第十三讲—空间群(5)

+
+
,-
+
,-
+
½+ +
½+ +
2
a
1
x,y,z; x,½+y,z.
P4mm (C4v, No. 99)
1
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
e a e d d e f
c
d
e
f
d c
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
g
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
8
f
b g g g g g g
1
+
_+
8 2
g
P4212 (D4, No. 90)
2
x,y,z; x,y,z; ½-x,½+y,z; ½+x,½-y,z; y,x,z; y,x,z; ½+y,½-x,z; ½-y,½+x,z. a 222 0,0,0; ½,½,0.
1
P4nc
C4v
6
No.
+ +
104
+ + + +
P4nc
+ +
1
P62m (D3h, No. 189)
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方
在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3
只用一个符号 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴
2或2沿a 2或2沿b 2或2沿a和b 2或2沿a、b和a+b 2或2沿a、b和a+b 2或2沿c
4或4沿c
3或3沿c 6或6沿c
4、4、2或2 沿<100>
+ , - -, + + , - - ,+ + , - -, + + , - - ,+
x
1
P 2/m 2/m 2/m
y
+ , - -, + + , - - ,+
+ , - -, + + , - - ,+
8 1

x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. a mmm 0,0,0.
8
c
1 x,y,z; x,y,z; ½+x,½-y,½+z; ½-x,½+y,½+z; y,x,z; y,x,z; ½+y,½+x,½+z; ½-y,½-x,½-z.
4 2
b a
2 0,½,z; ½,0,z; 0,½,½+z; ½,0,½+z. 4 0,0,z; ½, ½, ½+z.
Pmmm (D2h, No. 47)
, ½+
+
+ +,
+ +
+ +,
+ +
+ ½+ ,
, ½+
+
+ ½+ ,
, ½+
+
Origin on mm2 4 2 2 2 2 1 1 1 1 i h g f e d c b a 1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. ½,y,z; ½,y,z. 0,y,z; 0,y,z x,½,z; x,½,z. x,0,z; x,0,z ½,½,z. ½,0,z. 0,½,z. 0,0,z. Origin on 2 4 e 1 x,y,z; x,y,z; x,y,½+z; x,y,½+z.
第九讲
空间群(I)：点式空间群
复习：
点对称操作、7种晶系、32种点群、
14种布拉菲格子
点式空间群
第十讲
空间群(II)：非点式操作
复习：
点对称操作、7种晶系、32种点群、
14种布拉菲格子、点式空间群
非点式操作
第十一讲 空间群(3)：非点式空间群
1、非点式空间群俯视图举例分析
2、空间群国际表举例分析
对称轴符号
符 号 对称轴
一次旋转轴 一个反演轴 二次旋转轴
平行于纸面
图示 符号
无
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无 无 无
符 号
对称轴
四次旋转轴
图示 符号
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无
1 1
4
2
21 3 31 32
41 42 四次螺旋轴 43
c/4
2c/4 3c/4 无 无 c/6 2c/6 3c/6 4c/6 5c/6 无
4 4 4 2 1 1 f e d c b a
1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z.
f
g g
m m m mm2 4mm 4mm
x,½,z; x,½,z; ½,x,z; ½,x,z. x,0,z; x,0,z; 0,x,z; 0,x,z. x,x,z; x,x,z; x,x,z; x,x,z. ½,0,z; 0,½,z. ½,½,z. 0,0,z.
P3, P3m1, P312, P3, P31m, P31m, P321, P3m1
三 方 3, 3m, 32,
3, 3m
P
R
R3, R3m, R32, R3, R3m
P6, P6/m, P6mm, P6/mmm, P622, P6, P6m2, P62m
六 方 6, 6/m, 6mm, 622, P
一般来说，对于给定的一组等效位置，其位置数乘以位置对称
性点群的阶等于空间群点群的阶。考虑有心化，为2h、3h或4h。
P1(C1, No. 1)
1
+ +
+ + _,
_,
P1(Ci, No. 2)
_, + + _,
1
+
+
2 1 1 1 1 1 1 1 1
i h g f e d c b a
1 1 1 1 1 1 1 1 1
P 21 21 21
No.
19
½
+
_
P 212121 4 D2
¼ ¼ ¼
+
¼ ¼
½+
_
½+ ½
_
+
+
¼
Origin halfway between three pairs of non-intersecting screw axes
Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
r’=x’a + y’b +z’c r=xa
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于
点式操作t = = 0
۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43； 61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d
Origin on 4mm
P422 (D4, No. 89)
1
特征2：点式与非点 式SG的特殊位置
_ + _
+_ _+
_ + _ +
+_ _+
+
_ + _ + _ + + _
+_ _+
_
+ _
+
+_ _+
_+
+_ _ + _ _ + _+
_+
8
1
p
a
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z. 42 0,0,0.
,+ ,+ +
源自文库
Origin at 222, at ¼, ¼, 0 from 1
8 2
m
x,y,z; x,y,z; 1/2-x,1/2-y,z; 1/2+x,1/2+y,z; x,y,z; x,y,z; 1/2-x,1/2+y,z; 1/2+x,1/2-y,z. a 222 0,0,0; ½, ½, 0.
