平面向量全部讲义
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uuur 4. D 是△ ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD 等于 ( )
A .平行
B.重合
C .垂直
D .不确
A
.-
uuur BC
Biblioteka Baidu
+
1 2
uuur BA
B .-
uuur BC
-
1 2
uuur BA
C.
uuur BC
-
1 2
uuur BA
D.
uuur BC
+12
uuur BA
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 5.若 A,B,C,D 是平面内任意四点, 给出下列式子: ① AB + CD = BC + DA ;② AC + BD = BC + AD ;
例 5.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+ λb 与- (b- 3a)共线,则 λ=________
uuur
uuur
uuur
例 6. 设两个非零向量 a 与 b 不共线, (1)若 AB = a+ b, BC = 2a+ 8b, CD = 3(a- b),
求证: A, B, D 三点共线. (2) 试确定实数 k,使 ka+ b 和 a+ kb 共线.
又∵它们有公共点 B,∴ A, B,D 三点共线.
(2) ∵ ka+b 与 a+ kb 共线,∴存在实数 λ,使 ka+b= λ(a+ kb), 即 ka+ b= λa+ λkb.∴ (k-λ)a= (λk- 1)b.∵ a, b 是不共线的两个非零向量, ∴ k- λ= λk- 1= 0,∴ k2- 1= 0.∴k= ±1.
uuur uuur uuur uuur ③ AC - BD = DC + AB .其中正确的有 ( )
A .0 个 B.1 个
C.2 个 D.3 个
6.如图,在△ ABC 中, D, E 为边 AB 的两个三等分点, C→A= 3a, C→B= 2b,求 C→D, C→E.
精品文档
DD
1 2
巩固练习 1。16a+ 6b 2。C 3。 2
3.已知向量 a= (-3,2), b= (x,- 4) ,若 a∥ b,则 x= ( )
A . 4 B. 5 C. 6 D . 7
→→ 4.设点 A(2,0), B(4,2),若点 P 在直线 AB 上,且 |AB|= 2|AP|,则点 P 的坐标为 ( )
A . (3,1) B . (1,- 1)
C. (3,1) 或 (1,- 1) D.无数多个
5.已知 a= (1,2), b=(-3,2),当 ka+b 与 a- 3b 平行时, k= ( )
1
1
11
A. 4 B .- 4 C.- 3 D. 3
6.已知向量 a= (cosθ, sinθ),向量 b=( 3,- 1),则 |2a- b|的最大值、最小值分别是 ( )D
a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a
其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模:设
a= (x1, y1) ,b= (x2, y2),
则 a+ b= (x1+ x2, y1+ y2), a- b=( x1- x2, y1- y2), λa=( λx1,λy1), |a |= x21+ y21.
例 7.若 A(0,1), B(1,2), C(3,4),则 A→B -2B→C=u_u_u_ur_____ 例 8.已知点 M(5,- 6)和向量 a= (1,- 2),若 MN =- 3a,则点 N 的坐标为 ( )
A . (2,0) B. (- 3,6)
C. (6,2)
D .(- 2,0)
uuur
量 a+b+ c= ( )
A.a
B.b
C. c
D .0
4 如图,在△ ABC 中,∠ A= 60°,∠ A 的平分线交
BC
于
D ,若
AB=4,且
uuur AD
=
1 4
uuur AC
uuur + λAB
( λ∈ R ),则 AD
的长为 ( )
A.2 3
B. 3 3 C. 4 3
D.5 3
uuur
uuur
uuur uuur uuur 一点, t∈ R)? OP = x OA +y OB (O 为平面内异于 A, P, B 的任一点, x∈R, y∈ R,x+ y= 1).
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理
如果 e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 = λ1e1 + λ2e2.
(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.
例 1.若向量 a 与 b 不相等,则 a 与 b 一定 ( )
A .有不相等的模
B.不共线
C .不可能都是零向量
D .不可能都是单位向量
uuur uuur 例 2. .给出下列命题:①若 |a|= |b|,则 a= b;②若 A, B,C, D 是不共线的四点,则 AB = DC 等价于 四边形
例 5.- 1 3
uuur
uuur
uuur
例 6. [ 解 ] (1) 证明: ∵ AB = a+ b, BC =2a+ 8b, CD = 3(a- b),
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
∴ BD = BC + CD = 2a+ 8b+ 3(a- b)= 2a+ 8b+3a- 3b=5(a+ b)= 5 AB .∴ AB , BD 共线,
a- b= a+ (- b)
三角形法则
数乘
求实数 λ与向量 a 的积的运算
(1)|λa|= |λ||a|; (2) 当 λ> 0 时, λa 的方向与 a 的方向相同;当 λ<0 时, λa 的方向与 a 的方向相反; 当 λ= 0 时, λa= 0
例 3:化简 A→C -B→D + C→D- A→B得 (
巩固练习: 1.若向量 a= (1,1), b= (- 1,1), c= (4,2),则 c= (
) A. 3a+ b
B. 3a- b C.- a+ 3b D. a+ 3b
2.已知向量 a= (x,y), b= (- 1,2),且 a+ b= (1,3),则 |a|等于 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 10
4。 A 5。 C
6.解: A→B= A→C+ C→B=- 3a+ 2b,∵ D, E
为 A→B的两个三等分点,
∴
A→D
=
13A→B=-
a+23b=
→ DE
.
