高一数学下册期末考试试题
高一数学(下学期)期末复习试卷及参考答案
xy O32π- 2 34π－4高一数学期末复习试卷第I 卷（选择题）一、选择题1．已知|a |=1，|b |=2，c =a +b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知︱OA ︱=1，︱OB ︱=3,OB OA ∙=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC =m OA +n OB (m 、n ∈R )，则nm等于（ ） A ．31B ．3C ．33D ．33．将函数sin()3y x =-π的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式为（ ）. A.1sin()26y x =-π B.1sin()23y x =-πC.1sin 2y x = D.sin(2)6y x =-π4．已知函数sin()y A x B ωφ=++(0,0,||2A ωφπ>><)的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ）. A.3,2A T ==π B.2,1=-=ωBC.4,6T φπ=π=-D.3,6A φπ== 5．在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则9S =（ ） A ．48B ．54C ．60D ．108 6．设函数的最小正周期为，且，则( )A 、在单调递减B 、在单调递减C 、在单调递增D 、在单调递增3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()()f x f x -=π()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．18．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列， ∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋39．设实数满足，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a = ( )A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++第II 卷（非选择题）二、填空题11． 若,，且与的夹角为，则 .12．已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且a ±≠b ，那么b a +与b a -的夹角的大小是 。
新高一数学下期末试卷(含答案)
新高一数学下期末试卷(含答案)新高一数学下期末试卷（含答案）一、选择题1.已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=b，则A选2.2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=5选3.3.已知三角形ABC中，A为60度，c=2，cosA=1/2，则ABC为有一个内角为30°的等腰三角形选D。
4.已知对任意实数x、y，不等式(x+y)/(1+xy)≥9恒成立，则实数a的最小值为2选D。
5.已知ABC为等边三角形，AB=2，设P，Q满足AP=λAB，AQ=(1-λ)AC（λ∈R），若BQ·CP=-2，则λ=1/2选A。
6.已知f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ)，ω>π/2，f(x)是奇函数，直线y=2与函数f(x)的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π/2，则f(x)在[π/3.π/8]上单调递减选B。
7.已知函数y=f(x)定义域是[-2,3]，则y=f(2x-1)的定义域是[-1,2]选B。
8.若α,β均为锐角，sinα=2/5，sin(α+β)=3/5，则cosβ=4/5或-3/5选C。
9.要得到函数y=2/3cos2x+1/3的图像，只需将函数y=2sin2x的图像向左平移π/4个单位选C。
10.已知sin(π/3-α)=-1/2，cos(2α+π/3)=2/3，则cosα=7/8选D。
分析】详解】1) 当 $a=1$ 时，$f(x)=-x^2+x+4$，$g(x)=|x+1|+|x-1|$。
因为 $f(x)$ 是一个开口向下的二次函数，所以其图像在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为 $x=\frac{-b}{2a}=-\frac{1}{2}$，纵坐标为 $f(-\frac{1}{2})=\frac{15}{4}$。
而 $g(x)$ 的图像是由两个 V 形图像组成的，分别在 $x=-1$ 和 $x=1$ 处取得最小值$0$。
2023-2024第二学期期末考试高一数学试卷
2023—2024学年第二学期期末试卷高一数学注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分。
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则复数zz －2i的虚部是 A ．45B ． 45iC ． 35D ．35i2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥β，n ∥β，且m α⊂，n α⊂，则α∥βD ．若α⊥β，α β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β 3．已知数据x 1，x 2，x 3， …x n 的平均数为10，方差为5，数据3x 1－1，3x 2－1，3x 3－1， …3x n－1的平均数为—x ，方差为s 2，则 A ．—x =10，s 2=14 B ．—x =9，s 2=44 C ．—x =29，s 2=45D ．—x =29，s 2=444．向量→a 与→b 不共线，→AB ＝→a ＋ k →b ，→AC ＝ m →a －→b (k ，m ∈R )，若→AB 与→AC 共线，则k ，m 应满足A ．k ＋m ＝0B ．k -m ＝0C ．km ＋1＝0D ．km －1＝05．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件A ＝“第一枚向上点数为奇数”，事件B ＝“第二枚向上点数为偶数”，事件C ＝“两枚骰子向上点数之和为8”，事件D ＝“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则 A ． A 与C 互斥B ． A 与C 相互独立C ． B 与D 互斥 D ． B 与D 相互独立6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ＝2a －c ，A ＝π4，b ＝3，则实数a 的值为 A ． 6B ． 3C ． 6D ． 37． 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝4，PC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，且 tan θ＝223，则四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为 A ． 26π B ． 28π C ． 34πD ． 14π8．已知sin2θ＝45，θ∈(0，π4) ，若cos(π4－θ)＝m cos(π4＋θ)，则实数m 的值A ．－3B ．3C ．2D ．－2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数z ＝i ＋3i 2(i 为虚数单位)，则下列结论正确的是 A ． z 的共轭复数为－3－iB ．z ·i=1－3iC ． z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．|z ＋2|＝ 210．已知△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是 A ．若sin A ＞sin B ，则A ＞BB ．若a cos B =b cos A ，则△ABC 为等腰三角形 C ．若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形D ．若a ＝1.5，b ＝2，A ＝30°的三角形有两解11．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则A ．M ，N ，B ，A 1四点共面B ．若a ＝2，则异面直线PD 1与MNC ．平面PMN 截正方体所得截面为等腰梯形D ．若a ＝1，则三棱锥P －MD 1B 的体积为124三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是▲ .13．已知A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则tan∠ACB＝▲ .14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且1BD=，则a＋c的最大值为▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15．(13分)已知sin α＝－55，α∈(π，3π2)，sin(α+β)＝513，β∈(π2，π)．（1）求tan2α的值；（2）求sinβ的值．16．(15分)某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率直方图。
高一数学试题与解析-唐山市2023-2024学年高一下学期期末考试+数学答案
唐山市2023－2024学年度高一年级第二学期期末考试数学参考答案及评分一．选择题：1～4．ACCB5～8．DBDC二．选择题：9．BCD 10．AD 11．ACD 三．填空题：12．713．2712514．77四．解答题：（若有其他解法．．．．．．，请参照给分．．．．．） 15．解：（1）若a ∥b ，则3sin α－cos α＝0， …3分解得tan α＝33， …5分因为α∈[0，π]，所以α＝ π6． …7分（2）若a ⊥b ，则sin α＋3cos α＝0， …10分解得tan α＝－3， …12分 因为α∈[0，π]，所以α＝2π3． …13分16．解：（1）记“甲独立解答正确”为事件A ，“乙独立解答正确”为事件B ，且事件A ，B 相互独立．所以两人解答都正确的概率为…5分（2）“至多一人解答正确”的对立事件为“两人都解答正确”，所以至多一人解答正确的概率为1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1…10分（3）“至少一人解答正确”的对立事件为“两人都未解答正确”，所以至少一人解答正确的概率为1－P (A-B -)＝1－P (A -)P (B -)＝1－ 1 2× …15分17．解：（1）在△ABC…2分…3分解得sin ∠…5分因为C ＝2π3，所以∠BAC ∈(0， π3)，所以∠…7分所以又AB ＝3，BC ＝3，所以△ABC 的面积×BC ×sin…8分（2）解法一：在△ADC 中，AC ＝BC ＝3，C ＝2π3，因为D 是BC 中点，所以CD ＝ 1 2BC ＝32，由余弦定理，得AD 2 ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos C…11分 ＝3＋34－2×3×32×(－ 1 2)＝214．…14分 所以AD ＝212．…15分解法二：由AD →＝ 12(AB →＋AC →)两边平方可得|AD →|2＝ 14(|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →||AC →|cos ∠BAC )…11分由（1）可知AC ＝BC ＝3，AB ＝3，cos ∠BAC ＝32，所以|AD →|2＝ 14(9＋3＋2×3×3×32)＝214．…14分 所以AD ＝212．…15分18．解：（1）这些人的平均年龄为x-＝15×0.05＋25×0.35＋35×0.3＋45×0.2＋55×0.1 …2分＝34.5(岁)． …3分 由频率分布直方图可知，年龄在[10，40)的频率为0.05＋0.35＋0.3＝0.7， 在[10，50)的频率为0.05＋0.35＋0.3＋0.2＝0.9， 则第80百分位数为x 0∈[40，50)，由0.7＋(x 0－40)×0.02＝0.8，解得x 0＝45． …5分所以估计这些人的平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45．（2）第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1．…6分若从这三组中分层抽取6人，则从第三组抽取3人，记为a1，a2，a3；第四组抽取2人，记为b1，b2；第五组抽取1人，记为c；对应的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c)，(b1，b2)，(b1，c)，(b2，c)}，所以n(Ω)＝15；…8分设事件A为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c)，(a3，b1)，(a3，b2)，，所以n(A)＝11. …10分…12分（3）设第三组、第四组的年龄的平均数分别为x1-，x2-，方差分别为s21，s22．则x1-＝36，x2-＝46，s21＝2，s22＝4．由第三组有30人，第四组有20人，-2s，…14分s…16分26.8．…17分19．解：（1）由已知AC∥A1C1，AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1．…2分又AC⊂平面ABC，平面A1BC1∩平面ABC＝l，所以AC∥l．…5分（2）取BC中点为O，连接AO，A1O．因为侧面BB1C1C为矩形，所以BB1⊥BC，又AA1//BB1，则AA1⊥BC．由A1C＝A1B，所以A1O⊥BC．…6分又A1O∩AA1＝A1，A1O，AA1⊂平面AA1O，故BC⊥平面AA1O．…8分由于AO⊂平面AA1O，故BC ⊥AO ． …10分又BO ＝CO ，故AB ＝AC ， 又AC ＝BC ，所以△ABC 为等边三角形．…12分（3）记ON 与BC 1交于点H ，连接A 1H ，过O 作OE ⊥A 1H 于点E ，连接BE ．因为O ，N 分别为BC ，B 1C 1中点， 所以ON ∥AA 1，ON ＝AA 1，所以四边形A 1AON 为平行四边形． …13分 所以平面A 1AON ∩平面A 1BC 1＝A 1H ．由（2）可知BO ⊥平面A 1AON ，OE ，A 1H ⊂平面A 1AON ， 所以BO ⊥OE ，BO ⊥A 1H ， 又OE ⊥A 1H ，BO ∩OE ＝O ，所以A 1H ⊥平面BOE ，又BE ⊂平面BOE ， 所以A 1H ⊥BE ，即∠OEB 为平面A 1AN 与平面A 1BC 1所成的锐二面角． …14分 在△A 1BC 中，A 1C ＝A 1B ＝22，BC ＝AB ＝4， 所以△A 1BC 为等腰直角三角形， 所以A 1O ＝2．因为A 1A ＝AB ＝4，△ABC 为等边三角形， 所以AO ＝23， 所以A 1O 2＋AO 2＝AA 21， 则A 1O ⊥OA ． …15分 同理可证A 1O ⊥A 1N ，又知H 为ON 中点，所以A 1H ＝ 12ON ＝2．所以△A 1OH 为边长为2的等边三角形，且OE ＝3， …16分 在△OEB 中，BO ⊥OE ， 因为BE ＝OB 2＋OE 2＝7，所以sin ∠OEB ＝OB BE ＝27＝277． …17分故平面A 1AN 与平面A 1BC 1所成二面角的正弦值是277．…17分（同上）A 1B 1C 1CABNOHE。
2023-2024高一第二学期期末数学质量检测试题参考答案与评分细则
2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。
高一下学期数学期末考试试题(共2套,含答案)
高一下学期数学期末考试试题(共2套,含答案)广东省惠州市高一（下）期末考试数学试卷一.选择题（每题5分）1.一元二次不等式 $-x^2+x+2>0$ 的解集是（）A。
$\{x|x2\}$ B。
$\{x|x1\}$C。
$\{-1<x<2\}$ D。
$\{-2<x<1\}$2.已知$\alpha$，$\beta$ 为平面，$a$，$b$，$c$ 为直线，下列说法正确的是（）A。
若 $b\parallel a$，$a\subset\alpha$，则$b\parallel\alpha$B。
若$\alpha\perp\beta$，$\alpha\cap\beta=c$，$b\perp c$，则 $b\perp\beta$C。
若 $a\perp c$，$b\perp c$，则 $a\parallel b$D。
若 $a\cap b=A$，$a\subset\alpha$，$b\subset\alpha$，$a\parallel\beta$，$b\parallel\beta$，则 $\alpha\parallel\beta$3.在 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=1$，$\angleA=30^\circ$，则 $\triangle ABC$ 面积为（）A。
$\frac{\sqrt{3}}{4}$ B。
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ C。
$\frac{\sqrt{3}}{8}$ D。
$\frac{\sqrt{3}}{16}$4.设直线 $ $l_1\parallel l_2$，则 $k=$（）A。
$-1$ B。
$1$ C。
$\pm1$ D。
无法确定5.已知 $a>0$，$b>0$，$a+b=1$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 的最小值是（）A。
$4$ B。
$5$ C。
$8$ D。
$9$6.若 $\{a_n\}$ 为等差数列，且 $a_2+a_5+a_8=39$，则$a_1+a_2+\cdots+a_9$ 的值为（）A。
武汉华中师范大学第一附属中学2024年高一下学期7月期末检测数学试题+答案
