第2章 力系的简化与平衡

解： 取微元如图
q x q l
三角形 的面积
P
l
0
x l
q
dx
1 2
ql
由合力矩定理 得 h 2l
3
Ph
l
q dx x
0
l
0
x2 l
q dx
3.平面力偶系的合成
已知： M1, M 2 , M n ;
n
M
M
i 1
i
Mi
已知： M1, M 2 , M n ;
任选一段距离d
M1 d
F1
M2 d
rr
r
F1 F1 M1 MO (F1)
rr
r
F2 F2 M2 MO (F2 )
rr
r
Fn Fn
M
n
MO (Fn )
FR Fi Fi
MO Mi MO (Fi )
主矢
FR Fi
主矩
MO MO (Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
FRx ' Fix ' Fix Fx
平衡 与简化中心的位置无关
主矢
FR 0 FR 0
主矩
最后结果
说明
MO 0 MO 0 MO 0 MO 0
合力 合力 合力偶 平衡
合力作用线过简化中 心 合力作用线距简化中 心 d M O / FR' 与简化中心位置无关
与简化中心位置无关
例2-1
已知: P1 450kN,P2 200kN, F1 300kN, F1 70kN
F2
M1 F1d
M 2 F2d
Mn d
Fn
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
M
M n
i 1
i
Mi
=Baidu Nhomakorabea
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
例2-3
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力. 解：用解析法
FRy ' Fiy ' Fiy Fy
主矢大小
FR ( Fix )2 ( Fiy )2
方向
r cos(F
'R
,
r i)
Fix FR
作用点 作用于简化中心上
r cos(F
'R
,
r j)
Fiy FR
主矩 MO MO (Fi )
平面固定端约束
=
=
≠
=
4. 平面任意力系的简化结果分析
（外分反比关系）
两同向平行力的合成定理：
两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于 原两力大小之和，作用线与原两力平行，并内分原两力的作 用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力 的指向与原两力相同。
两反向平行力的合成定理：
大小不同的两个反向平行力的合成结果是一个力，这 合力的大小等于原两力大小之差，作用线与原两力平行， 且在原两力中较大一个的外侧，并且外分原两力的作用点 为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比。合力的 指向与较大的外力相同。
FR 0 M O 0
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力，作用线距简化中心
MO FR
d MO FR
合力矩定理
M O FRd
FR FR F
M O (FR ) M O M O (Fi )
FR 0 MO 0
合力偶 与简化中心的位置无关
若为O1点，如何?
FR 0 MO 0
FR Fi
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FRx Fix
FRy Fiy
合力的大小为：
FR
F F 2
2
Rx
Ry
方向为：
cos(FR
,i )
Fix FR
作用点为力的汇交点.
cos( FR
,
j)
Fiy FR
2 平面平行力系的合成方法
两同向平行力的合成 1.大小
R F1 F2
2. 作用线的位置：
A
T1 C
F1 F1´
AC F2 (内分反比关系)
CB F1
F2´
AC CB AB F2 F1 R
AC F2 AB CB F1 AB
R
F1 F2
F1 F2
T2 B
F2´ F2
F1´
二、两大小不等反向平行力的合成
1.大小
R F1 F2
2. 作用线位置：
CA F2 CB F1
FRx
F ix
F1
cos 30
F2
cos 60
F3
cos
45
F4
cos
45
129.3N
FRy
F iy
F1
sin
30
F2
sin
60
F3
sin
45
F4
sin
45
112.3N
FR
F2 Rx
F2 Ry
171.3N
cosθ FRx 0.7548 F
R
F cos β Ry 0.6556
F R
求：
力系向O 点的简化结果；
合力与OA 的交点到点O的距离 x；
合力作用线方程。
解： （1）主矢：
Fx F1 F2 cos 232.9kN Fy P1 P2 F2 sin 670.1kN
FR ' ( Fx )2 ( Fy )2 709.4kN
cos((FrFrRR',',irir))7F0R.F8'x4o,0.3(2Fr8R3',,rjc)os(1Fr8R0'o,
r j)
Fy
FR '
19.16o
0.9446
主矩：
r
MO MO (F) 3F1 1.5P1 3.9P2 2355kN m
（2）求合力及其作用线位置：
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）求合力作用线方程：
r
MO MO FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
θ 40.99, β 49.01
二、平面任意力系的简化
1.力线平移定理
可以把作用在刚体上点 的A力 平F行
移到任一点 ，B但必须同时附加一个力
偶，这个附加力偶的矩等于原来的力
F对新作用点 B的矩.
M B M B (F ) Fd
2. 力与力偶的合成 是力线平移的逆过程。
3.平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩
第二章 力系的简化与平衡
§2-1 力系的简化方法及结果
一、平面特殊力系的简化
1.平面汇交力系的简化
a.几何法
力多边形规则
FR1 F1 F2
3
FR 2
FR1
FR3
i1
Fi
n
FR
i1
Fi
Fi
力多边形
力多边形规则 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的力多边形自行封闭.
b.解析法
2355 x670.1 y 232.9
多个平行力求合力：
大小：所有平行力的代数和
方向：与原平行力平行 作用线：合力矩定理
已知：q, l ;
求：矩形分布载荷的合力及合力作用线位置.
矩形的 面积
l
P q dx ql
0
由合力矩定理
得 h 1l 2
l
ql 2
P h q dx x
0
2
例 已知：q,l;
求：三角形分布载荷的合力及合力作用线位置.