积分变换

2
bn = T
T
2 -T
fT (t) sin nwt d t
2
(n = 1,2, )
18
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
由 cos
j
=
e jj

e - jj
, sin
j
=
-
e jj j
- e - jj
得
:
2
2
fT
(t)
=
a0 2


an
n=1
e jnwt
e- jnwt 2
= 1,2,3,


fT (t) = c0
cne
jw nt

c e- jwnt -n
=
cne jwnt
n =1
n = -
20
给定fT(t), cn的计算如下:
c 0
=
a0 2
=
1 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
当 n
1时 c n
=
an
- jb n 2
=
1 T
T
2 -T
fT (t ) cos
nwt d t -
2
- j 1 T
T
2 -T
fT (t ) sin
nwt d t
2
= 1 T
T
2 -T
fT (t )[cos
2
nw t - j sin nw t ] d t
= 1 T
T
2 -T
fT (t )e - jn wt d t
2
21
而
c - n
积分变换
1
傅里叶(Fourier)级 数展开
2
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随
时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
3
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
4
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
(t )
=
a0 2

(an cos nwt bn sin nwt)
n =1
(1.1)
为求出 a0 , 计算[ fT ,1], 即
T
2 -T
fT (t) d t =
2
T 2
a0
dt
2 -T 2

(an
n =1
T
2 -T
cos
nwt
d
t

bn
2
T
2 sin nwt d t) =
11
这是因为
p e j(n-m ) d =
1
p
e j(n-m )
-p
j(n - m)
-p
=
1
[e j(n-m )p - e - j(n-m )p ]
j(n - m)
=
1
e - j( n - m )p [e j2 ( n - m )p - 1] = 0
j(n - m)
p p e 2 ipk = c2 o k s is2 ikn = 1
8
=
np
4
,再将cn以竖线标在频率
w
31
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
cn =81sincw(n) (n=0,1,2,)
wn
=nw=n2p =
16
np
8
,再将cn以竖线标在频率图
w
32
一般地, 对于周期T
cn
=
1 T
T
2 -T
fT (t )e - jw nt dt
2
= 1 1 e - jw nt dt T -1
m =1
2
n
T

bm
2 sin
-T
m w t cos
nwtd t =
m =1
2
= a n
T
2 cos
-T 2
2 nwt d t =
T an 2
即
an
=
2 T
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
16
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
T
- 4 jw n
- 1 4 jw n
=
1 sin w n 2 wn
=
1 sinc( 2
wn)
(n
=
0 , 1, 2 ,
)
25
sinc函数介绍
sinc 函数定义为
sinc( x) = sin x x
严格讲函数在 x = 0处是无定义的 , 但是因为
lim sin x = 1 x0 x 所以定义 sinc( 0) = 1, 用不严格的形式就写作

f8(t) = f (t 8n),
n=-
w=
2p
T
=
2p
8
=p ,
4
wn
=nw=
np
4
f8(t)
-1 1
7
t
T=8
29
则
c n
=
1 T
T
2 -T
fT (t )e - jw nt dt
2
= 1 8
4 -4
f 8 (t )e - jw nt dt
=
1 8
1 e - jw nt dt
=
an
jbn 2
=
cn
=
1 T
T
2 -T
f T ( t ) e j n w t dt
2
因此可以合写成一个式
子
c n
=
1 T
T
2 -T
f T ( t ) e - jw n t dt
2
(n = 0, 1, 2, )

f T ( t ) =
c n e jw nt
n = -
=
1 T
是sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f(t)看
作是周期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由 无穷多个无穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮
廓即sinc函数的形状看作是f(t)的各个频率成份 上的分布, 称作f(t)的傅里叶变换.
34
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的.
cos nwt, sin nwt, ... 是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为 cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt 的线性组合. 当nm时,
p T 2
ejnwtejmwtdt
=T
pej(n-m)d
=0
-T 2
2 -p
其中 =wt=2T pt,则 d=2pTdt,dt=2Tpd
1
=
1
e - jw nt
= 1 e jw n - e - jw n
- Tj w n
- 1 Tj w n
=
2 T
sin w n wn
=
2 T
sinc(
wn)
(n
=
0 , 1, 2 ,
)
33
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间
隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总
n = -

T 2 -T 2
f T ( ) e - jw n
d


e
jw
nt
22
例 定义方波函数为
f (t) =10
| t |1 | t |1
如图所示:
f(t)
1
-1 o
1
t
23
现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则

f4(t) = f (t 4n),
-T 2
a0 T 2
即
a0
=
2 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
15
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t =
T 2
a0
cos
2 - T 2
nwtd t