华中师大一附中2023-2024学年度下学期期末检测高一年级数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()20241i i z +−=（i 为虚数单位），则z 的虛部为（ ）A ．12B ．12−C ．i 2D ．i 2−2．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A =“取出的小球编号为奇数”，事件B =“取出的小球编号为偶数”，事件C =“取出的小球编号小于6”，事件D =“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与B 互为对立事件C ．C 与D 互为对立事件D ．B 与D 相互独立3．已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥ C ．若m α∥，αβ∥，则m β∥D ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ= ，则l γ⊥4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.95．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，则“cos sin a C a C b c −=−”是“△ABC 为直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台1OO 的轴截面是等腰梯形ABCD ，24AB BC CD ===，E 为下底面O 上的一点，且AE =，则直线CE 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．2B ．12 C D 7．掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ） A ．17216B ．554C ．427D ．352168．在平行四边形ABCD 中，2π3BAD ∠=，1AB =，2AD =．P 是以C 为圆心，点，且AP AB AD λµ=+，则λµ+的最大值为（ ）A ．2+BC ．2+D ．2+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（ ） A ．中位数为3，极差为3B ．平均数为2，第80百分位数为4C ．平均数为3，中位数为4D ．平均数为3，方差为110．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对()()1212,,C z z z z ∈看作一个向量，记()12,a z z = ，则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于()12,a z z = ，()34,b z z = ，1234,,,C z z z z ∈，规定如下运算法则：①()1324,a b z z z z +++ ；②()1324,a b z z z z −−−；③1324a b z z z z ⋅=+ ；④||a = ．则下列结论正确的是（ ）A ．若(i,1i)a =+ ，(2,2i)b =− ，则15i a b ⋅=+B ．若0a = ，则()0,0a =C ．a b b a ⋅=⋅D ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅11．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，且AD BC ∥，222AB ED BC AF ====，将四边形ADEF 沿AD 向上折起，连接BE ，BF ，CE ．在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）A ．AC ∥平面BEFB ．BE 与AD 所成的角先变大后变小C ．几何体EF ABCD 体积有最大值53D ．平面BCE 与平面BEF 不可能垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥体积为3π，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为______．13．已知平面向量a ，b ，3b = ，向量a 在向量b 上的投影向量为16b −，则a b ⋅= ______．14．在正三棱柱111ABC A B C −中，14AB AA ==，E 为线段1CC 上动点，D 为BC 边中点，则三棱锥A -BDE 外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[)50,60，[)60,70，[)70,80三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人，求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．16．（15分）如图，四边形PDCE 为矩形，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面．90ADC BAD =∠=°∠，F 是线段P A 的中点，PD =112AB AD CD ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）求点F 到平面BCP 的距离．17．（15分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，S 为△ABC 的面积．且2sin sin sin 21sin C ab B a A S B−=−．（1）求A ；（2）若2a =，求△ABC 内切圆半径的最大值．18．（17分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，底面是边长为4的等边三角形，14CC =，D 、E 分别是线段AC 、1CC 的中点，点1C 在平面ABC 内的射影为点D ．（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）设G 为棱11B C 上一点，111C G C B λ=，()0,1λ∈． ①若12λ=，请在图中作出三棱柱111ABC A B C −过G 、B 、D 三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角G -BD -E 的取值范围．19．（17分）对于两个平面向量a ，b，如果有0a b a a ⋅−⋅> ，则称向量a 是向量b 的“迷你向量”．（1）若(1,)m x = ，(2,1)n x =− ，m 是n的“迷你向量”，求实数x 的取值范围； （2）一只蚂蚁从坐标原点()0,0O 沿最短路径爬行到点(),N n n 处（n N ∈且2n ≥）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i 次后停留的位置记为()112P i n ≤≤，设()1,0M n −．记事件T =“蚂蚁经过的路径中至少有n 个i P 使得ON 是i OP的迷你向量”。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题含解析
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4 C ．125- D ．1252．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=4．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 的中点，P 为上底面1111D C B A 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－32a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1B ． 3 1C ．3 2D ．3 26．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．2或-1 D ．-2或17．若两个球的半径之比为1:3，则这两球的体积之比为（ ）A ．1:3B ．1:1C ．1:27D ．1:98．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin 7A =，5a =，7b =，则sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．37D ．19．函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅的值为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．710．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一下学期期末数学数学试卷(答案+解析)
高一（下）期末数学试卷一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．（5分）下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．2．（5分）已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．93．（5分）在△ABC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60°B．120°C．30°D．150°4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．805．（5分）已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．246．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．1627．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cos B=，则•=（）A．B．﹣C．3 D．﹣39．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．10．（5分）数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．11．（5分）△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sin B，则角C=（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．14．（5分）若数列{a n}满足，则a2017=．15．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4=．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．（1）求∠B的大小；（2）求cos A+cos C的最大值．18．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．20．（12分）在△ABC中，AC=6，cos B=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．【参考答案】一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．D【解析】A. 6，6，6，6，6常数列，公差为0；B. ﹣2，﹣1，0，1，2公差为1；C. 5，8，11，14公差为3；D. 数列0，1，3，6，10的第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，故此数列不是等差数列．故选D．2．B【解析】∵m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，∴，解得m=4，n=2，∴m和n的等差中项===3．故选B．3．A【解析】在△ABC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cos A===，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选A．4．C【解析】等差数列{a n}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故选C．5．A【解析】∵{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，∴a3a4=a2a5=﹣8，∴a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，∴，解得，∴S3===12．故选A．6．B【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．则此数列第20项=2×102=200．故选B．7．C【解析】由已知定义，得到=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，即S n=2n2+n．当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1．当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1；∵b n==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故选C.8．B【解析】∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cos B=，∴由余弦定理得：cos B=====，即ac=2，则•=﹣ca cos B=﹣．故选B．9．A【解析】在△P AB，∠P AB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=由正弦定理得：，∴PB==30（+），∴树的高度为PB sin45°=30（+）×=（30+30）m，答：树的高度为（30+30）m．故选A.10．B【解析】∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，可得a n=．n=1时，a1=，上式也成立．则a n=．故选B．11．A【解析】△ABC中，由2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sin B，根据正弦定理得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，∴cos C==，∴角C的大小为30°，故选A．12．B【解析】∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cos A==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得=== =．故选B．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．120°【解析】根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为120°．14．2【解析】数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2a5=1﹣=，…，∴a n+3=a n，数列的周期为3．∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案为2.15．15【解析】正项等比数列{a n}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为15．16．【解析】由cos A=，cos C=，可得sin A===，sin C===，sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．解：（1）∵在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．∴，∴由余弦定理得：，∵0＜B＜π，∴．（2）∵A+B+C=π，，∴，∴===，∵，∴，∴，∴最大值为1，∴cos A+cos C的最大值为1．18．解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．19．解：（1）由a n+1=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，两式相减得：a n+1=2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．20．解：（1）∵△ABC中，cos B=，∴sin B=，∵，∴AB==5；（2）cos A=﹣cos（C+B）=sin B sin C﹣cos B cos C=﹣．∵A为三角形的内角，∴sin A=，∴cos（A﹣）=cos A+sin A=．21．解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．22．解：（Ⅰ）由已知得，化简得，整理得，即，由于0＜B+C＜π，则，所以．（Ⅱ）根据余弦定理，得=b2+c2+bc=b2+（2﹣b）2+b（2﹣b）=b2﹣2b+4=（b﹣1）2+3．又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4，所以a的取值范围是．。
高一数学第二学期期末考试试题(带参考答案)
高一数学第二学期期末考试试题(带参考答案)选择题1. 以下属于集合 {1, 2, 3, 4} 的真子集的个数是：A. 3B. 7C. 15D. 16正确答案：A2. 已知集合 A = {x | -2 ≤ x ≤ 3}，则集合 A 中的元素个数是：A. 4B. 5C. 6D. 7正确答案：C3. 设集合 A = {a, b, c}，集合 B = {1, 2, 3}，则集合 A × B 的元素个数是：A. 3B. 6C. 9D. 12正确答案：D4. 已知集合 A = {x | -5 ≤ x ≤ 5}，则集合 A 的幂集的元素个数是：A. 10B. 20C. 32D. 64正确答案：C解答题1. 已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(-4) 的值。
解答：将 x = -4 代入函数 f(x) = 2x + 3 中，得到 f(-4) = 2(-4) + 3 = -5。
2. 计算下列算式的值：(-3)^4 - 2 × 5^2解答：首先计算指数，得到(-3)^4 = 81，5^2 = 25。
然后代入算式，得到值为 81 - 2 × 25 = 31。
3. 已知一组数据为 {2, 4, 6, 8, 10}，求这组数据的中位数。
解答：将数据从小到大排序为 {2, 4, 6, 8, 10}，可以看出中间的数为 6，所以这组数据的中位数为 6。
4. 某商品标价为 800 元，商场打折后的售价为 720 元，求打折幅度。
解答：打折幅度为原价与打折后价之间的差值除以原价，所以打折幅度为 (800 - 720) ÷ 800 = 0.1，即打折幅度为 10%。
以上为高一数学第二学期期末考试试题及参考答案。
高一下学期数学期末试卷含答案(共5套)
高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。
湖南省2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
湖南高一期未考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､坐位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用像皮擦干浄后，再选涂其他答察标号.回答非选掸题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.本试卷主要考议内容：人教A 版必修第一､二册，选择性必修第一册第一章第3节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,5,,4a b m =-=，若a b ⊥，则m =（ ） A.10 B.10 C.85 D.85- 2.已知()()2,1,3,1,1,4A B --，则AB =（ ）A.()3,0,1B.()1,2,1--C.()1,0,7-D.()3,2,1-3.已知集合{32},{2}A xx B x m x m =+>=-<<∣∣，若A B ⋂=∅，则m 的取值范围是（ ） A.[)1,∞+ B.()1,∞+ C.(],1∞-- D.(),1∞--4.已知m 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，且m α⊥，则“m ∥β”是“αβ⊥”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知空间问量()()2,1,1,,3,3a b m =-=-，若a 与b 的夹角是钝角，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,3∞--⋃- B.(),3∞- C.()()3,66,∞⋃- D.()3,∞+6.已知()sin 3π2cos 0αα++=，则tan 2α=（ ） A.43 B.34 C.43- D.34- 7.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶能够中奖，现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件是互斥但不对立的是（ ） A.“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖” B.“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖” C.“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖” D.“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”8.已知()()2213,1,log 93,1a a x a x f x x a x ⎧-+=⎨+->⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ）A.(]1,2B.(]1,3C.(]10,1,32⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦ D.(]10,1,23⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数()2(2i)1i z =+-，则（ ）A.z 的实部是1B.z =C.z 的共轭复数是1i --D.z 在复平面内对应的点位于在第一象限10.已知函数()()cos (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则（ ）A.π6ϕ=B.2A =C.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D.不等式()1f x >的解集是()πππ,π124k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 11.有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若2AB =，则（ ）A.该几何体的表面积为B.该几何体的体积为4C.直线HM 与直线GN 所成的角为π3D.二面角B EF H --的余弦值为13三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.