二重积分的概念

i 1
n
max{ 1 , 1 ,, n }
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块，y 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
z f ( x , y ) 积分区域为平面上一区 域 u f ( x , y , z ) 积分区域为空间一区域
这就是重积分的概念
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积
z
曲顶柱体指: 以xoy面上 的有界闭区域 D为底, 侧 而母线平行z轴的柱面, 顶是曲面 : z f ( x , y ) ( 0)且在D上连续
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
kf ( x, y )d k f ( x, y )d .
D D
性质２ [ f ( x , y ) g( x , y )]d
D
f ( x , y )d g( x , y )d .
D
即 f ( x , y )d lim f ( i , i ) i .
D
n
0 i 1
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
对二重积分定义的说明：
(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的.
(2)当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在.
二重积分的几何意义
当f ( x , y ) 0
当f ( x , y ) 0
f ( x, y )d 曲顶柱体体积 f ( x, y)d 曲顶柱体体积的负值
D
当在D 上，f ( x , y )在若干部分为正 , 若干部分为负 , . f ( x, y )d 柱体体积的代数和
, z=f(x,y) 面是以D的边界为准线
o
x
D
y
柱体体积=？ 特点：曲顶.
柱体体积=底面积× 高 特点：平顶.
现在的问题在于: 顶是曲的 , "高"在变.
解决的方法: 类似于曲边梯形面积那 样， "以平代曲 " 分割, 近似代替, 求和, 取极限来解此问题
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
也表示它的面积， 在每个 i 上任取一点( i , i ) ， 作乘积 并作和
f ( i , i ) i ，
( i 1,2,, n)，
f ( i ,i ) i ，
i 1
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的二重积分， 记为 f ( x , y )d ，
微积分讲课提纲
微积分（II） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@zju.edu.cn
第九章
第一节
重积分
二重积分的概念
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
将定积分概念加以推广到多元 函数—重积分
重积分与定积分区别在于被积函数中自变量 个数与积分区域 y=f(x) 积分区域为区间
播放
基本思想：
先分割曲顶柱体的底， z 并取典型小区域，
用若干个小平顶柱体 体积之和近似表示曲 顶柱体的体积，
z f ( x, y)
o
D
n

y
( i ,i )
i
xLeabharlann Baidu
曲顶柱体的体积
V lim f ( i ,i ) i .
0
i 1
具体步骤如下：
1、 分割
把D任意分成 n 个小闭区域 1 2 , …， n , 其中 i 表示 第i个小闭区域，也表示它的面 积. 对应的小曲顶柱体体积为 Vi .
( i ,i )

i
o x n M lim ( i ,i ) i .
0
i 1
二、二重积分的概念
定义 设 f ( x , y )是有界闭区域 D 上的有界函数， 将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第 i 个小闭区域，
D D
性质３
D
对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
D1 D2
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d .
性质４ 性质５
1 d d . 若 为D的面积，
D D
若在D上 f ( x , y ) g( x , y ), 则有 f ( x , y )d g( x , y )d .
D
D
思考题 : 当f ( x , y ) 1时
f ( x, y )d 1 d d
D D D
以D为底面积， 高为1的柱体体积
D的面积
在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，
y
D
o x
则面积元素为 d dxdy 故二重积分可写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
D D
特殊地
f ( x, y )d
D D
f ( x , y ) d .
性质６
设 M 、m 分别是 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的 为 D 的面积，则 最大值和最小值，
m f ( x , y )d M
D
（二重积分估值不等式）
性质７
设函数 f ( x , y )在闭区域 D 上连续， 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , ) 使得
x
z
z f ( x, y)
o
D

y ( i ,i )
i
2、 近似
在每个 i 上任取一点 ( i , i )
3、求和
V f ( i , i ) i .
i 1
n
Vi f ( i , i ) i
4、取极限 V lim f ( i , i ) i . 0