时域离散系统的差分方程描述

求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
由差分方程描述的系统若是因果系统，可用递 推法令x(n)= (n)求系统的单位抽样响应。 例：若常系数线性差分方程y(n)-ay(n-1)=x(n) 描述的系统是因果系统，试求单位抽样响应 h(n)。 解答：因果系统有h(n)=0, n<0 当x(n)= (n)时，y(n)=h(n)，故 h(n)=ah(n-1)+ (n)，因此 h(0)=ah(-1)+ (0)=1 h(1)=ah(0)+ (1)=a h(2)=ah(1)+ (2)=a2 …… h(n)=ah(n-1)+ (n)= an
求解差分方程——MATLAB
1.3 时域离散系统 的差分方程描述

线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解

差分方程描述的系统 的线性、非时变性
求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
MATLAB提供了filter函数求解差分方程。 调用格式1：yn=filter(B, A, xn) 计算系统对输入向量xn的零状态响应yn。 调用格式2：yn=filter(B, A, xn, xi) 计算系统对输入向量xn的全响应yn。全响应就是由初始 状态引起的零输入响应和输入信号xn引起的零状态响应 之和。xi是等效初始条件的输入序列，所以xi由初始条 件确定，MATLAB中由函数filtic计算，其调用格式如 下： xi=filtic[B,A,ys,xs] 其中，ys和xs是初始条件向量： ys=[y(-1),y(-2),…,y(-N)] xs=[x(-1),x(-2),…,x(-M)] 如果xn是因果序列，由xs=0，调用时可缺省。
用递推法求解差分方程练习1
1.3 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解
设系统用差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n) 描述， x(n)=(n)，分别求y(-1)=0和y(-1)=1时输出 序列y(n)。 [解答] (1)y(-1)=0 n=0, y(0)=ay(-1)+δ(0)=1 n=1, y(1)=ay(0)+δ(1)=a n=2, y(2)=ay(1)+δ(2)=a2 …. n=n, y(n)=an y(n)= an u(n) (2)y(-1)=1，同理可得 y(n)= (1+a)nu(n) [单击退出]
线性常系数差分方程的表示
1.3 时域离散系统 的差分方程描述
一个N阶常系数差分方程表示 为： y (n) bi x(n i ) ai y (n i )
M N i 0 i 1
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解
或者 ai y(n i) bi x(n i), a0 1
i 0 i 0 N M
差分方程描述的系统 的线性、非时变性
求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
线性：y(n-i)，x(n-i)各项只有一次幂。
常系数：a0,a1,…,aN ; b0,b1,…,bM 均是常数。
阶数：y(n-i)项中i的最大值与最小值之差 。 差分方程重要的特点：系统当前的输出不仅与 激励有关，而且与系统过去的输出有关，即系 统具有记忆性。
差分方程描述的系统 的线性、非时变性
求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
用递推法求解差分方程练习2
1.3 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解

差分方程描述的系统 的线性、非时变性
求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
对于实际系统，用递推法求解，总是由初始条 件向n>0的方向递推，是一个因果解。但对于 差分方程，基本身也可以向n<0的方向递推， 得到的是非因果解。因此差分方程本身不能确 定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要 用初始条件进行限制。 例：设差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n) ，n>0时， y(n)=0。当 x(n)= (n)-1 时，求输出序列 y(n)。 解： y(n-1)=a (y(n)- (n))
a n , h( n) 0,
n0 n0
a 1是稳定系统
求差分方程描述的系统的单位抽样响应——MATLAB
1.3 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解
差分方程描述的系统 的线性、非时变性
求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
MATLAB提供了用于求单位抽样响应并绘制 其时域波形的函数impz()，其调用格式： (1)y=impz(B,A,n) 格式含义：计算系统单位抽样响应的n点数值 解（n为整数）,B、A为差分方程的系数矩阵。 (2)impz(B,A,n) 格式含义：绘出向量B、A定义的系统在指定 时间范围内的单位抽样响应的时域波形。
x(n)
差分方程描述的系统 的线性、非时变性
求差分方程描述的系 统的单位抽样响应


b0 x(n)
⊕
b0 x(n)-a1y(n-1)
y(n)
b0
-a1y(n-1)

-a1
Z 1
y(n-1)
求解差分方程——递推法
1.3 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解

例：设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n) 描述，初始条件y(-1)=0，试分析系统是否是 线性非时变系统。
[解答]
求差分方程描述的系统的单位抽样响应——递推法
1.3 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解
差分方程描述的系统 的线性、非时变性
B和A是差分方程的系数向量，即
B=[b0,b1,…,bM]，A= =[a0,a1,…,aN]
求解差分方程——MATLAB 示例
1.3 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解
差分方程描述的系统 的线性、非时变性
求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
求解差分方程y(n)=ay(n-1)+ x(n)，y(-1)=1。 MATLAB代码： a=0.8;ys=1 %设a=0.8 xn=[1,zeros(1,30)]; %设x(n)= (n),长度N=31 B=1;A=[1,-a]; xi=filtic(B,A,ys); yn=filter(B,A,xn,xi); n=0:length(yn)-1; subplot(3,2,1);stem(n,yn,’.’) title(‘(a)’);xlabel(‘n’);ylabel(‘y(n)’)

差分方程与系统的线性非时变性
1.3 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解
差分方程描述的系统 的线性、非时变性
求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
解： (1) 一个线性常系数差分方程描述的系统并不一 令x(n)= (n)，系统输出为 定代表因果系统，也不一定表示线性时不变 y1(n)=anu(n) 系统。这些都由边界条件（初始）所决定。 (2) 令x(n)= (n-1)，系统输出为 n-1u(n-1) y (n)=a 2 一个线性常系数差分方程描述的系统如果是 (3) 令x(n)= (n)+ (n-1)，系统输出为 因果的系统，一般在输入 x(n)=0(n<n0)时，若 n-1 nu(n) y (n)=a u(n-1)+a 3 输出y(n)=0 (n<n0) ，则系统是线性非时变系 由此可知系统是线性非时变系统。 [单击退出] 统。
差分方程与系统结构
1.3 时域离散系统 的差分方程描述
来自百度文库线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解
系统结构系指系统的输入与输出的运算关系 的表述方法。 由差分方程可直接得到系统结构。 用⊕表示相加器； 用 表示乘法器； 用 Z 1 表示一位延时单元。 例：差分方程y(n)= b0 x(n)-a1y(n-1)表示的系 统结构为：
差分方程描述的系统 的线性、非时变性
求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
设一系统的差分方程为y(n+1)+a0y(n)=b0x(n)，其 输入序列x(n)=0，求输出y(n)。 解答：由x(n)=0得y(n+1)=-a0y(n) 设y(n)的初值为y(0)，则 n=1时，y(1)=- a0y(0) n=2时，y(2)=(- a0)2y(0) n=3时，y(3)=(- a0)3y(0) … n=n时，y(n)=(- a0)ny(0) 即y(n)=y(0)(- a0)nu(n) 注 意 差分方程相同，输入信号也一样，但不 同的初始条件会得到不同的系统输出。
[解答]
n=1,y(0)= a-1(y(1)- (1))=0 n=0,y(-1)= a-1(y(0)- (0))=-a-1 n=-1,y(-2)= a-1(y(-1)- (-1))=-a-2 …… n=-|n|,y(n-1)=-an-1 将n-1用n代替得 y(n)=-anu(-n-1) [单击退出]