信号与系统-公式总结

第一章 信号分析的理论基础

1．周期信号的判断：)()(T t x t x += 信号正交判断：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰21

2

21)(,0)()(t t i i t t j i

K dt t g j

i dt t g t g

※2． (1))()0()()(t f t t f δδ= (2)2

020101

0012

0,()()(),

t t if

t t t t t t f t dt f t if

t t t δ><⎧+=⎨

<<⎩⎰或

(3)()(1)()u n u n n δ--=

3．※信号的时域分析与变换

信号的翻转：)()(t f t f -→ 平移：)()(0t t f t f ±→ 展缩：)()(at f t f → 4．※卷积

1212()()*()()()t

g t f t f t f f t d τττ-∞

==-⎰

1212()()*()

()()n

m g n f n f n f m f n m =-∞

==

-∑

5．)(t f 与奇异函数的卷积

※

)

()(*)()()(*)(00t t f t t t f t f t t f -=-=δδ

6．几何级数的求值公式表

∑=+⎪⎩⎪

⎨⎧=+≠--=220211

,11,11n n n n a n a a a a ∑=+⎪⎩⎪

⎨⎧=+-≠--=2

1211

,11,1121

n n n n n n a n n a a a a a ∑∞

=<-=

1,11

n n

a a

a

第二章 傅立叶变换

1 正变换：()()j t

F f t e

dt ωω∞

--∞

=

⎰

逆变换：1

()()2j t f t F e d ωωωπ

∞

-∞

=

⎰

※※对称性 ()F t 2()f πω- 时域微分 ()n

n

d f t dt ()()n j F ωω

频域微分 ()()n

jt f t -

()n

n

d F d ωω

※卷积定理

12()*()f t f t

12()()F F ωω⋅

※3 抽样定理：

(1)已知信号有限频带为m f ，采样信号频率f 满足2s m f f ≥时，抽样信号通过理想低通滤波器后能完全恢复。其中，2m f 称为奈奎斯特抽样率。 (2)抽样间隔s T 满足条件12s m T f ≤

时，抽样信号能够完全恢复。其中12s m

T f =成为奈奎斯特抽样间隔。

4 典型信号的傅里叶变换及频谱图

信号

名称 ()f t 波形图 ()

()()j F F e ϕωωω= 频谱图

※※

矩形 脉冲

[()()]

E u t u t ττ--+

(

)2

E Sa ωτ

τ

冲激 脉冲

()E t δ

E

※※ 直流 函数 E

2()E πδω

※ 冲激 序列

1()T t δ

11()ωωδω

11

2T πω=

第三章 拉普拉斯变换

1 定义

双边拉普拉斯变换()()st F s f t e dt ∞

--∞

=⎰

拉普拉斯反变换 1

()()2j st j f t F s e ds j σσπ+∞

-∞

=

⎰

单边拉普拉斯变换0

()()st F s f t e dt ∞

-=

⎰

单边变换收敛条件：lim ()0t

t f t e

σ-→∞

= 0σσ>称为收敛域。

2

3

※4. 拉普拉斯反变换 ⑴部分分式展开法

1110

12()()()()m m m m n n b s b s b s b F s a s p s p s p --+++=

---L L 1212()()()n n k k k s p s p s p =+++---L ()()|i i i s p k s p F s ==- (1,2,)i n =L

⑵留数法

留数法是将拉普拉斯反变换的积分运算转换为求被积函数各极点上留数的运算，即

1

()()2j st

j f t F s e ds j σσ

π+∞-∞

=

⎰1

Re n

i i s p ==∑

⎪⎩⎪⎨⎧<--->↔-a

z n u a a z n u a a z z z n

n )

1(

)( 变换的基本形式()α

s t u t +↔

-1

e α拉氏变换的基本形式：

其中 Re [()()]i

st i i s p s p s p F s e ==- （i p 为一阶极点）

或1

11Re [()()](1)!i r p st i i s p r d s p s p F s e r ds

-=-=

-- （i p 为γ阶极点）

第四章 Z 变换

1. Z 变换定义

正变换： 双边：()()n

n X z x n z ∞

-=-∞

=

∑ 单边：0

()()n

n X z x n z

∞

-==

∑

2. Z 变换收敛域ROC ：满足

() n n x n z ∞

-=-∞

<∞∑

的所有z 值

★ ROC 内不包含任何极点（以极点为边界）； ★ 右边序列的ROC 为 1z R > 的圆外； ★ 左边序列的ROC 为 1z R < 的圆内； ★ 双边序列的ROC 为 12R z R << 的圆环。

★ 有限长序列的ROC 为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ∞）；

3. 典型信号的Z 变换

(1) ()(),x n n δ=()1X z =，0z ≥

(2) ()(),x n u n =(),11

z

X z z z =>- (3) ()()n

x n a u n =,(),z X z z a z a

=>-