∴
→ CD
=
C→A
+
A→D
=
3a-
a+
2 3b=
2a+
2 3b.∴
→ CE
=C→D
+
D→E
=
2a
+
2 3b-
a+
2 3b=
a+
4 3b.
3.共线向量定理:向量 a(a≠ 0)与 b 共线等价于存在唯一一个实数 λ,使得 b= λa.
uuur uuur
uuur r uuur r uuur
rr
( 2)已知 AD , BE 分别是 ABC 的边 BC, AC 上的中线 ,且 AD a, BE b ,则 BC 可用向量 a, b 表示为 _____
( 3).如图,已知 C 为 OAB 边 AB上一点,且 AC 2CB,OC mOA nOB(m, n R) , 则 mn =__________
uuur
uuur
例 9.已知 A(-2,4), B(3,- 1), C(- 3,- 4).设 AB = a, BC = b, CA = c.(1)求 3a+ b- 3c;
(2)求满足 a=mb+ nc 的实数 m, n.
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特别注意: 若 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,
a = λ1e1+λ2e2, b
第一节平面向量的概念及其线性运算
1. 向量的有关概念
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.
(2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的.
(3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量.
(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:
0 与任一向量共线.
(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
A . 4 2, 0 B . 4 2, 4
C.16,0 D . 4,0
7.已知向量 a= (1,2) ,b= (- 2,3), c=(4,1),若用 a 和 b 表示 c,则 c= ________.
8.已知向量 a= (3,1) ,b= (1,3), c= (k,7),若 ( a-c)∥ b,则 k= ________.
(2)结合律: (a+ b)+ c=
a+ (b+ c)
平行四边形法则
巩固练习:
1.将 4(3a+ 2b)-2(b- 2a)化简成最简式为 ______________ .
2.若
→ |OA
+
O→B|= |O→A-
O→B|,则非零向量
→ OA
,O→B的关系是
(
)
定
uuur uuur uuur
3.若菱形 ABCD 的边长为 2,则 | AB - CB + CD |= ________
)
A. A→B
B. D→A
C.B→C
λ(μa)= (λμ)a; (λ+ μ)a= λa+ μa;
λ(a+ b)= λa+ λb
D.0
uuur uuur uuur 例 4: (1)如图,在正六边形 ABCDEF 中, BA + CD + EF =( )
A.0
uuur B. BE
uuur C. AD
uuur D. CF
C B D B -14a+ 14b
2
4. 向量的中线公式 :
若 P 为线段
AB 的中点, O 为平面内一点,则
uuur OP
=12(
uuur OA
+
uuur OB
).
5. 三点共线等价关系
uuur uuur
uuur
uuur uuur
A ,P,B 三点共线 ? AP = λAB (λ≠ 0)? OP = (1-t) ·OA + t OB (O 为平面内异于 A,P,B 的任
uuur uuur
2.如图,已知 AB = a, AC = b, BD = 3 DC ,用 a, b 表示 AD ,则 AD = ( )
3 A . a+ 4b
13 B.4a+ 4b
11 C.4a+ 4b
31 D.4a+ 4b
3.已知向量 a, b, c 中任意两个都不共线,但 a+b 与 c 共线,且 b+ c 与 a 共线,则向
ABCD 为平行四边形;③若 a=b, b= c,则 a= c;④ a= b 等价于 |a|= |b|且 a∥ b;⑤若 a∥ b, b∥c,则 a∥c. 其中正确命题的序号是 ( )
A .②③
B.①②
C .③④
D .④⑤
CA
2. 向量的线性运算
向量运算
定义
法则 (或几何意义 )
运算律
减法
求 a 与 b 的相反向 量- b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差
uuur uuur
uuuur
5.在 ?ABCD 中, AB = a,AD = b,AN = 3 NC ,M 为 BC 的中点,则 MN = ________( 用
a, b 表示 ).
uuur
uuur uuur uuur uuur
uuuur
6.设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外, BC 2= 16,| AB + AC |= | AB - AC |,则 | AM |= ________.
(2) 设
D ,E 分别是△
ABC
的边
1
2
AB,BC 上的点,AD = 2AB,BE= 3BC.若
uuur DE
uuur =λ1 AB
uuur + λ2 AC
(λ1, λ2 为实数 ),则 λ1+ λ2 的值为 ________.
加法
求两个向量和的运 算
三角形法则
(1)交换律: a+ b= b+ a;
1e1
2e2 则 a b
1
1
2
2
例 10:( 1)如图,平面内有三个向量 O→A, O→B,O→C,其中 O→A与 O→B的夹角为 120°, O→A与 O→C的夹角为 30°,且 |O→A
→
→
|= |OB|=1, |OC|= 2
3,若 O→C= λO→A +μO→B(λ, μ∈ R),则 λ+μ的值为 ________ .
巩固练习:
1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.③ 为实数 ),则 λ必为零.④ λ, μ为实数,若 λa= μb,则 a 与 b 共线.其中错误的命题的个数为 ( )
λa= 0(λ
A.1
B.2
C.3
D.4
uuur
uuur
uuur uuur
(2) 向量坐标的求法:
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
uuur
uuur
②设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 AB = (x2- x1, y2- y1), | AB |=
x2- x1 2+ y2- y1 2.
3.平面向量共线的坐标表示
.
设 a= (x1, y1), b= (x2, y2),其中 b≠ 0.a∥b? x1y2-x2y1= 0.