“金刚石” 滑移面
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符)
对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移； 对于点式操作 t = = 0 {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、{R|}
空间群的基本操作{RI}数等于空间群点群的阶 点式空间群：由全部作用于同一个公共点上的对称操作完全确定，或者
4mm Tetragonal
½+ , , ½+ ½+ , , ½+
+ + Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
+ +
+ +
+ +
Origin on 4
Co-ordinates of equivalent positions
Co-ordinates of equivalent positions x,½+y,½-z;
4
a
1
x,y,z; ½-x, y,½+z; ½+x,½-y, z;
Pmm2 (C2v, No. 25)
1
+ +,
,+
+
Pcc2 (C2v, No. 27)
3
+ ½+ ,
+ +,
+ +
, ½+
+
+ ½+ ,
x
, ,
Origin at 62m
, ,
y
y x
1 1
b a
62m 0,0,½. 62m 0,0,0.
Wyckoff 符号
m a, b
反映面 (镜面)
轴滑移面
c n d
对角滑移面 (网)
无
沿z轴滑移c/2，或在菱形轴 中沿[111]滑移(a+b+c)/2 (a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2, 或 (a+b+c)/2(四方和立方) (a±b)/4, (b±c)/4, (a±c)/4, 或(a±b±c)/4(四方和立方)
正 交 222, mm2, mmm P
P222, C222, C I222, I F F222,
四 方 4, 4/m, 4mm, 422, P
4, 42m, 4/mmm
I
P4, P4/m, P4mm, P4/mmm, P422, P4, P42m, P4m2 I4, I4/m, I4mm, I4/mmm, I422, I4, I42m, I4m2
说仅由点对称操作和平移对称操作组合而产生。共73种。
۞ ۞
螺旋轴或滑移面不是点式空间群的基本操作。至少有一个基本操作为 点式空间群在单胞中至少有一个位置具有与空间群点群相同的 位置
非点式操作即是非点式空间群，但其点群与相应的点式空间群相同。
对称性。非点式空间群由于有，最高位置对称性降低，位置数增加。
6, 62m, 6/mmm
立 方 23, m3, 43m,
432, m3m
P I
F
P23, Pm3, P43m, P432, Pm3m I23, Im3, I43m, I432, Im3m F23, Fm3, F43m, F432, Fm3m
非点式对称操作
点对称操作：r’ = Rr
+ yb +zc
m m m m mm mm mm mm
2 2 2 2
d c b a
2 2 2 2
½,½,z; ½,½,½+z. ½,0,z; ½,0,½+z 0,½,z; 0,½,½+z. 0,0,z; 0,0,½+z
Pban (D2h, No. 50)
+ + -, +, + +
4
P 2/b 2/a 2/n
+
+ -
3、二维空间群(全部)
第十二讲 空间群(4)：空间群中的特殊位置
1、空间群国际表中的特殊位置举例分析 2、二维空间群国际表中的特殊位置(全部)
第十三讲 空间群(5)：典型结构与特殊位置
立 方 晶 系
立方 P
立方 I, bcc
立方 F, fcc
单面心破坏4个3次对称性！非点阵
点群各符号的顺序
晶系
x,y,z; x,y,z. ½,0,½. 0,½,½. ½,0,½. ½,½,0. ½,0,0. 0,½,0. 0,0,½. 0,0,0.
Origin at 1
1
a
1
x,y,z
等效位置数
特殊位置
位置对称性
Wyckoff 符号
+ +
+ +
Pm
-
-
,+
-
,+
+ +
+ +
,+
x,y,z; x,y,z. x, y, ½. x, y, 0.
-
,+
2 1 1 1 1
e d c b a
1 2 2 2 2
x,y,z; x,y,z. ½, ½, z. ½, 0, z. 0, ½, z. 0, 0, z.
P2
Origin on 2
2 1 1
c b a
1 m m
特征1：位置对称性与非点式操作
2
½+
a
+
1
x,y,z; x,y,½+z.
½+
+
P21
Pb
二次螺旋轴
平行于纸面
c/2 a/2或b/2 无
4 6
四次反演轴
六次旋转轴
三次旋转轴 三次螺旋轴 三次反演轴
c/3
2c/3 无
61 62 63 六次螺旋轴 64 65
3
6
六次反演轴
对称面符号
符号 对称面
图示符号
垂直于投影面 平行于投影面
滑移特征
没有(如果平面在z=1/4的 高度，就在符号边标注 1/4) 沿[100]滑移a/2，或沿[010] 滑移b/2，或沿<100>滑移
1
Cmmm (D2h, No. 65)
(0,0,0; ½,½,0) +
16 r
2
19
Origin at center (mmm) 特征3：初基与有心 等效位置数
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. a mmm 0,0,0.
1
Orthorhombic 222
2或2沿a±b
2或2a、b和a+b 2或2a、b和a+b 2或2沿<110>
3或3沿<111>
晶系
三 斜 1, 1
点群
布拉菲点阵
P P B
73种点式空间群
P1
P1,
单 斜 2, m, 2/m
P2, Pm, P2/m B2, Bm, B2/m
Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2, Pmmm Cmmm, Amm2 Immm Fmmm