生活质量指数是用于衡量人们生活质量水平的一种指标体系.某机构对某地进行生活质量指数调查，得到该地15个地区的生活质量指数为68,68,69,71,73,75,75,76,78,80,85,85,87,91,93，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是__________.13.如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥平面,ACD ACD 是边长为4的等边三角形，3,,AB E F =分别是棱,AD BC 的中点，则EF =__________.14.在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,4,ABCD AB PD ==E 在线段PD 上，PB ∥平面EAC ，则四面体ABCE 外接球的表面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在[]45,95内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）；（3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数.16.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PC =，四边形ABCD 是正方形，E 是PD 的中点.（1）证明：PB ∥平面ACE . （2）证明：平面PBD ⊥平面ACE . 17.（15分）已知函数()πsin 22sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间7π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域. 18.（17分）端午节，又称端阳节､龙舟节､重午节，端午节是中华民族传统文化的重要组成部分.某校打算举办有关端午节的知识竞答比赛，比赛规则如下：比赛一共进行两轮，每轮比赛回答一道题，每轮比赛共有A ，B ，C 三类题目，参赛选手随机从这三类题目中选择一类作答，第一轮中被选中的题目在第二轮比赛开始前工作人员会用同一类型的题目替换，参赛选手答对一道A 类题目得10分，答对一道B 类题目得20分，答对一道C 类题目得40分，两轮比赛后，若选手累计得分不低于50分，则通过比赛，已知甲､乙两位同学都参加了这次比赛，且甲答对A 类题目的概率是34，答对B 类题目的概率是34，答对C 类题目的概率是12，乙答对每类题目的概率都是35.假设甲､乙选择哪类题目作答相互独立，且每轮比赛结果也是相互独立的. （1）求甲第一轮答对A 类题目的概率； （2）求甲通过比赛的概率；（3）求甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率. 19.（17分）A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与,P Q 两点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=-.（1）若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 的延长线上，且22AB BM ==，由1A 对AB 施以视角运算，求(),;A B M 的值；（2）若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 上，且2AB =，由1A 对AB 施以视角运算，得到()1,;2A B M =，求AM MB的值； （3）若1231,,,,n M M M M -是ABC 边BC 的n 等分点，由A 对BC 施以视角运筫，证明：()()(),;,;11,2,3,,1k n k B C M B C M k n -⨯==-.湖南高一期末考试 数学参考答案1.A 由题意可得2540a b m ⋅=-+⨯=，解得10m =.2.D 由题意可得()3,2,1AB =-.3.C 由题意可得{1}A xx =>-∣.因为A B ⋂=∅，所以1m -. 4.B 由,m m α⊥∥β，得αβ⊥；由,m ααβ⊥⊥，得m ∥β或m β⊂.故“m ∥β”是“αβ⊥”的充分不必要条件.5.A 由题意可得2330,6,m m --<⎧⎨≠-⎩解得6m <-或63m -<<.6.C 因为()sin 3π2cos 0αα++=，所以sin 2cos 0αα-+=，所以tan 2α=，则22tan 4tan21tan 3ααα==--. 7.C “至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”可以同时发生，则“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”不是互斥事件.“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖”是对立事件.“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖”是互斥但不对立事件.“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”可以同时发生，则“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”不是互斥事件.8.D 当()f x 是R 上的单调递增函数时，2210,1,21393,a a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-+-⎩解得12;a <当()f x 是R 上的单调递减函数时，2210,01,21393,a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+-⎩解得103a <.综上，a 的取值范围是(]10,1,23⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦.9.BD 因为()()()()()222(2i)1i 44i i1i 34i 1i 33i 4i 4i7i z =+-=++-=+-=-+-=+，所以z 的实部是7,7i,z z z ===-在复平面内对应的点()7,1位于在第一象限. 10.BC 由图可知7ππ2π1212T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则2ω=.因为点π,012⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 的图象上，所以ππcos 0126f A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()πππ62k k ϕ+=+∈Z ，解得()ππ3k k ϕ=+∈Z ，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，则A 错误.因为点()0,1在()f x 的图象上，所以()π0cos 13f A ==，解得2A =，则B 正确.因为5π5πππ2cos 2cos 012632f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则C 正确.由()1f x >，即π2cos 213x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即π1cos 232x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得2πk ()πππ22π333x k k -<+<+∈Z ，解得()πππ3k x k k -<<∈Z ，所以不等式()1f x >的解集是()ππ,π3k k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ，则D 错误.11.ABC 因为2AB =，所以BE =.该几何体的表面积为2244⨯⨯=A 正确.该几何体的体积为3112121432-⨯⨯=，B 正确.因为HM ∥BD ，所以直线HM 与直线GN 所成的角即直线BD 与直线DN 的夹角，其大小为π3.故直线HM 与直线GN 所成的角为π,3C 正确. 设EF 的中点为O ，连接,OB OH （图略），BOH ∠即为二面角B EF H --的平面角.2221223OB OH BH OB OH BOH OB OH ∠+-====-⋅，D 错误.12.79 因为1560%9⨯=，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是7880792+=. 13.52 因为,E F 分别是棱,AD BC 的中点，所以11,22AE AD BF BC ==，则()11111112222222EF EA AB BF AD AB BC AD AB AC AB AB AC AD =++=-++=-++-=+-.因为AB ⊥平面ACD ，所以,AB AC AB AD ⊥⊥，所以0AB AC AB AD ⋅=⋅=.因为ACD 是边长为4的等边三角形，所以8AC AD ⋅=.因为22222111111111252224442224EF AB AC AD AB AC AD AB AC AB AD AC AD ⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅=⎪⎝⎭，所以52EF =. 14.34π 连接BD 交AC 于点O ，连接OE .因为,PE OE 共面，且PB ∥平面EAC ，所以PB ∥OE ，易知O 为BD 的中点，所以E 为PD 的中点.设四面体ABCE 外接球的球心为Q ，则OQ ⊥平面ABC ，设OQ h =，则222OQ OC QE +=，所以2222(h h +=+，解得2h =，故四面体ABCE 外接球的表面积为(24πh +8）34π=.15.解：（1）由频率分布直方图可得()0.01020.0250.035101a +++⨯=，解得0.015a =. （2）由题意，估计平均分500.1600.15700.25800.35900.1573x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.（3）由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.015100.15⨯=，则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15，故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为12000.15180⨯=. 16.证明：（1）记AC BD O ⋂=，连接OE . 因为四边形ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点. 因为E 是PD 的中点，所以OE ∥PB .因为OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以PB ∥平面ACE .（2）连接OP .因为四边形ABCD 是正方形，所以O 是AC 的中点. 因为PA PC =，所以OP AC ⊥.因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥.因为,OP BD ⊂平面PBD ，且OP BD O ⋂=，所以AC ⊥平面PBD . 因为AC ⊂平面ACE ，所以平面PBD ⊥平面ACE . 17.解：（1）由题意可得13()sin 22sin 2sin 222226f x x x x x x x π⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （2）令()ππ3π2π22π262k x k k +-+∈Z ， 解得()π5πππ36k x k k ++∈Z ， 故()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （3）因为7π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π4ππ2,636x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.当π4π263x -=-，即7π12x =-时，()f x 取得最大值，最大值为7π7ππ1266f ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32=当ππ262x -=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值，最小值为πππ636f ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=故()f x 在区间7π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.解：（1）甲第一轮答对A 类题目的概率为131344⨯=. （2）甲通过比赛的情况有以下三种：第一种情况是甲答对1道A 类题目和1道C 类题目，其概率1131112343212P =⨯⨯⨯⨯=； 第二种情况是甲答对1道B 类题目和1道C 类题目，其概率2121122333227P =⨯⨯⨯⨯=；第三种情况是甲答对2道C 类题目，其概率231113236P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 故甲通过比赛的概率为123527P P P ++=. （3）乙通过比赛的概率为2131313131312235353535355⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 甲､乙都没有通过比赛的概率为518811275135⎛⎫⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率为88471135135-=. 19.（1）解：如图1，因为22AB BM ==，所以113,AM A B AM ===由正方体的定义可知1AA AB ⊥，则190A AB ∠=，所以11sin 22AA B AA B ∠∠==，11sin AA M AA M ∠∠==. 因为111BA M AA M AA B ∠∠∠=-，所以()111sin sin BA M AA M AA B ∠∠∠=-=， 则()11112sin ,;3sin A A AA M A B M A B MA B ∠∠=-==-.（2）解：如图2，设()01AM a a =，则11sin AA M AA M ∠∠==因为111BA M AA B AA M ∠∠∠=-，所以()111sin sin 24BA M AA B AA M a ∠∠∠=-=+则()11112sin 1,;sin 22A A AA Ma A B M A B MA Ba ∠∠====-，解得2,3a = 故122AM a MB a ==-.（3）证明：如图3， 因为1231,,,,n M M M M -是BC 的n 等分点，所以k n k BM CM -=,k k k k n k BC BM CM BC n n--===. 在k ABM 中，由正弦定理可得sin sin k k k BM ABBAM AM B∠∠=，则sin sin k k k AB BAM BM AM B ∠∠=.在k ACM 中，同理可得sin sinkk k AC CAM CM AM C ∠∠=.因为πk k AM B AM C ∠∠+=，所以sin sin k k AM B AM C ∠∠=， 则()sin sin ,;sin sin k k k k k k k k k AB BAM BM AM B BM k B C M AC CAM CM AM C CM n k∠∠∠∠====-. 同理可得(),;n k n k n k BM n k B C M CM k ----==. 故()()(),;,;11,2,3,,1k n k k n k B C M B C M k n n k k --⨯=⨯==--.。
高一数学下期末考试题附答案
4—、选择题（本题共姓名12小题，（1）sin 75的值等于（B）（3）（5）飞in 440化简为⑴ C os 220 °化简sin(x 朋in x(A) COS (2X yk（B）COS (才F 列函数中是周期为(A) y 1 2sin 2(B)为了得到函数的图象上所有点向左平行移动（7） （9已知 a =向左平行移动ntan高一下数学期末试题每小题5分, 0cos80 y)cos 于cos y班级 _______ 学号 _______共60分，将答案直接填在下表中）兀的奇函数的为（7T2个单位长度P = a个单位长度n3,2x（D）（C ）sin 220（D ）osin80(C ) sin(2 x y)(D)sin y71tan(D ) y22sin(2xR 的图象，只需把函数（B ）向右平行移动a P（D ）向右平行移动都是锐角，则 + 等于y 3sinL1 X 2个单位长度 个单位长度71 71（B ）4已知（A ） 已知（A ） （C ） .3(c)或44(乙 3),3（D ）或544b 二(x , -6),若(B )4 b,则x 等于（C ）- 4a 、b 是两个单位向•量，下列四个命题屯正确的是a 与b 相等 （B ）如果a 与b 平行，那么a 与b 相等 （D ）a2二 b 2a ・b 二 1（A）0 （B）3 4(c) 一(D) 15 5（10）已知W= 3, |b| 二 4 (且 a 与b不共线）,若（ak+b）丄（ak-b）,则k的值为/ \ 3 3 3 4 （A）- _ （B）(C) ±—(D) ±-4 4 4 3 (11) 已知同二3, b二（4, 2）, 且 a II b, 则a的坐标为(A)3 5 厂6 5、3 5(> 3 5)J J( 5 5 （B）（- 5 _ 5坐标是答案5)或(-5（12）已知向量b 二2)30,一9（c）（,0）U―oO — +oO L ,）3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）（13）在三角形ABC中，已知a、b、c是角A、B、C的对边且a二6, b二3 2 , A二p则角B的大小为（14）已知cos=念,则sin 2x的值为（15）若将向呈a （2，。
辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)
