数学分析3试题(B)及答案
数学分析试题及答案
数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的导数是________。
答案：3x^2+4x-52. 函数f(x)=ln(x)的原函数是________。
答案：xln(x)-x3. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。
答案：e^x+C4. 函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处的值是________。
答案：-1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
然后检查二阶导数f''(x)=6x-12，发现f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点；f''(11/3)=2>0，所以x=11/3是极小值点。
2. 求极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-4x+1)。
答案：分子和分母同时除以x^3，得到lim(x→∞)(1+3/x+2/x^2)/(1-4/x^2+1/x^3)，当x趋向于无穷大时，极限为1。
3. 求定积分∫(0,2) (2x-1) dx。
答案：首先求不定积分∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，然后计算定积分∫(0,2) (2x-1) dx = (2^2 - 2) - (0^2 - 0) = 4 - 2 = 2。
数学分析 3,4,5章答案 华东师范大学
（2）若 存在，试问是否成立 ？
解：（1）证明因为 存在，设 ，则任给 ，存在 ，使得当 时，有 。此时取 ，则当 时， ，从而有 ，故有 。
（2）若若 存在， 并不一定成立。
例如
这里 存在，但 不存在，但是 则 。
3．函数极限存在的条件
1．叙述函数极限 的归结原则，并应用它证明 不存在。
所以 。
2．利用迫敛性求极限：
（1） ；（2） 。
解：（1）因为 趋于负无穷，所以当 时，
，而 ，由迫敛性定理得 。
（2）因为 趋于正无穷，所以当 时， 。而 ， 。由迫敛性定理得 。
3．设 ， ，证明：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
证明：（1）因为 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。对已给定的 ，取 ，当 时， 与 同时成立。当 时，
，对 ，存在 ，使得当 时，有 ，于是取 ，则当 ，即在 内有 。
8．求下列极限（其中 皆为正整数）：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3）由于
。由极限的四则运算法则，有
。
（4）由于 ，
。
（5）由于 ，当 时， 或 。对于两种形式，均有 ，由迫敛性定理得 。
解归结原则：设函数 为定义在 上的函数，则 存在的充要条件是：对任何含于 且趋于正无穷的数列 ，极限 都存在且相等。
证明由于 在 上有定义，设 ，则显然有 且 ，
但 ，有归结原则知 不存在。
2．设 为定义在 上的增（减）函数。证明： 存在的充要条件是 在 上有上（下）界。
证明只证一种情况即可。
燕山大学数学分析(3)试卷1答案
欲索取更多考研资料，请上北京天问教育网站官网！ 东 北 大 学秦 皇 岛 分 校课程名称： 数学分析（3） 试卷： 答案 考试形式： 闭 卷授课专业：信息与计算科学 考试日期： 年 月 日 试卷：共2页题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 阅卷人一、填空题：（每题3分，共24分）1、0ε∀>，0A c ∃>，0A A ∀>，[,]x a b ∀∈，(,)Af x y dy ε+∞<⎰．2、设222,1z y x r ru ++==，则=)0,0,1()(gradu div 03、偏导数存在、偏导数连续、可微则连续；偏导数连续则可微且偏导数存在；可微则偏导数存在，但偏导数不一定连续。
4、已知42sin()()x xy F x dy y=⎰，则=)('x F 54sin sin 2x x x -5、方程0)sin(2=++xy y x 在（0，0）点的某邻域内_能_____（填能、不能或不一定）确定隐函数)(y g x =.6、函数),(y x f 在点),(000y x P 的某邻域内具有二阶的连续偏导数，则f 在0P 取极值的必要条件是0),(),(0000==y x f y x f y x ；充分条件是0000000000()()(,)(,)0,0,(,)0()()xx xy x y xx xy yy f P f P f x y f x y D f x y f P f P ===>≠7、改变积分次序，22212(,)x x xdx f x y dy --=⎰⎰211102(,)y ydy f x y dx +--⎰⎰8、l 是以(0,0)O ，(1,0)A , (0,1)B 为顶点的三角形，计算()lx y ds +=⎰12+二、（每题5分，共20分）1、解：12u f f x ∂=+∂， 2111221222u f f f f x ∂=+++∂，211122122uf f f f x y∂=-+-∂∂． 装订线装 订 线 内 不 要 答 题学 号姓 名班 级2、解：两边取对数，有)1ln(ln xy x z +=，于是z -1xy xy xy x z +++=∂∂1)1ln(，21z x z y xy ∂=∂+ ，故dy xy x dx xy xy xy dz ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=11)1ln(23、解：方程两边关于x 求偏导得，1z zyz xyx x∂∂+=+∂∂，于是， 11z yz x xy ∂-=∂-，22(1)z x y z xyzx y xy ∂-++=∂∂- 4、答案：2y P x =，1Q x =-，21Q P x y x ∂∂==∂∂，积分和路径无关。
《数学分析三》大学考试试题B卷及参考答案
2021-2022年度大学期末考试试卷 《数学分析三》大学考试试题B 卷及参考答案一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ⎰⎰=-a aa dx x f dx x f 0)(2)( B 0)(=⎰-aa dx x fC⎰⎰-=-aaadx x f dx x f 0)(2)( D )(2)(a f dx x f aa=⎰-3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A⎰11dx xB⎰∞+11dx xC⎰+∞sin xdx D⎰-1131dx x4、级数∑∞=1n na收敛是∑∞=1n na部分和有界且0lim =∞→n n a 的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A∑∞=1n na和∑∞=1n nb收敛，∑∞=1n nn ba 也收敛 B∑∞=1n na和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散C∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散 D ∑∞=1n n a 收敛和∑∞=1n n b 发散，∑∞=1n nn ba 发散6、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ）A)()('1'x a x an n=∑∞= B a （x ）可导C⎰∑⎰=∞=ban ban dx x a dx x a )()(1D∑∞=1)(n nx a一致收敛，则a （x ）必连续7、下列命题正确的是（ ） A)(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛D)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为 A xe B x sin C )1ln(x + D x cos9、函数)ln(y x z +=的定义域是（ ） A {}0,0|),(>>y x y x B {}x y y x ->|),( C {}0|),(>+y x y x D {}0|),(≠+y x y x 10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）偏可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导二、计算题：（每小题6分，共30分） 1、⎰=914)(dx x f ，求⎰+22)12(dx x xf2、计算⎰∞++02221dx xx 3、计算∑∞=11n nx n 的和函数并求∑∞=-1)1(n n n4、设023=+-y xz z ，求)1,1,1(xz ∂∂5、求2220lim yx yx y x +→→ 三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）1、 讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2222y x y x y x y x xyy x f 在（0，0）点的二阶混合偏导数2、 讨论∑∞=+-221sin 2)1(n n n n nx的敛散性 四、证明题：（每小题10分，共30分）1、设)(1x f 在[a ，b ]上Riemann 可积，),2,1()()(1 ==⎰+n dx x f x f ban n ，证明函数列)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于02、设yx e z =，证明它满足方程0=∂∂+∂∂yz y x z x 3、 设)(x f 在[a ，b ]连续，证明⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并求⎰+π2cos 1sin dx xxx参考答案一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二、1、⎰⎰++=+202222)12()12(21)12(x d x f dx x xf （3分）令122+=x u ，⎰⎰==+91222)(21)12(du u f dx x xf （3分）2、⎰∞++02221dxx x =4)1arctan(lim )1()1(11lim 002π=+=+++∞→∞→⎰A A A A x x d x （6分） 3、解：令)(x f =∑∞=11n n x n ，由于级数的收敛域)1,1[-（2分），)('x f =x x n n -=∑∞=-1111，)(x f =)1ln(110x dt t x-=-⎰（2分），令1-=x ，得2ln )1(1=-∑∞=n n n 4、解：两边对x 求导02232=--x x xz z z z （3分）x z z z x 2322-=（2分）2)1,1,1(=∂∂x z（1分）5、解：x yx yx ≤+≤||0222（5分）0lim 22200=+→→y x y x y x （1分）由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x yy x f x （2分）⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++--=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x xy x f y (4分）1)0,0(),0(lim )0,0(02-=∆-∆=∂∂∂→∆y f y f x y zx x y1)0,0()0,(lim )0,0(02=∆-∆=∂∂∂→∆xf x f y x zy y x （6分）2、解：由于x nx n n n n n 221sin 2|sin 2)1(|lim =-+∞→（3分），即1sin 22<x 级数绝对收敛1sin 22=x 条件收敛，1sin 22>x 级数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为)(1x f 在[a ，b ]上可积，故在[a ，b ]上有界，即0>∃M ，使得]),[()(1b a x M x f ∈∀≤，（3分）从而)(|)(|)(12a x M dt t f x f xa-≤≤⎰一般来说，若对n 有)!1()()(1--≤-n a x M x f n n （5分）则)()!1()()(1∞→--≤-n n a b M x f n n ，所以)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0（2分）⎰⎰⎰=+++=+aa Ta Tdt t f T t d T t f t T x dx x f 0)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、 y e x z y x 1=∂∂，2y x e y zy x -=∂∂，（7分）则012=-=∂∂+∂∂yx ye y xe y z y x z x y xy x （3分） 3、 证明：令t x -=π⎰⎰⎰⎰-=---=πππππππ0)(sin )(sin ))(sin()()(sin dt t tf dt t f dt t f t dx x xf 得证（7分）8cos 1sin 2cos 1sin 20202ππππ=+=+⎰⎰dx xx dx x x x （3分）。
