差商及其性质

[
] [
]
称为y 二阶差商（二阶均差） 称为 = f ( x ) 在点 x i , x j , x k 的二阶差商（二阶均差）； 即
n－1阶 － 差商
－ 阶差商表可定义函数的n阶差商。 （3）一般由函数 = f (x ) 的n－1阶差商表可定义函数的 阶差商。 ）一般由函数y=
ff [x1 , x2 ,L,x n ] f [x 0 , x1 ,L, x n1 ] xn 0 1 n1 ≡ f [x0 , x1 ,L, xn ] ≡ [x0 , x1 ,L, xn ] f（x） xn x0
0 0 1 0 1 1
x f ( x)
x0 f ( x0 )
x1 L f ( x1 ) L
xn ( x i ≠ x j , f ( xn ) 当 i ≠ j )
f [x, x0 ,L, xn1 ] f [x0 , x1 ,L, xn ] f [ x, x0 ,L, xn ] = x xn
LL，
f [x, x0 ,L, xn1 ] = f [x0 , x1 ,L, xn ] + f [ x, x0 ,L, xn ]( x xn ) (d )
f [x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 ] f [x3 , x4 ] f [x2 , x3 , x4 ]
M M f [xk1, xk ] f [xk2 , xk1, xk ]
f [x0 , x1, x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 , x4 ]
M O
f ( x4 )
M xk M
f ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 ,, x 1 ]( x x 0))+ ff[[x 0, ,x 1,,x 2]( x xx 0 )( xxx) ) x 1 f ( x 0 ) + f [ x0 x1 ](( x )x0 + x x x ]( x 0 )( x 0 1 2 1 Pn f (x )+= + f [x , x ,L , x ]( x x )( x x )L ( x x ) L +L + f [ x0 , x1 , L , xn ]( x x 0 )( x x 1) L ( x x n 1)
M f ( xk )
L
L f [x0 , x1,L, xk ]
M
计算顺序:同列维尔法， 计算顺序:同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列 上一行的差商再作差商。 上一行的差商再作差商。
4.2 牛顿插值多项式
1 牛顿插值多项式的推导 ） 函数表（ ） 由差商定义及对称性， 已知 y = f (x) 函数表（4.1）, 由差商定义及对称性，得 （4 . 1 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) = f ( x 0 ) + f [x , x 0 ]( x x 0 ) ( a ) f [x , x 0 ] = x x0 f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [x, x0 , x1 ] = x x1 f [ x , x ] = f [ x , x ] + f [x , x , x ]( x x ) (b )
× ( x x0 )
f [x, x00,,x11]]= ff[[x00,,x11,, x2 ] + f [ x, x0 , x1 , x2 ](x x2 ) (c) × ( x x0 )( x x1 ) x x 2 x
f [x, x0 ,L, xn1 ] = f [x0 , x1 ,L, xn ] + f [ x, x0 ,L, xn ]( x xn ) (d )
i =0 i≠ j
2） 是对称的， （2）k 阶差商 f [x0, x1,L, xk ] 关于节点 x0 , x1 ,L, xk 是对称的，或说 均差与节点顺序无关 与节点顺序无关， 均差与节点顺序无关，即 f [x0 , x1 ,L, xk ] = f [x1 , x0 ,L, xk ] = L = f [xk , xk 1 ,L, x0 ] 例如： 例如：f xi , x j , xk = f [xi , xk , x j ,] = f x j , xi , xk = f [x j , xk , xi ]
+∑
n
f ( xj )
( x j x0 ) ( x j xn+1 )
3 差商表
表2.4
一阶差商 二阶差商 三阶差商 k 阶差商
xi x0
x1 x2 x3 x4
f ( xi )
(0 阶差商 阶差商)
f ( x0 )
f ( x1) f (x2 )
f ( x3 )
f [x0 , x1]
f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x1 x0 f ( xn ) f ( xn1 ) L，f [xn1 , xn ] = . xn xn1 f [x0 , x1 ] = f ( x1 ) f ( x0 ) , f [ x1 , x 2 ] =
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1 ,
f ( x1 ) L
( x i ≠ x j ,当 i ≠ j )
[
]
[ ] = f [x , x , x ] = f [x , x , x ]
k j i
k i j
共6个 个
f [x0 , x1 ,L, xk ] = ∑
k j =0
分析 ：
f ( xj ) ( x j x0 )(x j x1 )L( x j x j1 )(x j x j+1 )L( x j xk )
f x x x ] x xx f [ x,, x00]]= f [ x0 , x1 ] + f [x,, x00,,x11(]( x 1 )1 ) (b) x
f ( x ) = f ( x 0 ) + ff [ x ,, x 00]((x x 00)) ( a ) [x x ] x x
抵消
f [ x , x 0 , x1 , x 2 ] = f [ x , x 0 , x1 ] f [ x 0 , x1 , x 2 ] x x2 f [ x , x 0 , x1 ] = f [ x 0 , x1 , x 2 ] + f [ x , x 0 , x1 , x 2 ]( x x 2 ) ( c )
