7.任意方向传播的平面波

2
8-1 波动方程
8-1 波动方程
在无限大的各向同性均匀线性介质中，时变电磁场
的方程为
2
E
(r
,
t
)
2 E (r , t ) t 2
J (r,t) t
1
(r , t )
2H (r, t)
2H (r,t)
J (r,t)
t 2
上式称为非齐次波动方程。式中 J (r,t) J (r,t) E(r,t)
dz vp
dt k
相位速度又简称为相速。
考虑到 k ，得
1
11
c
vp
c
k 00 rr rr
15
8-2 理想介质中的平面波
1 vp
在理想介质中，相速与介质特性有关。
理想介质中相速通常小于真空中的光速。 有时 vp c 。因此，相速不一定代表能量传播
速度。 由上可得
vp f
效应。
由 Hy
j Ex z
8-1 波动方程
8
8-2 理想介质中的平面波
9
8-2 理想介质中的平面波
正弦电磁场在无外源的理想介质中满足下列方程
2 E(r) k 2 E(r) 0
2
H
(r
)
k
2
H
(r
)
0
若电场强度E 仅与 z 有关，则不可能存在 z 分量。
令电场强度方向为 x 方向，即 E exEx ，则
磁场强度 H 为
对于研究平面波的传播特性，仅需求解齐次波动 方程。
5
8-1 波动方程
对于正弦电磁场，则上式变为
2E(r) k 2E(r) 0
2
H
(r
)
k
2
H
(r
)
0
此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程，式中k 。
在直角坐标系中，各个分量分别满足下列方程：
2Ex (r) k 2Ex (r) 0 2Ey (r) k 2Ey (r) 0
第八章 平面电磁波
主要内容 理想介质中的平面波，平面波极化特性，平面边界 上的正投射，任意方向传播的平面波的表示，平面边界 上的斜投射，各向异性媒质中的平面波。
1. 波动方程 2. 理想介质中平面波 3. 导电介质中平面波 4. 平面波极化特性 5. 平面波对平面边界正投射
1
第八章 平面电磁波
6. 平面波对多层边界上正投射 7. 任意方向传播的平面波 8. 平面波对理想介质边界斜投射 9. 无反射与全反射 10. 平面波对导电介质表面斜投射 11. 平面波对理想导电表面斜投射 12. 等离子体中的平面波 13. 铁氧体中的平面波
式中Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值。
瞬时值为
Ex(z, t)
Ex (z,t) 2Ex0 cos( t kz) 电场强度随着时间 t 及
O
2
T t1 = 0 t2
4
T t3
2
空间 z 的变化波形如图示。
3z
2
可见，电磁波向正 z
方向传播。
12
8-2 理想介质中的平面波
E (z,t) 2E cos(t kz)
x
x0
上式中 t 称为时间相位。kz 称为空间相位。
空间相位相等的点组成的曲面称为波面。 由上式可见，z=常数的平面为波面，因此，这
种电磁波称为平面电磁波。
因Ex(z)与 x, y 无关， 在 z=常数 的波面上，各点 场强振幅相等。因此，这种 平面波又称为均匀平面波。
13
8-2 理想介质中的平面波
Ex z
已知Ex 满足齐次标量亥姆霍兹方程，考虑到
Ex Ex 0 x y
d2Ex dz 2
k 2Ex
0
这是一个二阶常微分方程，其通解为
Ex
Ex0e jkz
E
x
0e
jkz
上式第一项代表向正 z 轴方向传播的波，第二项反之。
11
8-2 理想介质中的平面波
首先仅考虑向正 z 轴方向传播的波，即
Ex (z) Ex0e jkz
2Ez (r) k 2Ez (r) 0
2Hx (r) k 2H x (r) 0 2H y (r) k 2H y (r) 0
2Hz (r) k 2H z (r) 0
这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。
由于各个分量方程结构相同，其解具有同一形式。
6
8-1 波动方程
若场量仅与 z 变量有关，可证明 Ez H z 0
j
j
H E (ex Ex )
j
j
[(Ex ) e x Ex e x ] (Ex ) e x
10
8-2 理想介质中的平面波
j H (Ex ) ex
因
Ex ex Ex ey Ex ez Ex ez Ex
x y z z
得
H
ey
j Ex z
eyHy
Hy
j
若场量与变量 x 及 y 无关，则
E Ex Ey Ez Ez x y z z
因 E 0 ，得
Ez 0 z
考虑到
2 Ez
2Ez x2
2Ez y 2
2Ez z 2
2Ez z 2
0
代入标量亥姆霍兹方程， 2Ez (r) k2Ez (r) 0
即知 Ez 0 。同理 Hz 0
7
k 表示单位长度内的相位变化，因此称为相位常数。
14
8-2 理想介质中的平面波
空间相位变化 2 相当于一个全波，k 的大小 又可衡量单位长度内具有的全波数目，所以 k 又称 为波数，还可称为空间频率。
根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的 相位变化速度，这种相位速度以 vp 表示。
令 t kz 常数，得 d t k d z 0，则相位速度为
3
4
8-1 波动方程
电荷体密度 (r, t)与传导电流 (E ) 的关系为
(E)
t
若无外源( J 0)，且为理想介质( 0)，此时
传导电流为零，介质无体分布的时变电荷( 0)，则
上述波动方程变为
2
E
(r
,
t
)
2E(r,t) t 2
0
2 H
(r,t)
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2H (r,t)
0
t 2
此式称为齐次波动方程。
在真空中 (m) f (MHz) 300 平面波的频率是由波源决定的，但是平面波的 相速与介质特性有关。因此，平面波的波长与介质 特性有关。
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8-2 理想介质中的平面波
由上求得 式中
vp
1
f f 00
1 0
f 00
rr
0 0 rr
0 为平面波在真空中传播时的波长。
0 的现象称为波长缩短效应，或简称为缩波
时间相位 t 变化 2 所经历的时间称为周期( T )。
一秒内相位变化 2 的次数称为频率( f )。
T 2π
2π 1 T
f
空间相位 kz 变化 2 所经过的距离称为波长( ) 。
k 2π
2π
k
频率描述电磁波的相位随时间的变化特性。
波长描述电磁波的相位随空间的变化特性。
k 2π
2π k