自考数学分析试题及答案
自考数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = sin(x)B. y = e^xC. y = ln(x)D. y = x^2答案：A2. 函数f(x) = x^3 + 2x在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数答案：A3. 极限lim (sin(x))/x 当x→0时的值是：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A4. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 0/0 型不定式B. ∞/∞ 型不定式C. 0•∞ 型不定式D. ∞ - ∞ 型不定式答案：B5. 函数f(x) = 1/x在x=0处是：A. 连续的B. 可导的C. 有界的D. 无界的答案：D6. 以下哪个序列是收敛的？A. 1, 1/2, 1/3, ...B. 2, 2, 2, ...C. -1, 1, -1, 1, ...D. -1, -2, -3, ...答案：B7. 如果函数f(x)在点x=a处可导，那么f'(a)表示：A. 函数在该点的斜率B. 函数在该点的切线方程C. 函数在该点的值D. 函数在该点的二阶导数答案：A8. 以下哪个选项是泰勒级数的基本形式？A. f(x) = Σ[(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!]B. f(x) = Σ[f^(n)(a) * (x-a)^n / n!]C. f(x) = Σ[f^(n)(0) * x^n / n!]D. f(x) = Σ[f(a) * (x-a)^n]答案：C9. 以下哪个选项是定积分的几何意义？A. 曲线下的面积B. 曲线上的点的集合C. 曲线的长度D. 曲线的斜率答案：A10. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = y/x的一个解？A. y = x^2B. y = e^xC. y = xD. y = 1/x答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3的最小值是______。
数学分析第四版答案 (3)
数学分析第四版答案简介《数学分析第四版》是一本经典的数学教材，主要介绍了数学分析的基本概念、理论和方法。
本文档旨在提供《数学分析第四版》习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握数学分析的知识。
第一章简介1.1 数学分析的基本概念习题答案：1.由已知条件可知，当a=a时，a(a)=a(a)成立。
所以函数a(a)是一个常函数。
2.对于任意实数a和a，有a(a+a)=a(a)+a(a)，即函数a(a)满足加法性。
根据题意，我们需要证明a(aa)=a(a)a(a)。
证明：设实数a和a，并令a=a和 $b=\\frac{y}{x}$，根据加法性，我们有：$$ f(a+b) = f(a) + f(b) \\quad \\text{(1)} $$将a=a和 $b=\\frac{y}{x}$ 代入上式，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(x) +f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(2)} $$又根据题目条件，我们知道a(aa)=a(a)a(a)，将$b=\\frac{y}{x}$ 代入该式，得到：$$ f(xy) = f\\left(x\\cdot\\frac{y}{x}\\right) =f(x)f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(3)} $$将式 (3) 代入式 (2)，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(xy) \\quad \\text{(4)} $$根据题目条件中的函数性质，我们得到：$$ x+\\frac{y}{x} = xy $$上式可以转化为二次方程的形式，解得：$$ x^2 - xy + \\frac{y}{x} = 0 $$由上式可知，a是方程a2−aa+a=0的一个根。
根据韦达定理，该方程的两个根分别为：$$ x_1 = \\frac{y+\\sqrt{y^2+4}}{2} \\quad \\text{和}\\quad x_2 = \\frac{y-\\sqrt{y^2+4}}{2} $$由于题目中没有限制a的取值范围，所以a可以取任意实数。
(2021年整理)数学分析(3)试卷及答案
祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）数学分析(3)试卷及答案的全部内容。
数学分析（3）期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________考试注意事项:1. 考试时间：120分钟。
2. 试卷含三大题,共100分.3. 试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！4. 遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分）1、 设z x u ytan =,则全微分=u d __________________________。
2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。
3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
5、 设L 是从点(0，0）到点(1,1)的直线段,则第一型曲线积分⎰=L s x yd _____________。
6、 在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ,则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________,其值为_____________。
7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。
二、计算题（每题8分，共56分）1、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
2、 设),(2xyy x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。
3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
4、 求x x x e x xd sine 02⎰∞+---。
提示：C bx b bx a ba e x bx e ax ax+-+=⎰)cos sin (d sin 22.5、 利用坐标变换求⎰⎰+-Dy x yx yx d d sec2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。
数学分析第三版答案 (2)
数学分析第三版答案简介《数学分析第三版》是一本经典的数学教材，对于数学分析的基本概念、定理和方法进行了系统而全面的介绍。
本文档整理了《数学分析第三版》中的一部分习题答案，希望能够对读者巩固和检验所学知识提供帮助。
目录1.函数、极限与连续2.导数与微分3.一元函数的积分4.多元函数的积分5.级数与广义积分函数、极限与连续习题1.1-1证明下列函数的极限不存在：1.$f(x) = \\sin{\\left(\\frac{1}{x}\\right)}$2.$f(x) = \\frac{\\sin{x}}{x}$解答1.当x趋于0时，$\\frac{1}{x}$趋于无穷大。
由于正弦函数的周期是$2\\pi$，所以当x趋于无穷大时，$\\frac{1}{x}$趋于0。
因此，当x趋于0时，$f(x) =\\sin{\\left(\\frac{1}{x}\\right)}$不收敛。
2.当x趋于无穷大时，$\\sin{x}$在$[-\\pi, \\pi]$上做无限多次振荡。
而x也趋于无穷大，所以$\\frac{\\sin{x}}{x}$在无限多个点上振荡。
因此，当x趋于无穷大时，$f(x) = \\frac{\\sin{x}}{x}$不收敛。
习题1.1-2计算下列极限：1.$\\lim\\limits_{x \\to 0}{\\frac{\\sin{x}}{x}}$2.$\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{x^2 - 3x +2}{2x^2 + 5}}$3.$\\lim\\limits_{x \\to 1}{\\frac{x^2 - 1}{x - 1}}$解答1.根据拉’Hospital法则，$\\lim\\limits_{x \\to0}{\\frac{\\sin{x}}{x}} = \\lim\\limits_{x \\to0}{\\frac{\\cos{x}}{1}} = 1$。
数学分析3考试题及答案
数学分析3考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞3. 以下哪个级数是收敛的：A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...4. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞,+∞)上：A. 有唯一极值点B. 有两个极值点C. 有三个极值点D. 没有极值点5. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 26. 函数f(x)=|x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导7. 函数f(x)=x^2+2x+1的不定积分是：A. (x^3+x^2)/3 + CB. (x^3+x^2+2x)/3 + CC. (x^3+x^2+2x+1)/3 + CD. (x^3+x^2+x)/3 + C8. 以下哪个函数是周期函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=sin(x)C. f(x)=e^xD. f(x)=ln(x)9. 函数f(x)=x^3在x=1处的泰勒展开式是：A. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + (x-1)^3B. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2C. 1 + 3(x-1) + (x-1)^3D. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + 6(x-1)^310. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3在x=1处的导数值为______。
2. 函数f(x)=sin(x)在x=π/2处的二阶导数值为______。
数学分析期末试题A答案doc
数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。
因此，答案为 D。
2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。
A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。
因此，答案为 B。
3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。
4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。
在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。
因此，答案为 C。
高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。
以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。
一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。
数学分析Ⅲ习题及参考答案