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
,
Baidu Nhomakorabea
的一阶差商表，再作一次差商， （2）由函数 = f ( x ) 的一阶差商表，再作一次差商，即 ）由函数y=
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] , f xi , x j , xk ≡ xi , x j , xk f ( x ) ≡ xk xi
记
x , 0 0 , L x x n x xx)( x x x ) L ( x x 1 )( x x x + f f[ [ x ,xx,L , +n ](](nx 0)0 )( x 1 )1L ( x x n n 1 )( x n )n ) , R (x
0 1 n 0 1 n 1
Pn ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x1 ]( x x 0 ) + f [ x 0 , x1 , x 2 ]( x x 0 )( x x1 ) + L + f [ x 0 , x1 , L , x n ]( x x 0 )( x x1 ) L ( x x n 1 )
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0，x1 ] = + =1时 当k =1时, f [x0 , x1 ] = x0 x1 x1 x0 x1 x0 利用(1)很容易得到。 (1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1) )可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到 只证(1) f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x1 ) （ =1时 = + 证明： ） 证明： 1）当k =1时, f [x0 , x1 ] = x1 x0 x0 x1 x1 x0
xn+1 x0 ( x j x0 )(x j x1 )L( x j x j 1 )(x j x j +1 )L( x j xn+1 ) n+1 f ( xj ) # =∑ ( ( j =0 ( x j x0 )(x j x1 )L x j x j 1 )(x j x j +1 )L x j xn+1 )
LL
× ( x x0 )( x x1 )L( x xn1 )
L (b)式两边同乘以 式两边同乘以, 将(b)式两边同乘以,( x x0 ) ,(c)式两边同乘以 ( x x 0 )( x x1 )， L ,(c)式两边同乘以 (d)式两边同乘以 (d)式两边同乘以 ( x x0 )( x x1 )L ( x x n1 ) ,把所有式子相加,得 把所有式子相加, f ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x1 ]( x x 0 ) + f [ x 0 , x1 , x 2 ]( x x 0 )( x x1 ) + L + f [ x 0 , x 1 , L , x n ]( x x 0 )( x x 1 ) L ( x x n 1 ) + f [ x , x 0 , L , x n ]( x x 0 )( x x 1 ) L ( x x n 1 )( x x n )
n+1
时成立， 假设当 k = n 时成立，即有
f [ x0，x1， xn ] = ∑ L
j =0
n
f (xj )
则由定义 f [x1 , x2 ,L xn +1 ] f [x0 , x1 ,L, xn ] f [ x0 , x1,L, xn，xn+1] ≡ xn +1 x0 1 f ( xn+1) f ( x0 ) ( ) = + xn+1 x0 (xn+1 x1)(xn+1 x2 )L( xn+1 xn ) (x0 x1)(x0 x2 )L( x0 xn )
称为函数y= f ( x ) 在 x0 , x1 , L , x n 点的n阶差商（n阶均差）。 称为函数 = 点的 阶差商（ 阶均差） 阶差商 阶均差
2 基本性质 定理5 ） 定理 （1）f (x) 的k阶差商 f [x0 , x1,L, xk ] 是函数值 f (x0 ), f (x1 ),L, f (xk ) 阶差商 的线性组合， 的线性组合，即
假设当 k = n 时成立，即有 时成立，
f [ x0，x1， xn ] = ∑ L
j =0
n
f ( xj ) ( x j x0 )L( x j x j 1 )(x j x j +1 )L( x j xn )
f ( xj )
f [ x1，x2， xn+1] = ∑ L ( ( j =1 ( x j x1 )L x j x j 1 )(x j x j +1 )L x j xn+1 )
j =1
( x j x0 )L( x j x j 1 )( x j x j +1 )L( x j xn ) n+1 f ( xj ) f [ x1，x2， xn+1 ] = ∑ L ( ( j =1 ( x j x1 )L x j x j 1 )(x j x j +1 )L x j xn+1 )
§4 差商与牛顿插值多项式
4.1 差商（均差）及性质 差商（均差） 1 差商（均差） 差商（均差） x 已知y 已知 = f ( x ) 函数表
f ( x) x0 f ( x0 ) x1 L xn f ( xn )
（ ） f ( x )在 [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], L , [x n 1 , x n ] 上平均变化率分别为： 4 .1 上平均变化率分别为： 则
定义为f( ) 定义为 (x) 的差商
即有定义： 即有定义：
定义4 定义 （1）对于[ xi , x j ] ，称 f [x i , x j ] ≡ [x i , x j ] f ( x ) ≡ 为函数 f ( x ) 在 x i , x j 的一阶差商（一阶均差）； 一阶差商（一阶均差 均差）；
f [x0 , x1 ,L, xk ] = ∑
k j =0
f (xj )
( x j x0 )(x j x1 )L( x j x j1 )(x j x j+1 )L( x j xk ) k k f (xj) f (x j ) =∑ k =∑ j =0 ′ Π ( x j x i ) j = 0 ω k +1 ( x j )