2021年高三数学第一次联考试题
2021年高三数学第一次联考试题 理
2021年高三数学第一次联考试题理一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.2.已知，则是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若某市8所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方程分别是（）A.91 5.5B.91 5C.92 5.5D.92 54.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C.0 D.5.在等腰中，→→→→====︒=∠AEACBDBCACABBAC32,2,90，，则的值为（）A. B. C. D.6.某几何体的三视图（单位：）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A. B. C. D.7.已知函数图像经过点，则该函数的一条对称轴方程为（）A. B. C. D .8.设不等式组所表示的区域为，函数的图像与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为（）A. B. C. D.9.函数的图像大致为（）10.已知映射，设点，点是线段上一动点，。
当在线段上从点开始运动到点结束时，点对应点所经过的路线长度为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.在数列中，，则通项。
12.已知是直线的动点，是圆的一条切线，是切点，那么的面积的最小值是。
13.已知表示两数中的最大值。
若，则的最小值为。
14.已知函数()xaxaxf cos123sin321⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=，将图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若对任意，都有成立，则的值为。
15.已知{}+++∈∈=<<=NnNmmxxxA nnn,,3,22|1，若表示集合中元素的个数则。
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）已知圆和圆外一点。
安徽省示范高中2021届高三数学第一次联考试题 理（含解析）
安徽省示范高中2021届高三第一次联考数学（理科）第一卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．【题文】（1）设是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数, z +z =2, 2z z -=那么z 的虚部是 A.1 .B i ± .1C ± .1D - 【知识点】复数代数形式的乘除运算． L4【答案解析】C 解析：设z a bi =+，那么z a bi =-，2z z a +=，因此a=1；222z z a b ⋅=+=，那么1b =±，因此1z i =±，虚部为1±，应选C.【思路点拨】利用复数的除法运算化简给出的复数，由共轭复数的概念求解．【题文】(2)双曲线2x -23y =-1的渐近线的倾斜角为【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】D 解析：双曲线2x -23y =-1的渐近线为y x =±，因此倾斜角为566ππ或，应选D.【思路点拨】求出双曲线的渐近线方程，再利用斜率与倾斜角的关系，即可得出结论．【题文】（3）假设x y 、知足202200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z y x =-的最大值为A.2B.-2C.1D.-1 【知识点】简单线性计划．E5【答案解析】A 解析：线性可行域如下图，三个极点坐标别离为（0,2），（2,0），（-1,0），通过上极点时Z 值最大。
应选A.【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性计划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【题文】 (4)已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，那么以下说法正确的选项是A. ,////m n m n αα⊂⇒B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C. ,,////m n m n αβαβ⊂⊂⇒D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4 G5【答案解析】D 解析：A 选项可能有n α⊂，B 选项也可能有n α⊂，C 选项两平面可能相交，应选D. 【思路点拨】别离依照线面平行和线面垂直的性质和概念进行判定即可． 【题文】(5)执行如下图的程序框图，输出的k 值为A.2B.3C.4D.5 【知识点】程序框图.L1【答案解析】C 解析：k=0时，cos sin 1A A <=；k=1时，cos sin A A =；k=2时，cos sin A A <；k=3时，cos sin A A <；k=4时，cos sin A A >；应选C.【思路点拨】此题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判定再执行，知足条件进入循环体，不知足条件算法终止．【题文】 (6)“09k <<”是“曲线22=1259x y k --与曲线22=125-k 9x y -的焦距相同”的A.充分而没必要要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也没必要要条件 【知识点】充分必要条件。
2021届河南省六市高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
2021届河南省六市高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．集合2101x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，则集合A B 等于（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()1,-+∞C ．()1,1-D ．[)1,-+∞【答案】C【分析】化简集合,A B ，根据集合的并集运算可得结果.【详解】2101x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭1{|1}2x x =-<≤，由011x <-≤得01x ≤<，所以{|01}B x x =≤<， 所以 A B {|11}x x =-<<.故选：C2．已知i 是虚数单位，复数z 满足211i i z，则z 等于（ ）A B ．2C ．1D 【答案】A【分析】先化简计算求出z ，即可求出z .【详解】211i i z，()()()()()21212111111i i i iz i i i ii i i ----∴====--=--+++-，z ∴==.故选：A.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，104a ，则9a 等于A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】B【分析】根据1530S =，可算出8a ，又104a ，根据等差中项的性质求解即可【详解】由158815302S a a ==⇒=，又104a ，98109263a a a a =+=⇒=答案选B【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了()2121n n S n a -=-和等差中项的性质，简化了运算4．为了得到函数()sin 2g x x =的图象，需将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移5π12个单位长度，D ．向右平移5π12个单位长度【答案】D【分析】根据诱导公式将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭化为5()sin 2()12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的图象变换规律可得答案. 【详解】因为函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5sin 2sin(2)66x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 2()12x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将5()sin 2()12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移512π可得函数()sin 2g x x =的图象. 故选：D 5．132，2log 6，33log 2的大小关系是（ ）A ．13232log 63log 2<<B ．133223log 2log 6<<C ．13323log 22log 6<< D ．13323log 2log 62<< 【答案】B【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，判断这三个数所在的大致范围，即得大小关系. 【详解】11323222<<，33333log 2log 422=>，3333log 2log 8log 92=<=，22log 6log 42>=， 133223log 2log 6∴<<.故选：B .【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.6．41(1)2x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是（ ） A ．10 B ．2C ．14-D ．34【答案】C【分析】将二项式变形为()()()84411112x x x x x x -+⎛⎫-++=⎪⎝⎭，利用二项式定理求得()()811x x -+的展开式中5x 的系数，进而可得解.【详解】由题意，()()()()4842411112121x x x x x x x x x x -+⎛⎫++⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，只需求()()811x x -+的展开式中 5x 的系数. 又()81x +的展开式的通项公式为818rrr T C x-+=⋅，且()()()()8881111x x x x x -+=+-+，所以，()()811x x -+的展开式通项为11,188rrkk r k T C x C x+++=⋅-⋅，令515r k =⎧⎨+=⎩，得54r k =⎧⎨=⎩，因此，()4112x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是548814C C -=-.故选：C.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于中等题. 7．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的部分图象大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，再根据指数函数的性质和正弦函数的性质，用特殊值法进行判断即可.【详解】()211sin sin 11x x xe f x x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，显然定义域为全体实数集， 因为()()11sin()(sin )sin 1111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e-----=⋅-=⋅-=⋅=+++-， 所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，因此排除B 、D ，当0x >时，有1x e >，因此当(0,)x π∈时，sin 0x >，所以当(0,)x π∈时，()0f x <， 显然选项A 不符合，选项C 符合， 故选：C8．如图，在棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）A ．22B ．5 C ．π16D ．3 【答案】A【分析】分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连EF ，利用线面垂直的判定定理和性质可证动点P 的轨迹是线段EF ，求出EF 的长度即可得解.【详解】如图：分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连,,AE AF EF ，1,A M DM ，1A F ，因为M 为AB 的中点，E 为BC 的中点，ABCD 为正方形，所以DM AE ⊥， 又1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D AE ⊥，而1DM D D D =，所以AE ⊥平面1D DM ，所以1D M AE ⊥，同理可得1D M AF ⊥，又AE AF A ⋂=，所以1D M ⊥平面AEF ， 因为AP ⊂平面AEF ，所以1AP D M ⊥，因为动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，所以动点P 的轨迹是线段EF ，而22EF =，所以动点P 的轨迹的长度为22. 故选：A【点睛】关键点点睛：作出并证明动点P 的轨迹是本题解题关键，分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连EF ，则线段EF 即为动点P 的轨迹，利用线面垂直的判定定理和性质即可得证.9．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，01,2M x ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，若以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，过F 且与y 轴垂直的直线l 与C 交于G ，H 两点，0P 为C 的准线上的一点，则0GHP △的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．9【答案】D【分析】根据题意得0x p =，进而将问题转化为在Rt ABF 中，解三角形求得3p =，再根据通经得26GH p ==，进而根据等面积法求解即可. 【详解】解：如图，由抛物线的定义得：12pMA MF +==，//MA y 轴， 因为01,2M x ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，所以0x p =，所以AB p =，因为120AMF ∠=︒，所以30,60MFA MAF MFB ∠=∠=∠=， 因为在Rt ABF 中，30AFB ∠=，BF p =， 所以由三角函数关系得：tan AB AFB BF∠=，即：tan 30p=，解得3p =， 此时26GH p ==，所以0GHP △的面积为1163922BGH S S GH BF ===⨯⨯=△. 故选：D.【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件，将问题转化为直角三角形ABF 中，利用边角关系求解得3p =.10．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”．当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”．如图所示，把十进制数()1010化为二进制数21010（）,十进制数()1099化为二进制数()21100011，把二进制数210110（）化为十进制数为304211202121202164222⨯⨯⨯⨯⨯++++=++=，随机取出1个不小于2100000（），且不超过()2111111的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是A ．932B ．931C ．1031D ．516【答案】D【分析】利用古典概型的概率公式求解. 【详解】二进制的后五位的排列总数为52=32， 二进制的后五位恰好有三个“1”的个数为35=10C ， 由古典概型的概率公式得1053216P ==. 故选D【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．在三棱锥A BCD -中，4AB CD ==，3AC BD AD BC ====，则该三棱锥的内切球的表面积为（ ） A ．4π5B ．17πC ．3π2D ．3π4【答案】A【分析】将该三棱锥还原到长方体中，根据已知求出长宽高，求出三棱锥体积，再利用内切球的半径表示出体积，即可求出半径，得出表面积.【详解】由题可将该三棱锥还原到如图长方体中，设长方体的长宽高分别为,,a b a ，则22222234a b a a ⎧+=⎨+=⎩，解得22,1a b ==， 11822122422122323D ABC V -∴=⨯⨯⨯⨯⨯=，设内切球的半径为r ，则()1833D ABC ABC ABD BCD ACD V r S S S S-=+++=， 221432252ABCABDBCDACDSS SS====⨯-=，则1825433r ⨯⨯=，解得55r =， 则内切球的表面积为254455ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切问题，解题的关键是将几何体还原到长方体中，立体等体积关系求出内切球半径. 12．若函数()()3ln 2ln 1x f x ax x a x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22410,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭B ．