第10章 组合变形

d
c
FPx l FP sin l M max ( FPy ) M max FPz 4 4 3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力
FPy l 4
FP cos l 4
在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上边缘的角点a、b 承受最 大压应力；下边缘的角点c、d 承受最大拉应力。
在Mmax(FPz)作用的截面上，截面上角点b、d 承受最大压 应力；角点a、c 承受最大拉应力。
b max M
max M
c
两个平面弯曲叠加的结果是：角点c承受最大拉应力；角 点b承受最大压应力。因此b、c两点都是危险点。这两点的最 大正应力数值相等，即 FP sin l FP cos l M max FPz M max FPy max b , c ＝ Wy Wz 4W y 4Wz
(Combined Deformation)
=
+
=
+
+
(Combined Deformation)
§8-2 平面弯曲
ห้องสมุดไป่ตู้
斜弯曲(两相互垂直平面内的弯曲)
Me
纵 向 对称面
P
q
B A
x
z
RA
RB
(Combined Deformation)
一、斜弯曲概念：
双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时 承受横向外力时，杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠 曲线与合成弯矩不共面。 二、斜弯曲的研究方法 ： 1、分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于 是得到两个正交的平面弯曲。 2、叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结 果叠加。
c max [ c ]
例题 2
钻床立柱为空心铸铁管，管的外 径为D＝140 mm，内、外径之比d／D ＝ 0.75 。 铸 铁 的 拉 伸 许 用 应 力 为 35 MPa，压缩许用压应力为90 Mpa。钻 孔时钻头和工作台面的受力如图所示 ，其中FP＝15 kN，力FP作用线与立柱 轴线之间的距离(偏心距)e＝400 mm。 试校核：立柱的强度是否安全？
FN图
所以跨中截面是杆的危险截面
F1l/4
x
M图
(Combined Deformation) 4、计算危险点的应力 F1 F2 l/2 拉伸正应力 l/2
t
F2
FN A
b
M max W