一、填空题1、平面点集{}22(,)|01E x y x y =<+<的内部为 ,边界为 . 解 {}{}222222int (,)|01,(,)|01E x y x y E x y x y x y =<+<∂=+=+=或2、平面点集11,,E n m n m ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为整数的聚点集为 .解 {}11,00,(0,0)n m n m ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭为整数为整数3、设(,)ln 1f x y x y =--,则函数(,)f x y 的定义域为 .解(){}222,014x y xy y x <+<≤且4、设2222),(y x y x y x f +-=则00limlim (,)x y f x y →→= ,),(lim lim 00y x f x y →→= .解 222200000lim lim (,)lim lim lim11x y x y x x y f x y x y →→→→→-===+ ()222200000lim lim (,)lim lim lim 11y x y x x x y f x y x y →→→→→-==-=-+ 5、函数1(,)sin sin f x y x y=的间断点集为 .解(){},,,x y x k y l k l ππ==∈Z 或二、选择题1、函数f x y x y (,)=-+-1122的定义域是( D )A 、闭区域B 、开区域C 、开集D 、闭集 解 f x y x y (,)=-+-1122的定义域是(){},1,1E x y x y =≤≥E 是闭集但不具有连通性,故不是闭区域. 2、函数y x z -=的定义域是( C )A 、有界开集B 、有界闭集C 、无界闭集D 、无界开集 解 y x z -=的定义域是(){}2,0E x y y x =≤≤E 是无界闭集.3、以下说法中正确的是( A )A 、开区域必为开集B 、闭区域必为有界闭集C 、开集必为开区域D 、闭集必为闭区域 4、下列命题中正确的是( A )A 、如果二重极限,累次极限均存在,则它们相等;B 、如果累次极限存在,则二重极限必存在;C 、如果二重极限不存在,则累次极限也不存在;D 、如果二重极限存在,则累次极限一定存在.5、下列说法正确的是( A )A 、有界点列2}{R P n ⊂必存在收敛的子列;B 、二元函数),(y x f 在D 上关于x ,y 均连续,则),(y x f 在D 上连续;C 、函数),(y x f 在有界区域D 上连续,则),(y x f 在D 上有界;D 、函数),(y x f 定义在点集2R D ⊂上,D P ∈0,且0P 是D 的孤立点,则f 在0P 处连续.三、用ε-δ定义证明22200lim 0.x y x yx y →→=+证明 由于当(,)(0,0)x y ≠时2222||0||22x y x y x x x y xy -≤=≤+ 故0,,(,):0|0|,0|0|,x y x y εδεδδ∀>∃=∀<-<<-<有2220||x yx x y ε-≤<+故22200lim 0.x y x yx y →→=+ 四、求下列极限1、222200lim x y x y x y →→+解 当(,)(0,0)x y ¹时2222222220x y y xx x y x y ?祝++,而200lim 0x y x →→=所以222200lim 0x y x y x y →→=+. 2、2200x y →→解 因为())2222221111x y x y +==++-所以()2222000limlim11211x x y y x y x y =+++=++-.1、设xy e z =,则z x∂=∂ ,zy ∂=∂ .解,xy xy z zye xe x y∂∂==∂∂ 2、设000000(,)0,(,)4,(,)5x y f x y f x y f x y ''===,则000(,)limx f x x y x∆→+∆=∆ ,000(,)limy f x y y y ∆→+∆=∆ . 解 0000000000(,)(,)(,)limlim (,)4x x x f x x y f x x y f x y f x y x x∆→∆→+∆+∆-'===∆∆ 0000000000(,)(,)(,)limlim (,)5y y y f x y y f x y y f x y f x y y y∆→∆→+∆+∆-'===∆∆ 3、设ln 1x z y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则(1,1)dz = .解 21111,()11z z x x x x x y x y y y y x y y y ⎛⎫∂∂=⋅==⋅-=- ⎪∂+∂+⎝⎭++ (1,1)(1,1)11,22z z x y ∂∂∴==-∂∂ (1,1)111()222dz dx dy dx dy ∴=-=- 4、设2sin()z x y =,则dz = .解2222cos(),cos()z zxy x y x x y x y ∂∂==∂∂ ()22222c o s ()c o s ()c o s ()2d z x y x y d x x x y d y x x y y d x x d y∴=+=+ 5、求曲面arctany z x =在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面方程为 ,法线方程 .解 2222,x yy xz z x y x y ⅱ=-=++ 11(1,1),(1,1)22x y z z ⅱ\=-=故曲面arctan y z x =在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面方程为11(1)(1)422z x y π-=--+-,即202x y z π-+-=法线方程为11411122z x y π---==--,即202204x y x z π+-=⎧⎪⎨--+=⎪⎩1、设),(y x f 在点(,)a b 处偏导数存在,则lim(,)(,)x f a x b f a x b x→+--0=( C )A 、(,)x f a b 'B 、(2,)x f a b 'C 、2(,)x f a b 'D 、1(,)2x f a b '解 [][]xb a f b x a f b a f b x a f x b x a f b x a f x x ),(),(),(),(lim),(),(lim 00----+=--+→→ [][]000(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim (,)(,)2(,)x x x x x x f a x b f a b f a x b f a b xf a x b f a b f a x b f a b x x f a b f a b f a b →→→+----=+---=+-''=+'=2、设),(y x f 在点00(,)x y 处存在关于x 的偏导数,则00(,)(,)x y f x y x ∂=∂( A )A 、x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000 B 、xy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000C 、x y x x f x ∆∆+→∆),(lim 000D 、xy x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim 00000解 0000000(,)(,)(,)(,)limx x y f x x y f x y f x y x x∆→+∆-∂=∂∆ 3、函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000在点(0,0)处有( D )A 、连续且偏导数存在B 、连续但偏导数不存在C 、不连续且偏导数不存在D 、不连续但偏导数存在 解 当(,)x y 沿y x =趋于(0,0)时22200001lim (,)lim (,)lim 2x x x y x f x y f x x x x →→→→===+ 当(,)x y 沿0y =趋于(0,0)时00lim (,)lim (,0)lim00x x x y f x y f x →→→→===故00lim (,)x y f x y →→不存在,于是函数),(y x f 在点(0,0)处不连续.000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)0l i ml i m 0,l i m l i m 0x x y x f x f f y f x x y y∆→∆→∆→∆→∆--∆--====∆∆∆∆ (,)f x y ∴在原点存在偏导数且(0,0)0,(0,0)0x y f f ''== 4、在点00(,)x y 处的某邻域内偏导数存在且连续是),(y x f 在该点可微的( B ) A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、无关条件解 P175定理25、下面命题正确的是( C )A 、若),(y x f 在00(,)x y 连续,则),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在;0000C 、若),(y x f 在00(,)x y 可微,则),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在; D 、若),(y x f 在00(,)x y 处的两个偏导数存在,则),(y x f 在00(,)x y 处可微.解 P172定理1 三、求解下列各题 1、求曲面xy z =上一点,使得曲面在该点的切平面平行于平面093=+++z y x ,并写出这切平面方程和法线方程.解 设所求的点为000(,,)x y z .由于,x y z y z x ''== 故000000(,),(,)x y z x y y z x y x ''==于是曲面xy z =在点000(,,)x y z 的切平面方程为00000()()()0y x x x yy z z -+---= 由已知切平面与平面093=+++z y x 平行,故001131y x -==于是000003,1,3x y z x y =-=-==,故所求的点为(3,1,3)--.曲面在点(3,1,3)--的切平面方程为(3)3(1)(3)0x y z -+-+--=,即330x y z +++= 法线方程为313131x y z ++-==---,即1333y x z ++==-2、讨论函数2222222,0(,)0,0x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在附近的连续性、偏导数的存在性及可微性.解2221(,)(0,0)02x y x y x x y ≠≤≤+当时，且001lim 02x y x →→=. 2220000lim (,)lim 0(0,0)x x y y x yf x y f x y →→→→∴===+(,)f x y ∴在点(0,0)的连续.0000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)00lim lim 0,lim lim 0x x y y f x f f y f x x y y ∆→∆→∆→∆→∆--∆--====∆∆∆∆ (,)f x y ∴在点(0,0)存在偏导数且(0,0)(0,0)0x y f f ''==.[]()22223222(,)(0,0)(0,0)(0,0)x y x yf x y f f x f y z dzx yxyρ∆∆⎡⎤''∆∆--∆+∆∆-∆∆===∆+∆当(,)x y ∆∆沿y x ∆=∆趋于(0,0)时()23300222limlimlim x x y z dzx yxyρρ→∆→∆→∆→∆-∆∆===∆+∆ 当(,)x y ∆∆沿0y ∆=趋于(0,0)时()3300222limlimlim0x x y z dzx yx xyρρ→∆→∆→∆→∆-∆∆===∆∆+∆故极限()230222limx y x yxy∆→∆→∆∆∆+∆不存在,从而极限0limz dzρρ→∆-不存在,即(,)f x y 在点(0,0)不可微.1、2ln ,,32,u z x y x y u v v ===-求,.z zu v∂∂∂∂解 22ln 3z z x z y x y x u x u y u v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂222l n 2z z x z y u x y xv x v y v vy∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--∂∂∂∂∂ 2、,,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭求,,.u u ux y z ∂∂∂∂∂∂解 令,x y s t y z ==,则函数,,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭由函数(,),,x yu f s t s t y z ===复合而成,记12,u uf f s t∂∂==∂∂,则 11222211,,.u u s u u s u t x u u t y f f f f x s x y y s y t y y z z t z z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅==⋅+⋅=-+=⋅=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 二、求下列函数在给定点沿给定方向的方向导数1、求22(,,)f x y z x xy z =-+在点0(1,0,1)P 沿(2,1,2)l =-的方向导数.