22411,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭C ．()22410,11,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭ D ．()22410,144e e e ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭【答案】B【分析】令()0f x =，可得()22ln 210ln x x a a x x+--=，令2ln x t x =，可得()2210t at a +--=，令()()221h t t at a =+--，令()2ln xg x x=，其中0x >且1x ≠，作出函数()t g x =的图象，根据函数()y f x =有三个零点可得出()2210t at a +--=的两根的取值范围，利用二次函数的零点分布得出关于实数a 的不等式组，可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()3ln 2ln 1x f x ax x a x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则()11f a =-.令()0f x =，可得()22ln 210ln x x a a x x+--=，令2ln x t x =，则120a a t t-+-=，即()2210t at a +--=，设()()221h t t at a =+--， 构造函数()2ln xg x x =，其中0x >且1x ≠， 则()212ln xg x x-'=，令()0g x '=，得x e =， 列表如下：x()0,1()1,ee(),e +∞()g x ' ++-()g x单调递增单调递增极大值12e单调递减函数()t g x =（0x >且1x ≠）的图象如下图所示：由于函数()y f x =有三个不同的零点，而关于t 的二次方程()2210t at a +--=至多有两个根.当关于t 的二次方程()2210t at a +--=有两根时，设这两根分别为1t 、2t ，则10t <，2102t e<<，此时，()()()2010111210222h a h a a e e e ⎧=--<⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+⋅-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得2241144e a e e +<<-； 若1a =，则()10f =，关于t 的二次方程为220t t +=，两根分别为10t =，22t =-，()0g x =在0x >且1x ≠时无实根，()2g x =-只有一个实根，此时，函数()y f x =只有两个零点，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是22411,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，将问题转化为复合函数的零点问题是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、填空题13．已知向量(1,2)a =，(,1)b k =，且2a b +与向量a 的夹角为90°，则向量a 在向量b 方向上的投影为________.【分析】由题可知()20a b a +⋅=,依据数量积的坐标公式可求出k ,即求出向量b ,从而得到向量a 在向量b 方向上的投影为cos ,a b a a b b⋅⋅<>=.【详解】因为向量(1,2)a =,(,1)b k =, 则2(2,5)a b k +=+,又2a b +与向量a 的夹角为90°, 所以()20a b a +⋅=,即2100k ++=, 解得12k =-,即(12,1)b =-,因此向量a 在向量b方向上的投影为cos ,145a b aa b b⋅⋅<>===,故答案为. 【点睛】本题综合考查了数量积的坐标运算及投影的求法,难度不大.14．已知实数x ，y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为______．【答案】7-【分析】由约束条件得到可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将3z x y =-化为133z y x =-，则当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大， 由图象可知：当133zy x =-过A 时，直线在y 轴截距最大，由330240x y x y --=⎧⎨-+=⎩得：23x y =⎧⎨=⎩，()2,3A ∴， min 297z ∴=-=-.故答案为：7-.【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有： ①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的22A B +倍的问题.15．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且21n n S T +=，则数列{}n a 的通项公式是______．【答案】()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩【分析】由递推关系可得()1122n n S n S -=≥-，求出{}n S 前几项，可猜想出2121+n n S n -=，再加以验证，利用()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩即可求出. 【详解】当1n =时，1121S T +=，即1121S S +=，则113S =， 当2n ≥时，21n n S T +=，1121n n S T --∴+=，则1112121n n n n n n n T T S S T T S ----===-，整理可得()1122nn S n S -=≥-， 则可得113S =，235S =，357S =，479S =， 则猜想2121+n n S n -=，代入112n n S S -=-检验得1112123221221+n n n S n S n n --===----，满足猜想，()21121+n n S n n -∴=≥， 1113a S ∴==，当2n ≥时，1221234212141+n n n n n a S S n n n ---=-=-=--，∴()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩.故答案为：()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩. 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列得通项公式，解题的关键是根据递推关系先得出()1122n n S n S -=≥-，利用猜想得出2121+n n S n -=.16．已知直线l：0x -=交双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>于A ，B 两点，过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若60ABC ∠=︒，则双曲线Γ的离心率为______．【分析】联立直线x =和双曲线方程可得A ，B 的坐标，以及||AB ，直角三角形的性质可得|||AC AB ，设出直线AC 的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得C 的横坐标，由弦长公式，化简计算可得a b =，进而得到所求离心率．【详解】解：联立直线x =和双曲线方程可得2222233a b x b a =-，222223a b y b a =-，可设A ，可得||2||AB OA ==在直角三角形ABC 中，60ABC ∠=︒，可得|||AC AB =，设直线AC 的方程为y =+，代入双曲线方程可得42222222216(3)03a b b a x a b b a -+--=-，可得C x +=即有|||C A x x -==，可得2223(||23ab AC b a ==-，即为2222|3|a b b a +=-，可得a b =，c e a ===．【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力．三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin bC a-=tan cos A C -． （1）求角A 的大小；（2）若b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ．【答案】（1）π4A =；（2）a =，AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，再化简计算即可求出cos 2A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos 10B =-，由题得出33a BD ==，再由余弦定理即可求出AD .【详解】解：（1）由正弦定理，()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，()()sin sin sin tan cos C A C A C A C -+=-，2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A --=-，∵sin 0C ≠，∴2sin cos cos AA A+=∴cos A =0πA <<，∴π4A =．（2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=，∴a =，∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴3a BD ==，又222cos 210a cb B ac +-==-，∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴3AD =． 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.18．如图，在四棱锥A BCFE -中，四边形EFCB 为梯形，//EF BC ，且2EF BC =，ABC 是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上的射影为点G ，且3FG =，212CF =，52BF =．（1）求证：平面FGB ⊥平面ABC ； （2）求二面角E AB F --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）1517． 【分析】（1）取AC 中点O ，连结OB ，利用勾股定理可求得BG 长，从而得到FG BG ⊥，由线面垂直的判定可证得FG ⊥平面ABC ，由面面垂直的判定定理可证得结论； （2）根据垂直关系，以O 为原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得所求二面角的余弦值.【详解】（1）取AC 中点O ，连结OB ，顶点F 在AC 上投影为点G ，∴FG AC ．在Rt FGC △中，3FG =21CF =，32CG ∴=，12OG ∴=. ABC 为等边三角形，O 为AC 中点，BO AC ∴⊥在Rt GBO △中，3OB =12OG =，13BG ∴=． 222BG GF FB +=，FG BG ∴⊥．FG AC ⊥，AC BG G ⋂=，,AC BG ⊂平面ABC ，FG ∴⊥平面ABC ，又FG ⊂平面FGB ，∴平面FGB ⊥平面ABC .（2）由（1）知：OB FG ⊥，OB AC ⊥，又FG ⊥平面ABC ，则以O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,1,0A -，)3,0,0B，10,32F ⎛- ⎝，33E -⎝， ()3,1,0BA =-∴-，33BE ⎛=-- ⎝，13,32BF ⎛=- ⎝， 设平面ABE 的法向量()111,,m x y z =，则11111303302m BA x y m BE x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令11x =，则13y =-112z =-，11,3,2m ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量()222,,n x y z =，则222223013302n BA x y n BF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令21x =，则23y =-212z =，11,3,2n ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，113154cos ,17171744m n m n m n+-⋅∴<>===⋅⨯，由图形可知：二面角E AB F--为锐二面角，∴二面角E AB F--的余弦值为15 17.【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 19．某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为0.5)；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为0.5)（1）若从4件一等品和2件二等品共6件部件S中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．（2）现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠．【答案】（1）4160；（2）方案乙更实惠．【分析】（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，由此利用互斥事件概率乘法公式能求出机器可运行时间不少于3个月的概率．（2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X（单位：月），则X的可能取值为5，6，求出相应的概率，从而求出()E X，进而求出它与成本价之比；若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y（单位：月），Y的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，记M为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为Z，则Z的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，从而求出Z的分布列()E Z，进而求出它与成本价之比．由此从性价比角度考虑，方案乙更实惠．【详解】解：（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，对应概率为242625CC=，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，对应概率为11422614215 C CC⨯=，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，对应概率为：22261112260C C ⨯⨯=， ∴机器可运行时间不少于3个月的概率241415156060P =++=． （2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X （单位：月）， 则X 的可能取值为5，6，111(6)224P X ==⨯=，3(5)1(6)4P X P X ==-==， 则X 的分布列为：3121()56444E X ∴=⨯+⨯=，它与成本价之比为()215540E X =+， 若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y （单位：月），Y 的可能取值为4，5，6， 111(4)224P Y ==⨯=，111(5)2222P Y ==⨯⨯=，111(6)224P Y ==⨯=，则Y 的分布列为：记M 为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为Z ， 则Z 的可能取值为4，5，6，1(4)(4)4P Z P Y ====， (5)(5P Z P M ===，5)(6Y P M >+=，131155)24228Y ==⨯+⨯=，111(6)(6)248P Z P M y =====⨯=，Z 的分布列为：15139()4564888E Z =⨯+⨯+⨯=，它与成本价之比为()1352224E Z =++，21134024<， ∴从性价比角度考虑，方案乙更实惠．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>()0,2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）[]8,10． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得椭圆C 的方程；（2）①当矩形ABCD 的四条边与椭圆相切于顶点时，易知428S =⨯=，②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设出矩形的四条边所在的直线方程，利用直线与椭圆相切求出直线方程中参数之间的关系，利用平行直线的距离公式求出矩形的边长，利用矩形的面积公式求出面积，利用基本不等式可求出取值范围.【详解】（1）c e a ==∴224a b =又椭圆C 过点()0,2，∴24a =，21b =∴椭圆C 的方程：2214y x +=．