【高三理数一轮】8.3 圆的方程

8．3 圆的方程

[知识梳理]

1．圆的方程

标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)

一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)

2．点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：设d为点M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离

(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；

(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)d

[诊断自测] 1．概念思辨

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( ) (2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－a 2，－a ，半径为

12－3a 2－4a ＋4的圆．( )

(3)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )

(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.( )

答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√

2．教材衍化

(1)(必修A2P 120例3)过点C (－1,1)和D (1,3)，圆心在x 轴上的圆的方程是( )

A ．x 2＋(y －2)2＝10

B ．x 2＋(y ＋2)2＝10

C ．(x ＋2)2＋y 2＝10

D ．(x －2)2＋y 2＝10

答案 D

解析 依据题意知圆心为CD 的垂直平分线与x 轴的交点．由已知可得CD 的垂直平分线的方程为x ＋y －2＝0，即圆心为(2,0)，所以半径为

(2＋1)2＋1＝

10，

故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.故选D.

(2)(必修A2P 124A 组T 1)动圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0的圆心的轨迹方程是________．

答案 x －3y －3＝0

解析 圆的方程可化为(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25.不论m 取何实数，方程

都表示圆. 设动圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨

⎧

x 0＝3m ，

y 0＝m －1，

消去参变量m ，得x 0－3y 0－

3＝0，即动圆圆心的轨迹方程为x －3y －3＝0.

3．小题热身

(1)(2018·西城区期末)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )

A ．2 B.22

C ．1 D.

2

答案 D

解析 已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离是|1＋2－1|12＋12＝2

2＝

2.故选D.

(2)求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程是___________．

答案(x＋1)2＋(y＋2)2＝10

解析设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，

所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．

又该圆经过A，B两点，

所以|CA|＝|CB|，即(2a＋3－2)2＋(a＋3)2＝

(2a＋3＋2)2＋(a＋5)2，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝10.

故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

题型1 求圆的方程

典例根据下列条件求圆的方程．

(1)半径为5且与x轴交于A(2,0)，B(10,0)两点；

(2)圆心在直线4x＋y＝0上，且与直线l：x＋y－1＝0切于点P(3，－2)；

(3)已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比

为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为

5

5

，求该圆的方程．

(1)(3)用待定系数法；(2)用直接法．

解 (1)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25， 如图，∵|AB |＝10－2＝8， ∴|AD |＝4.

∵|AC |＝5，∴|CD |＝3. ∴a ＝6，b ＝±3.

∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y －3)2＝25或(x －6)2＋(y ＋3)2＝25.

(2)过P (3，－2)与直线l ：x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －5＝0，与4x ＋y ＝0联立解得圆心坐标为(1，－4)，

∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (3)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，

由题意⎩⎪

⎨⎪⎧

r ＝|2b |，|a －2b |5

＝5

5，2r 2

－a 2

＝2.

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1，

b ＝1，

r

＝2

或⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝－1，

b ＝－1，r ＝ 2.