第四章 变形体静力学基础b

F1=3F/5； F2=6F/5；FAy=-4F/5 力的平衡方程 联立 反力、内力 静不 论 变形、应力、 1，成为静定结构，则： 定问 若去掉杆 材料物理方程 求解 F2=3F/2； FAy =-F/2。 题 位移... 变形几何方程
静不定问题，反力、内力、应力均与材料有关。 静不定结构可减小构件内力，增加刚度，减小变形21 。
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2)求各段应变： AB=AB/E钢=125/(210×103) 0.6×10-3 BC=BC/E铜=50/(100×103) =0.5×10-3 CD=CD/E铜=0.6×10-3
3)求各段伸长： 注意:
F2=8kN
D
F1=40kN
B l A
l
C
l
FN 48kN
D C B
40kN A
B
D C D' v
u
DlCD
D2
45
D
K D'
DlBD
D1
H
故变形后D点的位移为： 水平位移：u=DD2=DlCD=0.137 mm () 垂直位移：v=D2H+HD'=DD1/cosa+DD2 =DlBD+｜DlCD｜ =2.038 mm ()
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二个物体，6个平衡方程 三处铰链，6个约束力 问题是静定的。
L1+DL1
F F F
3
L1 L2+DL2 L2 L3+DL3 L3
F F F
2
FN
杆3
2
1
=FN/A
0
DL
0
=DL/L
轴力 A FN =F，可见， FN-DL间存在着线性关系。 >A =A ；
DL FN F； L N L >L =L = 即: 1 D L 或写为 = A E L = E 2 3 A
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二、 应变
变形：物体受力后几何形状或尺寸的改变。
用应变表示，如拉压杆（应变=Dl/l0），与几何尺寸无关。
一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而 定义。变形包括单元体尺寸和形状二种改变。 线应变：过A点沿坐标方向线段的尺寸改变。
AB AB D AD A x = lim 和 y = lim dx 0 dy 0 AB AD
12FE2 A2 6FE2 A2 6FE2 A2 ; F2 = ; FAy = 2F 4E2 A2 + E1 A1 4E2 A2 + E1 A1 4E2 A2 + E1 A1
求出内力后，应力、变形和位移显然不难求得。 20
3个物体，9个平衡方程；5处铰链，10个约束反力 问题是一次静不定的。
解答为：
1
得到最简单的物理关系--Hooke定律： =E 注意：-关系与试件几何（L、A）无关。
4
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=E
是材料的一种应力—应变关系模型， 称为线性弹性应力—应变（物理）关系模型。
=FN/A，单位面积上的内力，称为应力(平均应力)。
量纲是力/［长度］2，单位用帕斯卡(Pa), 1 Pa=1 N/m2；1 MPa=106 Pa； 1 GPa=109 Pa 。 =DL/L，是单位长度的变形，称为应变(平均应变)。 应变是无量纲量。 E是-直线的斜率，应力量纲。与材料有关。 因为卸载后变形可以恢复，故E称为弹性模量。 轴向拉压杆的应力、应变和变形DL可表达为：
F=22kN
例4.9 图中BD杆直径d=25mm，CD杆为30×80mm矩 形截面，弹性模量E=200GPa，求D点的位移。 解： 1)力的平衡： 画受力图。有平衡方程： MC(F)=FBsin45-F=0 FB=31.1kN Fx=FCx-FBcos45=0 FCx=22kN Fy=FCy+FBsin45-F=0 FCy=0 亦可由三力平衡判断 2)力与变形的物理关系： 二杆均为单向拉压，轴力为： FNBC=FB=31.1kN(拉); FNCD=-FCx=-22kN (压)17
解：画轴力图。 有： DD=DlAD=DlAB+DlBD =FNABl /E(2A)+FNBDl /EA 即： DD=(F1-F2)l /E(2A)+F1l /EA=0 解得： F2=3F1
D l A B
F1 -F2
l
l
F2
C
F1
F1
注意： 固定端A处位 移为零。
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4.6 一点的应力和应变(一般讨论)
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由力与变形间的物理关系知各杆变形为： DlBD=FNBDlBD/E(d2/4)=1.344×10-3 m DlCD=FNCDlCD/EACD=-0.1375×10-3 m 3)变形几何协调条件：(求位移) 变形后D点应移至以B、C为圆心， 以杆变形后的长度为半径的二圆弧交 点D’处。变形量与原尺寸相比很小， 用切线代替圆弧。几何关系如放大图。
FB
B
FCy
45 C FCx l=3m D
F=22kN
变形体力学静定问题的求解方法为：
静定 问题
平衡 方程
求反力 物理 内力 方程 应力
求变形
几何 方程
求位移
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例4.10 刚性梁AB如图。杆1、2的截面积和弹性模量 分别为A1、A2；E1、E2。求各杆内力。 解：1)力的平衡：平衡方程为： MA(F)=F1a+2F2a-3Fa=0 Fy=FAy+F1+F2=0
y
D'
D dy A' A dx C B' B C'
切应变：过A点直角形状的改变。
= dx lim ( 0
dy 0