（2）①当矩形ABCD 的四条边与椭圆相切于顶点时，易知428S =⨯=，②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设其中一边所在的直线方程为：y kx m =+(0)k ≠，则其对边所在的直线方程为：y kx m =-(0)k ≠， 另外两边所在的直线方程分别为：1y x n k =-+，1y x n k=--， 联立2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理可得：222(4)240k x kmx m +++-=， 由题意可得222244(4)(4)0k m k m ∆=-+-=， 整理可得224k m +=， 同理可得2214n k+=， 设两平行直线y kx m =+与y kx m =-之间的距离为1d，则1d ==== 设两平行直线1y x n k =-+与1y x n k=--之间的距离为2d，则2d =====， 依题意可知，12,d d 为矩形的两邻边的长度， 所以矩形的面积12S d d =⋅444===44== 因为20k >，所以2212k k+≥，当且仅当21k =时取等号，所以22990,142k k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++，52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(]8,10S ∈．综上所述：该矩形面积的取值范围为[]8,10．【点睛】关键点点睛：利用直线与椭圆相切和平行直线间的距离公式求出矩形的面积是本题解题关键.21．已知函数1()2ln x f x e x x -=-+.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：3()(2)3(2)f x x x ---.【答案】（1）单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析【分析】（1）求导函数，利用(1)=0f '，解()0f x '<函数单调减区间. 解()0f x '>得单调递增区间.（2）先求出3()(2)3(2)g x x x =---在03x <≤的极大值为2，由min ()(1)2==f x f 得在03x <≤成立；再设13()()()e2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->利用导数法研究函数()h x 在(3,+) 内单调性进行证明()0h x >.【详解】（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，12()e 1x f x x-'=-+， 12()e 1x f x x -'=-+在(0,)+∞上单调递增，且()01f '=. 令()0f x '<，得01x <<，则()f x 的单调递减区间为(0,1)；令()0f x '>，得1x >，则()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.（2）证明：设3()(2)3(2)(0),()3(1)(3)g x x x x g x x x '=--->=--.令()0g x '<，得13x <<；令()0g x '>，得01x <<或3x >.所以当1x =时，()g x 取得极大值，且极大值为2，由（1）知，min ()(1)2==f x f ，故当03x <≤时，3()(2)3(2)f x x x ---.设13()()()e 2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->，122()e 3(2)4x h x x x -'=---+，设122()(),()e 6(2)x p x h x p x x x-''==+--， 设134()(),()e 6x q x p x q x x-''==--，易知()q x '在(3,)+∞上单调递增， 则24()(3)e 6027q x q ''>=-->，则()q x 在(3,)+∞上单调递增，从而22()(3)609p x p e ''>=+->，则()h x '在(3,)+∞上单调递增， 则21()(3)03h x h e ''>=+>，从而()h x 在(3,)+∞上单调递增， 所以2()(3)e 52ln 30h x h >=+->，故当3x >时，3()(2)3(2)f x x x ---，从而3()(2)3(2)f x x x ---得证.【点睛】本题考查求含参数函数的单调区间及利用导数证明不等式.导数法研究函数()f x 在(,)a b 内单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确定()'f x 在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：()0f x '>时为增函数；()0f x '<时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．利用导数证明不等式()()f x g x >的基本方法：(1)若()f x 与()g x )的最值易求出，可直接转化为证明()()min max f x g x >；(2)若()f x 与()g x 的最值不易求出，可构造函数()()()h x f x g x ＝ ，然后根据函数()h x 的单调性或最值，证明()0h x >22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,)ϕπ∈），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设()1,1P ，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA PB -的最大值.【答案】（1）2220x y x +--=；（2）4.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得||PA PB -的最大值.【详解】（1）圆C 的极坐标方程为：4cos()3πρθ=-，则22cos sin ρρθθ=+由极坐标与直角坐标的转化公式得222x y x +=+，所以：2220x y x +--=.（2）将线l 的参数方程为：1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入2220x y x +--=.所以21)sin 0t t ϕ-⋅-=设点A ，B 所对应的参数为1t 和2t ，则121)sin t t ϕ+=，12t t ⋅=-则12||||PA PB t t -=-==当sin 1ϕ=时，||PA PB -的最大值为4.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题.23．已知,,a b c 为正数,且2a b c ++=,证明: (1)43ab bc ac ++≤； (2)2228a b c b c a---⋅⋅≥. 【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）将a +b +c ＝2平方，然后将基本不等式2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥三式相加，进行证明；（2）由2a b c b b -+=≥22b a c c b a c c a a -+-+=≥=≥，三式相乘进行证明.【详解】(1)将a +b +c ＝2平方得:2222224a b c ab ab ac +++++=，由基本不等式知:2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，三式相加得:222a b c ab bc ac ++≥++，则2224222333a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++ 所以43ab bc ac ++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立(2)由2a b c b b b -+=≥，同理22b a c c b a c c c a a a -+-+=≥=≥则2228a b c b c a ---⋅⋅≥=， 即2228a b c b c a ---⋅⋅≥当且仅当23a b c ===时等号成立 【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.。
2021年高三上学期第一次联考数学(理)试题WORD版含答案
江西省横峰中学等四校xx 届高三第一次联考数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2021年高三上学期第一次联考数学（理）试题WORD 版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．i 是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数k 的范围是（ ） A ． B ． C ． D ．2.若集合}5|{},0162|{52≤=≤--=xC x B x x x A ，则中元素个数为 （ ）A .6个 B.4个 C . 2个 D. 0个 3.“”是“”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.若a 、b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 5.根据如下样本数据：得到的回归方程为，则（ ） A. , B. , C. , D. ,6.使得的展开式中含有常数项的最小的是（ ）A.4B.5C.6D.77.将5名大学生分配到3个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案种数为( )A.150B.240C.60D.120 8.设函数在R 上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图像可能是（ ）9.在四棱锥，面，面中，PAB BC PAB AD ABCD P ⊥⊥-底面ABCD 为梯形， 满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆的一部分 B ．线段C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分10.已知函数与图象上存在关于轴对称的点， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D.第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 11.已知随机变量,若，则 . 12．给出下列等式：；；3322411214352132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，…… 由以上等式推出一个一般结论：对于n n n n N n 21)1(22132421213,2*⨯++++⨯⨯+⨯⨯∈ = . 13．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 _. 14．已知函数，当时，给出下列几个结论： ①；②； ③;④当时，.其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）．三、选做题（考生只能从中选一题，两题都做的，只记前一题的分.本小题5分）15.（1）（不等式选做题）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 . （2）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t 为参数）相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.） 16. （本小题满分12分）已知，求： （1）； （2）.17.（本小题满分12分）已知函数（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）如图1,在直角梯形中,,,, 为线段 的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示. (1) 求证:平面； (2) 求二面角的 余弦值.19．（本小题满分12分）某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响. （1）求选手甲进入复赛的概率；（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.20. （本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍,且经过点,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （），l 交椭圆于A 、B 两个不同点. （1）求椭圆的方程；（2）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.y ABCDACD.21. （本小题满分14分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时对于任意的，函数在区间上总存在极值；（3）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．xx 届高三年级第一次联考数学（理）参考答案一、选择题1-5: B B B D C 6-10: B A D A B 二、填空题11. 16 12． 13． 【解析】易知圆的圆心坐标为，则圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点， 作抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可知，则，当点位于圆与轴的交点时，取最大值，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值为，此时与重合，由于、、构成三角形，因此，所以，因此的周长的取值范围是.，又因为f （x ）在（，+∞）递增，所以时，即，所以时，，故为增函数，所以，所以2222111()()2()()x x f x x f x x f x ϕ=-+，故④正确.三、选做题 15.（1）；（2）C DyxOBAFxA BCDMyz O17. 【解析】 解：（1）， 因此在处的切线的斜率为， 又直线的斜率为， ∴（）＝－1，∴ ＝－1. …………6分 （2）∵当>0时，恒成立，则恒成立， 设＝，则＝， …………8分 当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减， …………10分 故当＝1时，取得极大值，，∴ 实数的取值范围为． …………12分 18. 【解析】（1）由已知可得,从而,故 …………3分 ∵面面,面面,面,从而平面 …………6分 （2）建立空间直角坐标系如图所示,则, ,, 设为面的法向量, 则即,解得令,可得 …………9分又为面的一个法向量 …………10分 ∴∴二面角的余弦值为. …………12分 19. 【解析】(1）设选手甲答对每个题的概率为，则，设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：； …………2分 或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛， …………4分 或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛选手甲进入复赛的概率 …………6分(2)的可能取值为3,4,5，对应的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率2322324321128(X 5)()()()()333327P C C ==⋅+⋅=…………9分…………10分 …………12分20. 【解析】 解：（1）设椭圆方程为则…………4分∴椭圆方程为…………6分（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为，只需证明即可 …………7分设 直线 则联立方程 得 …………9分 …………11分 而()()()()()()2221211111211*********----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k k所以故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. …………13分 21. 【解析】 解：（1）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是； …………4分 （2）由,∴，. …………6分 故3232()'()(2)222m mg x x x f x x x x ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦，∴,∵ 函数在区间上总存在极值，∴有两个不等实根且至少有一个在区间内 …………7分 又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………8分由，∵在上单调递减，所以；∴，由，解得；综上得： 所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。
高三数学(文)第一次联考试题(2021附答案)
万元
高三数学（文）第一次联考试题（2021 附答案）
8．在平面直角坐标系 中，O 为坐标原点，设向量 OA a ，OB b ，其中 a (3,1) ，b (1, 3) ，
若 OC a b ，且 0≤ ≤ ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（★）
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分．
19．（本题 12 分）长沙市将河西作为环境友好型和 节约型的两型社会先导区，为加强先导区的建设， 造枫林路，如图所示，规划沿路修建圆形休闲广场， 为 O，半径为 100 米，其与枫林路一边所在的直线 l 于 M 点，A 为上半圆弧上一点．过点 A 作 l 的垂线， 为 B，市园林局计划在△ABM 内进行绿化，设△ABM 积为 S（单位：平方米）．