解 由于l 的方向余弦为212cos ,cos ,cos 333αβγ====-==()0000()22,()1,()22x y P z P P f P x y f P xf P z'''=-==-=-==所以()000212()cos ()cos ()cos 123333x y z f f P f P f P l αβγ∂⎛⎫++⋅+-⋅-+⋅= ⎪∂⎝⎭==2 2、求u xyz =在点(5,1,2)A 处沿到点(9,4,14)B 的方向AB 上的方向导数. 解 由于(4,3,12)AB =,故它的方向余弦为4312cos ,cos ,cos 131313αβγ====()2,()10,()5x y Az A A f A yz f A zxf A xy '''======所以000431298()cos ()cos ()cos 10513131313x y z f f P f P f P l αβγ∂++⋅+⋅+⋅=∂==21、如果 ,则有0000(,)(,)xyyx f x y f x y ''''=. 解 如果函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的某邻域G 内存在二个混合偏导数(,)xy f x y ''与(,)yx f x y '',并且它们在点00(,)P x y 连续,则0000(,)(,)xyyx f x y f x y ''''=. 2、设24z x y =,则2zx y∂=∂∂ . 解 2432,8z z xy xy x x y∂∂==∂∂∂ 3、二元函数xy y x y x f ++=),(在点)2,1(的泰勒公式为 .解222221,1,0,1,0,0(2)n m n m f f f f f f y x n m x y x x y y x y+∂∂∂∂∂∂=+=+====+>∂∂∂∂∂∂∂∂ 22()(1,2)3,(1,2)2,(1,2)0,(1,2)1,(1,2)0,(1,2)0(2)m nm n x y xy x y x yf f f f f f n m +''''''''∴======+> (,)f x y x y x y ∴=++在点)2,1(的泰勒公式为 (,)f x y x y x y=++ 1(1,2)(1,2)(1)(1,2)(2)1!x y f f x f y ''⎡⎤=+-+-⎣⎦ 22221(1,2)(1)2(1,2)(1)(2)(1,2)(2)2!xy x y f x f x y f y ⎡⎤''''''+-+--+-⎣⎦ 53(1)2(2)(1)(x y x y =+-+-+-- 4、函数22(,)4()f x y x y x y =---在稳定点 处取得极大值,且极大值是 .解 令(,)420(,)420xy f x y x f x y y ⎧'=-=⎪⎨'=--=⎪⎩得稳定点(2,2)-.由于22(,)2,(,)0,(,)2xy xyf x y f x y f x y ''''''=-==-222(2,2)20,(2,2)0,(2,2)2,40xy x y A f B f C f B AC ''''''=-=-<=-==-=-∆=-=-<故函数22(,)4()f x y x y x y =---在稳定点(2,2)-取得极大值,且极大值是(2,2)8f -=.5、设),(),(00y x y x f z 在=存在偏导数,且在),(00y x 处取得极值,则必有 .解 0000(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩二、选择题1、二元函数3322339z x y x y x =+++-在点M 处取得极小值,则点M 的坐标是( A )A 、(1,0)B 、(1,2)C 、(-3,0)D 、(-3,2) 解 令22(,)3690(,)360xy f x y x x f x y y y ⎧'=+-=⎪⎨'=+=⎪⎩得稳定点(1,0),(3,0),(1,2),(3,2)----.由于22(,)66,(,)0,(,)66xy xyf x y x f x y f x y y ''''''=+==+在点(1,0),2120,0,6,720A B C B AC =>==∆=-=-<在点(3,0)-,212,0,6,720A B C B AC =-==∆=-=> 在点(1,2)-,212,0,6,720A B C B AC ===-∆=-=>在点(3,2)--,2120,0,6,720A B C B AC =-<==-∆=-=-<故函数339z x y x y x =+++-在点(1,2)-,(3,0)-不取得极值,在点(1,0)取得极小值, 在点(3,2)--取得极大值.2、二元函数2222),(22+-+-=x y xy x y x f 的极小值点是( C )A 、(-1,-1)B 、(0,0)C 、(1,1)D 、(2,2) 解 令(,)4220(,)220xy f x y x y f x y y x ⎧'=--=⎪⎨'=-=⎪⎩得稳定点(1,1).由于22(,)4,(,)2,(,)2xy xyf x y f x y f x y ''''''==-=240,2,2,40A B CB AC =>=-=∆=-=-< 故函数2222),(22+-+-=x y xy x y x f 在点(1,1)取得极小值. 3、关于二元函数下列论断①(,)f x y 在),(00y x 取得极值,则),(00y x 是(,)f x y 的稳定点;②),(00y x 是(,)f x y 的稳定点,则(,)f x y 在),(00y x 取得极值; ③(,)f x y 在),(00y x 不存在偏导数,则(,)f x y 在),(00y x 不会取得极值; ④)0,0(以xy z =为极小值点. 其中正确的个数是( A )A 、0B 、1C 、2D 、3解 ①错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如z =在点(0,0)取得极小值,但点(0,0)不是稳定点.②错误:稳定点不一定是极值点,例如在第1题中,点(1,2)-是稳定点,但却不是极值点. ③错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如z =在点(0,0)的偏导数不存在,但点(0,0)是该函数的极小点.④错误: 令00xy z y z x ⎧'==⎪⎨'==⎪⎩得稳定点(0,0).由于22(,)0,(,)1,(,)0xy x y z x y z x y z x y ''''''=== 20,1,0,10A B C B A C ===∆=-=> 故函数z xy =在点(0,0)不取得极值.4、如果点()00,x y 为(,)f x y 的极值点且()()0000,,,x y f x y f x y ''存在,则它是(,)f x y 的( B )A 、最大值点B 、稳定点C 、连续点D 、最小值点 解 P200定理35、下列命题中,正确的是( D )A 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点,则它一定是(,)f x y 极值点;B 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的极值点,则它一定是(,)f x y 稳定点;C 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点且0∆=,则它不是(,)f x y 极值点;D 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点且0∆>,则它不是(,)f x y 极值点. 解 P201定理4 三、求解下列各题1、求函数333(0)z axy x y a =-->的极值.解 令22330330xy z ay x z ax y ¢ï=-=ïí¢ï=-=ïî 得稳定点(0,0)和(,)a a .226,3,6xy x yz x z a z y ⅱ?=-==- 对于点(0,0),220,3,0,90A B a C B AC a ===D =-=>故点(0,0)不是极值点.对于点(,)a a ,2260,3,6,270A a B a C a B AC a =-<==-D =-=-< 故点(,)a a 是极大点,极大值为3(,)z a a a =.2、在xy 平面上求一点,使它到三直线0,0x y ==及2160x y +-=的距离平方和最小. 解 设(,)x y 为平面上任一点,则它到三直线0,0x y ==及2160x y +-=的距离平方和为()222216(,)5x y S x y x y +-=++于是问题转化为求函数()222216(,)5x y S x y x y +-=++在2R 上的最小值.令()()22162054216205xy x y S x x y S y ì+-ïï¢=+=ïïïíï+-ï¢ï=+=ïïî得(,)S x y 在2R 上的唯一稳定点816,55⎛⎫⎪⎝⎭.2212418,,555xy x y S S S ⅱⅱⅱ===2124180,,,80555A B C B A C =>==D =-=-<故点816,55⎛⎫⎪⎝⎭是极小点.根据问题实际意义,函数(,)S x y 在2R 上一定存在最小值,而(,)S x y 在2R 上只有唯一一个极小点,故(,)S x y 在点816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最小值.即平面点816,55⎛⎫⎪⎝⎭到三直线0,0x y ==,2160x y +-=的距离平方和最小.1、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定隐函数()y f x =,则dxdy= . 解法一 令2(,)sin x F x y y e xy =+-,则2(,),(,)cos 2x x y F x y e y F x y y xy ''=-=-于是22(,)(,)cos 2cos 2x x x x dy F x y e y y e dx F x y y xy y xy'--=-=-='-- 解法二 方程两边对x 求导得2c o s20x d y d y y e y x y d x d x ⎛⎫⋅+-+⋅= ⎪⎝⎭ 2cos 2x dy y e dx y xy-=- 2、设方程0z e xyz -=确定隐函数(,)z f x y =,则zx∂=∂ ,z y ∂=∂ .解法一 令(,,)z F x y z e xyz =-,则 (,,),(,,),(,,)zx y zF x y z y z F x y z x z F x y z ex y'''=-=-=- 于是(,,)(,,)(,,)(,,)x z z y zz z F x y z yzx F x y z e xyF x y z z xz y F x y z e xy'∂=-='∂-'∂=-='∂-解法二 方程两边分别对,x y 求偏导得00z z z z e y z x x x z z e x z y yy ∂∂⎧⎛⎫⋅-+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂∂⎪⋅-+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎩于是,z z z yz z xzx e xy y e xy∂∂==∂-∂-.3、设sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r φθφθφ===,则(,,)(,,)x y z r θφ∂∂= .解2(,,)sin (,,)x y z r r φθφ∂=∂4、若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==与(,),(,)x x s t y y s t ==均有连续的偏导数,且(,)(,)14,(,)(,)2u v x y x y s t ∂∂==∂∂,则(,)(,)u v s t ∂=∂ .解(,)(,)(,)142(,)(,)(,)2u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=⋅=⨯=∂∂∂ 5、若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数且(,)2(,)u v x y ∂=∂,则(,)(,)x y u v ∂=∂ .解(,)(,)2(,)x y u v u v ==∂∂∂ 二、选择题1、下列命题正确的是( D )A 、任何方程都可以确定一个隐函数；B 、任何方程所确定的隐函数是唯一的；C 、任何方程所确定的隐函数一定是初等函数；D 、如果一个方程在某点满足隐函数存在定理的条件,则它确定的隐函数是唯一的. 