神奇的对数换底公式(公开课)
换底公式与自然对数省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
ln N ＝ log e N （其中 e＝2.718 28…）.
第8页
必做题： 教材P112，练习 A 组第 2 题， 练习 B 组第 3 题 ；
选做题： 教材P112，练习 B 组第1、2 题．
第9页
为底对数，以 e 为底对数叫做自然对数． log e N 通常记作 ln N．
探究：利用换底公式怎样得到自然对数和 惯用对数关系？ ln N ≈ 2.302 6 lg N
第5页
练习 1
1 ．将以下对数换成以 10 为底惯用对数：
（1）log 2 6 ； （2）ln 10 ． 2 ．求以下格式值：
（1）e ln x ；
第3页
1. 换底公式：
log b N ＝ log a N log a b
注意 （1）成立前提：b＞0 且 b ≠1，a＞0，且 a ≠1 ； （2）公式应用：换底公式作用是“换底”，
这是对数恒等变形中惯用工具， 普通常换成以 10 为底．
第4页
2. 自然对数：
在科学技术中经常使用无理数 e＝2.718 28…
指 数 4.2.3
换底公式与自然对数 换底公式与自然对数
指数 对数
对数
第1页
细胞分裂过程 分裂次数 第1次 第2次 第3次
第x次
……
细胞总数 2＝21 4＝22 8＝23 y＝2 x
第2页
问题：若分裂得到细胞个数 y＝4 096， 则分裂次数 x 为多少？
分析： 即 log 2 4 096 ＝ x ， 4 096＝2 x ， 两边取惯用对数，得 lg 4 096＝ lg 2 x ， 即 lg 4 096＝ x lg 2， 即 x ＝ lg 4096＝ 12． lg 2
《3.4.2换底公式》课件1-优质公开课-北师大必修1精品
自
课
主 导
一般，推导、证明、应用对数的换底公式，培养学生分析、
时 作
学
业
综合解决问题的能力．教学中要充分发挥课本这些材料的作
课
堂 互
用．
动
探
究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法
方
分 析
●教学建议
法 技
巧
教 学
本课主要学习对数换底公式，它在以后的学习中有着非 当
方
堂
案 设
常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法 分
【解】 由 0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得 e－λ＝ 0.90，
析
方 法 技
教
又 0.50μ0＝μ0(e－λ)t，
巧
学
当
方 案 设
则12＝( 0.90)t，两边取常用对数，得 lg12＝2t lg 0.90，
当 堂 双 基
计
课 前 自 主
＝2lloogg118852＋＋lloogg118899＝2log18a19＋8＋blog189
达 标
课 时
导
学 课
＝2－2loga1＋89b＋log189＝a2＋ －ba.
堂
互
动
探
究
作 业
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法
方
对数运算时换底公式课件
在某些情况下，使用换底公式可能会导致数值计算的精度损失。因此，在进行 数值计算时，需要谨慎使用换底公式，并注意检查计算结果的精度。
避免使用换底公式的场景
需要精确计算时
在需要精确计算的情况下，尽量避免使用换底公式。因为换底公式可能导致数值 计算的精度损失，从而影响结果的准确性。
对数底数难以确定时
在数学算过程。
换底公式在物理中的应用
换底公式在热力学中的应用
在热力学中，温度、压力等物理量常常用对数表示，换底 公式可以用来推导热力学中的一些重要公式，如理想气体 状态方程等。
换底公式在电磁学中的应用 在电磁学中，电流、电压等物理量常常用对数表示，换底 公式可以用来推导电磁学中的一些重要公式，如欧姆定律 等。
对数的基本性质
总结词
对数具有一些基本的数学性质，这些 性质在对数运算中非常重要。
详细描述
对数具有一些基本的数学性质，如对 数的乘积性质、对数的除法性质、对 数的指数性质等。这些性质可以帮助 我们更方便地进行对数运算。
对数的换底公式
总结词
换底公式是一种重要的对数运算公式， 它允许我们在不同的底数之间进行转换。