高三数学（文）第一次联考试题（2021 附答案）
四市九校 2020 届高三第一次联考试
数 学（文）
学校
答题卡 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
装
班级
答案
二、填空题（共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分）
考号
9． 11．
10． 12．
姓名
13． 15．
2
2
★ ；使[x 1] 3成立的 x 的取值范围是 ★ ．
15． 定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数，且 f (x) f (2 x) ，在区间[1，2]上是单调递减
高三数学（文）第一次联考试题（2021 附答案）
函数． 关于函数 f (x) 有下列结论：
①图象关于直线 x=1 对称；
(A)充分而不必要条件 (C)充要条件
2021届江西省高三第一次联考测试数学(理)试题Word版含答案
2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2.函数y = ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-3.下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.幂函数()()226844m m f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．25.已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E F 、分别是边11AA CC 、的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ） A ．()[]2322,0,12f x x x x =-+∈ B ．()[]2322,0,12f x x x x =-++∈C ．()[]3,0,12f x x x =-∈ D ．()[]3,0,12f x x x =-∈ 7.若函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．(]4,4- C ．()[),42,-∞-+∞ D ．[)4,4-8.函数221x x e x y e =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(]0,1 C ．(]1,0- D ．()1,-+∞ 10.已知()f x '为()f x 的导函数，若()ln 2x f x =，且()3111212b b dx f a b x '=+-⎰，则a b +的最小值为（ ）A ．42．2 C ．92 D ．9222+ 11.已知函数()f x 和()1f x +都是定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．1932f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；②()32sin cos y x x x =--；③1xy e =+；④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中“H 函数”的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2的充要条件 是____________． 14.设,A B 是非空集合，定义{}|A B x x AB x A B ⊗=∈∉且．已知{}{}21|2,02,|2,0x M y y x x x N y y x -==-+<<==>，则M N ⊗=___________．15.若函数()()3211,220,11log ,2x a x f x a a x x -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭=>≠⎨⎪>⎪⎩且的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________． 16.给出下列四个命题：①函数()()log 211a f x x =--的图像过定点()1,0；②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()1f x x x =+，则()f x 的解析式为()2f x x x =-；③函数11y x =-的图像可由函数1y x =图像向右平移一个单位得到； ④函数11y x =-图像上的点到()0,1其中所有正确命题的序号是_____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()12f =． （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18.（本小题满分12分）命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题3:101q a +<-． （1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“非q ”是“[],1m m α∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 19.（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的对称轴()2,x f x =-的图像被x 轴截得的弦长为，且满足()01f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若12x f k ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式()210462y x x =+--，其中26x <<． （1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．（保留1位小数点） 21.（本小题满分12分） 已知函数()()22xf x x x cec R -=-+∈．（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围； （2）若函数()()()52F x f x f x '=+-（其中()f x '为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点． （1）求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：212x x e >．2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDCBAADACCAA二、填空题13. 3m > 14. ()10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦15. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎭16. ②④ 三、解答题17.解：（1）∵()12f =，∴()log 420,1a a a =>≠，∴2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()21log 42f ==，函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是()20log 3f =，∴()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]2log 3,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）关于命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，0a >时，显然不成立，0a =时成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 0a <时，只需240a a ∆=+<即可，解得：40a -<<，故p 为真时：(]4,0a ∈-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分关于命题3:101q a +<-，解得：21a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．6分 命题“p 或q ”为假命题，即,p q 均为假命题，则41a a ≤-≥或；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（2）非:21q a a ≤-≥或，所以121m m +≤-≥或， 所以31m m ≤-≥或．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）由题意可以设()(22f x a x x =+++-，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由()011f a =⇒=，∴()(22241f x x x xx =+++=++；．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）当[]1,1x ∈-时，11,222xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()f x 开口向上，对称轴为2x =-，∴()f t 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴()min 11324f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭． ∴实数k 的取值范围是13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）当4x =时，销量()210446212y =+-=千件， 所以该店每日销售产品A 所获得的利润是22142⨯=千元；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）该店每日销售产品A 所获得的利润：()()()()()()22321024610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而()()()()2121122404310626f x x x x x x '=-+=--<<．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()0f x '=，得103x =，且在102,3⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以103x =是函数()f x 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以当103.33x =≈时，函数()f x 取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.解：（1）因为()()22xf x x x cec R -=-+∈，所以函数()f x 的定义域为R ，且()2212xf x x ce -'=--，由()0f x '≥得22120x x c e ---≥，即()21212x c x e ≤-对于一切实数都成立．．．．．．．．．．．．2分 再令()()21212x g x x e =-，则()22x g x xe '=，令()0g x '=得0x =， 而当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以当0x =时，()g x 取得极小值也是最小值，即()()min 102g x g ==-． 所以c 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知()2212xf x x c e-'=--，所以由()0F x =得()22252122x x x x ce x ce ---++--=，整理得2272x c x x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 令()2272x h x x x e ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，则()()()()222223231x xh x x x e x x e '=+-=+-， 令()0h x '=，解得3x =-或1x =， 列表得：由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值62e -；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当1x =时，()h x 取得极小值232e -． 又当3x <-时，2270,02x x x e +->>，所以此时()0h x >， 故结合图像得c 的取值范围是650,2e -⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）()()21ln 1ln a x x a a xx f x x x--+-'==， 由()10a f x x e+'=⇒=，且当1a x e +<时，()0f x '>，当1a x e +>时，()0f x '<，所以()f x 在1a x e +=时取得极值，所以10a e e a +=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以()()()2ln 1ln ,0,x xf x m x f x x x -'=->=，函数()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，()1f e m e=-，()00x x →>时，();f x x →-∞→+∞时，()(),f x m f x →-有两个零点12,x x ，故11,00m m e e m ⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）不妨设12x x <，由题意知1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，．．．．．．．．．．．．．．．7分欲证212x x e >，只需证明：()12ln 2x x >，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln2x x x x x x +>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 也就是证明：1ln 201t t t -->+，记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++， ∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >得证．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
2021届高三第一次大联考数学(文)试题(含答案)
2021届四省名校高三第一次大联考文数本试卷共4页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A＝{x∈N|x2－x－2<0}，集合B＝{x|x>0}，则A∩B＝A.1B.[1，2)C.{1}D.(－1，＋∞)2.已知复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知a＝log52，b＝ln2，c＝log523，则A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a4.曲线f(x)＝xex在点(2，f(2))处的切线方程为A.y＝24ex＋22eB.y＝24ex C.y＝－24ex＋22eD.y＝－24ex5.祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年。
为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值。
正三角形的边长为4，若总豆子数n＝1000，其中落在圆内的豆子数m＝618，则估算圆周率π的值是(为方便计算3取1.70，π的值精确到0.01)A.3.13B.3.14C.3.15D.3.166.已知圆C过点A(0，2)且与直线y＝－2相切，则圆心C的轨迹方程为A.x2＝4yB.x2＝8yC.x2＝－4yD.x2＝－8y7.已知α为锐角，且满足sin α－cos α＝33，则cos2α的值为 A.±53 B.53 C.－2 D.－538.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝23π，b ＝2，且△ABC 的面积为3，则a 的值为A.12B.8C.22D.23 9.在长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点M 在边CD 上运动，则MA MB ⋅的最小值为A.－1B.0C.1D.310.一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为A.8＋2B.12C.16＋2D.12＋211.已知圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0，直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 交于A ，B 两点，当弦长AB 最短时k 的值为A.1 2 C.－1 D.212.已知函数f(x)＝sinxcos2x ，关于函数y ＝f(x)有下列命题：①f(3π)＝3 ②f(x)的图象关于点(2π，0)对称； ③f(x)是周期为π的奇函数； ④f(x)的图象关于直线x ＝2π对称。
2021年高三数学第一次联考试题 理(I)