2、方程0sin 2=++xy y x 在原点(0,0)的某邻域内必可确定的隐函数形式为( A )A 、)(x f y =B 、)(y g x =C 、两种形式均可D 、无法确定 3、隐函数存在定理中的条件是隐函数存在的( A )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件4、方程组22201x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩所确定的隐函数组()()x f z y g z =⎧⎨=⎩的导数为 ( B ) A 、,dx y z dy z xdz y x dz x y --=--＝ B 、,dx y z dy z x dz x y dz x y --==-- C 、,dx y z dy x z dz x y dz x y--==-- D 、,dx y z dy x z dz y x dz x y--==-- 解 方程两边分别对z 求导得102220dx dydz dzdx dy x y z dz dz ⎧++=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅+=⎪⎩解方程得,dx y z dy z x dz x y dz x y--==--. 三、证明方程ln 1(0,1,1)xz xy z y e ++=在点的某领域内能确定隐函数(,),x x y z =并求,x x y z∂∂∂∂. 解 令(,,)ln 1,xz F x y z xy z y e =++-则(1) (,,),F x y z (,,),xz x F x y z y ze '=+(,,),y zF x y z x y'=+(,,)ln xz z F x y z y xe '=+都在(0,1,1)的某邻域内连续;(2) (0,1,1)0F =; (3) (0,1,1)20x F '=≠.故方程可确定隐函数(,)x f y z =.2(,,)(,,)y xz xzx z x F x y z x xy z yy y ze y yze F x y z +'∂+=-=-=-∂++' (,,)ln (,,)xzz xzx x F x y z y xe z y ze F x y z '∂+=-=-∂+'四、设方程组⎩⎨⎧=--=--0022xu v y yv u x 确定隐函数组(,),(,)u u x y v v x y ==,求,u vx x ∂∂∂∂. 解 方程组关于x 求偏导得12020u v u y x xv u v u x x x ì抖ïï--=ïï抖íï抖ï---=ïï抖ïî解此方程组得24u v uy x uv xy ?=?,224v u x x xy uv?=?1、二元函数(,)f x y xy =在条件1x y +=下的存在 (极小值/极大值),其极大(小)值为 .解 由2(1)f xy x x x x ==-=-,令120f x '=-=得稳定点12x =;又由于20f ''=-<,故函数在12x =取得极大值111,224f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.2、平面曲线09)(233=-+xy y x 在点(2,1)处的切线方程为 ,法线方程为 . 解 令33(,)2()9F x y x y xy =+-,则22(,)69,(,)69x y F x y x y F x y y x ''=-=-22(,)69(,)69x y d y F x y x yd x F x y y x'-=-=-'- (2,1)54dy k dx ==- 故所求的切线方程为51(2)4y x -=--,即54140x y +-=.法线方程为41(2)5y x -=-,即4530x y --=.3、空间曲线23,,x t y t z t ===在点1t =处的切线方程为 ,法平面方程为 .解 由于21,2,3x y t z t '''===,则(1)1,(1)2,(1)3x y z '''===,故所求的切线方程为111123x y z ---==法平面方程为(1)2(1)3(1)x y z -+-+-=,即2360x y z ++-=. 4、空间曲面236222x y z ++=在点()1,1,1P 处的切平面方程为 , 法线方程为 . 解 由于222(,,)236F x y z x y z =++-,则(,,)4,(,,)6,(,,)2x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''=== (1,1,1)4,(1,1,1)6,(1,1,1)2x y z F F F '''===故所求的切平面方程为4(1)6(1)2(1)x yz -+-+-=,即2360x y z ++-= 法线方程为111462x y z ---==,即11123x y z --==-. 5、曲面2132222=++z y x 在点 的切平面与平面460x y z ++=平行. 解 设所求的点为000(,,)x y z ,由于222(,,)2321F x y z x y z =++-,则(,,)2,(,,)4,(,,)6x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===000000000000(,,)2,(,,)4,(,,)6x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===0002220002461462321x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩ 解方程得000122x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或000122x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,故所求的点为(1,2,2),(1,2,2)---.二、选择题1、在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中与平面24x y z ++=平行的切线( B )A 、只有一条B 、只有二条C 、至少有三条D 、不存在 解 设曲线在0t t =处的切线与平面24x y z ++=平行,由于21,2,3x y t z t '''==-= 则200000()1,()2,()3x t y t t z t t '''==-= 由已知可得2001430t t -+=于是013t =或01t =,故曲线上有两点的切线与平面24x y z ++=平行的点.2、曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)M -处的切线平行于( C )A 、xoy 平面B 、yoz 平面C 、zox 平面D 、平面0x y z ++= 解 令22212(,,)6,(,,)F x y z x y z F x y z x y z =++-=++,则11122211122211122222(,)2(),11(,)22(,)2()11(,)22(,)2()11(,)F F x y x y F F x y F F x y x yF F y z y z F F y z F F y z yzF F z x F F z xz x F F z x z x∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂ 121212(,)(,)(,)6,6,0(,)(,)(,)M M MF F F F F F x y y z z x ∂∂∂==-=∂∂∂故曲线在点(1,2,1)M -处的切线为121606x y z -+-==-,即202x z y +-=⎧⎨=-⎩该直线平行于xoz 平面.1、求表面积一定而体积最大的长方体.解 设长方体的长、宽、高分别为,,x y z ,表面积为()20,a a >则问题转换为求函数(),,,f x y z xyz =在条件()22xy yz xz a ++=下的最大值.设()2,,,[2()]L x y z xyz xy yz xz a λλ=+++-,令()()()()220202020x y zL yz y z L xz x z L xy x y L xy yz xz a λλλλ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩ 解得x y z === 根据问题实际意义,体积最大的长方体一定存在,且稳定点只有一个,故表面积一定的长方体中正方体的体积最大.2、求曲线2222222393x y z z x y ìï++=ïíï=+ïî在点(1,1,2)-的切线与法平面方程. 解 设222222(,,)239,(,,)3F x y z x y z G x y z z x y =++-=--,在点(1,1,2)-处有4,6,4x y z F F F ⅱ?==-=,6,2,4x y zG G G ⅱ?=-== (,)(,)(,)32,40,28(,)(,)(,)F G F G F G y z z x x y 抖?=-=-=-抖?所以切线的法向量为(8,10,7),切线方程为1128107x y z -+-==法平面方程为8(1)10(1)7(2)0x y z -+++-=或8107120x y z ++-=.1、=++⎰+∞0284x x dx.解 ()222000(2)1212lim lim arctan lim arctan 4822224822AA A A A dx d x x A x x x ππ+∞→+∞→+∞→+∞+++⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭++⎰⎰ 2、2x xe dx +∞-=⎰= .解()()2222200111limlim lim 1222AA x x x A A A A xedx xedx e d x e +∞----→+∞→+∞→+∞==--=--=⎰⎰⎰3、无穷积分dxx p 1+∞⎰在 时收敛,在 时发散. 解 无穷积分dxxp 1+∞⎰在1p >时收敛,在1p ≤时发散(课本p263例3). 4、无穷积分1(,0)1mnxdx m n x ∞≥+⎰在 时收敛,在 时发散. 解 由于lim lim 111m n n mn nx x x x x x x -→+∞→+∞⋅==++,故无穷积分⎰∞≥+0)0,(1n m dx x x n m在1n m ->时收敛,在1n m -≤时发散.5、无穷积分1sin p xdx x+∞⎰在 时绝对收敛,在 时条件收敛. 解 无穷积分1sin pxdx x +∞⎰在1p >时绝对收敛,在1p ≤时条件收敛.二、选择题1、f x dx ()-∞+∞⎰收敛是f x dx a()+∞⎰与f x dx a()-∞⎰都收敛的( B )A 、无关条件B 、充要条件C 、充分条件D 、必要条件解 如果f x dx ()-∞+∞⎰收敛,则f x dx a()+∞⎰与f x dx a()-∞⎰都收敛,反之也成立.2、设()0f x >且⎰+∞)(dx x f 收敛,则e f x dx x -+∞⎰()0( C )A 、可能收敛B 、可能发散C 、一定收敛D 、一定发散解 当0x ≥时,()()xe f x f x -≤,而⎰+∞0)(dx x f 收敛,由比较判别法知e f x dx x -+∞⎰()0收敛.3、设)(x f 在[,)a +∞连续且c a <,则下列结论中错误的是( D )A 、如果 )(dx x f a⎰+∞收敛,则 )(dx x f c⎰+∞必收敛.B 、如果 )(dx x f a⎰+∞发散,则 )(dx x f c⎰+∞必发散.C 、 )(dx x f a ⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散.D 、 )(dx x f a⎰+∞收敛, )(dx x f c⎰+∞不一定收敛.解 ,A a ∀>由于)(x f 在[,)a +∞连续,故()x e f x -在[,],[,]a A a c 上连续从而在[,],[,]a A a c 上可积.又由于()()()Ac Ax x x aace f x dx e f x dx e f x dx ---=+⎰⎰⎰故l i m ()()l i m (x x xaac A A e f x dxe f x dx e f x dx ---→+∞→+∞=+⎰⎰⎰ 即 )(dx x f a⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散.4、设在[,)a +∞上恒有()()0f x g x ≥>,则( A ) A 、⎰+∞adx x f )(收敛,⎰+∞a dx x g )(也收敛B 、()af x dx +∞⎰发散,()ag x dx +∞⎰也发散C 、⎰+∞adx x f )(和⎰+∞adx x g )(同敛散D 、无法判断解 由于0()()g x f x <≤,由比较判别法知当⎰+∞adx x f )(收敛时,⎰+∞adx x g )(也收敛(P270定理7).5、⎰∞+adx x f )(收敛是⎰∞+adx x f )(收敛的( B )A 、充分必要条件B 、充分条件C 、必要条件D 、既不是充分也不是必要条件解 由于无穷积分性质知,果⎰∞+adx x f )(收敛,则⎰∞+adx x f )(也收敛(P267推论2).但逆命题不成立.例如无穷积分sin a xdx x+∞⎰收敛,但无穷积分sin a x dx x +∞⎰发散(P275,例11). 