T

am
2 cos
-T
m w t cos
nwtd t
(n, m = 1,2,3, , n m ),
T
2 cos nwt cos mwt d t = 0 (n, m = 1,2,3, , n m ), -T 2
13
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...
的函数的长度计算如下:
T
1 = 2 12 dt = T -T 2
n=-
w=
2p
T
=
2p
4
=p ,
2
wn
=nw=
np
2
f4(t)
-1 1 3
t
T=4
24
则
1
cn = T
T
2 -T
fT (t )e - jw nt dt
2
= 1 4
2 -2
f 4 (t )e - jw nt dt
=
1 4
1 e - jw nt dt
-1
1
=
1
e - jw nt
= 1 e jw n - e - jw n
12
由此不难验证
T
2 cos nwt d t = 0 -T 2
(n = 1,2,3, ),
T
2 sin nwt d t = 0 -T 2
(n = 1,2,3, ),
T
2 sin nwt cos mwt d t = 0 -T 2
(n, m = 1,2,3, ),
T
2 sin nwt sin mwt d t = 0 -T 2
8
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全体也构成
一个集合, 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也
构成一个线性空间V, 此空间的向量就是函数, 线性空间
的一切理论在此空间上仍然成立. 更进一步地也可以在
此线性空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素(即
函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交的概念. 两个
2 -T
f T ( t ) sin
2
nwtd t =
T 2
a0
sin
2 - T 2
nwtd t

T

am
2 cos
-T
m w t sin
nwtd t
m =1
2
n
T

bm
2 sin
-T
m w t sin
nwtd t =
m =1
2
=
bn
T
2 sin
-T 2
2 nwtd t =
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
5
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内
的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函
数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可 以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷
(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
-
jbn
e jnwt
- e- jnwt 2

=
a0 2

an n=1
- jbn 2
e jnwt

an
jbn 2
e
-
j
nw
t

19
如令wn=nw (n=0,1,2,...)
且令 c0
=
a0 2
,
cn
=
an
2
jbn
,n
= 1,2,3,
c-n
=
an
2
jbn
,n
T bn 2
即
bn
=
2 T
T
2 -T
f T ( t ) sin
2
nwtd t
17
最后可得:
fT
(t)
=
a0 2


(an
n =1
cos mwt
bn
sin
nwt)
(1.1)
其中
a0
=
2 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
an
=
2 T
T 2 -T 2
fT (t) cos nwt d t (n = 1,2, )
cosnwt =
T
2 cos2 nwtdt =
T 2
1cos2nwt
dt
=
T
-T 2
-T 2
2
2
sinnwt =
T
2 sin2 nwtdt =
T 2
1-cos2nwt
dt
=
T
-T 2
-T 2
2
2
14
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表示
为三角级数的形式如下:
fT
-1
1
=
1
e - jw nt
= 1 e jw n - e - jw n
- 8 jw n
- 1 8 jw n
=
1 sin w n 4 wn
=
1 sinc( 4
wn)
(n
=
0 , 1, 2 ,
)
30
则在T=8时,
cn =14sincw(n) (n=0,1,2,)
wn
=nw=n2p
sin x
= 1, 则函数在整个实轴连续
x x=0
26
sinc函数的图形:
sinc(x)
x
27
前面计算出
cn =12sincw(n) (n=0,1,2,)
wn
=nw=n2p
T
=
np
2
,可将cn以竖线标在频率Leabharlann Baidu
w
28
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一 周期为8的周期函数f8(t)
数.
6
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
7
不满足狄氏条件的例:
f (t) = tgt
存在第二类间断点
f (t) =sin(1t)
在靠近 0处存在着无限多个极值点 而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变
化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函 数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函 数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
这样可令
T
T
2 f 2 ( t ) d t 2 g 2 ( t ) d t
-T
-T
2
2
cos = [ f , g ] 是 f , g 间的夹角余弦
,
f g
则如果 [ f , g ] = 0 称为 f 与 g 正交 .
10
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系
1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ...,
函数f和g的内积定义为:
T
[f,g]= 2 f(t)g(t)dt -T 2
9
一个函数f(t)的长度为
|| f ||= [ f , f ] = 而许瓦兹不等式成立 [f,g] f g
T
2 f 2 (t) d t -T 2
:
T
即 2 f ( t ) g ( t ) d t -T 2