换底公式的应用场景
换底公式在解决实际问题时具有广泛的应用，如科学计算、工程技术和 金融等领域。
在不同领域中，换底公式可以用于转换不同底数的对数，以便更好地处 理数据和计算结果。
通过以上扩展，我们详细介绍了换底公式的推导过程、证明和应用场景。 在数学学习和实际应用中，掌握换底公式对于处理对数运算和解决实际 问题具有重要的意义。
换底公式在天文学中的应用
在天文学中，星体的距离、质量等物理量常常用对数表示， 换底公式可以用来推导天文学中的一些重要公式，如哈勃 定律等。
公开课教案---对数换底公式
对数换底公式小庙中学王仁成教材分析：对数运算是学习对数函数的基础，在前一节课学习对数的运算性质的基础上，再来学习对数的换底公式是对对数运算能力的提升。
对数的运算性质是在同底的基础上，而对数换底公式可以实现将以任意不等于1的正数为底数的对数转化成以10或e为底的同底数对数，也即将“不同底”化成“同底”，简化计算。
在实际问题的应用上更为广泛。
所以要反复训练，强化记忆。
•教学目标：（一）.知识与技能：掌握对数的换底公式，熟练运用对数的换底公式进行对数运算。
（二）.过程与方法：通过对数换底公式的推导，掌握“两边取对数”的数学方法，体会转化的数学思想。
（三）.情感、态度与价值观：通过对数换底公式的探究与推导，培养学生的探究探究意识，感受对数运算性质、换底公式的重要性，增加学生的成功感，增强学生学习数学的积极性。
教学重点：对数的换底公式的推导与应用。
教学难点：对数的换底公式的推导与应用。
教学方法：合作、探究与讲解相结合教学安排：1课时学情分析：本校的学生入学成绩不是太好，数学基础尤其不好，例题及练习应选择一些难度不大的试题。
探究时教师要适当指导、讲解。
教学过程：上面是三张2008年5月12日四川汶川8.0级地震后的照片。
山河破碎，满目疮痍！！！地震是人类面对的最严重的自然灾害之一。
人类也一直在研究地震，了解地震。
我国东汉时期的张衡在公元132年就发明了“候风地动仪”，用来测知地震的方位。
20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。
这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为其中A 是被测地震的最大振幅， 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的误差）。
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此事标准地震的振幅是，计算这次的地震的震级（精确到0.1）0lg lg A A M -=祝同学们学业进步！再见！。
《对数的换底公式》课件
对数的应用
Байду номын сангаас
复利计算
对数可以用于计算复利。 它可以简化复利计算公式， 提高计算效率。
声音表示
对数可以用于表示声音的 强度和频率。它可以将庞 大的数值转换为更易理解 的单位。
解决复杂问题
对数还可以用于解决一些 复杂的数学问题。它可以 简化计算过程，并提供新 的思路。
总结
1 换底公式的作用 2 对数的多种性质
《对数的换底公式》PPT 课件
在这个PPT课件中，我们将学习什么是对数的换底公式以及它的应用。通过生 动的图像和实例，让我们一起探索这个有趣且实用的数学概念。
什么是对数换底公式？
对数换底公式是用来将不同底数的对数转换为相同底数的对数的公式。它有 着广泛的应用，并可以简化数学计算。
对数换底公式的推导
对数的换底公式可以 将不同底数的对数转 换为相同底数的对数。 这大大方便了数学计 算的进行。
对数具有多种性质， 应用广泛。我们应该 深入了解这些性质， 发挥它们在实际问题 中的威力。
3 掌握换底公式的
重要性
熟练掌握对数的换底 公式可以在实际应用 中极大地方便计算， 并解决各种数学问题。
通过对数的定义式$log_{a}b=c$转换为指数形式，并利用指数的运算规律，我 们可以推导出对数的换底公式。
对数的性质
基数要求
对数的基数必须为正数且不能为1。这是对数函数的基本性质之一。
真数要求
对数的真数必须为正数。只有正数才能取对数。
反函数关系
对数函数的反函数是幂函数。这为我们研究对数与幂函数之间的关系提供了便利。
对数的换底公式课件
真数必须大于0
换底公式中的真数必须大于0，因为对数定义域的限 制。