大连市2023~2024学年度第二学期期末考试高一数学注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效；2、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知复数满足，则（ ）A B. C.D.2. 已知，则的值为（ ）A.B. 3C. D. 3. 已知圆锥的底面半径是1，则圆锥的侧面积是（ ）A. B.C.D. 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 5. 将函数图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（ ）A. B. C. D. 6. 设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（ ）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，，则 D. 若，，，则7. 已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（ ）.的z ()1i 1z -=z =i1i+1i 211i 22+tan 2α=sin cos sin cos αααα+-1313-3-π4π2πππsin 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭πcos 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()tan 2πy x =+()sin 2πy x =-()sin2f x x =π8()g x ()g x π8x =-π8x =3π16x =5π16x =αβm l //l αm α⊂//m l //m ααβ⊥m β⊥m α⊥l β⊥//m l //αβαβ⊥//m αl //βm l⊥A O OA (0π)αα<<OA 'A '513cos α=A.B.C.D.8. 已知中，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（ ）A B. C. 0 D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 已知复数，，则下列说法正确是（ ）A. 若，则的共轭复数为B. 若为纯虚数，则C. 若，则D. 10. 已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（ ）A. B. 函数的最小正周期为，其图象的对称轴为C. （其中和的取值使各项都有意义）D. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，则11. 如图，正三棱台上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）.的的ABC V 4AB =3AC =2AB AC +=P ABC V 8AP AB ⋅=PA PC ⋅ 5-14-741z 2z 132i z =+1z 32i -()()()11i m m m -++∈R 1m =12z z =12z z =1212z z z z =ααx (),P x y αr =αy rxαsec απsec23=()sec f x x =2πππ(Z)2x k k =+∈()sec sec sec 1tan tan αβαβαβ+=-αβABC V A B C a b c sec sec b c a B C=+111ABC A B C -A.B. 若过点的平面与平面平行，则平面C. 若点在棱上，则的最小值为D.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.）12. 已知向量，，若，则实数____.13. 已知函数在上单调递增，则的最大值为____.14. 已知矩形中，，，将沿折至，得到三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为____；该三棱锥外接球的表面积为____.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知，角，，的对边分别为，，.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.16. 如图，在直三棱柱中，，.（1）求证：平面平面；（2）求证：.17. 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地1C α11ABB A αP 1BB AP CP +()3,a x = ()1,1b =- a b ⊥x =()π2sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ωABCD 4AB =3AD =ACD V AC ACD '△D ABC '-ABC V A B C a b c cos sin B b A =B 7b =13a c +=ABC V 111ABC A B C -1AB BB =AB BC ⊥1A BC ⊥11ABB A 11AC A B ⊥M N M AB N位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元.（1）求，两点间的距离；（2）设铺设电缆总费用为.①求的表达式；②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度.18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，.①求二面角的余弦值；②求直线与平面所成角的正弦值.19. 已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.（1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由；（2）设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；M NMB ∠0NMB ∠α=05tan 12α=M 7km 5P π4NPB ∠=AB Q NQB ∠α=0π2αα<≤MQ QN /km /km M N ()f α()fαMQ P ABCD -ABCD 60∠= BAD PA PD ⊥E PC //PA BDE PA PB ==2PD =P AD B --BC ABP ()y f x =x D ∈a b c ∈，，D ()f a ()f b ()f c ()y f x =D ()215cos sin 4f x x x =++R ()2sin 2cos m k x x = ，()cos 2cos n x k x = ，()21g x m n k =⋅-+ π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦k（3）已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由.()πsin 26h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π,6θ⎡⎤⎢⎥⎣⎦θ()h x ()()()111123,A x h x i =,,1322x x x +=()()()132h x h x x +=()13cos x x -大连市2023~2024学年度第二学期期末考试高一数学答案第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】BC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.）【12题答案】【答案】3【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】①.②. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【15题答案】【答案】（1）； （2）.【16题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略【17题答案】【答案】（1）； （2）①；②万元，.【18题答案】【答案】（1）证明略 （2）①；②【19题答案】【答案】（1）是，理由略（2）（3）不存在，理由略.2324525ππ3B =13km 5()()032cos 36π(5sin 2fααααα-=+<≤365+12513122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭。
高一数学下册期末试卷及答案
高一数学下册期末试卷及答案心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，顽强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功!下面给大家分享一些关于高一数学下册期末试卷及答案，希望对大家有所帮助。
一.选择题1.若函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1+x2+x3的值为( )A.-1B.0C.3D.不确定[答案] B[解析] 因为f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f(x)的图象与x轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数.∴x1+x2+x3=0.2.已知f(x)=-x-x3，x∈[a，b]，且f(a)?f(b)<0，则f(x)=0在[a，b]内( )A.至少有一实数根B.至多有一实数根C.没有实数根D.有惟一实数根[答案] D[解析] ∵f(x)为单调减函数，x∈[a，b]且f(a)?f(b)<0，∴f(x)在[a，b]内有惟一实根x=0.3.(09?天津理)设函数f(x)=13x-lnx(x>0)则y=f(x)( )A.在区间1e，1，(1，e)内均有零点B.在区间1e，1，(1，e)内均无零点C.在区间1e，1内有零点;在区间(1，e)内无零点D.在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点[答案] D[解析] ∵f(x)=13x-lnx(x>0)，∴f(e)=13e-1<0，f(1)=13>0，f(1e)=13e+1>0，∴f(x)在(1，e)内有零点，在(1e，1)内无零点.故选D.4.(2010?天津文，4)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )A.(-2，-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)[答案] C[解析] ∵f(0)=-1<0，f(1)=e-1>0，即f(0)f(1)<0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内.5.若方程x2-3x+mx+m=0的两根均在(0，+∞)内，则m的取值范围是( )A.m≤1B.0C.m>1D.0[答案] B[解析] 设方程x2+(m-3)x+m=0的两根为x1，x2，则有Δ=(m-3)2-4m≥0，且x1+x2=3-m>0，x1?x2=m>0，解得06.函数f(x)=(x-1)ln(x-2)x-3的零点有( )A.0个B.1个C.2个D.3个[答案] A[解析] 令f(x)=0得，(x-1)ln(x-2)x-3=0，∴x-1=0或ln(x-2)=0，∴x=1或x=3，∵x=1时，ln(x-2)无意义，x=3时，分母为零，∴1和3都不是f(x)的零点，∴f(x)无零点，故选A.7.函数y=3x-1x2的一个零点是( )A.-1B.1C.(-1,0)D.(1,0)[答案] B[点评] 要准确掌握概念，“零点”是一个数，不是一个点.8.函数f(x)=ax2+bx+c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有[答案] C[解析] 若a=0，则b≠0，此时f(x)=bx+c为单调函数，∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点;若a≠0，则f(x)为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有f(1)?f(2)>0，∵f(1)>0，f(2)<0，∴在(1,2)上有且仅有一个零点，故选C.9.(哈师大附中2009～2010高一期末)函数f(x)=2x-log12x的零点所在的区间为( )A.0，14B.14，12C.12，1D.(1,2)[答案] B[解析] ∵f14=214-log1214=42-2<0，f12=2-1>0，f(x)在x>0时连续，∴选B.10.根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为( )x -1 0 1 2 3ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)[答案] C[解析] 令f(x)=ex-x-2，则f(1)?f(2)=(e-3)(e2-4)<0，故选C.二、填空题11.方程2x=x3精确到0.1的一个近似解是________.[答案] 1.412.方程ex-x-2=0在实数范围内的解有________个.[答案] 2三、解答题13.借助计算器或计算机，用二分法求方程2x-x2=0在区间(-1,0)内的实数解(精确到0.01).[解析] 令f(x)=2x-x2，∵f(-1)=2-1-(-1)2=-12<0，f(0)=1>0，说明方程f(x)=0在区间(-1,0)内有一个零点.取区间(-1,0)的中点x1=-0.5，用计算器可算得f(-0.5)≈0.46>0.因为f(-1)?f(-0.5)<0，所以x0∈(-1，-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75，用计算器可算得f(-0.75)≈-0.03>0.因为f(-1)?f(-0.75)<0，所以x0∈(-1，-0.75).同理，可得x0∈(-0.875，-0.75)，x0∈(-0.8125，-0.75)，x0∈(-0.78125，-0.75)，x0∈(-0.78125，-0.765625)，x0∈(-0.7734375，-0.765625).由于|(-0.765625)-(0.7734375)|<0.01，此时区间(-0.7734375，-0.765625)的两个端点精确到0.01的近似值都是-0.77，所以方程2x-x2=0精确到0.01的近似解约为-0.77.14.证明方程(x-2)(x-5)=1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2.[解析] 令f(x)=(x-2)(x-5)-1∵f(2)=f(5)=-1<0，且f(0)=9>0.f(6)=3>0.∴f(x)在(0,2)和(5,6)内都有零点，又f(x)为二次函数，故f(x)有两个相异实根，且一个大于5、一个小于2.15.求函数y=x3-2x2-x+2的零点，并画出它的简图.[解析] 因为x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x-1)(x+1)，所以函数的零点为-1,1,2.3个零点把x轴分成4个区间：(-∞，-1]，[-1,1]，[1,2]，[2，+∞].在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值)表：x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …y … -4.38 0 1.88 2 1.13 0 -0.63 0 2.63 …在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.16.借助计算器或计算机用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1,0)内的近似解.(精确到0.1)[解析] 原方程为x3-4x2+x+5=0，令f(x)=x3-4x2+x+5.∵f(-1)=-1，f(0)=5，f(-1)?f(0)<0，∴函数f(x)在(-1,0)内有零点x0.取(-1,0)作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下端点或中点横坐标端点或中点的函数值定区间a0=-1，b0=0 f(-1)=-1，f(0)=5 [-1,0]x0=-1+02=-0.5f(x0)=3.375>0 [-1，-0.5]x1=-1+(-0.5)2=-0.75 f(x1)≈1.578>0 [-1，-0.75]x2=-1+(-0.75)2=-0.875 f(x2)≈0.393>0 [-1，-0.875]x3=-1-0.8752=-0.9375 f(x3)≈-0.277<0 [-0.9375，-0.875]∵|-0.875-(-0.9375)|=0.0625<0.1，∴原方程在(-1,0)内精确到0.1的近似解为-0.9.17.若函数f(x)=log3(ax2-x+a)有零点，求a的取值范围.[解析] ∵f(x)=log3(ax2-x+a)有零点，∴log3(ax2-x+a)=0有解.∴ax2-x+a=1有解.当a=0时，x=-1.当a≠0时，若ax2-x+a-1=0有解，则Δ=1-4a(a-1)≥0，即4a2-4a-1≤0，解得1-22≤a≤1+22且a≠0.综上所述，1-22≤a≤1+22.18.判断方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内有无实数解;如果有，求出一个近似解(精确到0.1).[解析] 设函数f(x)=x3-x-1，因为f(1)=-1<0，f(1.5)=0.875>0，且函数f(x)=x3-x-1的图象是连续的曲线，所以方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内有实数解.取区间(1,1.5)的中点x1=1.25，用计算器可算得f(1.25)=-0.30<0.因为f(1.25)?f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5).再取(1.25,1.5)的中点x2=1.375，用计算器可算得f(1.375)≈0.22>0.因为f(1.25)?f(1.375)<0，所以x0∈(1.25，1.375).同理，可得x0∈(1.3125,1.375)，x0∈(1.3125，1.34375).由于|1.34375-1.3125|<0.1，此时区间(1.3125，1.34375)的两个端点精确到0.1的近似值是1.3，所以方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.。
2023-2024学年安徽省芜湖市高一下学期期末考试数学试题
2023-2024学年安徽省芜湖市高一下学期期末考试数学试题1.某校高一年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为150的样本.如果样本按比例分配，那么男生、女生应分别抽取的人数为（）A．75；75B．90；60C．60；90D．100；502.在中，，，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．3.下列四个命题，真命题为（）A．两两相交的三条直线确定一个平面B．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行C．若直线a，b与直线c所成角相等，则D．若两条平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直4.在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（）A．B．C．D．5.在三棱锥中，，，E，F分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．6.在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况.如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“x”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数.异常值是明显偏离样本的个别值.已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（）A．一班成绩比二班成绩集中B．一班成绩的上四分位数是80C．一班有同学的成绩超过140分D．一班的平均分高于二班的平均分7.某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高的实践活动中，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与（如图所示）.现测得，，，在点，测得塔顶的仰角分别为，则塔高约为（）（精确到，参考数据：）A．B．C．D．8.在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中A和B是正确选项，C和D是错误选项，甲，乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（）A．事件M与事件N相互独立B．事件M与事件Y互为对立事件C．事件X与事件Y相互独立D．事件N与事件Y为互斥事件9.已知复数，则下列说法正确的是（）A．B．C．是纯虚数D．z在复平面内对应的点在第二象限10.安徽师范大学位于安徽省芜湖市，是安徽省人民政府与中华人民共和国教育部共建高校、国家“中西部高校基础能力建设工程”项目高校.在该校建校96周年之际，为回馈师生，学校安排专业人员驾船于校内花津湖中打捞“花津鱼”，为师生们筹备了一场为期三天的春日鱼宴.为调查该活动中同学们的参与情况，调查部门认为该活动大部分同学参与标志为连续调查10次，每次未参与的人数不超过7人.在过去10次中，甲、乙、丙、丁四个调查小组调查的未参与人数的信息如下，一定符合该活动大部分同学参与标志的是（）A．甲组：中位数为2，极差为5B．乙组：总体平均数为2，总体方差为3C．丙组：总体平均数为1，总体方差大于0D．丁组：总体平均数为2，众数为211.已知正方体的体积为8，E是线段（不含端点）上的动点，下列说法正确的是（）A．不存在点E，使得直线平面B．对任意点E，直线都不垂直于平面C．过，，E的平面截该正方体所得的截面面积为D．的最小值为12.有编号分别为1，2的2个红球和2个黑球，随机取出2个，则取出的球的编号互不相同的概率是_______.13.底面半径为1，母线长为的圆锥的外接球的表面积为_______.14.在中，，，点在直线上，若的面积为，则的最小值是________.15.已知向量，，其中，.(1)求；(2)求.16.马仁奇峰位于安徽省芜湖市繁昌县境内，居皖南旅游带中部，风景奇特，文化底蕴深厚，素有“皖南张家界，江滨小黄山”之称.现景区为提高服务水平，对当日购票的40名游客进行满意度调查问卷，根据所得评分，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)求图中a的值；(2)景区准备对本次评分较高的游客赠送小纪念品，由于纪念品数量有限，只对评分排在前13%的游客赠送，求收到纪念品的游客分数不低于多少?(3)若从评分在的游客中随机抽出两位游客，求抽出的两位游客中至少有一位评分来自的概率.17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，E，G分别为线段，的中点，F为线段上的点.(1)若，平面∥平面，求线段的长度．(2)证明：平面平面；（备注：用空间向量解答不给分）18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求A；(2)若D为上一点，平分，且，，求的面积.19.如图，在梯形中，，，．把沿翻折，使得二面角的平面角为，M，N分别是和中点.(1)若，E是线段的中点，动点F在三棱锥表面上运动，并且总保持，求动点F的轨迹的长度.(2)若，P，Q分别为线段，上异于端点的点，满足，记分别与，所成角为，，若，求的取值范围.(3)若，求二面角的正切值.。
