3-3函数的单调性和凹凸性

y" 12 x2 10 0
故曲线 y x4 5x2 在(,) 上为凹的。
定义3-2 连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点． 既然拐点是曲线上凹与凸的分界点，那么在拐点的 左右近旁 f "(x) 应为异号，要满足这一特征，拐点处的 f "(x) 要么为零，要么不存在．
例5 求曲线 y x 4 2x3 1 的凹凸区间及拐点．
例2 求函数 f (x) 2x3 6x2 18 x 7 的单调区间． 解 函数 f (x) 2x3 6x2 18x 7 的定义域为一切实数，
f '(x) 6x2 12 x 18 6(x 1)(x 3) ，令 f '(x) 0 ，得 x1 1, x2 3
为表达简洁明了，列表表示
x
(,1)
1
f (x) +
0
f '(x)
(1,3)
－
3 (3,) 0＋
由上可知，函数的单调增区间为(,1] 和ຫໍສະໝຸດ 3,) ，单调减区间为 [1,3]
1．曲线的凹凸定义和判定法 知道了函数的单调性，对函数的变化情况有了初步的了解．
但仅限于此还不够，例如函数曲线
y x2 与 y x 在(0,) 内都是上升的，但它们上升的方式
（1）如果x (a,b) 时，恒有 f "(x) 0 ，则曲线 y f (x) 在 (a,b) 内是凹的；
（2）如果x (a,b) 时，恒有 f "(x) 0 ，则曲线 y f (x) 在 (a,b) 内是凸的；
例3 判断曲线 y x4 5x2 的凹凸性． 解：y' 4x3 10 x, y" 12 x2 10 ，在 (,) 上，恒有
却有明显的区别
y
y x2
y x
O
x
定义3-1 在某区间内，如果曲线弧位于其上任一点 处的切线的上方，则称曲线在该区间内是凹的； 如果曲线弧位于其上任一点处的切线的下方， 则称曲线在该区间内是凸的．
进一步分析上图可得凹凸性的判定定理 定理3-5 设函数 f (x) 在区间(a,b) 内具有二阶导数，
解: （1）函数 y x4 2x3 1 的定义域为 (,) ； （2）y' 4x3 6x2 , y" 12x2 12x 12x(x 1) ，令 y" 0 ，得 x1 0, x2 1 ，无 y"不存在的点； （3）列表判断（符号 表示凹的，符号 表示凸的），如下表所示．
x (,0)
限个点处成立，那么函数 f ( x)在 [a, b]上仍然是单调
增加（或减少）的．
例1 判定函数 f (x) x3 的单调性． 解 函数 f (x) x3 的定义域为一切 实数，f '(x) 3x2 0 ， 且只有 f '(0) 0 ，因此，函数 f (x) x3 在 (,) 上单调增加．
内可导，则:
（1）如果在(a, b)内f '( x) 0, 那么函数 y f ( x)在 [a, b]
上单调增加；
（2）如果在(a, b)内 f '( x) 0, 那么函数 y f (x)在 [a, b]
上单调减少．
注意： （1）如果将定理中的闭区间换成开区间或半开区间， 结论仍然成立． （2）如果在 (a,b) 内 f '(x) 0(或 0) ，但等号只在有
0
(0,1)
1
(1,)
y"
＋
0
－
0
＋
y
拐点 (0,1)
拐点 (1,0)
由上可知，(,0) (1,) 为凹区间；(0,1) 为凸区间；点 (0,1) 及 (1,0) 为曲线的拐点．
3.3 函数的单调性与曲线的凹凸性
主
一、函数的单调性
要
内 容
二、曲线的凹凸性和拐点
一、掌握用导数判别函数单调性的方法
教
学 二、会用导数判断曲线的凹凸性
要 求
三、会求曲线的拐点
如图所示．
y
y
O
x
(a)
f '(x) tan 0
O
x
(b)
f '(x) tan 0
定理3-4 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a, b)