换底公式使用时的注意事项
正确选择底数
选择适当的底数可以帮助简化计算， 例如在科学计算中常用以10为底或以
e为底的换底公式。
避免计算错误
换底公式涉及多个对数的运算，容易 出错，需要仔细核对每一步的计算结
推导过程中需要特别注意处理对数的运算次序、底数和指数 的关系，以及不同底数之间的转换关系，以确保推导的正确 性和严谨性。
换底公式证明
换底公式的证明主要基于对数的定义 和性质，通过数学演绎推理的方法进 行证明。证明过程中需要利用已知的 对数运算法则和性质，逐步推导出换 底公式。
证明的关键在于理解对数的基本性质， 掌握对数运算法则的应用，以及能够 灵活运用数学演绎推理的方法。
03
换底公式的应用
利用换底公式进行对数计算
01
换底公式可以将对数计算从一种底数转换为另一种底数，简化 计算过程。
02
利用换底公式可以快速比较不同底数对数值的大小，有助于解
决一些数学问题。
在科学计算中，换底公式可以用于将不同单位或不同来源的数
03
据统一到相同的对数底数下，便于分析和比较。
利用换底公式解决实际问题
与对数的运算律结合
换底公式可以与对数的运算律结合使用，如 log_a(m^n) = n * log_a(m)，log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)等。
与指数和对数互化结合
换底公式可以与指数和对数互化的性质结合使 用，如e^(log_a(b)) = b，log_a(e^b) = b等。
05
对数的换底公式【公开课教学PPT课件】
方法小结
[规律方法] 解对数应用题的步骤
方法小结
1．换底公式主要用于计算、化简求值，化简时，有 两种思路： ①根据题目特点，先换部分对数的底进行运算． ②直接把题中对数全换成统一底的对数进行运算． 2．换底公式常用推论：
loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
23＋llgg
29＝
2llgg32＋3llgg32llgg 23＋2llgg23
＝56llgg
3 3lg 2·2lg
23＝54.
典例详解（2）用已知对数表示其他 对数
已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645.
[思路探究] 运用换底公式，统一化为以18为底的对数．
学习目标
重点难点 重点： 能推到出对数的换底公式 难点：会用对数换底公式进行化简与求值．
复习回顾
积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N
> 0 有：
loga(MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
logaN
(2)
logaM n nlogaM (n R) (3)
解:（1）log9 27
=
log3 27 log3 9
=
3 2
（2）log 8 9 log 27 32
= lg 9 lg 32 lg 8 lg 27
= 2lg 3 5lg 2 3lg 2 3lg 3
10 9
课后练习
2.计算：
（1）log9 8 log32 27
《换底公式》示范公开课教学课件【高中数学北师大版】
计算：（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1）；（2）；（3）；（4）．
分别计算下列各式，你能得出什么结论?（1）；（2）；（3）．
解：（1）；（2））；（3）
通过观察得出结论：且，，．
设0，0，0且，，利用Leabharlann 数的换底公式证明：（1）;（2）．
设，是正数，且，求的值．
证明：（1）；（2）．
解：因为0，0，，所以 因为，所以， 即，所以，所以．
换底公式：一般地，若，，，且，，则．常用结论： ①(a>0且，b>0且②且，，．③且，b>0
教材第104页习题4-2A 组第6-7题．
常用结论：①(a>0且，b>0且②且，，．③且，b>0
你能用其他方法证明对数的换底公式吗?
证明：令，则，， 计算，故，等式两边同时取对数： ， 所以．
可用代数法进行证明．
计算：（1）；（2）；（3）（0，0，且，）．
解： 根据对数的换底公式，得（1）；（2）；（3）．
观察题目对数的特点，用换底公式化为同底数对数再计算.