2021年高三数学第一次联考试题理(I)一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1.已知集合，且有4个子集，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）A． B． C． D．3.若，则下列结论不正确的是（）A． B． C． D．4.向量均为非零向量，，则的夹角为（）A． B． C． D．5、已知正项数列的前n项和为Sn，若都是等差数列，且公差相等，则6.实数满足，使取得最大值的最优解有两个，则的最小值为（）A．0 B．-2 C．1 D．-17.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．8.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则的取值范围为（）A． B． C． D．9.已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B．4 C． D．10.三棱锥中，平面，，则该三棱锥的处接球表面积为（）A． B． C． D．11.一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）A．B． C． D．12.已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为________．14. 展开式中的常数项是70，则________．15.已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于________．16.已知函数[)[)1(1)sin2,2,212()(1)sin22,21,222nnxn x n nf xxn x n nππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（），若数列满足，数列的前项和为则________．三、解答题（本题必作5小题，共60分；选作题3小题，考生任作一题，共10分）17.（本小题满分12分）如图，在一条海防警戒线上的点处各有一个水声监测点，两点到的距离分别为20千米和50千米，某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．（1）设到的距离为千米，用表示到的距离，并求的值；（2）求到海防警戒线的距离．18.（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：降水量工期延误天数0 2 6 10历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（1）工期延误天数的均值与方差；（2）在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，面为矩形，，为的中点，与交于点，．（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值．20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点．（1）若点在第一象限，且直线互相垂直，求圆的方程；（2）若直线的斜率存在，并记为，求的值；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()(1)(21)ln f x a x x g x x a x x =-=----，其中．（1）若在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；（2）若函数的图像交轴于两点，中点横坐标为，问：函数在点处的切线能否平行于轴？22.（本小题满分 10分）已知点在直径的延长线上，切于点，是的平分线且交于点，交于点．（1）求的度数；（2）若，求的值．23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的面积．24．（本小题满分12分）设函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，求实数的取值范围．参考答案一、选择题1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．A 7．B 8．B 9．C 10．D 11．A 12．C 二、填空题13． 14．4 15．4 16．90917．解：（1）依题意，有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分在中，，22222220(12)332 cos22205PA AB PB x x x PABPA AB x x+-+--+∠===，同理在中，2222225025 50,cos2250PA AC PC x xAC PACPA AC x x+-+-=∠===．∵，∴，解得：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）作于，在中，由，得，∴千米．故静止目标到海防警戒线的距离为千米．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）由已知条件和概率的加法公式，有，，，(900)1(900)10.90.1P X P X≥=-<=-=．所以的分布列为：0.3 0.4 0.2 0.1于是，()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由概率的加法公式，，又．由条件概率，得(300900)0.66(6/300)(900/300)(300)0.77P X P Y X P X X P X ≤<≤≥=<≥===≥． 故在降水量至少是300的条件下，工期延期不超过6天的概率是． ．．．．．．．．．．．．．．12分19．解：（1）由与相似，知，又，∴平面平面，∴；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由于，在中可得，所以是直角三角形，．由（1）知，则平面， 以为坐标原点所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则13632((0,(0,0,(3,0,0)3333A B C B -， 1633626(0,,),(,,0),(3,333333BC AB BB ==--=-， 设平面，平面的法向量分别为，则，∴；，∴，∴，又如图所示为钝二面角∴ 二面角的余弦值为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．解：（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线互相垂直，且和圆相切，所以，即①又点在椭圆上，所以②联立①②，解得，所以，所求圆的方程为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）因为直线和都与圆相切，所以，，化简得，因为点在椭圆上，所以，即，所以． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）方法一（1）当直线不落在坐标轴上时，设，由（2）知，所以，故．因为在椭圆上，所以，即，所以，整理得，所以所以222222222211221212()()36OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分方法（二）（1）当直线不落在坐标轴上时，设，联立，解得，所以，同理，得．由（2），得，所以22222222121122221224(1)24(1)1212k k OP OQ x y x y k k +++=+++=+++2221112221111241()224(1)3672361121212()2k k k k k k ⎡⎤+-⎢⎥++⎣⎦=+==+++-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分（2）当直线落在坐标轴上时，显然有．综上：． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）222(1)(2)()2(1)a x a x a g x x a x x-----'=---= ∵在其定义域内为增函数，，∴若，在上恒成立，则恒成立，∴恒成立．而当时，，∴． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设在的切线平行于轴，其中，不妨设： 结合题意，有220002ln 0(1)2ln 0(2)2(3)220(4)m m am n n an m n x x a x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩（1）-（2）得所以，由（4）得，所以设，（5）式变为． 设222222(112(1)2(1)(1)4(1)()ln ((0,1)),()01(1)(1)(1)t t t t t t h t t t h t t t t t t t t -+--+--'=-∈=-==>++++， 所以函数在上单调递增，因此，，也就是，此式与（5）矛盾．所以在点处的切线不能平行于轴． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）22．（1）∵为的切线，∴，又是的平分线，∴．由，得，又，∴．（2）∵,,AB AC B ACB EAC ACB ACB =∠=∠=∠∠=∠，∴∴，又0180ACE ABC CAE BAE ∠+∠+∠+∠=，∴．在中，∴．23．解：（1）由曲线的极坐标方程是：，得．∴由曲线的直角坐标方程是：．由直线的参数方程，得代入中消去得：，所以直线的普通方程为：． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，设两点对应的参数分别为，所以12AB t =-===因为原点到直线的距离，所以的面积是． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．解：（1）∵，∴，∴，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为不等式的解集为，所以，解得． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）得．∴，化简整理得：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分令，的图象如图所示：要使不等式的解集非空，需，或，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分E33680 8390 莐 O29299 7273 牳31362 7A82 窂Z]20369 4F91 侑23495 5BC7 寇 !:21177 52B9 効35019 88CB 裋。
2021年高三数学上学期第一次联考试题 文(含解析)新人教A版
2021年高三数学上学期第一次联考试题文（含解析）新人教A版【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【题文】1．设全集,集合A={-1，1，2},B={-1,1},则A.{1}B.{2}C.{1，2}D.{-1，1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：因为全集，B={-1,1}，所以所以{2}，故选B.【思路点拨】根据补集、交集的定义求解.【题文】2．函数的定义域为A. B. C. D.【知识点】函数的定义域. B1【答案解析】D 解析：函数有意义的条件为：，故选D.【思路点拨】根据函数解析式写出函数有意义的条件，进而求得函数的定义域.【题文】3．已知复数，则在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】C应的点位于第三象限，故选C.【思路点拨】根据复数除法及共轭复数的定义求得结论.【题文】4．若，则A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c【知识点】数值大小的比较. E1【答案解析】D 解析：，故选D.【思路点拨】分析各值所在的范围，这些范围两两的交集是空集，从而得a,b,c的大小关系.【题文】5．已知那么的值是A.0B.-2C.1D.-1【知识点】函数值的意义. B1【答案解析】C 解析：因为，所以，所以==1，故选C.【思路点拨】根据函数值的意义求解.【题文】6.等于A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.-sin2-cos2D.sin2-cos2【知识点】三角函数的求值化简. C7【答案解析】D 解析：因为2是第二象限角，所以，故选D.【思路点拨】根据诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系化简已知的式子得，再根据角2的终边位置去掉绝对值.【题文】7.已知中，那么角A等于（）A． B. C. D.【知识点】解三角形.C8【答案解析】A 解析：由正弦定理可得2a b<∴∠【思路点拨】根据正弦定理即可求出角的大小 .【题文】8.已知向量，满足，且关于x的函数在R上有极值，则与的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【知识点】导数；向量的运算B11 F2【答案解析】C解析：，因为函数在实数上有极值，2-⋅>=≠∴a ab a b20,0cos【思路点拨】求出导数，再利用函数性质列出条件求解.【题文】9.把曲线先沿x轴向左平移个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到曲线方程是（）A B. C. D.【知识点】函数的平移变换 B8【答案解析】C 解析：把曲线ysinx-2y+3=0先沿x 轴向左平移个单位长度，可得曲线再沿y 轴向下平移1个单位长度，可得曲线即曲线（1+y ）cosx-2y+1=0，故选：C ．【思路点拨】根据题意对函数进行平移变换即可.【题文】10.已知函数，若存在唯一的零点，且，则a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．B9,B11【答案解析】B 解析：当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1=0，解得x=，函数f （x ）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a ＞0时，令f′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax （x ﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0） 0 （0，） （，+∞）f′（x ） + 0 ﹣ 0 +f （x ） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增∵x→﹣∞，f （x ）→﹣∞，而f （0）=1＞0，∴存在x ＜0，使得f （x ）=0，不符合条件：f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，应舍去．当a ＜0时，f′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax （x ﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，） （，0） 0 （0，+∞）f′（x ） ﹣ 0 + 0 ﹣f （x ） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减而f （0）=1＞0，x→+∞时，f （x ）→﹣∞，∴存在x 0＞0，使得f （x 0）=0，∵f（x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，∴极小值f （）=a （）3﹣3（）2+1＞0，化为a 2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【思路点拨】分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a ＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f （）＞0，解出即可．二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在题后横线上.11.已知，则=【知识点】诱导公式 C2【答案解析】解析：由题可知【思路点拨】根据同角三角函数的基本关系式可直接求解. 【题文】12.已知向量，则 【知识点】向量的加减及坐标运算.F1【答案解析】 解析：由题可知()(14,42,2AB OB OA AB =-=-∴=-【思路点拨】根据向量的加减法则，再进行坐标运算即可.【题文】13.直线是曲线的一条切线，则实数b=【知识点】导数的几何意义及其运算.B11【答案解析】解析：设切点坐标为，，所以，解得：，代入曲线方程可得：，又因为在直线上，故，故答案为：。
2021年高三数学第一次联考文试题(含解析)新人教A版
2021年高三数学第一次联考文试题（含解析）新人教A版【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养运算能力的考查.知识考查注重基础、突出主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、概率等；考查学生分析问题解决问题的综合能力，是份较好的试卷.第Ⅰ卷客观卷共60分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）【题文】1. 已知集合，，则A. [1,2]B. [0,2]C. [-1,1]D. (0,2)【知识点】集合运算A1【答案解析】B由题意得M= N= [0,2]故选B【思路点拨】先算出两个集合再求交集。