高一下学期期末数学试卷及答案
高一下学期期末数学试卷及答案不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。
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【试题一】一、选择题：（共15个小题，每小题4分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.已知全集U=R，A=，B={x|lnx0}，则AB=（）A.{x|﹣1x2}B.{x|﹣1x2}C.{x|x﹣1或x2}D.{x|02.已知，那么cos=（）A.B.C.D.3.已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）A.B.C.1D.24.△ABC中，AB=2，AC=3，B=60，则cosC=（）A.B.C.D.5.已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（﹣2）（3﹣4）=（）A.﹣B.﹣C.﹣6﹣D.﹣6+6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A.63B.45C.36D.277.已知角是第二象限角，且|cos|=﹣cos，则角是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A.5B.4C.3D.29.对任意一个确定的二面角﹣l﹣，a和b是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a和b所成的角也确定的是（）A.a∥a且b∥B.a∥a且bC.a且bD.a且b10.定义22矩阵=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），则函数g（x）解析式为（）A.g（x）=﹣2cos2xB.g（x）=﹣2sin2xC.D.11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.7B.7C.7D.812.若sin（+）=，是第三象限的角，则=（）A.B.C.2D.﹣213.已知，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn0的n的最小值为（）A.10B.11C.12D.1314.（1+tan18）（1+tan27）的值是（）A.B.C.2D.2（tan18+tan27）15.数列{an}满足：且{an}是递增数列，则实数a的范围是（）A.B.C.（1，3）D.（2，3）二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题纸上）16.已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C 三点共线，则k=.17.已知向量、满足||=1，||=1，与的夹角为60，则|+2|=.18.在△ABC中，BD为ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，则sinABD等于.19.在四棱锥S﹣ABCD中，SA面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为.20.设数列{an}的通项为an=2n﹣7（nN*），则|a1|+|a2|++|a15|=.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（xR）.（1）若∥，求|﹣|（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围.22.（文科）已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n 项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20.（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式.（Ⅱ）令Cn=nbn（nN+），求{cn}的前n项和Tn.23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣.（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影.24.已知如图：四边形ABCD是矩形，BC平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，点F为CE上一点，且BF平面ACE.（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥A﹣DBE的体积；（3）求二面角D﹣BE﹣A的大小.25.如图，函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，||）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m0），PQR=，M为QR的中点，|PM|=.（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；（Ⅱ）设PRQ=，求tan.26.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10.（Ⅰ）求证：{lgan}是等差数列；（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，求Tn；（Ⅲ）求使Tn（m2﹣5m）对所有的nN*恒成立的整数m的取值集合.2021-2021学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共15个小题，每小题4分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.已知全集U=R，A=，B={x|lnx0}，则AB=（）A.{x|﹣1x2}B.{x|﹣1x2}C.{x|x﹣1或x2}D.{x|0【考点】并集及其运算.【分析】求出A与B中不等式的解集，分别确定出A与B，找出两集合的并集即可.【解答】解：由A中不等式变形得：0，即（x+1）（x﹣2）0，且x﹣20，解得：﹣1x2，即A={x|﹣1x2}，由B中不等式变形得：lnx0=ln1，得到0则AB={x|﹣1x2}，故选：B.2.已知，那么cos=（）A.B.C.D.【考点】诱导公式的作用.【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cos的值.【解答】解：sin（+）=sin（2++）=sin（+）=cos=.故选C.3.已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）A.B.C.1D.2【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】如图所示，由于=+，可得：PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D.即可得出.【解答】解：如图所示，∵=+，PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D.=1.故选：C.4.△ABC中，AB=2，AC=3，B=60，则cosC=（）A.B.C.D.【考点】正弦定理.【分析】由已知及正弦定理可得sinC==，又AB【解答】解：∵AB=2，AC=3，B=60，由正弦定理可得：sinC===，又∵ABcosC==.故选：D.5.已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（﹣2）（3﹣4）=（）A.﹣B.﹣C.﹣6﹣D.﹣6+【考点】平面向量数量积的运算.【分析】将式子展开计算.【解答】解：（﹣2）（3﹣4）=3﹣4﹣6+8=311cos120﹣411cos60﹣612+811cos60=﹣﹣2﹣6+4=﹣.故选：B.6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A.63B.45C.36D.27【考点】等差数列的性质.【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得.【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，S9﹣S6=45a7+a8+a9=45故选B.7.已知角是第二象限角，且|cos|=﹣cos，则角是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【考点】三角函数值的符号.【分析】根据的范围判断出的范围，再由含有绝对值的式子得到角的余弦值的符号，根据一全正二正弦三正切四余弦再进一步判断的范围.【解答】解：由是第二象限角知，是第一或第三象限角.又∵|cos|=﹣cos，cos0，是第三象限角.故选C.8.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A.5B.4C.3D.2【考点】等差数列的通项公式.【分析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首项和公差表示，两式相减，得到结果.【解答】解：，故选C.9.对任意一个确定的二面角﹣l﹣，a和b是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a和b所成的角也确定的是（）A.a∥a且b∥B.a∥a且bC.a且bD.a且b【考点】异面直线及其所成的角.【分析】作辅助线，利用二面角的定义和线线角的定义证明两角互补即可.【解答】解：如图，若a且b，过A分别作直线a、b的平行线，交两平面、分别为C、B设平面ABC与棱l交点为O，连接BO、CO，易知四边形ABOC为平面四边形，可得BOC与BAC互补∵﹣l﹣是大小确定的一个二面角，而BOC就是它的平面角，BOC是定值，BAC也是定值，即a，b所成的角为定值.故选D10.定义22矩阵=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），则函数g（x）解析式为（）A.g（x）=﹣2cos2xB.g（x）=﹣2sin2xC.D.【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用.【分析】利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得函数g（x）解析式.【解答】解：由题意可得f（x）==cos2x﹣sin2x﹣cos（+2x）=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣），则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2cos[2（x﹣）﹣]=2cos（2x﹣）=﹣2cos2x，故选：A.11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.7B.7C.7D.8【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，结合图中数据即可求出它的体积.【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，如图所示；所以该几何体的体积为V=V正方体﹣﹣=23﹣122﹣122=7.故选：A.12.若sin（+）=，是第三象限的角，则=（）A.B.C.2D.﹣2【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】已知等式利用诱导公式化简求出sin的值，根据为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出cos的值，原式利用诱导公式化简，整理后将各自的值代入计算即可求出值.【解答】解：∵sin（+）=﹣sin=，即sin=﹣，是第三象限的角，cos=﹣，则原式====﹣，故选：B.13.已知，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn0的n的最小值为（）A.10B.11C.12D.13【考点】数列的求和.【分析】由，可得a1+a10=a2+a9==a5+a6=0，a110，则有S90，S10=0，S110可求【解答】解：由，可得a1+a10=a2+a9==a5+a6=0，a110S90，S10=0，S110使Sn0的n的最小值为11故选：B14.（1+tan18）（1+tan27）的值是（）A.B.C.2D.2（tan18+tan27）【考点】两角和与差的正切函数.【分析】要求的式子即1+tan18+tan27+tan18tan27，再把tan18+tan27=tan45（1﹣tan18tan27）代入，化简可得结果.【解答】解：（1+tan18）（1+tan27）=1+tan18+tan27+tan18tan27=1+tan45（1﹣tan18tan27）+tan18tan27=2，故选C.15.数列{an}满足：且{an}是递增数列，则实数a的范围是（）A.B.C.（1，3）D.（2，3）【考点】数列的函数特性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明.【分析】根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案.【解答】解：根据题意，an=f（n）=；要使{an}是递增数列，必有；解可得，2故选D.二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题纸上）16.已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C 三点共线，则k=.【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线.【分析】利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k.【解答】解：向量，又A、B、C三点共线故（4﹣k，﹣7）=（﹣2k，﹣2）k=故答案为17.已知向量、满足||=1，||=1，与的夹角为60，则|+2|=.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据条件进行数量积的计算便可得出，从而便可求出，这样即可求出的值.【解答】解：根据条件，；；.故答案为：.18.在△ABC中，BD为ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，则sinABD等于.【考点】正弦定理.【分析】利用余弦定理求得cosABC=cos2的值，可得的值.【解答】解：∵△ABC中，BD为ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，设ABD=，则ABC=2，由余弦定理可得cos2===，2=，=，故答案为：.19.在四棱锥S﹣ABCD中，SA面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为17.【考点】球内接多面体.【分析】如图所示，连接AC，BD相交于点O1.取SC的中点，连接OO1.利用三角形的中位线定理可得OO1∥SA.由于SA底面ABCD，可得OO1底面ABCD.可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心，SC是外接球的直径.【解答】解：如图所示连接AC，BD相交于点O1.取SC的中点，连接OO1.则OO1∥SA.∵SA底面ABCD，OO1底面ABCD.可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心.因此SC是外接球的直径.∵SC2=SA2+AC2=9+8=17，4R2=17，四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为4R2=17=17.故答案为：1720.设数列{an}的通项为an=2n﹣7（nN*），则|a1|+|a2|++|a15|=153.【考点】等差数列的前n项和.【分析】先根据数列的通项公式大于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到数列的前三项为负数，利用负数的绝对值等于它的相反数，求出前三项的绝对值，正数的绝对值等于本身把第四项及后面的各项化简，然后利用等差数列的前n项和的公式即可求出所求式子的值.【解答】解：由an=2n﹣70，解得n，所以数列的前3项为负数，则|a1|+|a2|++|a15|=5+3+1+1+3+5++23=9+121+2=153.故答案为：153三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（xR）.（1）若∥，求|﹣|（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围.【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示.【分析】（1）根据向量平行与坐标的关系列方程解出x，得出的坐标，再计算的坐标，再计算||；（2）令得出x的范围，再去掉同向的情况即可.【解答】解：（1）∵，﹣x﹣x（2x+3）=0，解得x=0或x=﹣2.当x=0时，=（1，0），=（3，0），=（﹣2，0），||=2.当x=﹣2时，=（1，﹣2），=（﹣1，2），=（2，﹣4），||=2.综上，||=2或2.（2）∵与夹角为锐角，，2x+3﹣x20，解得﹣1又当x=0时，，x的取值范围是（﹣1，0）（0，3）.22.（文科）已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n 项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20.（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式.（Ⅱ）令Cn=nbn（nN+），求{cn}的前n项和Tn.【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和.【分析】（Ⅰ）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12①，S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②联立①②结合d0可求d，q，利用等差数列，等比数列的通项公式可求an，bn（Ⅱ）由（I）可得，bn=2n﹣1，cn=n2n﹣1，考虑利用错位相减求解数列的和即可【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12①S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②联立①②可得，（3d+7）（d﹣3）=0∵{an}是单调递增的等差数列，d0.则d=3，q=2，an=3+（n﹣1）3=3n，bn=2n﹣1（Ⅱ）bn=2n﹣1，cn=n2n﹣1，Tn=c1+c2++cnTn=120+221+322++n2n﹣12Tn=121+222++（n﹣1）2n﹣1+n2n两式相减可得，﹣Tn=120+121+122++12n﹣1﹣n2n﹣Tn==2n﹣1﹣n2nTn=（n﹣1）2n+123.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣.（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影.【考点】两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理.【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B 的值，利用余弦定理求出c的大小.【解答】解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知ab，即AB，所以B=，由余弦定理可知.解得c=1，c=﹣7（舍去）.向量在方向上的投影：=ccosB=.24.已知如图：四边形ABCD是矩形，BC平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，点F为CE上一点，且BF平面ACE.（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥A﹣DBE的体积；（3）求二面角D﹣BE﹣A的大小.【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定.