7.3 LMS自适应滤波器

7.3 LMS自适应滤波器

自适应滤波器实际上是一种能够自动调整本身参数的特殊维纳滤波器，在设计时不需要预先知道关于输入信号和噪声的统计特性，它能够在工作过程中逐步“了解”或估计出所需的统计特性，并以此为依据自动调整自身的参数，以达到最佳滤波效果。一旦输入信号的统计特性发生变化，它又能够跟踪这种变化，自动调整参数，使滤波器性能重新达到最佳。

图7-3 自适应滤波器原理图

自适应滤波器由参数可调的数字滤波器(或称为自适应处理器)和自适应算法两部分组成，如图7-3所示。参数可调数字滤波器可以是FIR数字滤波器或IIR

数字滤波器，也可以是格型数字滤波器。输入信号x(n)通过参数可调数字滤波器后产生输出信号(或响应) y(n)，将其与参考信号(或称期望响应) d(n)进行比较，形成误差信号e(n)，并以此通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终使e(n)的均方值最小。

尽管自适应滤波器具有各种不同的算法和结构，但是，其最本质特征是始终不变的。这种最本质的特征可以概括为：自适应滤波器依据用户可以接受的准则或性能规范，在未知的而且可能是时变的环境中正常运行，而无须人为的干预。本章主要讨论的是基于维纳滤波器理论的最小均方(LMS)算法，可以看到LMS算法的主要优点是算法简单、运算量小、易于实现；其主要缺点是收敛速度较慢，而且与输入信号的统计特性有关。

7.3.1 LMS算法基本原理

1. 自适应线性滤波器

图7-4 单输入自适应线性滤波器图7-5 多输入自适应线性滤波器

自适应线性滤波器是一种参数可自适应调整的有限冲激响应(FIR)数字滤波器，具有非递归结构形式。因为它的分析和实现比较简单，所以在大多数自适应信号处理系统中得到了广泛应用。如图7-4所示的是自适应线性滤波器的一般形式。

输入信号矢量x(n)的L+1个元素，既可以通过在同一时刻对L+1个不同信号源取样得到，也可以通过对同一信号源在n以前L+1个时刻取样得到。前者称为多输入情况，如图7-5所示，后者称为单输入情况如图7-4所示，这两种情况下输入信号矢量都用x(n)表示，但应注意它们有如下区别。

单输入情况：

(7-18) 多输入情况：

(7-19) 单输入情况下x(n)是一个时间序列，其元素由一个信号在不同时刻的取样值构成；而多输入情况下x(n)是一个空间序列，其元素由同一时刻的一组取样值构成，相当于并行输入。

对于一组固定的权系数来说，线性滤波器是输出y(n)等于输入矢量x(n)的各元素的线性加权之和。然而实际上权系数是可调的，调整权系数的过程叫做自适应过程。在自适应过程中，各个权系数不仅是误差信号e(n)的函数，而且还可能是输入信号的函数，因此，自适应线性滤波器的输出就不再是输入信号的线性函数。

输入信号和输出信号之间的关系为

单输入情况：

(7-20) 多输入情况：

(7-21) 如图7-4所示的单输入自适应线性滤波器，实际上是一个时变横向数字滤波器，有时称为自适应横向滤波器。它在信号处理中应用很广泛。自适应线性滤波器的L+1个权系数构成一个权系数矢量，称为权矢量，用w(n)表示，即

(7-22) 这样，输出响应表示为

(7-23) 参考响应与输出响应之差称为误差信号，用e(n)表示，即

(7-24) 自适应线性滤波器按照误差信号均方值(或平均功率)最小的准则，即

(7-25) 来自动调整权矢量。

2. 自适应滤波器的性能函数

习惯上常称均方误差为自适应滤波器的性能函数，并记为、或，即

(7-26) 由式(7-24)、(7-25)和式(7-26)，均方误差表示式为

(7-27) 在d(n)和x(n)都是平稳随机信号的情况下，输入信号的自相关矩阵R，d(n)与x (n)的互相关矩阵P都是与时间无关的恒定二阶统计，分别定义为

(7-28)

(7-29

)

以上二式对应于多输入情况，对于单输入情况，不难写出类似结果。将上二式代入式(7-27)，得到均方误差的简单表示形式

(7-30)

为了书写方便这里省略了w(n)的时间标记。从该式可看出，在输入信号和参考响应都是平稳随机信号的情况下，均方误差是权矢量w各分量的二次函数。这就是说，若将上式展开，则w各分量只有一次项和二次项存在。的函数图形是L+2维空间中一个中间下凹的超抛物面，有唯一的最低点，该曲面称为均方误差性能曲面，简称性能曲面，如图7-6所示。自适应是自动调整权系数，使均方误差达到最小值的过程，这相当于沿性能曲面往下搜索最低点。

图7-6 均方误差性能曲面

3. 最速下降法

从前面的讨论中已经知道，在输入信号和参考响应都是平稳随机信号的情况下，自适应线性组合器的均方误差性能曲面是权矢量w(n)的二次函数。由于自相关矩阵为正定的，故此超抛物面向上凹，表示均方误差函数有唯一的最小值，该最

滤波小值所对应的权系数矢量

为自适应滤波器的最佳权矢量，即等于维纳滤波器的权矢量。如果自适应

器的权系数个数大于2，其性能表面的超抛物面仍有唯一的全局最优点。在许多实际应用中，性能曲面的参数，甚至解析表示式都是未知的，因此，只能根据已知的测量数据，采用某种算法自动地对性能曲面进行搜索，寻找最低点，从而得到最佳矢量。最常见的搜索方法是最速下降法(Method of Steepest Descent)，它在工程上比较容易实现，有很大的实用价值。下面进行简单讨论。

均方误差性能曲面的梯度用表示，定义为

(7-31) 将式(7-31)代入上式，得到

(7-32) 最小均方误差对应的权矢量称为最佳权矢量或维纳解，用表示。在性能曲面上，该点梯度等于零，即

(7-33) 由此解出

(7-34) 式(7-34)称为维纳—霍夫方程。将上式代入式(7-31)，即可得到自适应滤波器的最小均方误差为

(7-35) 利用矩阵运算规则，可以将上式简化为

(7-36) 由式(7-17)可知，只要知道了输入信号的自相关矩阵R和期望响应与输入信号的

难以实现的。一方面，我们通互相

关矢量P，就可以由该式直接得出最佳权矢量。但是在实际应用中，这种方法往往是

常很难得到有关信号和噪声的统计先验知识；另一方面，当R的阶数较高时，直接计算R的逆矩阵有一定的困难。因此，最佳权矢量的实现一般都采用迭代方法，一步一步地在性能表面上搜索，并最终达到最小均方值和实现最佳权矢量。

最速下降法是一种古老而又非常有用的通过迭代寻找极值的方法。从几何意义上来说，迭代调整权矢量的结果是使系统的均方误差沿性能曲面最陡的方向向下搜