【题文】2. 若为虚数单位，则A. B. C. D.【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】A -i-=-i-i=-2i 故选A【思路点拨】先化简分式子分子分母同时乘以1-i 得到结果【题文】3. 集合，从集合中各任意取一个数，则这两个数的和等于的概率是A. 23B. 12C. 13D. 16【知识点】古典概型 K2【答案解析】C 从A ，B 中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：故选C【思路点拨】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【题文】4. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为A.y=±2xB. y=±2xC. y=±22xD. y=±12x 【知识点】双曲线及其几何性质 H6【答案解析】C ∵e ＝＝ 故可设a ＝2k ，c ＝，则得b ＝，∴渐近线方程为 y ＝±x＝±x，故选C ．【思路点拨】由离心率的值，可设a ＝2k ，c ＝,则得b ＝，可得的值，进而得到渐近线方程．【题文】5. 已知等差数列的前项之和为，则A. 6B. 9C. 12D. 18【知识点】等差数列的钱n 项和D2【答案解析】B 根据等差数列的求和公式可得：s13=13a1+ d=39，化简得：a1+6d=3，所以a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1+7d=3a1+18d=3（a1+6d ）=3×3=9．故选B【思路点拨】根据等差数列的前n 项和的公式列得s13=39，化简得到一个关系式，然后利用等差数列的通项公式表示出所求的式子，整体代入可得值。
2021年高三第一次联考数学(文)试卷word版含答案
绝密★启用前本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟2021年高三第一次联考数学（文）试卷word版含答案一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则是( )A. B. C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.当时，复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限4.命题“a, b都是偶数，则a与b的和是偶数”的逆否命题是（）A. a与b的和是偶数，则a, b都是偶数B. a与b的和不是偶数，则a, b 不都是偶数C. a, b不都是偶数，则a与b的和不是偶数D. a与b的和不是偶数，则a, b 都不是偶数5.如果( )．A．B．6 C．D．86.已知函数，若函数为奇函数，则实数为（）A． B． C． D．7.定义在上的函数满足, ,则有（）A. B. C. D. 关系不确定8.设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（）A． 3 B． C． D．9.函数在(m,n)上的导数分别为,且,则当时,有（）A. .B.C. D.10.若是上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增；④在上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
11.函数的定义域为12.设为定义在上的奇函数，当时，，则13.若函数在上单调递增，那么实数的取值范围是14. 已知存在．．实数使得不等式成立，则实数的取值范围是15.给定方程：，下列命题中：(1) 该方程没有小于0的实数解； (2) 该方程有无数个实数解；(3) 该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；(4) 若是该方程的实数解，则．则正确命题的序号是三、解答题;本大题共6小题，共75分。
2021年高三第一次联考数学理试题 含解析
2021年高三第一次联考数学理试题 含解析一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设（为虚数单位），则 （ ）A ．B ．C ．D ．2．设U=R ，集合2{|2,},{|40}x A y y x R B x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．如果直线(2a +5)x +(a －2)y+4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则（ ） A ． 2 B ．－2 C ．2,－2 D ．2,0,－24. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数：①； ②；③； ④．其中“同簇函数”的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 5．右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为 （ ）A ．16B ．16C ．64+16D ． 16+6．已知实数，满足约束条件’则的取值范围是 （ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[0，2]7．若等边的边长为，平面内一点满足，则( )A .B .C ．D ．8．定义：关于的不等式的解集叫的邻域．已知的邻域为区间，其中分别为椭圆的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）正视图俯视图侧视图A 1C A ． B ． C ．D ．第二部分 （非选择题 满分110分）二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9~13题）9．已知数列的首项，若，，则 ．10．执行程序框图，如果输入，那么输出 ．11．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种(用数字作答) 12．如图，在棱长为2的正方体内 （含正方体表面）任取一点，则 的概率 ．13.设函数在（，+）内有意义．对于给定的正数k ，函数，取函数=．若对任意的（，+），恒有=，则k 的最小值为 ．（二）选做题：考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作 的垂线，垂足为，则．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分) 设, ,（1）求的最小正周期、最大值及取最大值时的集合； （2）若锐角满足，求的值．17．(本小题满分12分) 某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：第15题图人数为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的名学生中，从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列．18．(本小题满分14分) 如图，直角梯形中，，，，，，过作，垂足为．、分别是、的中点．现将沿折起，使二面角的平面角为．（1）求证：平面平面；（2）求直线与面所成角的正弦值．19．(本小题满分14分) 已知椭圆的中心在原点，离心率，右焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，在椭圆上是否存在点，使得向量与共线？若存在，求直线的方程；若不存在，简要说明理由．20．(本小题满分14分)设为数列的前项和，对任意的，都有（为正常数）．（1）求证：数列是等比数列；（2）数列满足，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．21. (本小题满分14分)设函数(Ⅰ)当时，求函数的最大值；(Ⅱ)令（）其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．xx学年度高三第一次教学质量检测试题（理科数学）评分参考一、选择题 D C C C D D C B二、填空题9．，或；10．；11．30；12．；13．；14.15. 30º16．解：（1）解：…………………1分…3分……4分最小正周期……5分当，即时，有最大值，此时，所求x的集合为．………7分（2）由得，故…9分又由得，故，解得．……11分从而．………………12分17．解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为．…………… 4分（2）设“从名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件，从名学生中随机抽取两名学生的取法共有种，… 5分来自同一所中学的取法共有．…………… 6分∴．答：从名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为．… 7分（3）由（1）知，名学生中，来自两所中学的学生人数分别为．依题意得，的可能取值为，………… 8分，，．…… 11分∴的分布列为：…12分18．（1）证明：DEAE，CEAE，，AE平面，……3分AE平面，平面平面．……5分（2）（方法一）以E为原点，EA、EC分别为轴，建立空间直角坐标系……6分DEAE，CEAE，是二面角的平面角，即=，……7分，，，A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，，1）．……9分、分别是、的中点，F，G ……10分=，=，……11分由（1）知是平面的法向量，……12分设直线与面所成角，则，故求直线与面所成角的正弦值为． ……14分（列式1分，计算1分） （方法二）作，与相交于，连接……6分由（1）知AE 平面，所以平面，是直线与平面所成角……7分是的中点，是的中位线，，……8分因为DEAE ，CEAE ，所以是二面角的平面角，即=…9分在中，由余弦定理得，FEH EH EF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 2222 （或）……11分（列式1分，计算1分） 平面，所以，在中， ……13分所以直线与面所成角的正弦值为……14分 19．解：（1）设椭圆的方程为， ……1分 离心率，右焦点为，，，…… 3分 故椭圆的方程为．…… 4分（2）假设椭圆上存在点（），使得向量与共线，……5分 ，， （1） ……6分又点（）在椭圆上， （2） ……8分由（1）、（2）组成方程组解得：，或， ……11分 当点的坐标为时，直线的方程为， 当点的坐标为时，直线的方程为， 故直线的方程为或． ……14分20．解：（1）证明：当时，，解得．…………………1分当时，．即．…………………2分又为常数，且，∴．………………………3分∴数列是首项为1，公比为的等比数列．……………………4分 （2）解：…5分 ∵，∴，即．…7分∴是首项为，公差为1的等差数列．………………………………………8分 ∴，即．……………………………9分 （3）解：由（2）知，则．所以， …10分即12312123252(23)2(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ① ……11分 则234122123252(23)2(21)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ②………12分②－①得13412(21)2222n n n T n ++=⨯------，……………………13分故31112(12)2(21)22(23)612nn nnT n n-++-=⨯---=⨯-+-．……………………14分21.解：（1）依题意，知的定义域为，当时，，……………………2分令，解得因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。
2021年高三数学上学期第一次联考(10月)试题 理(含解析)
2021年高三数学上学期第一次联考（10月）试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．1．在复平面内，复数（4＋5i）i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝｛x｜2－3x－2x2＞0｝，B＝｛x｜y＝ln（x2一1）｝，则AB＝A．（一2，一1）B．（一，一2）U（1，＋）C．（一1，） D．（一2，一1）U（l，＋）3．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，B＝600，则cosC＝A．一B．C．一D．4．设，则A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b5．要得到函数f（x）＝的图象，只需将函数g（x）＝的图象A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位6．已知数列｛a n｝满足a1＝1，a n－1＝2a n（n≥2，nN＊），则数列｛a n｝的前6项和为A、63 B．127 C．D．7、已知，则的值为A、－B、－C、D、－8、已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且，点F是BD上靠近D的四等分点，则9、下列函数中，在区间（0,1）上单调递增的有A、0个B、1个C、2个D、3个10、下列命题中是真命题的为A．“存在”的否定是‘不存在”B．在△ABC中，“AB2＋AC2＞BC2”是“△ABC为锐角三角形”的充分不必要条件C ．任意D、存在11·己知实数x，y满足232423120xyy xx y⎧≥-⎪⎪≤+⎨⎪+-≤⎪⎩，直线（2＋）x一（3＋）y＋（l一2）＝0（R）过定点A，则的取值范围为A、［，7］B、［，5］C、（－，］［7，＋］D、（－，］［5，＋］l2．已知函数，若关于x的方程f（x）＝g（x）有唯一解x0，且x0（0，＋），则实数a的取值范围为A·（一一1）B．（一l，0）C．（0，1）D．（1，＋）第II卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题一第（21）题为必考题，每个题目考生都必须作答．第（22）题一第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共20分．把答案填在题中的横线上．13．由曲线与曲线围成的平面区域的面积为·14．已知函数图象关于原点对称．则实数a的值构成的集合为15．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝600，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若AB＝2，AD＝，则＝16．设数列｛a n｝的前n项和为S n，已知a1＝1，a n＋1＝2S n＋2n，则数列｛a n｝的通项公式a n＝三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若在〔一〕内，函数y＝f（x）十m有两个零点，求实数m的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列｛a n｝的前n项和为Sn，且a1＝1，S10＝55．（I）求数列｛a n｝的通项公式；（II）若数列｛bn｝满足b1＝l，，求数列的前n项和Tn．19．（本小题满分12分）已知函数f（x）=＋b，x［一l，l］的最大值为M．（I）用a，b表示M；（II）若b=，且对任意x[0，2]，sin2x一2x十4≤M，求实数a的取值范围．20．（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A， B，C的对边，AM是BC边上的中线，G是AM上的点，且．（I）若△ABC三内角A、B、C满足sinA：sinB：sinC＝：1：2，求sinC的值．（II）若，当AG取到最小值时，求b的值．21．（本小题满分12分）设函数f（x）＝（I）求函数f（x）的极值；（II）已知g（x）＝f（x＋1），当a＞0时，若对任意的x≥0，恒有g（x））≥0，求实数a的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，AB为圆O的直径，过点B作圆O的切线BC，任取圆O上异于A、B的一点E，连接AE并延长交BC于点C，过点E作圆O的切线，交边BC于一点D．（I）求证：OD／／ AC；（II）若OD交圆0于一点M，且∠A＝600，求的值·23．（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为·（I）求曲线C的直角坐标方程；（II）若直线l过点（2，3），求直线l被圆C截得的弦长．24．（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲已知函数f（x）＝｜2x＋1｜，g（x）＝｜3x一a｜（aR）．（I）当a＝2时，解不等式：f（x）＋g（x）＞x＋6；（II）若关于x的不等式3f（x）＋2g（x）≥6在R上恒成立，求实数a的取值范围·233186 81A2 膢u36396 8E2C 踬22192 56B0 嚰25318 62E6 拦 20853 5175 兵34163 8573 蕳'36842 8FEA 迪26211 6663 晣25233 6291 抑20684 50CC 僌20237 4F0D 伍。
2021届全国大联考高三第一次大联考数学(理)试题Word版含答案
10.对于任意x R，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≧1时，函数f(x)＝ 。若a＝ ，b＝ ,c＝ ，则a、b、c大小关系是
A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a
11.已知函数 ，则函数y＝f(x－1)的图象大致为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
已知集合 ，集合 。
(1)求集合A；
(2)若B A，求实数a的取值范围。
18.(本小题满分12分)
已知 。
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若 为真命题且 为假命题，求实数m的取值范围。
19.(本小题满分12分)
(1)若函数f(x)＝g’(x)在区间[0，1]上是单调函数，试求a的取值范围；
(2)若函数g(x)在区间[0，1]上恰有3个零点，且g(1)＝0，求a的取值范围。