【分析】（1）连接AC交BD于G，连结GF，则G为AC的中点，推导出BFCE，FG为△ACE的中位线，由此能证明AE∥平面BFD.（2）推导出BFAE，BCAE，AD平面ABE，从而AEBE，由V A ﹣DBE=VD﹣ABE，能求出三棱锥A﹣DBE的体积.（3）由AEBE，ADBE，得到DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BE﹣A的大小.【解答】证明：（1）连接AC交BD于G，连结GF，∵ABCD是矩形，G为AC的中点，1分由BF平面ACE得：BFCE，由EB=BC知：点F为CE中点，2分FG为△ACE的中位线，FG∥AE，3分∵AE平面BFD，FG平面BFD，AE∥平面BFD.4分解：（2）由BF平面ACE得：BFAE，由BC平面ABE及BC∥AD，得：BCAE，AD平面ABE，∵BCBF=F，AE平面BCE，则AEBE，6分V A﹣DBE=VD﹣ABE=，即三棱锥A﹣DBE的体积为.8分（3）由（2）知：AEBE，ADBE，BE平面ADE，则BEDE，DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角，10分在Rt△ADE中，DE==4，AD=DE，则DEA=30，二面角D﹣BE﹣A的大小为30.12分.25.如图，函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，||）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m0），PQR=，M为QR的中点，|PM|=.（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；（Ⅱ）设PRQ=，求tan.【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；同角三角函数间的基本关系.【分析】（Ⅰ）由已知可得=，从而解得m的值，由图象可求T，由周期公式可求，把p（1，0）代入f（x），结合||，即可求得的值，把R（0，﹣4）代入f（x）=Asin（x﹣），即可解得A的值，从而可求f（x）的解析式.（Ⅱ）由ORP=﹣，tanORP=，根据tan（﹣）=即可解得tan的值.【解答】解：（Ⅰ）∵PQR=，OQ=OR，∵Q（m，0），R（0，﹣m），又M为QR的中点，M（，﹣），又|PM|=，=，m2﹣2m﹣8=0，m=4，m=﹣2（舍去），R（0，4），Q（4，0），=3，T=6，=6，，把p（1，0）代入f（x）=Asin（x+），Asin（+）=0，∵||，=﹣.把R（0，﹣4）代入f（x）=Asin（x﹣），Asin（﹣）=﹣4，A=.f（x）的解析式为f（x）=sin（x﹣）.所以m的值为4，f（x）的解析式为f（x）=sin（x﹣）.（Ⅱ）在△OPR中，ORP=﹣，tanORP=，tan（﹣）=，=，解得tan=.26.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10.（Ⅰ）求证：{lgan}是等差数列；（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，求Tn；（Ⅲ）求使Tn（m2﹣5m）对所有的nN*恒成立的整数m的取值集合.【考点】数列的求和；等差关系的确定.【分析】（I）根据等差数列的定义即可证明{lgan}是等差数列；（Ⅱ）求出{}的通项公式，利用裂项法即可求Tn；（Ⅲ）直接解不等式即可得到结论.【解答】解：（I）∵a1=10，an+1=9Sn+10.当n=1时，a2=9a1+10=100，故，当n1时，an+1=9Sn+10①，an+2=9Sn+1+10②，两式相减得an+2﹣an+1=9an+1，即an+2=10an+1，即，即{an}是首项a1=10，公比q=10的等比数列，则数列{an}的通项公式；则lgan=lg10n=n，则lgan﹣lgan﹣1=n﹣（n﹣1）=1，为常数，即{lgan}是等差数列；（Ⅱ）∵lgan=n，则=（﹣），则Tn=3（1﹣++﹣）=3（1﹣）=3﹣，（Ⅲ）∵Tn=3﹣T1=，要使Tn（m2﹣5m）对所有的nN*恒成立，则（m2﹣5m）对所有的nN*恒成立，解得﹣1故整数m的取值集合{0，1，2，3，4，5}.【试题二】一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q，则Q点坐标（）A.（﹣，）B.（﹣，﹣）C.（﹣，﹣）D.（﹣，）2.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1.则事件抽到的不是一等品的概率为（）A.0.7B.0.65C.0.35D.0.33.已知，为单位向量，其夹角为60，则（2﹣）=（）A.﹣1B.0C.1D.24.sin（﹣15）=（）A.B.C.D.5.已知向量=（﹣2，1），=（3，0），则在方向上的正射影的数量为（）A.﹣B.C.﹣2D.26.在△ABC中，a=1，b=x，A=30，则使△ABC有两解的x的范围是（）A.B.（1，+）C.D.（1，2）7.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A.cxB.xaC.cbD.bc8.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形9.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直10.设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）A.y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数B.y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数C.y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D.y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数11.设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）A.2B.C.3D.12.已知在等边△ABC中，AB=3，O为中心，过O的直线与△ABC 的边分别交于点M、N，则+的值是（）A.B.2C.D.二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.高一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则需要将全班同学分成组.14.已知tan=2，tan=3，且、都是锐角，则tan=.15.有一解三角形的题目因纸张破损，有一条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a=，2cos2=（﹣1）cosB，c=，求角A，若该题的答案是A=60，请将条件补充完整.16.在△ABC中，ACB为钝角，AC=BC=1，且x+y=1，函数的最小值为，则的最小值为.三、解答题（共6小题，满分70分）17.已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0），xR的值是1，其图象经过点.（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（﹣）的值.18.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值.19.如图，已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设Z是直线OP 上的一动点.（1）求使取最小值时的；（2）对（1）中求出的点Z，求cosAZB的值.20.学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150]，4.（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C，D的值；（2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；（3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立二帮一小组，即从成绩在[135，150]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60，75）中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.样本频率分布表：分组频数频率[60，75）20.04[75，90）30.06[90，105）140.28[105，120）150.30[120，135）AB[135，150]40.08合计CD21.某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E 在边BC上，点F在边AD上，且EOF=90.（1）设BOE=，试将△OEF的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用.22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量=（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksin，t）.（1）若，且||=||，求向量；（2）若向量与向量共线，常数k0，求f（）=tsin的值域；（3）当（2）问中f（）的值4时，求.参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q，则Q点坐标（）A.（﹣，）B.（﹣，﹣）C.（﹣，﹣）D.（﹣，）【考点】弧长公式.【分析】画出图形，结合图形，求出xOQ的大小，即得Q点的坐标.【解答】解：如图所示，；点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q，则POQ=﹣2=，xOQ=，cos=﹣，sin=，Q点的坐标为（﹣，）；故选：A.2.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1.则事件抽到的不是一等品的概率为（）A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3【考点】互斥事件的概率加法公式.【分析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来.【解答】解：根据对立事件的概率和为1，得；∵事件A={抽到一等品}，且P（A）=0.65，事件抽到的不是一等品的概率为P=1﹣P（A）=1﹣0.65=0.35.故选：C.3.已知，为单位向量，其夹角为60，则（2﹣）=（）A.﹣1B.0C.1D.2【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）的值.【解答】解：由题意可得，=11cos60=，=1，（2﹣）=2﹣=0，故选：B.4.sin（﹣15）=（）A.B.C.D.【考点】三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值.【分析】利用两角差的正弦公式，结合特殊角的三角函数，即可得出答案.【解答】解：sin（﹣15）=sin（30﹣45）=sin30cos45﹣cos30sin45=﹣=.故选：D.5.已知向量=（﹣2，1），=（3，0），则在方向上的正射影的数量为（）A.﹣B.C.﹣2D.2【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可.【解答】解：∵向量=（﹣2，1），=（3，0），在方向上的正射影为||cos，===﹣2，故选：C6.在△ABC中，a=1，b=x，A=30，则使△ABC有两解的x的范围是（）A.B.（1，+）C.D.（1，2）【考点】正弦定理.【分析】根据题意画出图形，由题意得到三角形有两解的条件为b=xa，bsinA【解答】解：结合图形可知，三角形有两解的条件为b=xa，bsinA b=x1，xsin301，则使△ABC有两解的x的范围是1故选：D.7.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A.cxB.xaC.cbD.bc【考点】程序框图.【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存值的变量X=C.【解答】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存值的变量X=C故选A.8.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【考点】三角形的形状判断.【分析】由已知结合正弦定理可得sinC【解答】解：∵由正弦定理可得，sinCsin（A+B）sinAcosB+sinBcosAsinAcosB0又sinA0cosB0即B为钝角故选：A9.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【考点】平行向量与共线向量.【分析】根据向量的定必分点性质可分别表示出，，，然后三者相加即可得到答案.【解答】解：由定比分点的向量式得：，，，以上三式相加得，故选A10.设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）A.y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数B.y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数C.y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D.y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数【考点】两角和与差的正弦函数.【分析】将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于k（kZ），再由的范围，求出的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[k，k+]（kZ），可得出（0，）[k，k+]（kZ），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项.【解答】解：f（x）=cos（2x+）+sin（2x+）=2[cos（2x+）+sin（2x+）]=2cos（2x+﹣），∵=2，T==，又函数图象关于直线x=0对称，﹣=k（kZ），即=k+（kZ），又||，=，f（x）=2cos2x，令2k2x2k+（kZ），解得：kxk+（kZ），函数的递减区间为[k，k+]（kZ），又（0，）[k，k+]（kZ），函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数.故选B11.设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）A.2B.C.3D.【考点】向量在几何中的应用.【分析】根据，变形得，利用向量加法的平行四边形法则可得2=﹣4，从而确定点O的位置，进而求得△ABC的面积与△AOC的面积的比.【解答】解：分别取AC、BC的中点D、E，∵，，即2=﹣4，O是DE的一个三等分点，=3，故选C.12.已知在等边△ABC中，AB=3，O为中心，过O的直线与△ABC 的边分别交于点M、N，则+的值是（）A.B.2C.D.【考点】解三角形的实际应用.【分析】如图所示，设AOM=.由点O是正△ABC的中心，AC=3.可得AD═ACsin60，AO=AD.在△AMO中，由正弦定理可得：OM==，同理在△ANO中，可得：ON=.代入即可得出.【解答】解：如图所示，设AOM=.∵点O是正△ABC的中心，AC=3.AD═ACsin60=，AO=AD=.在△AMO中，由正弦定理可得：=，OM==，同理在△ANO中，由正弦定理可得：ON=.=+==2sin.∵，由过O的直线交AB于M，交AC于N，可得，因此当时，取得值2.故选：B.二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.高一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则需要将全班同学分成8组.【考点】系统抽样方法.【分析】根据系统抽样进行求解即可.【解答】解：高一某班有学生56人，系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则568=7，即样本间隔为7，每7人一组，共需要分成8组，故答案为：814.已知tan=2，tan=3，且、都是锐角，则tan=1+.【考点】两角和与差的正切函数；半角的三角函数.【分析】先利用正切的两角和公式求得tan（+）的值，进而求得+，的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解.【解答】解：tan（+）===﹣1，∵、都是锐角，+=，可得：=，tan0，∵tan（+）=﹣1=，整理可得：tan2﹣2tan﹣1=0，解得：tan=1+，或1﹣（舍去）.故答案为：1+.15.有一解三角形的题目因纸张破损，有一条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a=，2cos2=（﹣1）cosB，c=，求角A，若该题的答案是A=60，请将条件补充完整.【考点】余弦定理.【分析】利用诱导公式、二倍角公式求得B，再利用两角和的正弦公式求得sin75的值，再利用正弦定理求得c的值.【解答】解：在△ABC中，∵已知a=，2cos2=（﹣1）cosB，1+cos（A+C）=（﹣1）cosB，即1﹣cosB=（﹣1）cosB，cosB=，B=.若A=60，则C=180﹣A﹣B=75，sin75=sin（45+30）=sin45cos30+cos45sin30=，则由正弦定理可得=，求得c=，故答案为：.16.在△ABC中，ACB为钝角，AC=BC=1，且x+y=1，函数的最小值为，则的最小值为.【考点】向量加减混合运算及其几何意义.【分析】在△ABC中，ACB为钝角，AC=BC=1，函数f（m）的最小值为.利用数量积的性质可得ACB，进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出.【解答】解：在△ABC中，ACB为钝角，AC=BC=1，函数f（m）的最小值为.函数==，化为4m2﹣8mcosACB+10恒成立.当且仅当m==cosACB时等号成立，代入得到，.===x2+（1﹣x）2﹣x（1﹣x）=，当且仅当x==y时，取得最小值，的最小值为.故答案为：.三、解答题（共6小题，满分70分）17.已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0），xR的值是1，其图象经过点.（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（﹣）的值.【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；两角和与差的余弦函数.【分析】（1）根据题意求出A，图象经过点，代入方程求出，然后求f（x）的解析式；（2），且，，求出，然后求出sin，sin，利用两角差的余弦函数求f（﹣）的值.【解答】解：（1）依题意有A=1，则f（x）=sin（x+），将点代入得，而0，，，故.（2）依题意有，而，，.18.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值.【考点】解三角形.【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C.（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值.【解答】解：（1）∵=2csinA正弦定理得，∵A锐角，sinA0，，又∵C锐角，（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得.即ab=6，（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5.19.如图，已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设Z是直线OP 上的一动点.。
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