2
BAD)
x
线应变、切应变分别与、的作用相对应。
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4.7 变形体静力学分析
FB
B
FCy
45 C FCx l=3m D
再论利用力的平衡、变形几 何协调及力与变形间的关系， 分析变形体静力学问题的基本方法。
三个未知力，二个方程，一次静不定。
FAy
1 2
F1
D l1 a a
F2 l
B a
A
2)力与变形间的物理关系： Dl1=F1l/E1A1 ； Dl2=F2l/E2A2
D l2
F
3)变形几何协调条件: 变形后应有： Dl2=2Dl1 ； 即 F2l/E2A2=2F1l/E1A1。 解得： F1 = 3F
B x
Fx
C
A z
x
Fz
a Mx b M z
最一般情况： 截面内力有六个分量。
基本 变形
轴向拉压
扭
转
弯 曲
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
3
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4.5 杆的轴向拉伸和压缩
先考查杆承受轴向拉伸时力与变形之关系。
寸微小，各面上的应力可认为是均匀的。

A
dx

dy
单向拉压杆横截面上只有正应力。 故 A点的应力状态可用由横截面、水 平面截取的微小单元体上的应力描述。 是单向应力状态。

a
dx
a a
斜截面？ 12
斜截面上的应力：
设已知，A点在法向与轴线夹 角a之截面上应力为a、a， 由单位厚度微元力的平衡条件可得： Fx=a(dx/sina)×1×cosa +a(dx/sina)×1×sina -(dx/tga)×1=0 Fy=a(dx/sina)×1×sina -a(dx/sina)×1×cosa=0 注意式中各项是力的投影分量。
FN L 在物理模型=E下有： DL = L = L = E EA

EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。
N、L、E、A改变，则须分段计算。
6
例4.7 杆AB段为钢制，横截面积A1=320mm2， BD段 为铜，A2=800mm2， E钢=210GPa；E铜=100GPa； l=400mm。求杆各段的应力、应变和总伸长量DAD。 解：1)求内力(轴力)， 画轴力图。 2)求各段应力：
如：铸铁试样受压时， a=45斜 截面上的应力a和a为： a=-/2; a=-/2 铸铁抗压能力远大于抗剪或 抗拉能力，故实验时先发生与 轴线大约成45，剪切破坏。
F
a a
x
a
B
B
F

14
对于单向拉、压杆，任 一点 A的应力状态为：
F

ຫໍສະໝຸດ Baidu
A
A

/2
/2
A
a=0
或
=/2
a=45
FN
截面上只有轴力，故应力为正应力。 变形沿轴向是均匀的，故在横截面上均匀分布， 因为
=const. 故有：
FN = dA = A
A
注意：一般情况下， 内力非均匀分布， 截面各点应力不同。
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3) 一点的应力状态：
由定义有：T = lim DF DA 0
DA
F

