矩阵的初等变换

与单位矩阵等价.
A E
11
初等矩阵
定义：对单位阵进行一次初等变换后得到的 矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换对应着三种初等矩阵
(1)互换E的i、j两行（或i、j两列),记E（i, j ）
1 0 0 0
0 0 1 0
Ei, j
0
1
0
0
(ri rj )
0 0 0 1
12
(2)E的第i行（或第i列）乘以不等于零的数k，得
引例 矩阵的初等变换
解线性方程组
2 x1 x2 2x3 2
x1
x2
2 x3
4
2x1 4 x2 6x3 6
解 交换 (1)( 2 ), ( 3 )除以2
x1 x2 2x3 4 2x1 x2 2x3 2 x1 2x2 3x3 3
(1)
(2)
(3)
所用同解变换有 1.交换方程次序； 2.一个方程加上另一个 方程的k倍.
1 2 2 3 1 2 2 3
B3 0
11
11
0
r2 4 r1
4
3
3
12 B1
3 1 1 9 3 1 1 9
6
同样
对矩阵的列分别也有三种初等变换
(1)对调矩阵的某两列；
记作(ci cj )，
(2)以非零数k乘矩阵某列的所有元素；记作(ci k)，
(3)把矩阵某一列的所有元素的k倍
加到另一列对应的元素上去. 记作(ci kc j )，
7
初等行（列）变换统称初等变换.
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵
B，称矩阵A、B等价.记. 作：A B或A B
矩阵等价关系具有以下性质：
(1)自反性， A→A； (2)对称性，若A→B则B→A； (3)传递性，若A→B，B→C则A→C.
8
行阶梯形矩阵和行最简形矩阵
1 1 2 1 称4为标准形矩阵
E T [1,2(3)] 0 1 0 3 1 0
0 0 1
0 0 1
性质2.初等矩阵都是非奇异矩阵.
E(i, j) 1 E(i(k)) k E(i, j(k)) 1 16
思考：上述过程中各个未知量是否参与计算？
3
矩阵的初等变换
定义：
对m×n矩阵的行进行以下三种变换分别称
为矩阵的初等行变换
(1)对调矩阵的某两行；
记作(ri rj )，
(2)以非零数k乘矩阵某行的所有元素；
记作(ri k)，
(3)把矩阵某一行的所有元素的k倍
加到另一行对应的元素上去.
记作(ri
krj
0 0
1 0
1 0
1 1
特左阵03点上，：角其是余B1一元个素单均位为矩0.
0
0
000
继续初等行变换
称为行阶梯形矩阵 特点： 零元素行在矩阵的也最称下为方行；最简形矩阵
1
0 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
4
3
3
0
非零行首非零元的特列点标：随行标递增
而严格递增 1
经初等列变换
B2
1
1
E i
k
k
1
1
(k ri )
(3)把E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列的k倍加到第j列
上）， 得
1
1k
E
i,
j
k
1
(ri krj )
13
1
初等矩阵的性质
性质1. 初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵.
1
0
1
E(i, j)
ET
(i,
j)
1
0
1
ET (i, j) E(i, j)
这是方程组的全部解.
所用同解变换有 1.交换方程次序； 2.一个方程加上另一个 方程的k倍. 3.以常数k乘以某一个方程.
2
在上述消元过程中用到几种同解变换？ 消元过程中用到三种同解变换：
（1）交换方程次序；
（2）以不等于0的常数乘以某一个方程；
（3）一个方程加上另一个方程的k倍.
在上述消元过程中用到三种变换均可逆，所 以变换前后的方程组是同解的，从而可以求得 方程组的全部解. 这三种变换都是方程组的同解变换.
（3）（1）
x1
x2 x2
2 x3 2 x3
4 6
（1） （2）
（2）（1）( 2 )
x2 x3 1 （3）
1
x1
2 （1）
(3) (2) (1) (2)
x2 2 x3 6 （2）
x3 7 （3）
(2) 2 (3) （1） (2)
x1 2
x2
8
x3 7
2 3 2 1
行阶梯形
2 1 4 3
2 1 4 3
0 1 3 2 r3(2)r2 0 1 3 2 A1.
0 2 6 4
0 0 0 0
2 A1 0
1 1
4 3
ห้องสมุดไป่ตู้
3
2
2 r1(1)r2 0
0 1
7 3
5 1 2 2r1
1 0
0 1
7
2 3
5 22 A2
0 0 0 0
0 0 0 0
)， 4
例如
4 3 3 12 1 2 2 3
A
1
2
2
3
r1 r2
4
3
3
12 B1
3 1 1 9 3 1 1 9
1 2 2 3 3 6 6 9
B1 4 3
3
12
r13
4
3
3
12 B2
3 1 1 9 3 1 1 9
1 2 2 3
1 2 2 3
B1 4 3
3
12
r2
( 4 ) r1
0
非0零行0首非0零元0都 是1， 所1在列0其余0元素0均 为0I.
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 9
0 1 3 2
例1
将矩阵 A 2 1 4
3
化为行最简形.
2 3 2 1
解
0 1 3 2
2 1 4 3
A 2 1 4
3
r1r2 0
1
3
2 r3 (1)r1
2 3 2 1
0
11
11
0 B3
3 1 1 9
3 1 1 9
5
说明：初等变换均可逆
例如 1 2 2 3 4 3 3 12
B1 4 3
3
12
r1 r2
1
2
2
3
A
3 1 1 9 3 1 1 9
3 B2 4
6 3
6 3
9 12
1 r1 3
1 4
2 3
2 3
3 12 B1
3 1 1 9 2 3 1 1 9
14
1
E(i(k))
k
E(i(k))
1
1
E
(
j,
i(k
))
k
ET
(i(k
))
E(i(k
))
1
ET
(i,
j (k ))
1
1
ET (i, j(k)) E( j,i(k))
15
例如
1 0 0T 1 0 0
E2,3T 0 0 1 0 0 1
初
0 1 0 0 1 0
等
矩
1 3 0T 1 0 0 阵
0 0 0 0
10
行最简形
例2 化矩阵A为行阶梯形和行最简形.
1 3 3
这里 A 1
4
3
1 3 4
行阶梯形
解
1 A 1
3 4
3 3
r2 (1)r1
r3 (1)r1
1 0
3 1
3 0
r1 (3)r2
r1 ( 3 ) r3
1 0
0 1
0 0
1 3 4
0 0 1
0 0 1
行最简形
矩阵A经过行变换,化为单位矩阵,这说明A