1.已知集合 ，则集合A∩B＝
A.{2} B.{－1，0，1) C.{－2，2} D.{－1，0，1，2}
2.命题“ x>0，x(x＋1)>(x－1)2”的否定为；
A. B.
C. D.
3.
A.2＋ln2 B.3－ln2 C.6－ln2 D.6－ln4
4.设集合A、B是全集U的两个子集，则“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不lt;2，则x0的取值范围是
A.(－∞，－1) B.(－1，0] C.(－1，＋∞) D.(－∞，0)
6.已知 ，则下列说法中正确的是
2021年高三数学上学期第一次联考试题 理(含解析)新人教A版
2021年高三数学上学期第一次联考试题 理（含解析）新人教A 版【试卷综析】试题考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说比较高，综合知识、创新题目的题考的有点少,试题适合阶段性质考试.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【题文】1.已知复数满足(其中是虚数单位,满足),则复数的共轭复数是A. B. C. D.【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】BB.【思路点拨】利用复数除法运算求得复数z=1+3i ，再由共轭复数的定义求的共轭复数.【题文】2.则下列结论正确的是A. B.C. D. 【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析： ()(){}{1,2},,01,2U A B C A B ∴==-∞,(){}(){}0,1,2,2,1U A B C A B =+∞--=--,故选D. 【思路点拨】求出集合A ，然后依次求各选项中的集合，得出正确选项.【题文】3.设,则“”是“”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【知识点】充分条件；必要条件. A2【答案解析】A 解析：，成立；而a=-5,b=1时，但不成立. 所以“”是“”成立的充分而不必要条件.故选A.【思路点拨】分别判断充分性、必要性是否成立得结论.【题文】4.已知点,则与向量方向相同的单位向量是A. B. C. D.【知识点】平面向量的概念；向量的坐标运算. F1 F2【答案解析】C 1,AB ⎛=量方向相同的单位向量是，故想C.【思路点拨】求出向量AB 的坐标，提出向量AB 的模得与向量AB 方向相同的单位向量.【题文】 5.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若则A. B. C. D.【知识点】函数奇偶性、单调性的应用. B3 B4【答案解析】B， 而函数是上的奇函数,且在区间上单调递增，所以a>0,b<0,c<0，又因为，所以b>c ，所以a>b>c ，故选B.【思路点拨】利用诱导公式化简各自变量值，根据函数的奇偶性、单调性，把a,b,c 分成正数、负数两类，由锐角余弦值小于其正切值得，再根据单调性得负数b,c 大小关系，从而得a,b,c 的大小顺序.【题文】6.函数的最大值与最小值的和是A. B.0 C. D.【知识点】与三角函数有关的最值. C7【答案解析】C 大值是，最小值是-3，所以最大值与最小值的和是-，故选C.【思路点拨】把已知函数化为二次函数形式求得结论.【题文】7.函数的单调递增区间是A. B. C. D.【知识点】导数法求函数的单调区间. B12【答案解析】D 解析：，由得x>e-1，故选D.【思路点拨】求定义域上导函数大于0的x 范围.【题文】8.由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是A. B. C. D.【知识点】定积分与微积分基本定理. B13【答案解析】A 解析：，故选A.【思路点拨】由定积分的几何意义及微积分基本定理求解.【题文】9.在中,角所对的边分别是,若,则的最小角的正弦值等于A. B. C. D.【知识点】向量；解三角形. F1 C8【答案解析】C 解析：由得,因为不共线，所以，所以角A最小，又cosA=，所以sinA=，故选C.【思路点拨】根据向量共线的意义得关于a,b,c的方程组，由此确定三角形的最小内角，再由余弦定理求得此最小内角的余弦值，进而求其正弦值.【题文】10.已知定义在上的奇函数的导函数为,当时,满足,则在上的零点个数为A.1B.3C.5D.1或3【知识点】函数的奇偶性；函数的零点；导数的应用. B4 B9 B12【答案解析】A 解析：设则[]2()2()()2()()h x xf x x f x x f x xf x'''=+=+，因为时,满足，所以时, ，所以函数是上的增函数，又是定义在上的奇函数，所以是R上增函数，所以在上的零点个数为1，故选 A.【思路点拨】构造函数，利用导数确定函数在的单调性，再由奇偶性得函数在R上单调性，从而得到函数的零点个数.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在题后横线上.【题文】11.命题“对任意”的否定是【知识点】含量词的命题的否定. A3【答案解析】存在,使得.解析：命题“对任意”的否定是“存在,使得”【思路点拨】根据含量词的命题的否定方法写出结论.【题文】12.已知向量向量满足,则的取值范围是【知识点】向量的几何意义. F1【答案解析】[2，8] 解析：表示对应的点与对应的点距离是3，又，所以的最小值5-3=2，最大值5+3=8，即的取值范围是[2，8].【思路点拨】根据向量差的模的几何意义，得对应点的轨迹是以（3，4）为圆心3为半径的圆，由此得的取值范围.【题文】13.已知函数在上单调递增,在上单调递减,则【知识点】函数的性质. C4【答案解析】解析：因为函数在上单调递增,在上单调递减，所以，,在上单调递减.所以.而当时，在上单调递增,在上单调递减.所以.【题文】14.设函数,若互不相等的实数满足,则的取值范围是【知识点】分段函数. B1【答案解析】 解析：设，则，所以的取值范围是【思路点拨】画出函数的图像，由图像可知若，则，由此得的取值范围.【题文】15.已知函数,有下列五个命题①不论为什么值,函数的图象关于原点对称;②若,函数的极小值是,极大值是;③若,则函数的图象上任意一点的切线都不可能经过原点;④当时,对函数图象上任意一点,都存在唯一的点,使得(其中点是坐标原点)⑤当时,函数图象上任意一点的切线与直线及轴所围成的三角形的面积是定值. 其中正确的命题是 (填上你认为正确的所有命题的序号)【知识点】函数的性质. B12【答案解析】①③⑤ 解析：显然函数是奇函数，故命题①正确；当a=b<0时函数的极小值是-,极大值是，故命题②不正确；假设存在过原点的切线，切点为，则切线斜率，又，所以=，得b=0，与矛盾，故命题③正确；当a=b=1时，对勾函数以直线y=x,y 轴为渐近线，，所以对函数图象上任意一点,都存在唯一的点,使得不成立，故命题④不正确；由③得切线方程与y=ax 联立得交点，切线与y 轴交点，又原点（0,0），所以围成三角形的面积是2ab 是定值，故命题⑤正确.所以正确命题有①③⑤.【思路点拨】①可判断函数的奇偶性；②当a=b<0时函数的极小值是-,极大值是，故结论不成立；③反证法，假设存在过原点的切线，切点为，则切线斜率，又，所以=，得b=0，与矛盾，故命题③正确；④特殊值法，当a=b=1时，对勾函数以直线y=x,y 轴为渐近线，，所以，从而=1不成立，故命题④不正确；⑤由③得切线方程与y=ax 联立得交点，切线与y 轴交点，又原点（0,0），所以围成三角形的面积是2ab 是定值，故命题⑤正确.三、解答题本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.【题文】16(本小题满分12分)如图,,动点与分别在射线上,且线段的长为1,线段的长为2,点分别是线段的中点.(Ⅰ)用向量与表示向量;(Ⅱ)求向量的模.【知识点】向量在几何中的应用；向量的线性运算；向量的模.F1【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ） .解析：（Ⅰ）,两式相加，并注意到点分别是线段、的中点，得.-----6分（Ⅱ）由已知可得向量与的模分别为与，夹角为，所以,由得22212121212121211()242MN A A B B A A B B A A B B =+=++•=……………12分【思路点拨】（Ⅰ）根据向量加法的多边形法则求解；（Ⅱ）根据向量模的平方与向量数量积的关系求解.【题文】17(本小题满分12分)在中,角所对的边分别是,若,且.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的面积.【知识点】解三角形. C8【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 解析：（Ⅰ）可得所以，所以，……………3分所以,所以6分（Ⅱ）由（1）可得在△中，由正弦定理∴ , ……………9分∴. ……………12分【思路点拨】（Ⅰ）已知等式展开，代入余弦定理得cosA,又代入得结论；（Ⅱ）由正弦定理求得边c，代入面积公式求三角形面积.【题文】18(本小题满分12分)函数的导函数为.(Ⅰ)若函数在处取得极值,求实数的值;(Ⅱ)已知不等式对任意都成立,求实数的取值范围.【知识点】导数的应用. B12【答案解析】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .解析：(Ⅰ)，由于函数在时取得极值，所以 .即解得，此时在两边异号，在处取得极值--------6分(Ⅱ) 方法一：由题设知：对任意都成立即对任意都成立……………9分设 , 则对任意，为单调递增函数所以对任意，恒成立的充分必要条件是即，，于是的取值范围是………12分方法二：由题设知：，对任意都成立即对任意都成立于是对任意都成立，即……………9分，于是的取值范围是……………12分【思路点拨】(Ⅰ)由可导函数在某点取得极值的条件求a值；(Ⅱ)法一即对任意都成立，把不等式左边看成关于a的一次函数，利用一次函数单调性得关于x的不等式求解；法二：分离参数法求x范围.【题文】19(本小题满分12分)已知函数(为奇函数,且函数的图象的两相邻对称轴之间的距离为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象,求函数的单调递增区间.【知识点】函数解析式的确定；图像变换. C4【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）（）.解析：（Ⅰ）．……………3分因为为奇函数，所以，又，可得所以，由题意得，所以．故．因此．……………6分（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，……………9分当（），即（）时，单调递增，因此的单调递增区间为（）．……………12分【思路点拨】（Ⅰ）由奇偶性求，由周期性求，得解析式，从而求的值；（Ⅱ）根据图像变换规律得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间.【题文】20(本小题满分13分)已知函数,其中.(Ⅰ)若函数在其定义域内单调递减,求实数的取值范围;(Ⅱ)若,且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.【知识点】导数的应用. B12【答案解析】（Ⅰ）；(Ⅱ) .解析：（Ⅰ）的定义域是，求导得依题意在时恒成立，即在恒成立. ……3分这个不等式提供2种解法，供参考解法一：因为，所以二次函数开口向下，对称轴，问题转化为所以，所以的取值范围是……………6分解法二，分离变量，得在恒成立，即当时，取最小值，∴的取值范围是………6分（Ⅱ）由题意，即，设则列表：∴，，又………10分方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.则，得（注意）………13分【思路点拨】（Ⅰ）利用导数转化为不等式恒成立问题，再由分离参数法等求a范围；（Ⅱ）即方程在上恰有两个不相等的实数根，利用导数求极值，通过分析极值的取值条件求得b范围.【题文】21(本小题满分14分)已知函数的图象在点处的切线的斜率为2.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)设,讨论的单调性;(Ⅲ)已知且,证明【知识点】导数的应用；分析法证明不等式. B12 E7【答案解析】（Ⅰ）1；(Ⅱ) 在区间和都是单调递增的；(Ⅲ)见解析.解析：（Ⅰ）所以由题意,得……3分(Ⅱ)，所以设当时，，是增函数，，所以，故在上为增函数；………6分当时，，是减函数，，所以，故在上为增函数；所以在区间和都是单调递增的。
2021年高三数学第一次联考试题 理(含解析)
2021年高三数学第一次联考试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则（）B. C. D.2.在复平面内复数对应的点在第一象限，则实数的取值可以为（）A.0B.1C.-1D.23.设命题“任意”，则非为（）存在 B.存在C.任意 D。
任意4.设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的一条渐近线方程是（）B. C. D.5.若点在函数的图像上，则=（）A.2B.4C.6D.86.已知，若，则=（）A.3B.2C.1D.-17.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A.2B.-4C.-1D.48.某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A.10B.15C.20D.309.给出一个程序框图，则输出的值是A.39B.41C.43D.4510.已知直角梯形,90,224ABCD BAD ADC AB AD CD ∠=∠=︒===，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ）B. C. D.11.若的一个对称中心为，则的值所在区间可以是（ ）B. C. D.12.已知定义在上的奇函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（ ）B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡的相应位置。
13.已知向量，则 。
14.已知圆的方程为。
若过点的直线与此圆交于两点，圆心为，则当最小时，直线的方程为 。
15.将4为大学生分配到三个工厂参加实习活动，其中工厂只能安排1为大学生，其余工厂至少安排1位大学生，且甲同学不能分配到工厂，则不同的分配方案种数是 。
16.在中，若，则的面积取最大值的边长等于 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分,。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）已知数列是等差数列，且。
2021年高三上学期第一次联考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期第一次联考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,集合,则等于A. B. C. D.2.已知复数满足，则=A. B. C. D. 53.下列命题正确的个数为“都有”的否定是“使得”;②“”是“”成立的充分条件;③命题“若，则方程有实数根”的否命题A. 0B. 1C. 2D. 34.某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为A. B. C. D.5.函数的图象大致是6.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入N=6时，输出的s= 正视图侧视图俯视图A. 62B. 64C. 126D. 1247.已知双曲线E:的右焦点为F，圆C：与双曲线的渐近线交于A，B，O三点（O为坐标原点）.若为等边三角形，则双曲线E的离心率为A. B. 2 C. D. 38.向量满足,且,则的夹角的余弦值为A. 0B.C.D.9.已知的展开式中没有常数项，则n不能是A. 5B. 6C. 7D. 810.不透明的袋子内装有相同的五个小球，分别标有1-5五个编号，现有放回的随机摸取三次，则摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为A. B. C. D.11.已知函数（> 0）,若且在上有且仅有三个零点，则=A. B. 2 C. D.12.已知函数，若不等式< 0对任意均成立，则的取值范围为A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)13.抛物线的准线方程为.14.设函数是定义在上的奇函数，且对任意的,当时，，则= .15.已知满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为.16.已知ΔABC是斜三角形，角A，B，C所对的边分别为,若且，则ΔABC的面积为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知数列的前项和，其中.（I）求的通项公式；18. (本小题满分12分)如图，菱形ABCD的中心为O,四边形ODEF为矩形，平面ODEF平面ABCD，DE=DA=DB=2（I）若G为DC的中点，求证：EG//平面BCF;（II）若,求二面角的余弦值.19. (本小题满分12分)甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分.已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求：（I）“火星队”至少投中3个球的概率；（II）“火星队”两轮游戏得分之和X的分布列和数学期望EX.20. (本小题满分12分)已知椭圆C:的左焦点为F,为椭圆上一点,AF交y轴于点M,且M为AF的中点.（I）求椭圆C的方程；（II）直线与椭圆C有且只有一个公共点A，平行于OA的直线交于P ,交椭圆C于不同的两点D,E，问是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数.