随机变量的独立性
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第3-3节 随机变量的独立性
一、随机变量的相互独立性
二、小结
一、随机变量的相互独立性
随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：
wenku.baidu.com
1.定义 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P( X x, Y y) P( X x) P(Y y)
则称X,Y相互独立 .
二、小结
独立性 1. 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
X 和 Y 相互独立 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }. 2. 设连续型随机变量 ( X , Y )的联合概率密度为
P{X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.
2 (1)由分布律的性质知 0, 0, 1, 3
1 故与 应满足的条件是: 0, 0 且 . 3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi p j , (i 1,2; j 1,2,3)
特别有
1 2 , p12 p1 p2 1 1 9 9 3 9
又
1 1 , 得 . 3 9
例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X PX
1 0.3
3 0.7
Y PY
2 0.6
4 0.4
求随机变量 (X,Y) 的分布律.
解
因为X与Y 相互独立, 所以
因此 ( X ,Y ) 的联合分布律为 Y 2 4 X 0.18 1 0.12 0.42 0.28 3
例3 设(X,Y)的概率密度为
( x y )
xe , x p0 , yy 0 p ( x) p ( y ) ( x , ) X Y p ( x, y ) 故X,Y 独立 0 , 其它
1, pY ( y) 0,
0 x 1 其它
0 y 1 其它
由于X 与Y 相互独立，则（X , Y )的密度函数 0 y 1， 1, 0 x 1， p( x, y) 0, 其它
1 要使两人能会面，则 | X Y | 4 则 7 1 P{| X Y | } p( x, y)dxdy dxdy 16 4 D D
y0 其它
例4（会面问题）甲乙两人约定0时到1时在某 处会面，他们到达会面地点的时间均匀分 布在0～1时.设他们两人到达的时间是相互 独立，二人约定先到者等候另一人1刻钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率. 解：设X , Y 分表示甲,乙两人到达的时间,则
1, p X ( x) 0,
P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j )
则称X和Y相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
1 18
1 3
若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的 定义等价于： 若对任意的 x, y, 有
p(x, y) p X ( x) pY ( y)
成立，则称X,Y相互独立 . 其中 p(x, y ) 是X,Y的联合密度，
pX ( x), pY ( y) 分别是X的
边缘密度和Y 的边缘密度 .
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于： 对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
p( x, y), 边缘概率密度分别为 p X ( x), pY ( y),则有
X 和 Y 相互独立
p( x, y ) pX ( x ) pY ( y )
3. X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi } P{Y y j }
于是
P{ X 1,Y 2} P{ X 1} P{Y 2}
0.3 0.6 0.18,
P{ X 1,Y 4} P{ X 1}P{Y 4} 0.3 0.4 0.12, P{ X 3,Y 2} P{ X 3}P{Y 2} 0.7 0.6 0.42, P{ X 3,Y 4} P{ X 3}P{Y 4} 0.7 0.4 0.28.
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即
设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F ( x, y) FX ( x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 . 它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
问X和Y是否独立？
( x y ) x p ( x ) xe dy xe 解： X 0
对一切x, y, 均有：
x>0
y >0
pY ( y) 0 xe( x y )dx e y
即：
xe , x 0 pX ( x ) 其它 0,
x
e y , pY ( y ) 0,
(1) 求与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
X
1 2
Y
1 1 6 1 3
2 1 9
3 1 18
1 9
1 18
pi P{ X xi } 1 3 1 3
2 3
p j P{Y y j } 1 2
一、随机变量的相互独立性
二、小结
一、随机变量的相互独立性
随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：
wenku.baidu.com
1.定义 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P( X x, Y y) P( X x) P(Y y)
则称X,Y相互独立 .
二、小结
独立性 1. 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
X 和 Y 相互独立 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }. 2. 设连续型随机变量 ( X , Y )的联合概率密度为
P{X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.
2 (1)由分布律的性质知 0, 0, 1, 3
1 故与 应满足的条件是: 0, 0 且 . 3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi p j , (i 1,2; j 1,2,3)
特别有
1 2 , p12 p1 p2 1 1 9 9 3 9
又
1 1 , 得 . 3 9
例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X PX
1 0.3
3 0.7
Y PY
2 0.6
4 0.4
求随机变量 (X,Y) 的分布律.
解
因为X与Y 相互独立, 所以
因此 ( X ,Y ) 的联合分布律为 Y 2 4 X 0.18 1 0.12 0.42 0.28 3
例3 设(X,Y)的概率密度为
( x y )
xe , x p0 , yy 0 p ( x) p ( y ) ( x , ) X Y p ( x, y ) 故X,Y 独立 0 , 其它
1, pY ( y) 0,
0 x 1 其它
0 y 1 其它
由于X 与Y 相互独立，则（X , Y )的密度函数 0 y 1， 1, 0 x 1， p( x, y) 0, 其它
1 要使两人能会面，则 | X Y | 4 则 7 1 P{| X Y | } p( x, y)dxdy dxdy 16 4 D D
y0 其它
例4（会面问题）甲乙两人约定0时到1时在某 处会面，他们到达会面地点的时间均匀分 布在0～1时.设他们两人到达的时间是相互 独立，二人约定先到者等候另一人1刻钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率. 解：设X , Y 分表示甲,乙两人到达的时间,则
1, p X ( x) 0,
P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j )
则称X和Y相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
1 18
1 3
若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的 定义等价于： 若对任意的 x, y, 有
p(x, y) p X ( x) pY ( y)
成立，则称X,Y相互独立 . 其中 p(x, y ) 是X,Y的联合密度，
pX ( x), pY ( y) 分别是X的
边缘密度和Y 的边缘密度 .
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于： 对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
p( x, y), 边缘概率密度分别为 p X ( x), pY ( y),则有
X 和 Y 相互独立
p( x, y ) pX ( x ) pY ( y )
3. X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi } P{Y y j }
于是
P{ X 1,Y 2} P{ X 1} P{Y 2}
0.3 0.6 0.18,
P{ X 1,Y 4} P{ X 1}P{Y 4} 0.3 0.4 0.12, P{ X 3,Y 2} P{ X 3}P{Y 2} 0.7 0.6 0.42, P{ X 3,Y 4} P{ X 3}P{Y 4} 0.7 0.4 0.28.
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即
设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F ( x, y) FX ( x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 . 它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
问X和Y是否独立？
( x y ) x p ( x ) xe dy xe 解： X 0
对一切x, y, 均有：
x>0
y >0
pY ( y) 0 xe( x y )dx e y
即：
xe , x 0 pX ( x ) 其它 0,
x
e y , pY ( y ) 0,
(1) 求与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
X
1 2
Y
1 1 6 1 3
2 1 9
3 1 18
1 9
1 18
pi P{ X xi } 1 3 1 3
2 3
p j P{Y y j } 1 2