长沙市2023~2024学年高一年级期末考试数学试卷（答案在最后）2024年7月时量：120分钟满分：150分命题：高一数学组审题：高一数学组一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2i z =-，则zz z =-（）A.1i 2-+ B.1i 2- C.1i 2+ D.1i 2--2.有一组互不相等的样本数据126,,,x x x ，平均数为x .若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为125,,,y y y ，平均数为y ，则下列说法错误的是（）A.新数据的极差可能等于原数据的极差B.新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C.若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差D.若x y =，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数3.设ABC 的内角A B C ､､所对边分别为,,a b c ，若π3A =，且不等式(230x x -+<的解集为{}x b x a <<∣，则B =（）A.π6B.5π6C.π6或5π6 D.2π34.在侧棱长为S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠∠∠=== ，过A 作截面AEF ，则截面的最小周长为（）A. B.4C.6D.105.设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得b a λ= ”是“a b a b +=+ ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC CC AC BC ==⊥，点D 是AB 的中点，则直线1B B 和平面1CDB 所成角的正切值为（）A.22B.3222D.227.在正方体1111ABCD A B C D -中边长为2，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π4，则此时点P 构成的图形面积为（）A.πB.25π16C.41π16D.2π8.已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ====.若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ，都有11223312312e e e e e e λλλ++≥++，则向量13,e e 夹角的最大值的余弦值为（）A.366-B.356+-C.366-D.356-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为12,x x ，事件A =“13x =”，事件B =“26x =”，事件12“9C x x =+=”，则（）（）A.AB C ⊆B.AC B ⊆C.,B C 互斥D.,B C 独立10.已知函数()23sin 2sin (0)2xf x x ωωω=+>的图象在区间[]0,π上有且仅有三个对称中心，则（）A.ω的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()f x 的图象在区间[]0,π上有2条或3条对称轴C.()f x 在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值不可能为3D.()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,,E F G 分别为棱11,,AA CC BC 上的点，()10,1A E CF CG λ===∈，则（）A.EG GF⊥B.平面EFG 经过棱AB 的中点HC.平面EFG 截该正方体，截面面积的最大值为4D.点D 到平面EFG 距离的最大值为2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象与坐标轴交于点,,A B C ，直线BC 交()f x 的图象于点,D O （坐标原点）为ABD 的重心（三条边中线的交点），其中()π,0A -，则ABD 的面积为__________.13.明德中学为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为x ，方差为2x s ，所有教师评分样本的半均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x s y s s ==，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为__________.14.正四棱锥的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则Rr的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面,2,22,,ABCD PA AB PB AD BC AB BC AD =====⊥∥,BC M 为棱AP 的中点.（1）求证：BM ∥平面PCD ；（2）求直线PC 与平面BCM 所成角的正弦值.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos sin 3a b C C =-.（1）求B 的大小；（2）若ABC 的面积为，且3BC BD =，当线段AD 的长最短时，求AC 的长.17.（15分）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲､乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，...，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求取球2次即终止的概率：（2）求甲取到白球的概率.18.（17分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，且6AB =，60BAD BAF DAF ∠∠∠=== .（1）证明：直线BD ⊥平面ACEF ；（2）设平面BEF ⋂平面ABCD l =，且二面角E l D --的平面角为26,tan 3θθ=，设G 为线段AF 的中点，求DG 与平面ABCD 所成角的正弦值.19.（17分）点A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与,P Q 两点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=-.（1）若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 的延长线上，且22AB BM ==，由1A 对AB 施以视角运算，求(),;A B M 的值：（2）若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 上，且2AB =，由1A 对AB 施以机角运算，得到()1,;2A B M =，求AM MB的值；（3）若1231,,,,n M M M M - 是ABC 的边BC 的()2n n ≥等分点，由A 对BC 施以视角运算，证明：()()(),;,;11,2,3,,1k n k B C M B C M k n -⨯==- .长沙市2023~2024学年高一年级期末考试数学答案题号12345678答案ADACBDAA【解析】因为2i z =-，所以2i z =+，所以()()()2i i 2i 2i 12i 1i 2i 2i 2i 2i i 22z z z +⋅++-+=====-+---+--⋅.故选：A.2.【答案】D【解析】不妨设原数据126x x x <<< ，新数据.125y y y <<< .，A ：例如原数据为1,2,3,4,5,6，新数据为，此时极差均为615-=，故A 正确；B ：原数据中位数为342x x +，新数据中位数为3y ，可知33y x =或34y x =，若33y x =，可得34332x x x y +>=；若34y x =，可得34432x xx y +<=；综上所述：新数据的中位数不可能等于原数据的中位数，故B 正确；C ：若x y =，可知去掉的数据为x ，则652211(()i i x x y y ==-=-∑∑，可得652211111,3,4,5,6()()65i i x x y y ==-<-∑∑，所以新数据的方差一定大于原数据方差，故C 正确；D：若x y =，可知去掉的数据为x ，因为640% 2.4⨯=，可知原数据的40%分位数为第3位数，540%2⨯=，可知新数据的40%分位数为第2位数与第3位数的平均数，例如原数据为2,2,3,4,5,6-，新数据为2,2,4,5,6-，此时新数据的40%分位数､原数据的40%分位数均为3，故D 错误；故选：ABC.3.【答案】A【解析】不等式(230x x -+<即()(30x x -<3x <<，所以，3,a b ==，由正弦定理可得sin sin b a B A=，所以，πsin 13sin 32b A B a ===，b a < ，所以B A <，可得B 是锐角，所以π6B =，故选A .4.【答案】C【解析】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面AEF 的周长最小，就是侧面展开图中AG 的距离，因为侧棱长为2的正三棱锥V ABC -的侧棱间的夹角为40,120AVG ∠=，所以由余弦定理可知22222cos12036,6AG VA VG VA VG AG =+-⋅==∴= ，故选C.5.【答案】B【解析】若“a b a b +=+，则平方得2222|2||2|a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，即a b a b ⋅=⋅ ，即cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅=⋅ ，则cos ,1a b = ，即,0a b = ，即,a b同向共线，则存在实数λ使得b a λ= ；反之当,πa b = 时，存在0λ<，满足b a λ= ，但“a b a b +=+ ”不成立，即“存在实数λ使得b a λ= ”是“a b a b +=+ ”的必要不充分条件.故选：B.6.【答案】D【解析】由题意，以C 为坐标原点，以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间坐标系，如下图所示：令12AC BC CC ===，则()0,0,0C ，()()()()12,0,0,0,2,0,1,1,0,0,2,2A B D B 故()()()110,0,2,1,1,0,0,2,2B B CD CB =-==设(),,n x y z = 为平面1CDB 的一个法向量，则100CD n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则1,1y z =-=，从而()1,1,1n =-，设直线1B B 和平面1CDB 所成角为θ，则111sin cos ,3||n B B n B B n B Bθ⋅=<>==⋅，故cos 3θ=，从而tan 2θ=.故选：D.7.【答案】A【解析】如下图所示，设三棱锥P ABC -的外接球为球O '，分别取11AC A C ､的中点1O O ､，则点O '在线段1OO 上，由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则ABC的外接圆的半径为OA =O 的半径为R ，则2414ππ4R =，解得4R =.所以，34OO =='，则1135244OO OO OO '=-=-=，易知，点P 在上底面1111A B C D 所形成的轨迹是以1O为圆心的圆，由于4O P R =='，所以，11O P ==，因此，点P 所构成的图形的面积为21ππO P ⨯=.故选：A.8.【答案】A【解析】设()cos ,sin C θθ，如图，不妨设()()12311,0,,,cos ,sin 22e OA e OB e CO θθ⎛⎫======-- ⎪ ⎪⎝⎭.设M 为AB 的中点，G 为OC 的中点，F 为BD 的中点，E 为AD 的中点.则()1233111,,cos ,sin ,44222M G e e e GO OM GM θθ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设112233e e e HO OP HP λλλ++=+=，点P 在平行四边形EDFM 内（含边界）.由题知HP GM ≥恒成立.为了使13,e e最大，则思考13,e e为钝角，即思考C 点在第一或第四象限.思考临界值即P 与M 重合，G 与H 重合，且GM 不能充当直角三角形斜边，否则可以改变H 的位置，使得HM GM <，此时θ最小，所以GM OC ⊥ ，即()311cos ,sin cos ,sin 04242θθθθ⎛⎫--⋅= ⎪⎪⎝⎭，即22311cos cos sin 04242θθθθ-+-=.即331cos sin 1222θθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即π1cos 262θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以πcos 63θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1332326+=⨯+=，其中向量1e 与3e 夹角为πθ-，故1e 与3e 夹角的最大值的余弦值为36+-.故选：A.9.【答案】ABD【解析】AB =“13x =且26x ="，事件C 的基本事件有121212121,8;2,7;3,6;4,5x x x x x x x x ========；121212125,4;6,3;7,2;8,1x x x x x x x x ========共8个，所以AB C ⊆，故A 正确；AC ="13x =且129"x x +=="13x =且26"x =，所以AC B ⊆，故B 正确；对于C ，当13x =且26x =时，事件,B C 同时发生，所以,B C 不互斥，故C 错误；对于()()181D,,8888P B P C ===⨯，而BC =“13x =且26x =”，则()164P BC =，所以()()()P BC P B P C =，所以,B C 独立，故D 正确.故选：ABD.10.【答案】BD【解析】()1cos π2cos 12sin 126xf x x x x x ωωωωω-⎛⎫=+⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()ππ6x k k ω-=∈Z ，得()()61πππ66k k x k ωωω+=+=∈Z ，由()()61π0π6k k ω+≤≤∈Z 结合0ω>，得()1166k k ω-≤≤-∈Z ，依题意.k .有且只有三个整数值，所以1236ω≤-<，得131966ω≤<，故A 不正确；令()πππ62x k k ω-=+∈Z ，得()()32ππ2π33k k x k ωωω+=+=∈Z ，由()()32π0π3k k ω+≤≤∈Z 结合0ω>，得()2233k k ω-≤≤-∈Z ，当13863ω≤<时，32223ω≤-<，此时0k =或1k =，函数()f x 的图象在区间[]0,π上有2条对称轴，为2π5π,33x x ωω==，当81936ω≤<时，25232ω≤-<，此时0k =或1k =或2k =，函数()f x 的图象在区间[]0,π上有2条对称轴，为2π5π8π,,333x x x ωωω===，所以()f x 的图象在区间[]0,π上有2条或3条对称轴，故B 正确；当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππππ,6646x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为131966ω≤<，所以ππ3π5π,4688ω⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，所以当ππ62x ω-=，即2π3x ω=时，()f x 取得最大值3，故C 不正确；由π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππππ,6666x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为131966ω≤<，所以ππ7π13π,663636ω⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，因为0ω>，所以()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故D 正确.故选：BD11.【答案】ABD【解析】记M 为11D C 的中点，棱AB 的中点H ，取线段11A D 上的点N 使得1A N λ=，正方体1111ABCD A B C D -的中心为O .则根据对称性，E 和,F G 和,N H 和M 分别关于点O 对称.从而O 在平面EFG 内，而FG ∥1BC ∥HM ，故FG ∥HO ，从而H 在平面EFG 内.由于前面的对称性，及,,,,E F G H O 在平面EFG 内，知平面EFG 截该正方体的截面就是中心为O 的六边形EHGFMN ，从而H 一定在平面EFG 内，至此我们得到选项B 正确.前面已经证明FG ∥MH ，同理有NE ∥MH ，故FG ∥MH ∥NE .由于11A N A E CF CG λ====，故111D N AE C F BG λ====-，同时显然有1112AH BH D M C M ====.从而EN FG λ===，MN MF EH GH =====由于,EN FG HM FG λ==<=∥MH ∥NE ，故四边形ENMH 和GFMH 都是等腰梯形，从而,OE ON OF OG ==.这表明线段EF 和GN 互相平分且长度相等，所以四边形是EGFN 矩形，故EG GF ⊥，至此我们得到选项A 正确.由于四边形ENMH 和GFMH λ，下底均为，.所以它们的面积都等于(11122λλ⋅+=+故截面EHGFMN 的面积(1S λ=+.当34λ=时，(7321411644S λ⋅=+=>，至此我们得到选项C 错误.由于1122DO DB ==，且O 在平面EFG 内，故点D 到平面EFG的距离不超过2.而当12λ=时，,,,,,E H G F M N分别是各自所在棱的中点，从而DE DF DG ===而2OE OF OG ===，这表明点D 和点O 到,,E F G 三点的距离两两相等.故点D 和点O 在平面EFG 的投影同样满足到,,E F G 三点的距离两两相等，从而点D 和点O 在平面EFG 的投影都是EFG 的外心，所以由点D 和点的投影是同一点，知DO 垂直于平面EFG .从而由O 在平面EFG 内，知点D 到平面EFG 的距离就是DO 的长，即32.所以，点D 到平面EFG 的距离的最大值是32，至此我们得到选项D 正确.故选：ABD.12.【答案】2【解析】因为O 为ABD 的重心，且()π,0A -，可得2π3OA AC ==，解得3π2AC =，所以π,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1π3ππ222T =--=，所以3πT =，所以2π3πω=，解得23ω=，可得()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()π0f -=，即()2sin π03ϕ⎡⎤⋅-+=⎢⎥⎣⎦，可得()2π2π3k ϕ⨯-+=，解得2π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又由0πϕ<<，所以2π3ϕ=，所以()22π2sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，于是()22π02sin 033OB f ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭，故ABD的面积为13π2222S =⨯⨯.故答案为：2.13.【答案】160【解析】假设在样本中，学生､教师的人数分别为,(1200,,)m n n m m n ≤<<∈N ，记样本中所有学生的评分为(),1,2,3,,i x i m =⋯，所有教师的评分为(),1,2,3,,j y j n =⋯，由x y =得mx ny z x y m n +===+，所以()()222111200m n i j i j s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()222211114,2002005m n i j x y x y i j x x y y ms ns s s ==⎡⎤=-+-=+=⎢⎥⎣⎦∑∑，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y x y xs s m n s s +=，令x ys t s =，则()21600,Δ2560042560042000mt t n mn m m -+==-=--≥，即220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤<<且200m n +=，得100m >，所以160m ≥.所以总样本中学生样本的个数至少为160.