数列不等式综合题示例

（2）对等比数列，前n项的和Sn依赖于a1和q的两上参量.由前述讨论可见：使 的充要条件为a1>0且 .因此，严格地说，第（Ⅰ）问的完整答案似乎应为：在等比数列 中， ，而当 时，q的取值范围为空集，当 时，q的取值范围为 .不过，对该题也可作这样的理解：在题设下，不可能出现 的情况，而第（Ⅰ）问要求的只是q的取值范围.所以前述的解答也算完整.
（4）本题虽属中低档题，但也具备相当的综合性，展现了高考试题的常见特点.
例2设数列 的前 项的和 ，
（Ⅰ）求首项 与通项 ；
（Ⅱ）设 ， ，证明：
分析取n=1，由已知等式即可求得a1.为求通项an，可先将已知条件化为关于an+1与an的递推关系求解，也可先求Sn，再得an.至于不等式的证明，可将公式化简，进行论证.
数列不等式综合题示例
数列不等式综合题，是高考数学的常见试题.这类试题，对数列方面的考查多属基础知识和基本技能的层级，而对不等式的考查，其中口径往往比较宽，难度的调控幅度比较大，有时达到很高的层级.试题排序，靠后者居多，常以难题的面貌出现，对综合能力的考查深刻.
这类试题，时常以递推关系或间接的形式设定数列.对数列的提问，多涉及通项、前n项和或数列中的某些指定的参数，有时也会涉及多个数列.至于有关不等工的提问，可以是含变量n或其他参变量的不等式的证明或求解，抑或求某些量的取值范围，或者是不同量间的大小比较，等等.试题的综合程度有时不大，有时很大，既有中低档次的题目，又有中高档次的题目，而且多数年份属于后者.
①q=1；② ③
解不等式组②得： ；解不等式组③得： 或 .
综合得q的取值范围为 .
方法二
根据等比数列性质，在题设下，必有
，公比 .
当 时， ；
当 或 时，
；
当q=1时， .
综合得q的取值范围为 （Ⅱ）的解：
方法一
∵ ，
∴ ，
因为 且 ，所以得：
对任意正整数n，有：
若 或 ，则 ，即 ；
若 或 ，则 ，即 ；
（3）上述（Ⅱ）的两个解法，差值法与比值法.由于Tn与Sn仅相差一个因子（q的二次式），所以两法几乎没有本质差别，只是陈述表达形式有所不同.在前述的解法中，都应用了等比数列和二次函数式（方程）的基本知识，但具体的知识点有所差别，有的是最基础的入门知识，有的是经过派生的常用性质.学会灵活运用基本知识解题，减少记忆量，提高活用技能，是解题训练的一项重要任务.
若 或q=2，则 ，即 .
方法二
∵ ， ，∴ ，
∵ 的两根为 和2，
∴
依题设 ，且由（Ⅰ）知 或 ，所以得：对任意正整数n，有：
当
当
当 或 时， .
体验
（1）求取值范围，务必勿忘其充要性.只顾必要性，忘了充分性，易使范围扩大；只顾充分性，忘了必要性，易使范围缩小.上述（Ⅰ）的解法一，采用等价性陈述方式；解法二，采用了从必要性入手，再讨论充分性，然后综合得解.
对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧.下面借助若干实例，谈谈解答这类试题的个人点滴体验，希望有助考生理解.
例1设等比数列 的公比为 ，前n项和
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）设 ，记 的前n项和为 ，试比较 与 的大小
分析设定的数列 是满足 的一类等比数列，而不是确定的一个具体数列，
而不是确定的一个具体数列.提出的两个问题都属于不等式问题.（Ⅰ）的求解可按等价关系建立关于q的不等式，解之可得；也可对q作分类讨论，再归纳出答案.（Ⅱ）的求解，可用差值法，也可用比值法.
（Ⅰ）的解：
方法一
因为q是等比数列 的公比，Sn是数列的前n项和，所以 ，且
因此， 等价于： 且下列条件之一成立：
（3）关于不等式 的证明，上述两种证法有典型意义.证法一采用裂项的技术，将不等式化简，达到证明目的，十分精练.用好这一技术，须具有良好的观察能力和裂项的经验.因此，平时要注意经验的积累和一定的操作训练，当存在数列 满足 时，则有 ，从而达到将和式化简的目的.这里的关键是数列 的发现.举个例说，可用这项技术，求等比数列前n项的求和公式：
（Ⅰ）的解：
方法一
依设，得 ，∴a1=2.
当 时， ，
整理得 ，∴ ，
得通项
方法二
依设，得
因为 ，所以 ，得a1=2.
当 时， ，∴ ，
整理得 ∴
即有
得通项
方法三
同上法得a1=2，
①
∴ ， ，
整理得
即有 ②
由2×②－①得
当n=1时，该式也成立，所以，通项为
.
方法四
因为 ，当 时 ，所以由题设得 ，
当 时， .
∴ ， ①
从而， ，
即得
∴ ②
由2×②－3×①，整理得
该式对n=1也成立，从而得通项
即
（Ⅱ）的证明：
方法一
∵
∴
方法二
∵ ，
∴
得ห้องสมุดไป่ตู้
∴
猜测
（i）当n=1时，上面已证明猜测成立；
（ii）假设当 时，猜测成立，即
，
则
即当n=k+1时猜测也成立.
综合（i）（ii）得对任意正整数n，猜测都成立.
所以，
体验
（1）已知数列前n项的和Sn与通项an的关系式，为求通项的解析式，通常要将条件转化为数列 的递推关系式或数列 的递推关系式，然后，再作进一步推演，这时要用到公式 许多时候，容易忽略 ，这个式子，同时，对于另一式子中n的取值范围，也容易忽视，以致出现差错.对此，必须警觉.
设 ，则有
，
∴ .也可写成 .
（4）上述（Ⅱ）的证法二，采用了由特殊到一般的思维方式，根据开始的几个特殊情形，探索规律，对一般情形作出“猜测”，进而应用数学归纳法，作出证明，完成解答.这也是解答数学问题的一种常用方法.该法成功与否，关键在于猜测，为了使猜测有效和正确，在考查特殊情形时，应避免机械的数字计算和瞎猜，须讲究方法.例如，上述在考查 与 的变化规律，充分注意所要证明的不等式 的特点，把观察的侧重点放在差值 的估计上：把T1=1写成 ；把 写成 ；把 写成 .为一般规律的发现提供了方便，提高了猜测的成功率.
（2）根据递推关系 求通项an，是常见的数列试题.近几年的高考数学考试中，这类试题较多出现.其中， 可以是常数、等比数列、等比数列与常数之和、等比数列与等差数列之和，等等形式.本题（Ⅰ）的四种解法，反映了解答这类问题的基本思路和常用方法，其核心思想是：转化为等比数列的问题进行解答，或借助解方程的方法求解.能否成功，关键在于代数变换与换元是否有效.具体的运用非常灵活，就本题（Ⅰ）的解法而言，尚有多种解答方案可供选择，远非只是上述的4种.