（I）若函数在内单调递减，求实数的取值范围；（II）当时，关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)如图，已知为圆的直径，是圆上的两个点，是劣弧的中点,于,交于，交于.（I）求证：（II）求证：.23. (本小题满分10分)在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（II）直线与曲线交于两点，求.24. (本小题满分10分)已知函数（I）求不等式的解集；（II）若对于任意的实数恒有成立，求实数a的取值范围.xx 届高三第一次五校联考理科数学试题答案一、选择题 CDBAC ABBDA DA 二．填空题13. 14.-2 15. 16.53417.（I ）当时,,解得 .…………1分 当时, n n n n n n n a a a a S S a -=---=-=---111)1()1( 化简整理得 …………4分 因此，数列是以为首项，为公比的等比数列.从而， .…………6分（II ）由（I ）可得，nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=212142132122114321432212132122121+⎪⎭⎫⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n S …………8分nn n n n n n S n S ⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴-++212122121212121111.…………12分18.解: (1) 证明：连接OE,OG,由条件G 为中点∴ OG//BC 又EF//OB EF=OB ∴四边形EFBO 为平行四边形 ∴ EO//FB 平面 EOG//平面FBC ∴ EG//平面BCF …………5分 (2) ABCD 为菱形，所以OBOC ，又平面ODEF 平面ABCD ，四边形ODEF 为矩形 所以OF 平面ABCD 可建立如图的空间直角坐标系， ………6分设O （0，0，0），B （1，0，0），C （0，， 0），E(-1,0,2)F （0，0，2），H （，，0）， D （-1，0，0）， 设是面DEG 的一个法向量， 则即，取. …………8分同理取平面OEH 的一个法向量是, …………10分 所以, ∴二面角D —EH —O 的余弦值为.…………12分19.解：（Ⅰ）设事件为“甲第次投中”,事件为“乙第次投中”由事件的独立性和互斥性)()()()()(321212121212121212121B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P P ++++=球）（至少投进5039)4341545443435451(243435454=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 答：“星队”至少投中3个球的概率为. （每一种情形给1分）………5分（Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，2,4，6，8， ……………6分 ,, 20074001451415441514151432)2(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P ,40073544154415143514351435441514154432)4(=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P502140016854415443514354432)6(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P…………………………………………10分 ∴X 的分布列为…………11分5314001448400168640073440014240010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX …………12分 20.解:（Ⅰ）设椭圆的右焦点是， 在中， …………2分 所以椭圆的方程为 …………4分 （Ⅱ）设直线DE 的方程为，解方程组 消去得到 若则，其中 …………6分()21212212223))22(1(x x x x x x x x x x PE PD P P P P ++-=-⋅-+=⋅ 又直线的方程为,直线DE 的方程为， …………8分 所以P 点坐标,22222432222221222,43t t t AP t PE PD =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅∴ 所以存在常数使得 …………12分21．解:（1）f '(x)=1x -2ax -2=-2ax 2-2x+1x ……1分由题意在x ∈[14,2]时恒成立,即2在x ∈[14,2]时恒成立,即， ……4分当x=14时，取最大值8，∴实数的取值范围是a ≥ 4. ……6分（2）当a= -14时,可变形为.令,则. ……8分列表如下:∴，， ……10分 又，∵方程在上恰有两个不相等的实数根，∴， ……11分得. ……12分 22.【解析】（I ）是劣弧的中点 在中， ,又,所以.从而，在中，. ……5分 （II ）在中，,因此，∽，由此可得,即……10分 23.【解析】（I ）直线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为; ……5分（II ）解法一、曲线：是以点（0,2）为圆心， 2为半径的圆，圆心（0,2）到直线的距离，则. ……10分 解法二、由可解得A,B 两点的坐标为 ，由两点间距离公式可得.解法三、设两点所对应的参数分别为 将 代入并化简整理可得 ，从而因此，.24.解析】（Ⅰ）不等式即为， 等价于或或， 解得.因此，原不等式的解集为. ……5分 （Ⅱ）3)1()2(12)(=--+≥-++=x x x x x f要使对任意实数成立，须使，解得. ……10分%25321 62E9 择23812 5D04 崄 E23004 59DC 姜dO39524 9A64 驤20687 50CF 像%]t25598 63FE 揾。
2021年高三数学入学第一次联合考试试卷 理
2021年高三数学入学第一次联合考试试卷 理一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，，则（ ）A. B. C.D.2.设,则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（ ） A.2 B. C. D.34.设是两条不同的直线， 是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ） A.若,,,则 B.若,,,则 C.若,,则 D.若,,,则5.将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函 数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D.6.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半 径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)7.设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数的值为（ ） A.13 B.12 C.11 D. 10 8.设函数是二次函数,,若函数的值域是,则函数的值域是( ) A. B. C. D.9.若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④．其中是集合上的拓扑的集合的序号是( )A.①B.②C.②③D.②④ 10.设函数,若实数满足,则( ) A. B. C. D.（第3题图）正视图 侧视 x第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分） 11.已知函数则=_______________．12.若点M （）为平面区域上的一个动点，则的最大值是_______ 13.若数列的前项和,则=___________ 14.已知，则 .15.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．16.已知是单位向量,.若向量满足______17.函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”______________三、解答题(本大题共5小题，满分72分。
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2021年高三数学第一次联考试题
学校___________ 班级_________ 学号__________ 姓名__________ 成绩_________
满分150分，考试时间120分钟
一. 填空题 (本大题满分60分）本大题共有10题，只要求直接填写结果，每题
填对得6分，否则一律得零分.
1. 若为全集，，，则 .
2. 若直线的法向量为，直线的方向向量为，则两条直线的夹角为 .
3. 在平面直角坐标系中，以轴为始边作锐角，它的终边与单位圆相交于点，且点
的横坐标为，则的值为 .
4.（理）已知函数有两个零点，实数的取值集合为，且对于任意，不等式恒成立，
则的取值范围是 .
（文）过点且倾斜角满足的直线的方程为 .
5. 设的内角所对的边长分别为，且满足，则 .
6.（理）下列命题正确的序号为 .
①若存在，则实数的取值范围是；
②公比为的等比数列满足，则奇数项的前项和为；
③数列满足，且则.
（文）已知函数有两个零点，实数的取值范围是 .
7.（理）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集为 .
（文）下列命题正确的序号为 .
①若存在，则实数的取值范围是；
②公比为的等比数列满足，则其前项和为；
③数列的前项和，则的通项为.
8.若函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的图像一定过点 .
9.（理）函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的
（文）定义在上的偶函数满足：在上是减函数，且，则不等式的解集
为 .
10.（理）设函数的定义域为，若存在非零常数使得对于任意有且，则称为上的高调函数. 对
于定义域为的奇函数，当时，，若为上的4高调函数，则实数的取值范围是 .
（文）对于集合，定义函数；对于两个集合，定义集合.已知，，则用列举法写出集合的结
果为 .
二.选择题 (本大题满分15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个
结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
11. 不等式成立是成立的【】
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花
费一定的维护费，第一年的维护费用为2万元，由于设备老化，以后每一年的维护费都比
上一年增加2万元.为使该设备的年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为
【】
A.7
B.8
C.9
D.10
13.已知数列满足，在该数列的第1项与第2项之间插入1个1，在第2项与第3项之间插入
2个1，…，在第项与第项之间插入个1，…，由这些数构成新数列，则数列的前xx项和
为【】
A. B. C. D.
三．解答题 (满分75分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
14.（本题满分12分，第一小题7分，第二小题5分）
已知向量，，且，
（1）求的解析式及单调区间；
（2）求在上的最大值与最小值.
15.（本题满分14分）
如图，平行四边形中，,，，是的中点，将平行四边形沿折叠，使得与重合，求折痕的长以及的面积．
16.（本题满分15分，第一小题6分，第二小题9分） 已知幂函数在上是增函数，. （1）求的解析式；
（2）指出函数的奇偶性和单调性，并选择一个单调区间给出证明过程
.
17.（本题满分16分，第一小题8分，第二小题8分）
在小商品批发市场，某种小礼品当双十一即将来临时，价格呈上涨趋势。
设该礼品第一天上市时定价为10元，并且每过一天涨价2元，第六天开始保持20元的价格平稳销售；第10天双十一结束，之后平均每天降价2元，直到第17天，该礼品已不再销售。
（1）试建立价格与天数之间的函数关系式； （2）若该礼品每件进价与天数之间的关系为：
2*1
()(8)12,,[1,16]8
g x x x N x =--+∈∈，
试问该礼品第几天每件的销售利润最大？
18.（理）（本题满分18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）
已知、是两个互相垂直的单位向量，，且满足，
，，
.
（1）求、、（用、或表示），并由此写出（无需证明）；
（2）记，求的最大项；
（3）设、的起点均为点顺次连接、、…、…，求的面积.
（文）（本题满分18分，第一小题6分，第二小题4分，第三小题8分）
已知数列和，满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
（3）是否存在正整数，使得不等式对一切恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.
上海市数学散装同步试卷参考答案
六校联考
（东昌、卢湾、光明、北虹、六十、同二）
一、1．； 2．； 3．-； 4．（理）；（文）；
5．； 6．（理）③；（文）； 7．（理）；（文）③；8．； 9．（理）；（文） 10．（理）；
（文）
二、11．A； 12．D； 13．D．
14.解：（1
增区间为……………………………………1分
减区间为……………………………………1分
（2）……………………………………1分
即时，………………2分
即时，………………2分
15.解：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系………………1分
则，，，…………………………2分
，中点坐标…………………………2分
直线的方程为：，即… …2分
令得，令得…………………………2分
…………………………1分
又中，，……………………1分
边上的高……………2分
…………………………1分
…………………………4分 16. …………………………2分 ，，或………………………2分
…………………………2分 （2），是奇函数 ………2分
减区间为：、和 …………3分 分 21x x ->在上是减函数 ………………2分
17. 解：（1） ………………………8分 （2）设利润函数为，则
2
2*2
141581
()()()8610()81436111682x x x h x f x g x x x x N x x x ⎧+≤≤⎪⎪⎪=-=+≤≤∈⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩
-……4分
当时， ………………1分 当时， ………………1分
当时， ………………1分
所以，该礼品第6天或第10天每件的销售利润最大. ………………1分 18.（理）解：（1），，， 、、 ………………………3分 ………………………1分 或：由得 即
，， 、、
（2），，
又1111112()()2n n n n n n n n n n n OB OB OB OB OB OB OB B B B B c +-+-+--+=---=-= ………………………………2分
3
3
11112233n n n n n n n a A A B B n b c n --++⎛⎫
⎛⎫
∴=⋅=⨯⋅=⨯ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
……………1分
3
2
1112(24)033n n n n a a n n --+⎛⎫
⎛⎫
-=⨯=-⨯< ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
恒成立…………1分
是递减数列，最大项为 ……………2分
（3）1122312981
()223n n n n
OA OA A A A A A A b -=++++=+⨯……………2分
2112231(3)n n n OB OB B B B B B B n n c -=++++=-+ ……………2分
……………1分 ……………1分
212981
cos ()(3)24443
n n OA B n n n
S OA OB n n π∆∴==+-+⨯……………2分
（文）解：
（1）111
1111111133332123223
111333222n
n n n n n n n n n
n
n n n n a a a b b a a a +++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-⨯⎢⎥ ⎪-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=
==
=⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
是等比数列 ……………………………4分
……………………………2分 （2） ……………………………1分
………………………………3分 （3）由得对一切恒成立2分 记
()1
1224222223333n n n
n n n c c n n ++-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-=+⨯-⨯=⨯ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
……………2分
是的最大项 …………………………2分
， ………………………………………2分L37829 93C5 鏅40423 9DE7 鷧26220 666C 晬29345 72A1 犡 24880
6130 愰38191 952F 锯 19969 4E01 丁30238 761E 瘞23710 5C9E 岞40061 9C7D 鱽39615 9ABF 骿35596 8B0C 謌。