F2 t A
M max F1l 最大弯曲正应力 b W 4W
杆危险截面 下边缘各点
c max cmax cmax
t ,m ax M y m ax M z m ax c,m ax Wy Wz
z D1点： t ,max [ t ] D2点： c ,max [ c ]
y
固定端
强度条件：
对于圆截面，上述计算公式是不适用的。这是因为，两 个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在同一点， 最大压应力也不发生在同一点。
M
max＝
y
M ＝ W
2 M y M z2
My
Mz
W
z
2 M y M z2 M max＝－ ＝－ W W
斜弯曲情形下横截面上的中性轴 还可以证明，在斜弯曲情形下，横截面依然存 在中性轴，而且中性轴一定通过横截面的形心，但 不垂直于加载方向，这是斜弯曲与平面弯曲的重要 区别之一。
解：1.确定立柱横 截面上的内力分量 用假想截面m-m将立 柱截开，以截开的上半部 分为研究对象。由平衡条 件得到截面上的轴力和弯 矩分别为 FN＝FP＝15 kN Mz＝FP×e＝6 kN.m 2.确定危险截面并计算最大应力 M z FN FP e FP max＝ ＋ ＝ 3 4 W A π D 1 π D2 d 2 32 4 M z FN FP e FP max＝ ＋ ＝ 3 4 πD 1 π D2 d 2 W A 32 4
解：1. 首先，将斜弯 曲分解为两个平面弯曲 的叠加 将FP 分解为z和y方向 的两个分力FPz 和FPy ，将 斜弯曲分解为两个平面弯 曲，
FPz FPsin ,
d
FPy FP cos
c
2. 求两个平面弯曲情形下的最 大弯矩 根据前几节的例题所得 到的结果，简支梁在中点受 力的情形下，最大弯矩 Mmax=FPl / 4。将其中的FP 分别替换为FPz和FPy ，便得 到两个平面弯曲情形下的最 大弯矩：
F
x
0
M
C
0
得到
FNx＝800 N，Mz＝ 800×15×10－3 N· m＝12 N· m 轴力FNx引起的正应力在截面上均匀分布，其值为
FNx 4 FNx 4 800 6 x FNx Pa 7.07 10 Pa 7.07MPa A πd 2 π 12 2 10 6
拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压
缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）。
2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：
1）危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯变形的强度计算 时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即 可； 2）危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点 处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。 考点 概念题： 1）组合变形杆件危险截面与危险点的判定，画危险点的应力状 态； 2）写出组合变形杆件危险点的强度条件表达式； 3）弯扭组合变形圆轴，危险点相当应力的不同表达式及其应用 条件。 计算题： 1）拉（压）弯组合变形杆件的强度计算； 2）弯扭组合变形圆轴的强度计算（强度校核、设计截面及求许 可载荷）
这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。可见，载荷偏离对称轴 (y)一很小的角度，最大正应力就会有很大的增加(本例题中增加了88.4％) ，这对于梁的强度是一种很大的威胁，实际工程中应当尽量避免这种现 象的发生。这就是为什么吊车起吊重物时只能在吊车大梁垂直下方起吊 ，而不允许在大梁的侧面斜方向起吊的原因。
叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与外力之 间成线性关系。 构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的独立性原理 是成立的。即所有载荷作用下的内力、应力、应变等是各单独 载荷作用下的值的叠加，且与各单独受力的加载次序无关。
(Combined Deformation)
三、处理组合变形的步骤
1、外力分析
(Combined Deformation)
说明 1、对于正方形、正多边形截面梁，当外力
作用在包括横截面上任一形心轴在内的纵向 平面内时，都只会发生平面弯曲而不会发生 双向弯曲
2、对于圆形等截面梁，不管外力作用在哪个 方向，只发生平面弯曲。
例 题 1
一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可以简 化为简支梁。图中l=4 m。大梁由32a热轧普通工字钢制成， 许用应力＝160MPa 。起吊的重物的重量FP＝80kN，并且 作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角＝5。 试校核: 吊车大梁的强度是否安全？
(Combined Deformation)
悬臂梁在自由端受到过截面形心的集中力F作用
分解
Fy F cos FZ F sin
y
分别使梁产生 xoy 平面内的平面弯曲和 xoz 的平面弯曲.

y
y
y
y
(Combined Deformation)
最大正应力
D1、D2都是危险点
t max tmax tmax
(Combined Deformation)
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
§10-1 组合变形和叠加原理 §10-2 斜弯曲 §10-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合 §10-4 扭转与弯曲的组合
重点：
斜弯曲、弯扭、拉（压）弯等组合变形形式的应力 和强度计算。
难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解 为两种或两种以上的基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲； 弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；
4 692.2cm 10 217.8MPa 160MPa
3 2

80kN 103 cos5 4m
3
因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。 4. 讨论 如果令上述计算中的 ＝0，也就是载荷FP 沿着y轴方向， 这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项变为0。于是梁内的 最大正应力为115.6MPa。

其中l=4 m，FP=80 kN， =5。另外从型钢表中可查到32a热 轧普通工字钢的Wz=70.758cm3， Wy=692.2cm3 。将这些数据代 入上式得到.
max b , c
80kN 103 sin5 4m 4 70.758cm 10
3 2 3
(Combined Deformation)
§10-3 拉伸(或压缩)与弯曲的组合
拉(压)弯组合变形：当梁受到横向力和轴向力 共同作用时，或外力的作用线不通过轴线时，杆件 将产生拉伸与（或压缩）弯曲的组合变形。 一、受力特点 二、变形特点
(Combined Deformation) 示例1 F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 示例2 Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形 Fy F
y
max M z
max M y
My Mz
max M y
x
z
max M z
对于圆截面，因为过形心的任意轴均为截面的对称轴， 所以当横截面上同时作用有两个弯矩时，可以将弯矩用矢量 表示，然后求二者的矢量和，这一合矢量仍然沿着横截面的 对称轴方向，合弯矩的作用面仍然与对称面一致，所以平面 弯曲的公式依然适用。 于是，圆截面上的最大拉应 力和最大压应力计算公式为