A
故可知，
一点的应力与过该点之截面的取向有关。 一点的应力状态用围绕该点截取的 微小单元体上的应力来描述。单元体尺
只要确定了一种单元体取向时各微面上的应力， 即可求得该点在其他任意取向之截面上的应力。
剪应力互等定理： 结论： 1) 应力是矢量。 单元体(dx xdy x1)互垂截面上的剪应 A 2) 一点的应力与过该点的截面取向有关 。 z 力互等，指向相对(同时指向或离开截 可以用微小单元体各面上的应力描述一 面交线3) )。 M z= dy点的应力状态 x1xdx-dxx1x dy=0 = 。
构件内引起的应力。 B C 例4.11 二端固支杆BC长L，截面积A。 L D L 已知弹性模量E、线膨胀系数a。若温 T 度升高DT，求反力和杆内应力。 C FB B 解：温度升高时，杆BC要伸长。二 D LR 端约束限制伸长，引起约束反力。 约束反力作用的结果是使杆在轴向受压缩短， 故二端约束力如图。 1)力的平衡: FB=FC=F 2)物理关系: （温度与变形、力与变形关系） 设温度升高后杆的伸长为： DLT=aDTL 轴力FN=F，故杆的缩短为： DLR=FL/EA
截面法求解内力的步骤为：
求 约 束 反 力 截 取 研 究 对 象 受力 图， 内力 按正 向假 设。 列 平 衡 方 程 求内 力， 内力 方程 内力图： FN、FQ、 M图
2
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4.4 杆件的基本变形
杆件：某一方向尺寸远大于其它 方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。
y
Fy
1
F My
第四章
4.1
变形体静力学基础
变形固体的力学分析方法
4.2 基本假设
4.3 内力、截面法
4.4 杆件的基本变形 4.5 杆的轴向拉伸和压缩 4.6 一点的应力和应变 4.7 变形体静力学分析 4.8 应力集中的概念
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前节回顾：
研究变形体力学问题的主线是：
力的平衡 变形的几何协调 力与变形之关系
F1 = 3F
6 FE2 A2 FAy = 2F 4 E2 A2 + E1 A1
FAy
1
2
F1
F2 l
B
6FE2 A2 12FE2 A2 ; F2 = 4E2 A2 + E1 A1 4E2 A2 + E1 A1
A a a a
F
变形体静不定问题的求解方法为： 讨 若二杆相同，E1=E2=E，A1=A2=A；有：
+向
48kN D
l
F2=8kN
C l B
F1=40kN
l A 40kN
FN 48kN
D C B
AB=FNAB/A1
=40×103N/(320×10-6)m2
A
=125×106Pa=125MPa
BC=FNBC/A2=40×103/(800×10-6) =50MPa； CD=FNCD/A2=48×103/(800×10-6)= 60MPa
一、 应力
内力连续分布在截面上， 截面法确定的是内力的合力。
O
DF
1) 定义： 一点的应力T是该处内力的集度，定义为：
DF T = lim DA 0 D A
DA是围绕O点的面积微元； DF作用在DA上的内力。
DA

O
T DA 0

T是矢量，法向分量称正应力；切向分量称切应力。
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2) 轴向拉压杆横截面上的应力：

A
dx

dy

y x
a
a
dx
a
a
a (dx/sina ) 1×cosa ×
应力 斜面长
厚 面积 斜面法向内力 法向内力在x轴的投影
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求得A点在与轴线夹角为a之截面上的应力为: a=(1+cos2a)/2； a=sin2a/2 可见：拉压杆斜截面上有正应力和切应力。
a=0时，a=， a=0， 横截面上正应力最大； a=45时，a=/2， a=/2， 45斜截面上剪应力最大，且max=/2。
=
FN A
DL = L
FN L DL = L = L= E EA

EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。5
轴向拉压杆变形分析汇总：
求轴力FN？
轴向拉压杆的应力、应变定义为： DL FN 应力： = 应变： = A L 力—变形的物理关系： =E 称为线性弹性应力—应变（物理）关系模型。 轴向拉压杆的变形DL可表达为：
Dl=l=l/E=FNl/AE DlCD=CDlCD=0.24mm
DlAB=ABlAB=0.6×10-3×400mm=0.24mm DlBC=BClBC=0.2mm；
4)杆的总伸长为： DlAD=DlAB+DlBC+DlCD=0.68mm
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讨论：杆 受力如图。BC段截面积为A ，AB
段截面积为2A，材料弹性模量为E。欲使截面 D位移为零，F2应为多大？