三、讨论下列无穷限积分的敛散性(1)0+∞⎰(2) 0+∞⎰ (3) 31arctan 1x x dx x +∞+⎰ (4) 11x xdx e +∞-⎰ 解 (1) 由于434lim 1,1,13x x d λ→+∞==>=故无穷积分+∞⎰.(2) 由于121lim 1,,1,12x x d λ→+∞==<= 故无穷积分+∞⎰.(3) 由于23arctan lim ,21,122x x x x d x ππλ→+∞⋅==>=+ 故无穷积分31arctan 1x xdx x +∞+⎰收敛.(4) 由于2lim 0,21,01x x xx d e λ→+∞⋅==>=- 故无穷积分11x x dx e +∞-⎰收敛,从而无穷积分11x xdx e +∞-⎰也收敛. 四、讨论下列广义积分的绝对收敛性和条件收敛性00 解 (1) 由于()22sgn sin 111x x x ≤++,而2011dx x +∞+⎰收敛,故()20sgn sin 1x dx x +∞+⎰绝对收敛.(2) 令()()cos f x g x x ==,由于()f x '= 故当100x >时,()0f x '<.于是()f x 在[100,)+∞上单调递减且lim ()lim0x x f x →+∞→+∞==又由于0()()cos sin A A F A g x dx xdx A ===⎰⎰,()1F A ≤,故由狄里克雷判别法知无穷积分dx ⎰收敛.另一方面)21cos 2121002(100)2100100x x x xx x x ⎡⎤+=≥==+⎢⎥++++⎣⎦可证0100dx x +∞+⎰发散,而02100x dx x +∞+⎰收敛,故0⎰发散,原积分条件收敛.五、证明题若无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛,函数()x ϕ在[,)a +∞上有界,则无穷积分()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛.证明 由于函数()x ϕ在[,)a +∞上有界,故0,[,)M x a ∃>∀∈+∞有 ()f x M ≤ 从而()()()f x x M f x ϕ≤ 由于无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛,故()af x dx +∞⎰收敛.由比较判别法知,无穷积分()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛.1、10=⎰. 解 由于1limx →=∞,故1x =为瑕点,由瑕积分定义知()1112000001lim lim 1lim 2x εεεεεε---→+→+→==--=-⎰⎰⎰0lim 11ε→+⎤=--=⎦2、10ln xdx =⎰= .解 由于0lim ln x x →+=-∞,故0x =为瑕点,由瑕积分定义知1111110000ln lim ln lim ln ln lim ln xdx xdx x x xd x x x dx εεεεεεεε→+→+→+⎡⎤⎡⎤==-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ []0l i m l n (1)1εεεε→+=---=- 3、 是积分0sin xdx xπ⎰的瑕点. 解 0lim 1,lim sin sin x x x xx xπ→+→-==∞x π∴=是积分0sin xdx xπ⎰的瑕点.4、瑕积分10(0)q dxq x >⎰在 时收敛,在 时发散.解 瑕积分dxx q 01⎰在01q <<时收敛,在1q ≥时发散(P280例3).5、瑕积分201cos (0)m xdx m xπ->⎰在 时收敛,在 时发散. 解 0x =是积分201cos (0)mxdx m x π->⎰的瑕点且 22001cos 1cos 1lim lim 2m m x x x x x x x -→+→+--⋅== ∴瑕积分201cos (0)mxdx m x π->⎰在03m <<时收敛,在3m ≥时发散. 二、选择题1、瑕积分⎰-112xdx( D ) A 、收敛且其值为-2 B 、收敛且其值为2C 、收敛且其值为0D 、发散解 11122211001111lim lim 21dx dx dx x x x x x εεεεεεε----→+→+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+=--=-=∞⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 2、下列积分中不是瑕积分的是( B )A 、⎰e xx dx 1lnB 、⎰--12xdxC 、⎰-11x edx D 、⎰2cos πxdx解 ⎰e x x 1ln ,⎰-101x e ,⎰20cos x是瑕积分. 3、下列瑕积分中,发散的是( C )A 、10sin dx x ⎰B 、11211--⎰x dx C 、2211ln dx x x⎰D 、1⎰解 对于积分0⎰,0x =为瑕点,由于 0lim 1x→= 故瑕积分0⎰收敛. 对于积分11211--⎰x dx,1x =±为瑕点且12111211lim(1)lim lim (1)limx x x x x x →-→→-+→--==+==故瑕积分010,-⎰⎰均收敛,故原积分收敛;对于积分2211ln dx x x⎰,1x =为瑕点且22222111111(1)2(1)2lim(1)lim lim lim lim 12ln 2ln ln ln 2ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→+→-→-→-→----⋅=====+++故该积分发散;对于积分10⎰,0x =为瑕点且 121lim(0)1x x →--= 故该积分收敛.4、若瑕积分⎰badx x f )(收敛(a 为瑕点),则下列结论中成立的是( B )A 、()baf x dx ⎰收敛B 、⎰ba dx x f )(收敛C 、⎰badx x f )(2收敛D 、⎰badx x f )(2发散解 若瑕积分⎰badx x f )(收敛,则()b af x dx ⎰不一定收敛,例如1011sin dx x x⎰收敛,但111sin dx x x⎰发散(P287例10). 若瑕积分⎰b adx x f )(收敛,则⎰badx x f )(2可能收敛也可能发散,例如取()f x =,则瑕积分⎰b a dx x f )(收敛,⎰b adx x f )(2发散;取()f x =,则瑕积分⎰b adxx f )(收敛,⎰a dx x f )(2也收敛.5、当 ( A )时,广义积分10(0)1px dx p x <+⎰收敛. A 、 10p -<< B 、1-≤p C 、0<pD 、1-<p解 当0p <时,⎰+101dx x x p为瑕积分,0x =为瑕点且 001lim lim 111p px x x x x x -→+→+⋅==++ 故当1p -<时,即当10p -<<时,广义积分⎰+101dx x xp 收敛. 三、讨论下列假积分的敛散性(1) 302sin x dx x π⎰ (2) 1⎰ (3) 10ln 1x dx x -⎰ (4)130arctan 1xdx x -⎰解 (1)0x =为瑕点且123002sin sin lim (0)lim 1x x x xx xx →+→+-⋅==故该积分收敛.(2)0,1x =为瑕点,10.5100=+⎰⎰⎰,由于1200111lim(0)lim 0ln lim(1lim 1x x x x x x x →+→+→-→-==-==-于是积分0.50⎰收敛,而1⎰发散,故原积分发散.(3)由于01ln ln lim ,lim 111x x x xx x→+→-=∞=---,故0x =为瑕点.又由于1200ln lim (0)lim 01x x x x x →+→+-⋅==- 故积分10ln 1xdx x-⎰收敛.(4)1x =为瑕点.由于3211arctan arctan lim(1)lim 1112x x x x x x x x π→-→--⋅==-++ 故积分130arctan 1xdx x -⎰发散.1、⎰→100sin lim dy xxyx = .解 11100000sin sin 1lim lim 2x x xy xy dy dy ydy x x →→===⎰⎰⎰2、=-⎰dx x xx a b 10ln .)0(>>a b 解 11100011ln ln 11b a b b b y y a a a x x b dx dx x dy dy x dx dy x y a -+====++⎰⎰⎰⎰⎰⎰3、Γ函数与B 函数的关系为 .解 ()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+4、12⎛⎫Γ ⎪⎝⎭= ,()1n Γ+=.解 12⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭()1!n n Γ+=5、13,44B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解 由于()131313134444,134414444B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===ΓΓ ⎪ ⎪ ⎪Γ⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭Γ+ ⎪⎝⎭,又由余元公式有1344sin 4ππ⎛⎫⎛⎫ΓΓ== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故13,44B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.二、选择题1、21ln()d xy dy dx ⎰=( )A 、0B 、x1C 、xD 、不存在解 []22221111111ln()ln()d d xy dy xy dy dy dy dx dx x x x ====⎰⎰⎰⎰ 2、⎰+∞-→022lim dy e y x x =( B )A 、2B 、41C 、21 D 、 4解 2[1,3],x yyx ee --∀∈≤,而无穷积分0ye dy +∞-⎰收敛,故含参变量无穷积分20x yedy +∞-⎰在{}(,)13,0R x y x y =≤≤≤<+∞上一致收敛.又由二元初等函数的连续性知2x y e -在R 上连续,故 22400221lim lim 4x yx yy x x edy edy e dy +∞+∞+∞---→→===⎰⎰⎰ 3、2x e dx +∞-=⎰( )A 、πB 、πC 、2πD 、2π 解 22x e dx +∞-=⎰(课本P316例13)4、22x x e dx +∞--∞=⎰( C )A 、πB 、πC 、2π D 、2π 解 由于被积分函数为偶函数,故222202x x x e dx x e dx +∞+∞---∞=⎰⎰,对积分22x x e dx +∞-⎰,令x =则2112220000111311222242x tt tx e dx te dt t e dt t e dt +∞+∞+∞+∞----⎛⎫⎛⎫=⋅===Γ=Γ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰222x x e d x+∞--∞=⎰5、1122(1)n x dx --⎰=( C )A 、12n +⎛⎫Γ ⎪⎝⎭B 、11,22n B +⎛⎫⎪⎝⎭ C 、111,222n B +⎛⎫⎪⎝⎭ D 、112,22n B +⎛⎫⎪⎝⎭ 解令x =则1111111222220001111(1)(1)(1),2222n n n n x dx t t t dt B ----+⎛⎫-=-=-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 三、证明下列含参量无穷积分在所指定的区间上一致收敛.(1) 0sin ,(0)tx e xdx a t a +∞-≤<+∞>⎰ (2) 230cos ,110t tx dx t x t +∞≤≤+⎰ 证明 (1) 由于s i n ,t x a x e x e a t --≤≤<+∞而无穷积分0ax e dx +∞-⎰收敛,故含参变量积分0sin tx e xdx +∞-⎰在[,)a +∞上一致收敛.(2) 由于 232c o s 10,1101t t x t x t x ≤≤≤++ 而无穷积分2011dx x +∞+⎰收敛,故含参变量积分230cos t tx dx x t +∞+⎰在[1,10]上一致收敛. 四、用Γ函数和B 函数求下列积分.(1)⎰(2)642sin cos x xdx π⎰解 (1) ()()1112200331113322422(1),22338x x dx B π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-==== ⎪ΓΓ⎝⎭⎰⎰(2) ()64207553113111753222222222sin cos ,22265!512x xdx B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓ⋅⋅⋅Γ⋅⋅⋅Γ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎪Γ⎝⎭⎰1、2sin y xdy dx x ππππ-=⎰⎰.