山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第16章 调和四边形

第16章 调和四边形

我们称对边乘积相等的圆内接四边形为调和四边形．

本章我们介绍调和四边形的一些有趣性质及应用的例子．12

性质 1 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是对顶点处的两条切线与另一对顶点的对角线所在直线三线平行或三线共点．

证明 当圆内接四边形为筝形时，如图16-1(1)，AB AD =，CD CB =时，对角线AC 必过圆心，此时，过A 、C 的两条切线，对角线DB 均与AC 垂直，因而它们相互平行．

图16-1

D

C

B

A

F E

D

C

B

A

G

Q

（2）

（1）

当圆内接四边形不为筝形时，如图16-1(2)，设点Q 是对顶点A ，C 处两条切线的交点．

充分性，当点Q 在直线DB 上时，则由QA QC =，△QAD ∽△QBA ，△QCD ∽△QBC ， 有

AD QD QD CD

BA QA QC BC

===

， 故 AB CD BC DA ⋅=⋅．

必要性．当AB CD BC DA ⋅=⋅时，由正弦定理， 有sin sin sin sin ADB DBC BDC DBA ⋅=⋅∠∠∠∠．

联AC 交BD 于点G ，延长AD 交QC 于点E ，延长CD 交QA 于点F ，

则CAF ECA =∠∠． 此时，

AG CF DE

GC FD EA ⋅⋅

DAG ACF CDE DGC AFD CEA S S S

S S S =⋅⋅△△△△△△ sin sin sin sin sin sin AD ADG AC CAF CD DCE

CD GDC AD FAD AC ECA

⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅⋅∠∠∠∠∠∠ sin sin sin sin ADG DCE

GDC FAD =

⋅

∠∠∠∠ sin sin 1sin sin ADB DBC GDC DBA

⋅==⋅∠∠∠∠． 对△ACD 应用塞瓦定理的逆定理，知AF ，GD ，CE 三线共点． 故过A 、C 处的两切线，直线DB 共点于Q ．

注：此性质提供了作调和四边形的方法：先作一个圆内接三角形如△ABD ，或△A D C ，再得到交点Q ，最后作切线或割线确定点C 或点B ．

性质2 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是过一顶点且与四边形的对角线平行的直线交圆于一点，这交点、对角线的中点、该顶点的对顶点三点共线．

证明 如图16-2，设ABCD 为圆内接四边形，过C 作CT DB ∥交圆于T ，M 为DB 的中点．由CT DB ∥

1 沈文选．论调和四边形的性质及应用[J]．中学教研（数学），2010(10)：35—39． 2

沈文选．再谈调和四边形的性质及应用[J]．中学教研（数学），2010(12)：31—34．

知四边形DBTC 为等腰梯形，此时，DC BT =，DT BC =．注意到ABT ∠与TDA ∠互补，

图16-2

T

M

D

C

B

A

则AB CD BC DA AB BT DT DA ⋅=⋅⇔⋅=⋅

11

sin sin 22

AB BT ABT DT DA TDA ⇔

⋅⋅=⋅⋅∠∠ ABT ADT S S ⇔=⇔△△直线AT 过DB 的中点M

T ⇔、M 、A 三点共线．

注：此性质也提供了作调和四边形的方法：先作一个圆内接三角形，如△BCD ，过C 作CT DB ∥交圆于点T ，过点T 、BD 的中点M 的直线交圆于点A ，则四边形ABCD 即为调和四边形．

性质3 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是相对的角的平分线的交点在另一对顶点的对角线上． 证明 如图16-3，设ABCD 为圆内接四边形．

图16-3

T D

C

B

A

充分性．设B ∠的平分线与D ∠的平分线的交点T 在对角线AC 上，则由角平分线的性质知，

AT BA TC BC =，AT DA

TC DC =

， 以而

BA DA

BC DC

=

， 故 A B C D B C D ⋅=⋅． 必要性．由AB CD BC DA ⋅=⋅，有

BA DA

BC DC

=

． 设B ∠的平分线交AC 于1T ，D ∠的平分线交AC 于2T ， 则 11AT BA T C BC =

，22AT DA

T C DC =． 于是 12

12AT AT T C T C

=

， 即有

12

1122AT AT AT T C AT T C

=

++， 从而 12AT AT =，即1T 与2T 重合．

这说明B ∠的平分线与D ∠的平分线的交点在对角线AC 上．

性质4 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是两条对角线的中点是四边形的等角共轭点． 证明 如图16-4，设M ，N 分别为圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点．

图16-4

M D

C

B

A

N

充分性．若M ，N 是四边形ABCD 的等角共轭点． 即有CDM ADN ADB ==∠∠∠， ① DAM DAC BAN ==∠∠∠． ②

由①，并注意到DCM DCA DBA ==∠∠∠，则知△DCM ∽△DBA ，即

DC DB

CM BA =

，亦即12

DC DB BA AC =，从而1

2

AB CD AC BD ⋅=

⋅． ③ 由②，有D AN CAB =∠∠，再注意到ADN ADB ACB ==∠∠∠，则知AND ABC △∽△，即有

DN BC

DA AC

=

，从而1

2

BC DA DN AC BD AC ⋅=⋅=⋅． ④

由③，④，即有AB CD BC DA ⋅=⋅．

必要性．若AB CD BC DA ⋅=⋅．注意到托勒密定理，有AB CD BC DA AC BD ⋅=⋅=⋅，则A B C D ⋅=1

2

B C D A A C B D

⋅=

⋅，即有12

DA BD

BC AC =． 又DAM DAC DBC ==∠∠∠，于是△DAM ∽△DBC ，即有ADM BDC NDC ==∠∠∠． 同理，DCM BCN =∠∠，CBN ABM =∠∠，BAN DAM =∠∠． 故点M ，N 为四边形ABCD 的等角共轭点．

性质 5 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是以每边为弦且与相邻的一边相切于弦的端点的圆交过切点的一条对角线于中点．

证明 如图16-5，设M ，N 分别是圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点．