故答案为：160.14.1+【解析】设正四棱锥P ABCD -底面边长为a ，高为h ，底面ABCD 的中心为M ，连接,PM BM，则,2BM a PM h ==，所以PB ==，设外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，则12,O O 在PM 上，因为11PO BO R ==，所以11O M PM PO h R =-=-，在1Rt O MB中，222()2h R a R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得2224h a R h +=，因为22111143332P ABCDV a h a r -==+⨯⨯所以r =，所以()22222222244h a h a a a R h a a h ahr h ah ++++===2222224ha h +⋅=，令h k a =，则222221h R a r ⎛⎫+ ⎪=，令1)t t =>，则()2121R t r t +=-，令1(0)m tm =->，则222111122R m m m r m m ++==++≥+=+，当且仅当12m m =，即m =时取等号，所以R r1+.1+.15.【解析】（1）取PD 的中点N ，连接,MN CN ，则MN ∥AD 且12MN AD =，又BC ∥AD 且12BC AD =，所以MN ∥BC 且MN BC =，故四边形BCNM 为平行四边形，所以BM ∥CN ，又BM ⊄平面,PCD CN ⊂平面PCD ，所以BM ∥平面PCD（2）由2,2AB PA PB ===222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PA =⊂平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥.由2,1,AB BC AB BC ==⊥，得225AC AB BC =+=，所以223PC AC PA =+=，22226,5CM AM AC BM AM AB =+==+=，得222CM BM BC =+，则BC BM ⊥，所以1522MBC S BM BC =⋅= .又()()111121213323P MBC P ABC M ABC ABC V V V S PA MA ---=-=-=⋅⋅⋅⋅-= ，设P 到平面MBC 的距离为h ，直线PC 与平面MBC 的所成角为θ，则1536P MBC MBC V hS -== ，所以1536h =，解得55h =，所以5255sin 315h PC θ===，即直线PC 与平面MBC 的所成角的正弦值为515.16.【解析】（1）因为3cos sin 3a b C C =-，由正弦定理可得3sin sin cos sin 3A B C B C =-，又()()sin sin πsin sin cos cos sin A B C B C B C B C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，所以sin cos cos sin sin cos sin sin 3B C B C B C B C +=-，所以cos sin sin 3B C B C =-，又()0,πC ∈，所以sin 0C >，所以cos sin 3B B =-，即tan B =，又()0,πB ∈，所以2π3B =；（2）因为ABC 的面积为，即1sin 2ac B =，即12πsin 23ac =11222ac ac ⨯==，因为3BC BD = ，所以13BD BC = ，在ABD 中2222cos AD BA BD BA BD B =+-⋅，即2221121123333AD c a ac ca ac ac ⎛⎫=++≥+== ⎪⎝⎭，当且仅当13c a =，即6,2a c ==时取等号，所以AD ≥AD 的最小值为6,2a c ==，则2222212cos 62262522b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以b =，即AC =17.【解析】（1）设事件A 为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数：因此，()432767P A ⨯==⨯.（2）设事件B 为“甲取到白球”，“第i 次取到白球”为事件1,2,3,4,5i =，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数：所以()()()()135135()P B P A A A P A P A P A =⋃⋃=++343343213361227765765437353535⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++=++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯18.【解析】（1）设AC BD O ⋂=，连接,DF OF ，四边形ABCD 为菱形，则,,AB AD AC BD BO OD =⊥=，又60BAF DAF ∠∠== ，易得BAF DAF ≅ ，所以BF DF =，则BD OF ⊥，又,,AC OF O AC OF ⋂=⊂平面ACEF ，所以直线BD ⊥平面ACEF（2）过F 点作FH AC ⊥于H 点，过H 点作HM l ⊥于M 点，连接FM ，过H 点作HN AD ⊥于N 点，连接FN ，由（1）易证，,FM l FN AD ⊥⊥，则FMH ∠为二面角E l D --的平面角，在直角FHM 中，6tan 3FH HM θ==，又3HM BO ==，可得6FH =，设2AF a =，则,33AN a NH FN a ===，直角FHN 中，222(26)3)3a +=，可得6AF =，G 为线段AF 的中点，则G 到平面ABCD 的距离6d =，又33DG =，设直线DG 与平面ABCD所成角为,sin 3d DG αα==，直线DG 与平面ABCD所成角的正弦值为3.19.【解析】（1）如图1，因为22AB BM ==，所以113,AM A B A M ===.由正方体的定义可知1AA AB ⊥，则190A AB ∠= ，故11sin 22AA B AA B ∠∠==，11sin 1313AA M AA M ∠∠==.因为111BA M AA M AA B ∠∠∠=-，所以11111sin sin cos cos sin 26BA M AA M AA B AA M AA B ∠∠∠∠∠=-=，则()11112sin 13,;3sin A A AA M A B M A B MA B ∠∠⨯=-=--.（2）如图2，设()02AM a a =≤≤，则1122sin ,cos 44AA M AA M a a ∠∠==++.因为111BA M AA B AA M ∠∠∠=-，所以()()()()()()22111sin sin 224/24BA M AA B AA M a a a ∠∠∠=-=-++，则()211112sin 14,;sin 22A A AA M a a A B M A B MA B a ∠∠⨯===-，解得23a =，故122AM a MB a ==-.（3）证明：如图3，因为1231,,,,n M M M M - 是BC 的n 等分点，所以k n k BM CM -=,n k k k n k BC BM CM BC n n --===.在k ABM 中，由正弦定理可得sin sin k k k BM AB BAM AM B ∠∠=，则sin sin k k k AB BAM BM AM B ∠∠=.在k ACM 中，同理可得sin sin k k k AC CAM CM AM C ∠∠=.因为πk k AM B AM C ∠∠+=，所以sin sin k k AM B AM C ∠∠=，则()sin sin ,;sin sin k k k k k k k k k AB BAM BM AM B BM k B C M AC CAM CM AM C CM n k∠∠∠∠====-.同理可得(),;n k n k n k BM n k B C M CM k ----==.。
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高一数学下册期末考试试题高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．试卷满分150分．考试时间100分钟． 注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．第Ⅱ卷，请务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设a 、b 、c 是非零向量，则下列结论正确是A ．()()⋅⋅=⋅⋅a b c c b aB ．若//,//a b a c ，则//b cC ．若⋅=⋅a b a c ，则=b cD ．-≤+a b a b 2. 如果角α的终边经过点(2sin30,2cos30)︒-︒，则sin α的值等于A ．12 B ．12- C ．2- D ．3-3. 某社区有600个家庭,其中高收入家庭120户,中等收入家庭420户,低收入家庭60户.为调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100户的样本,记作①；某学校高中二年级有15名男篮运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记作②；那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是A . ①简单随机抽样，②系统抽样B . ①系统抽样，②分层抽样C . ①分层抽样，②简单随机抽样D . ①分层抽样，②系统抽样 4. 设A 、B 是△ABC 的内角，并且(1tan )(1tan )2A B ++=，则A +B 等于A .4π B .4π3 C .4π5 D .k π+4π（k ∈Z ） 5. 下列程序执行的目的是6. 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 ，8.4，9.4 ，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 A ．9.4， 0.484 B ．9.4， 0.016 C ．9.5，0.04 D ．9.5，0.016 7．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点的A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度8. 甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是A .916 B . 716 C .14 D .1169. 设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA u u u r 与OB uuu r 在OC u u u r方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为A ．5414a b +=B ．543a b -=C ．4514a b +=D ．453a b -= 10. 函数1)cos (sin 2--=x x y 是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数11. 函数πsin(2)3y x =-在区间π[π]2-，的简图是（ ）A ．求261068⨯⨯⨯⨯L 的值B ．求12368⨯⨯⨯⨯L 的值C ．求24668⨯⨯⨯⨯L 的值D ．求24666⨯⨯⨯⨯L 的值12.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足111(2)322OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则点P 一定为三角形ABC 的A ．AB 边上中线的中点 B ．AB 边上中线的三等分点（非重心）C ．重心D ．AB 边的中点第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13. 将十进制数3344化为七进制等于 ．14. 1a 是[]0,1上的均匀随机数，则a =1(0.5)6a -⨯是区间 上的均匀随机数．15. tan 70cos103201)-o o o= ．16. 定义在R 上的函数()f x ：当sin cos x x ≤时()cos f x x =，当sin cos x x >时，()sin f x x =．给出以下结论：①()f x 是周期函数； ②()f x 的最小值为－１； ③当且仅当2()x k k =π∈Z 时，()f x 取最小值； ④当且仅当2(21)()2k x k k ππ-<<+π∈Z 时，()0f x >； ⑤()f x 的图像上相邻最低点的距离是2π． 其中正确的结论序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题10分）已知1tan 31tan αα+=+-()()()()22cos sin cos 2sin ααααπ-+π+⋅π-+-π的值．18.（本小题12分）已知一段计算程序．（I ）分析2x =时的输出结果；（II ）若记程序的输出结果为()A x ，问是否存在自然数m ，使得方程()0A x =在区间(,1)m m +内有实数根？若存在，求出m 的一个值；若不存在，说明理由．19.（本小题12分）已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个，其中红球2个、黑球3个、白球1个. （Ⅰ）从中任取1个球, 求取得红球或黑球的概率； （Ⅱ）从中取2个球，求至少有一个红球的概率. 20.（本小题12分）已知1sin cos 5αα-=，且0α<<π． （Ⅰ）求sin(2)4απ-的值； （Ⅱ）求2sin 22sin 1tan ααα+-的值．21.（本小题12分）平面上三个力1F u u r 、2F u u r 、3F u u r 作用于一点且处于平衡状态，11F N =u u r，2F N =u u r ，1F u u r 与2F u u r 的夹角为45o．（Ⅰ）求3F u u r 的大小； （Ⅱ）求3F u u r 与1F u u r夹角的大小．22.（本小题12分）已知点(1cos21)M x +，，(1)N x a +(a ∈R ，a 是常数)，且y OM ON =⋅u u u u r u u u r，(O 是坐标原点) .（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式()y f x =及单调递增区间；（Ⅱ）若方程()f x 0=在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实根，求a 的取值范围. 平顶山市2008～2009学年第二学期期末调研考试高一数学参考答案一、选择题1.B2.C3.C4.A5.C6.D7.C8.B9.D 10.D 11.A 12.B 二、填空题13.()712515 14.[]3,3- 15.1- 16. ①④⑤ 三、解答题17.解：由1tan 31tan αα+=+-(()1tan 31tan αα+=+-即(4tan 2α+=+············2分所以，tan 2α=·······················3分 又()()()()22cossin cos 2sin παπαπααπ-++-+-g()()22cos sin cos 2sin αααα=+--+g ·······6分 21sin cos sin ααα=++g 222sin cos sin 1cos sin ααααα+=++g22tan tan 11tan ααα+=++···············9分·····························10分. 18.解：（I ）程序的输出结果为：32()25313A x x x x =---，∴2x =时的输出结果为-23． ··············6分（II ）∵(3)130A =-<，(4)230A =>，∴方程()0A x =在区间(3,4)上至少有一个实根，因此，3m =．············12分 附：方程()0A x =的三个近似根如下：1 3.47147x =，20.485733 1.27925i x =-+，30.485733 1.27925i x =--.19. 解:（1）从6个玻璃球中任取一个，共有6种结果，并且每种结果出现的可能性相同，取得红球或黑球共有5种结果. 所以，由古典概率公式得P 56=· ·····························5分 （2）从6个玻璃球中任取两个，共有15种结果，并且每种结果出现的可能性相同，取到的球中没有红球共有6种结果.又没有红球和至少一个红球为对立事件,所以631155P =-=· · ···························12分20. 解: （1）因为1sin cos 5αα-=，所以()21sin cos 25αα-= 即112sin cos 25αα-=，2sin cos αα=2425·····2分Q 0απ<<且2sin cos αα24025=>，1sin cos 5αα-=，42ππα∴<<······3分 从而有2sin cos αα=2425得sin 2α=2425，7cos 225α=-∴sin 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 2cos cos 2sin 44ππαα=-24725225250=⨯+⨯= ···························6分 (2)由（1）知2sin cos αα=2425，42ππα<<Q , 即222sin cos 24sin cos 25αααα=+，22tan 24tan 125αα=+ , ∴224tan 50tan 240αα-+=，解得3tan 4α=（舍去）或4tan 3α=· ···9分(或2sin 2sin cos sin 2tan cos 2cos 1cos 2αααααααα===+43=) 所以2sin 22sin 1tan ααα+-=()sin 21cos 21tan ααα+-- ···························11分 24712525413⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-16825=-· ··························12分 21.解：（1）依题意可知：1230F F F ++=u u r u u r u u r r，所以，()312F FF =-+u u r u u r u u r 由数量积的性质可知，()22312F F F =+u u r u u r u u r ，即222312112F F F F F =++u u r u u r u u r u u r u u r g又11F N =u u r,2F N =u u r ,1F u u r 与2F u u r 的夹角为45o ，所以，2231214522F ⎛=++⨯⨯ ⎝⎭ou u r即234F =+u ur )21=,所以31F =u u r ··················6分（2）由（1）可知()13112F F F F F =--u u r u u r u u r u u r u u r g g 2112F F F =--u u r u u r u u r g 1=--1452⨯o 32-= 设1F u u r 与3F u u r 的夹角为α，又因为31F =u u r ,所以1313cos F F F F α=u u r u u rg u u r u ur ==又0180α≤≤oo，所以，150α=o，即1F u u r 与3F u u r 的夹角为150o············12分22.解：（1）依题意可知：y = ()f x ＝OM ·ON (1cos21)(1)x x a ++g ＝，1cos2x x a ++=2sin 216x a π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＝·················3分 由()222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数y = ()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦·······6分 （2）30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ,52663x πππ∴≤+≤ 方程()f x 0=即2sin 216x a π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＝0，()2sin 216x a π⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝- 令y=2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭，()y 1a +=-. 方程()f x 0=的根的个数也即函数y=2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭与()y 1a +=-图象交点的个数, 由图像(图象略)可知，方程有两个实根需满足()1a ≤+1-<2或()1a <+≤-2- 所以，3a -<≤-211a ≤<.··································12分。