铺去买两次白糖，假设白糖的价格是变化的，而他们的购买方式又不一样，甲每一次总是买1千克白糖，乙每一次只拿2元钱来买白糖，而不管买多少。

试问这两种买糖方式哪一种合算？
根据资料，构建数学模型，进行计算证明。

分析：设甲乙两人两次购买每千克白糖的价格分别为a元和b元则甲共花去了a+b元，共买了2千克白糖，那么每千克白糖平均价格为+
2
a b元
乙共花了4元钱，共买了22
+
a b
千克白糖，每千克白糖平均价格为
4
22
+
a b
元
由4
22
+
a b ＝2
+
ab
a b
+
2
a b∴乙的购糖方式合算。

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在了解对象信息、深入调查研究、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。

这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

通过数学建模，学生将理论与实际相结合，把学到的知识应用于
现实生活，而这正是教学的最终目的。

例3：两个农妇同在某集贸市场上卖鸡蛋，她们批发回来的鸡蛋有两种：一种是直接从农村收购的鸡蛋，不妨叫“土”鸡蛋；一种是从大型养鸡场收购来的鸡蛋，不妨叫“洋”鸡蛋。

土鸡蛋每两个卖1元钱，洋鸡蛋每三个卖1元钱。

一天，甲农妇有事外出，临走时将30个土鸡蛋交给乙农妇代卖，乙为了省事，将自己的30个洋鸡蛋与土鸡蛋混合后，按5个鸡蛋2元钱的价格进行出售，卖完后，结果得到24元钱。

算账时，乙付给甲15元钱后，自己只剩下9元钱，她想，我30个洋鸡蛋混进土鸡蛋后，不仅没有占便宜，反而还差1元钱，这是怎么回事呢？请你帮忙找找原因，继续就此类一般性搭配问题进行研究。

分析：土鸡蛋：1元钱两个，单价21元／个，鸡蛋30个，售价为30×2
1＝15（元）
洋鸡蛋：1元钱三个，单价31元／个，鸡蛋30个，售价为30×31＝10（元）
两种鸡蛋混合后，2元钱5个，单价52元／个，鸡蛋60个，售价为60×52＝24（元）
乙农妇付甲农妇15元后，自己得9元。

乙农妇亏1元钱。

例4、市场上：水果的混合，瓜子的混合，糖果的混合，油的混合等等，如何搭配使商品吃亏或赢利？
假设：价格较高的甲商品有a 千克买了b 元,单价为a b 元／千克 价格较低的乙商品有c 千克买了d 元，单价为c d 元／千克 显然a b ＞c d 即bc ＞ad
两种商品混合后的售价：1元钱购买甲商品1
b
a
千克，
1元钱购买乙商品1d
c
千克， 混合后平均售价（就是混合后售价）：222bd ==11+++a c ad bc b d b d
a c 混合后的销售额：2(+)+bd a c ad bc
，未进行搭配的销售额为b+d 两种销售方式的额差为△＝2(+)(-)(-)(+)-
=++bd a c d b ad bc b d ad bc ad bc 由a b ＞c d 即bc ＞ad ∴ad-bc ＜0
当b ＞d 时，△＞0 搭配销售吃亏。

当b ＝d 时, △＝0 搭配前后一致。

当b ＜d 时, △＜0 搭配后销售利润大。

学生往往对实际生活中的问题用数学的方法来解决不熟悉，无从下手。

怎样构建数学模型？怎样将数学模型转化成数学符号和语言？是我们解决这类问题的关键。

在平时的教学中要培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力，会用归纳，演绎和类比进行推理，能运用数学概念，思想和方法来解决实际生活的问题。

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。

这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，同时，高中数学课程设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利条件，以激发学生的数学学习兴趣。

鼓励学生在学习过程中，养成独立思考，积极探索的习惯。

不断培养学生的数学思维能力，不断发展学生的数学应用意识。

数学来源于实践又反作用于实践，在平时的教学中，要培养学生用数学思想和方法来解决实际生活的问题。