解 2000sin sin sin cos 2x y x x dy dx dx dy xdx x x xπππππππππ+-===-=⎰⎰⎰⎰⎰.2、Ddxdy =⎰⎰ , 其中D 为椭圆19422=+y x 所围区域. 解Ddxdy ⎰⎰表示区域D 的面积,故6Ddxdy π=⎰⎰.3、()22Df x y dxdy '+=⎰⎰ , 其中D 为圆222x y R +=所围区域.解 作极坐标变换,则()()()()22222220012RR Df xy dxdy d f r rdr d f r d r ππθθ'''+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()2221020f R f d f R f πθπ⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦⎰4、将二重积分化为累次积分：221x y fdxdy +≤⎰⎰=.解 作极坐标变换,则()22211x y fdxdy d f r rdr πθ+≤=⎰⎰⎰⎰5、改变累次积分的顺序: ⎰⎰⎰⎰+224222),(),(y x y dx y x f dy dx y x f dy = .解2422202122(,)(,)(,)y x y y xdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、选择题1、函数(,)f x y 在有界闭域D 上连续是二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰存在的( B )A 、充要条件B 、充分条件C 、必要条件D 、无关条件解 连续一定可积,但可积不一定连续.2、设(,)f x y 是有界闭域222:a y x D ≤+上的连续函数,则201lim (,)a Df x y dxdy a π→⎰⎰=( B )A 、不存在B 、(0,0)fC 、(1,1)fD 、(1,0)f解 由积分中值定理知,(,)D ξη∃∈,使2(,)(,)(,)D Df x y d x d y f S a f ξηπξη=⋅=⎰⎰故 22200011lim(,)lim(,)lim (,)(0,0)a a a Df x y dxdy a f f f a a πξηξηππ→→→=⋅==⎰⎰.3、若(,)f x y 在区域{}41),(22≤+≤=y x y x D 上恒等于1,则二重积分f x y dxdy D(,)⎰⎰=( D ) A 、0B 、πC 、2πD 、3π解22(,)213DDDf x y dxdy dxdy Sπππ===⋅-⋅=⎰⎰⎰⎰.。
北京理工大学2007-2008学年第一学期数学分析B期中试题及答案
北京理工大学2007-2008学年第一学期数学分析期中试题一. 填空题（每小题3分, 共30分）1. 极限=--+-→xe e x x x cos 12lim220__________. 2. 设11211)(-+=x x f , 则=+→)(lim 1x f x _____, =-→)(lim 1x f x _____, 1=x 是)(x f 的第_____类间断点. 3. 设)1ln(1)(22++-+=x x x x x f , 则化成最简形式时, =')(x f __________________.4. 方程0133=+-x x 有_____个实根, 其中有_____个正实根, _____个负实根.5. x xe x f 2)(=的带皮亚诺型余项的三阶麦克劳林公式____________________________.6. 一动点沿抛物线2x y =向右移动, 已知动点经过点)4,2(时沿x 轴方向的分速度为s cm /3, 则它沿y 轴方向的分速度为_______s cm /.7. 设当0→x 时x x -sin 与k cx 是等价无穷小, 则=c ______, =k ______.8. 设)(1)(arctan 2x g x f y ++=, 其中g f ,可导, 则=dy _________________________.9. 曲线23223+-=x x x y 有斜渐近线____________________.10. 函数x x x x f --=2)1()(在点_________________处导数不存在. 二. (8分) 已知方程e xy ye x =+)ln(确定函数)(x y y =, 求dx dy 及1=x dxdy .三. (8分) 设⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos ln , 求dx dy , 22dx yd . 四. (8分) 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-++=121)2)(1()(23x x x x bax x x f 在1=x 处连续, 求b a ,的值.五. (8分) 证明不等式22)1(ln )1(x x x <++ )0(>x . 六. (12分) 利用导数研究函数1212+-=xxy 的的性态, 并作出其图形.七. (10分) 由抛物线2x y =, 直线8=x 和x 轴围成一曲边 三角形OAB (如图), 在曲线OB 上求一点M , 使过M 点所作抛物线的切线与AB OA ,所围成的三角形APQ具有最大面积..八. (8分) 设)(x f 在0=x 处可导, 且310)1)(1(lim e xx f xx =-+→. (1) 求)0(f , )0(f '; (2) 求xx xx f x 10)1)(1(lim -++→. 九. (8分) 设函数)(x f 在区间]2,0[上可导, 且0)0(=f , 1)2()1(==f f , 证明在区间)2,0(内至少存在一点ξ, 使12)(-='ξξf .数学分析B 参考解答(2007.11)一. 1. 82. 0, 1, 一 (各1分)3.2322)1(+-x x (没化成最简形式扣1分)4. 3, 2, 1 (各1分)5. )(22332x o x x x +++6. 127. 61-, 3 (1分, 2分)8. dx x g x g x g x x f ))(1)()(1)(arctan (22+'++' (其中两个导数各1分)9. 62+=x y 10. 0=x二. 方程两端对x 求导 0)(1='+++'y x y xyye e y x x …………………………(4分)ye x ye dxdy x x 11++-= …………………………(6分) 在已知方程中令1=x , 得e y ye =+ln , 1=y ………………………(7分) 11-==x dxdy …………………………(8分)三.t t tt t t t t dxdy cos cos sin sin cos cos -=-+-= …………………………(4分)t tt t t tt t t t dxy d sin cos sin cos cos sin sin cos 222-=-+-=………………………(8分)四. 由题设得 2)2)(1(lim 231=+-++→x x bax x x …………………………(1分)故 01)(lim 31=++=++→b a b ax x x ………………………(3分))2)(1(1lim)2)(1(lim 231231+---+=+-++→→x x a ax x x x b ax x x x 23321lim 221=+=++++=→ax a x x x …………………………(6分) 3=a 41-=--=a b …………………………(8分)五. 设 22)1(ln )1()(x x x x f -++= …………………………(1分) x x x x f 2)1ln(2)1(ln )(2-+++=' …………………………(2分) 21211)1ln(2)(-++++=''xx x x f …………………………(3分) 222)1(2)1()1ln(2)1(2)(x x x x x f +-++-+='''0)1()1ln(22<++-=x x …………………(4分) )(x f '' 又0)0(=''f 0)(<''∴x f ………………………(6分) )(x f ' 又 0)0(='f 0)(<'∴x f ………………………(7分) )(x f 又0)0(=f 0)(<∴x f即 22)1(ln )1(x x x <++ …………………………(8分)六. 定义域为),0()0,(+∞-∞+∞=+-→)121(lim 20x x x , 1)121(lim 2=+-∞→xxx ,故0=x 是垂直渐近线, 1=y 是水平渐近线…………………………(2分)323)1(222xx x x y -=+-=' …………………………(3分) 434)23(246x x x x y -=-+='' …………………………(4分)令0='y , 得1=x , 令0=''y , 得23=x …………………………(6分)分) 分)…………………(10分)(12分)七. 设),(2x x M , 则过M 点的切线斜率为x x 2)(2=' ……………………(1分)切线方程为 )(22x X x x Y -=- …………………………(2分)令 0=Y , 得 2xX =, 令 8=X , 得 216x x Y -= ………………(4分) )16)(28(2121)(2x x xPA QA x S --=⋅= )80(<<x ………………(6分))216)(28(21)16)(21(212x xx x dx dS --+--= )256643(412+-=x x ………………………(8分) 令 0=dx dS , 得 316=x …………………………(9分) 由问题的实际意义, 三角形的面积确有最大值, 且驻点惟一, 故点))316(,316(2为所求. …………………………(10分)八. (1) 由题设, 有 3)1)(1ln(lim 0=-+→xx x f x …………………………(1分)0)1)(1ln(lim 0=-+→xx f x …………………………(2分)01)(lim 0=-→xx f x0)1)((lim 0=-→x f x …………………………(3分)1)(lim )0(0==∴→x f f x …………………………(4分)01)(lim )0()(lim)0(00=-=-='→→xx f x f x f f x x …………………………(5分)(2) x x x f x 1)(lim 30-=→201)(lim x x f x -=→ …………………………(6分) xx x f x x x x f x x x 1)(lim)1)(1ln(lim 00-+=-++→→ 4311)(lim 120=+=-+=→xx f x …………………………(7分) 410)1)(1(lim e xx f x xx =-++∴→ …………………………(8分)九. 令 x x x f x F +-=2)()( …………………………(2分) 则)(x F 在区间]2,0[上可导(没此叙述不扣分)0)0(=F , 01)1(>=F , 01)2(<-=F ………………………(4分) 由介值定理, )2,1(∈∃c , 使 0)(=c F …………………………(6分) 由洛尔中值定理, )2,0(),0(⊂∈∃c ξ, 使0)(='ξF即 012)(=+-'ξξf 12)(-='ξξf …………………………(8分)。
《数学分析III》期末试卷+参考答案
《数学分析（III ）》试题2005.1一．在球面上找点，满足，，，使得该球面在点处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。
1222=++z y x ),,(0000z y x P 00>x 00>y 00>z 0P二．求球面（）被平面2222a z y x =++0>a 4a z =与2az =所夹部分的面积。
三．计算二重积分()∫∫+Ddxdy x y x 24，其中是由D x 轴，直线x y =以及曲线1=+y x ，2=+y x 所围成的平面闭区域。
四．计算三重积分∫∫∫，其中。
Ωdxdydz e z ||}1|),,({222≤++=Ωz y x z y x五． 计算曲线积分∫+Lds z y 222，其中L 是球面（）与平面2222a z y x =++0>a y x =相交而成的圆周。
六．计算曲面积分，其中∫∫Σ++dxdy z dzdx y dydz x 222Σ为锥面在平面与（）之间的部分，定向为下侧。
222z y x =+0=z h z =0>h七．设是右半平面j i λλ)()(2),(24224y x x y x xy y x A +−+=}0|),({>=x y x D 上的向量场，试确定常数λ，使得为上函数的梯度场，并求出。
),(y x A D ),(y x u ),(y x u八．将|（sin |)(x x f =ππ≤≤−x ）展开为Fourier 级数，并分别求级数∑∞=−12141n n ，()∑∞=−122141n n的和。
九．设∫∞++=12)1(cos )(dt t t xtx f ，),(∞+−∞∈x 。
（1）证明积分∫∞++12)1(cos dt t t xt关于x 在),(∞+−∞上一致收敛； （2）证明；0)(lim =+∞→x f x （3）证明在上一致连续。
)(x f ),(∞+−∞《数学分析（III ）》试题答案2005.1一．（本题满分10分）33000===z y x 。
本科数学分析试题及答案
本科数学分析试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+1的导数是（）A. 2x+1B. 2xC. x^2D. 2x-1答案：B2. 极限lim(x→0) (1-cosx)/x的值是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的导数值是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A4. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）A. e^x + CB. xe^x + CC. e^x/x + CD. e^x * ln(x) + C答案：A5. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是（）A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是______。
答案：-cos(x) + C7. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的定积分是______。
答案：2/38. 函数f(x)=e^x的二阶导数是______。
答案：e^x9. 函数f(x)=ln(x)的导数是______。
答案：1/x10. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点是______。
答案：x=0, x=2三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^3+2x)。
答案：012. 计算定积分∫(0 to 1) (2x-1)dx。
答案：1/213. 计算二重积分∬(D) x*y dA，其中D是由x=0, y=0, x+y=1围成的区域。
答案：1/12四、证明题（每题10分，共20分）14. 证明：函数f(x)=x^3在R上是增函数。
证明：设任意x1, x2∈R，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)。
由于x1<x2，所以x1-x2<0，x1^2+x1x2+x2^2>0，因此f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)。
《数学分析III》期末考试卷及参考答案05
第 1 页 共 6 页数学分析下册期末试题及参考答案05一、 填空题（第1题每空2分，第2、3、4、5、6题每题4分，共26分）1、已知、已知 22xy u e-=,，则u x¶¶= ，uy¶=¶ ， du = ；2、cos sin x ar y br q q =ìí=î，则(,)J r q = ；3、设L ：cos sin x a t y b t=ìí=î 0t p ££，则22()Lx y ds +ò= ；4、120(,)ydyf x y dx òò交换积分顺序后为：交换积分顺序后为： ； 5、2221x y I x ydxdy +£=òò= ；6、令设222L x y a +=：，则Lydx xdy -=ò . 第 2 页 共 6 页二、判断题（对的打√，错的打×，每空3分，共15分）1、若函数(,)z f x y =的重极限和两个累次极限都存在，的重极限和两个累次极限都存在，则他们必相等；则他们必相等； （ ）2、若函数(,)z f x y =在00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 一定连续；一定连续； （ ）3、若函数(,)z f x y =在闭区域D 上连续，则函数(,)z f x y =在D 上可积；上可积； （ ）4、(,,)P x y z 是定义在双侧曲面S 上的函数，则上的函数，则(,,)(,,)SSP x y z dxdy P x y z dxdy =-òòòò； （ ）5、若函数(,)z f x y =的偏导数在00(,)x y 的邻域内存在，则(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（ ）三、计算题（第3、6题各7分，其余每题8分，共46分）1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积. 得 分分 阅卷人阅卷人得 分分 阅卷人阅卷人第 3 页 共 6 页2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域. 3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积的面积任教姓学考生答题不得过此线密封线课教师：学班号：名：号：装订线第 4 页 共 6 页4、计算第二型曲面积分：1SI dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧. 5、计算22()SI x y ds =+òò，其中S 为立体221x y z +££的边界曲面.第 5 页 共 6 页6、利用高斯公式计算235SI xdydz ydzdx zdxdy =++òò，其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧. 四、证明题（四、证明题（66分）1、证明(3sin )(cos )x y dx x y dy ++是全微分，并求原函数(,)u x y得 分分 阅卷人阅卷人 考生答题不得过此线密封线任课教师：教学班号：姓名：学号：装订线得 分分 阅卷人阅卷人第 7 页 共 6 页1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积 解：设所求体积为V,V,则则2222[()]xyD V x y x y dxdy =+-+òò，其中，22:1xy D x y +£（3分），令cos ,sin x r y r q q ==，则xy D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以，，所以， 21200()V d r r rdr pq =-òò(5分)＝6p （8分）分）2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域解：令sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r j q j q j ===(2分)， 则V 可表示为：02,,0cos 2r pq p j p j ££££££-（4分），所以, 222VI x y z dxdydz =++òòò=2cos 3002sin d d r dr ppjp q j j -òòò(5分) ＝10p（8分）3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积解：设所求面积为S,则Ds dxdy =òò，其中D 为：22221x y a b +£（2分），令cos ,sin x ar y br q q ==（3分），则D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以， 2100S d abrdr pq =òò（5分），所以S ab p =（7分）. 4、计算第二型曲面积分：1S I dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧解：记1S 为椭球面0z ³的一侧，2S 为椭球面0z £的一侧，则的一侧，则12111S S SI dxdy dxdy dxdy z z z ==+òòòòòò（2分），则12,S S 在xoy 面上的投影都是2222:1xy x y D a b +£（3分），所以222222221111xyxyDD I dxdy dxdy x y x y c c aba b =------òòòò22221x y c a b --21dr c r-＝4ab cp（，则221x y z z ++=22x y =+，则2212x y z z ++=（22222)+2)+＝(12)2p +23Sxdydz ydzdx +òò235Sxdydz ydzdx =++òò分），所以10I =D 44033p p ´=分）分）则y x ==¶¶，所以第 9 页 共 6 页则00(,)(3sin )(cos )3cos x yM Mu x y x y dx x y dy xdx x ydy =++=+òòòò（5分）分）＝23sin 2x x y +（6分）（说明：原函数可以直接观察得出！）五、应用题（五、应用题（77分） 一页长方形白纸，要求印刷面积占2Acm ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为：a b h +=cm,左部与右部宽度之和为：c d r +=cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)，使它的面积最小.解：由题意，目标函数与约束条件分别为xy S =与.))(( , ,A h y r x h y r x =-->>（1分）作Lagrange 函数],))([(A h y r x xy L ---+=l （2分）则有分）则有ïîïíì=---==-+==-+=.0))(( ,0)( ,0)(A h y r x L r x x L h y y L yx l l l （3分）分） 由此解得由此解得, , 111r h Ah x y r l l l l l æö===-+ç÷ç÷++èø（5分）分） 于是有于是有. ,h rAhy r h Arx +=+=（6分）分）根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的..（7分）分）。
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1dx dy
dz dz
dx dy x y z dz dz ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩
， 解得：,dx z y dy x z
dz y x dz y x
--=
=-- 四、（10分）解：曲线在0t t =处的切线平行于平面24x y z ++=，则0t t =处的切向量2
00(1,2,3)T t t =r ，所以
220000(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t =++=g ，解得00113t t =-=-或，故所求点是111(1,1,1)(,,)3927
----或
五、（10分）
cos 8,cos 7x x P
Q
e y e y y x
∂∂=+=+∂∂
补上有向线段0:0:0A y x a =→，由格林公式
20
(sin 8)(cos 7)(1)8
x x c A D
e y y dx e y x dy dxdy a π
++++=--=
⎰
⎰⎰
而0
(sin 8)(cos 7)0x x A e y y dx e y x dy +++=⎰，所以2(sin 8)(cos 7)8
x x c
e y y dx e y x dy a π
+++=
⎰
六、（10分）解：2100
01121,,()212l
l l a f x dx xdx l =====⎰⎰
211
000
21100011()cos 2cos 2(sin 2)0
111
()sin 2sin 2(cos 2)l n l n n x a f x dx x n xdx xd n x l l n n x b f x dx x n xdx xd n x l l n n πππππππππ
=======-=-
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
所以111sin 2()[],0,1,2,2n n x
f x x x x n
ππ∞==-=-≠±±∑
L 。
七、（10分）解：设长方体的长、宽、高分别是,,x y z ，表面积为S ，则体积V xyz =满足条件2()xy xz yz S ++=，设 (2())L xyz xy xz yz S λ=+++-
令 2()0
2()02()02()0x y
z L yz y z L xz x z L xy x y L xy xz yz S λ
λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++-=⎩ 解得6
S x y z ===
所以表面积一定而体积最大的长方体是正方体。
八、（10分）补上曲面1:0S y =，取左侧，则1S S +形成闭合曲面，取外侧，由奥-高公式得
2
1
22
42
2222
3320
32()()2(4)3
r S S V
yzdydz x z ydzdx xydxdy x z dxdydz d dr r dy r r dr πθππ-++++=+==-=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰ 而 1
22()0S yzdydz x z ydzdx xydxdy +++=⎰⎰，所以2232
()3
S
yzdydz x z ydzdx xydxdy π+++=
⎰⎰。