计算：（1）；（2）．
解：根据对数的换底公式，得（1）（2）
不是同底数对数，要考虑使用换底公式化为同底数对数再计算．
(1)已知，，试用，表示．(2)设，求的值．
解：(1)由，得．又，则．(2)由，得，，由换底公式得，，则．
技巧总结：(1)用已知对数表示其他对数的思路：①统一底数：巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种问题的关键；②分拆代换：结合对数运算法则，把所求向已知条件靠拢，巧妙代换求值．(2)指数式的连等式求值方法：第一步：可令连等式等于k（k>0），然后将指数式用对数式表示；第二步：由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数；第三步：运用对数的运算性质化简求值．
北师大版高中数学必修1-3.4.2 对数的换底公式 课件 优秀课件PPT
log a M n n log a M(n R)
lloloogggaaaanMNnMpnl(ongloagMaRM)PnlologgaPna NMl1oga
M
log
a
M
一、对数的换底公式:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:
解:
解:
解:
【总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
高中数学《换底公式》公开课教案
换底公式（教师注意：这节课对于对数换底公式的推导过程，只要求了解，而不要求熟练，所以在换底公式的推导过程上老师不要做过多的纠缠.但是虽然是了解内容，但不能不讲，要让学生知道，数学公式都是通过严格的推理证明而得到的，不是想当然而来的，也不是谁规定的，都是有根据的，这一点是学习数学、认知数学的根本，万不可抛弃.这节课的重点是对于换底公式的运用，教学目标2说的很明确：熟记换地公式，能熟练的运用换底公式解决相关问题.所以，老师要把教学目标2当做重点）一、【学习目标】（自学引导：同学们要理解换底公式，知道它的推理过程，通过这节课的学习，要能熟练的应用换底公式）1、了解对数换底公式的推导过程；2、熟记换底公式，能熟练的运用换底公式来解决一些简单的化简、计算问题；（教师注意：一定要点出这一节课的重点是熟练的应用换底公式，对于证明过程，我们只是要求了解，但若是学生能证明出来，当然是很好的.）【教学效果】：教学目标的出示有利于学生明白学习任务.二、【自学内容和要求及自学过程】（教师注意：材料一和材料二事实上是让学生们课下完成的，不能占用课堂时间.当然由于高一教学任务紧张，出现的情况可能是很多同学都完成不了，这是正常现象.可以肯定的是，有百分之二十的同学能完成，我们要的不正是着百分之二十的效果吗？老师不是万能的，学生不可能完全按照你的意志来完成学案、练习、作业，但是部分学生完成即达到了我们培优的目标.对于每一个同学的要求，我们不可能一样.这也是一个分层的理念.）（自学引导：同学们，你能根据材料，总结归纳出证明换底公式的过程么？试试看！）（教师注意：讲课时不能本末倒置，要有重点）阅读材料，然后回答下列问题（自我印象：这一部分我给了学生10分钟的时间，让学生看推导过程，看材料一和材料二，结果令人十分满意，百分之八十的学生都能理解，并且都能动手做出来.）材料一：已知4771.03lg 3010.02lg ，，你能求出3log 2吗？下面我们给出求解过程，请你自我检测一下，自己是否能理解这个求解过程.因为4771.03lg 3010.02lg ，，根据对数的定义，我们立马可以得到下面结论：3102104771.03010.0，.不妨设x 3log 2，则32x，所以有4771.03010.010310x）（，即4771.03010.0x ，所以我们可以得到下面的结论5851.13010.04771.02lg 3lg 3log 2x材料二：根据材料一，如果a>0，a ≠1，你能用含a 的式子表示3log 2吗？其实根据材料一，最后的结果是3log 2用3lg 2lg 、表示，是通过对数的定义转化的，这就给了我们启发，本来是以2为底的对数，转换成了以10为底的对数，那么我们不妨设x 3log 2，由定义知32x，两边同取以a 为底的对数，得，3log 2log a a x ，那么我们可以得到：2log 3log 3log 2a a x<1>请同学们根据材料一材料二的叙述，来试着证明一下a b bc c a log log log ；（其中a>0，a ≠1,c>0,c ≠1,b>0）<2>我们把<1>叫做换底公式，请你用自己的语言来概括出换底公式的含义.结论：<1>略；<2>一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商；小知识：换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底的问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值.两个重要公式：<1>b m n ba na mlog )(log <2>1log log ab b a 【教学效果】：效果比较理想，学生都能完成学习目标.（自我印象：这一部分我重点讲解了一下.可以说这一节课的主要内容就是三个公式，一个是换底公式，一个就是我所说的两个重要公式，讲解完以后通过学生的表情，可以看出学生是彻底的理解了，作为老师，我也感觉松了一口气.但是确实还存在问题，那就是学生跟着老师的思路完成了学习，一旦离开老师的思路呢？那又该怎么办呢？这是老师值得注意的，那就是课后要督促学生完成学习任务，完成练习了.）三、【练习与巩固】根据今天所学的知识，完成下列练习（教师注意：我们之所以把例5和例6放到课下让学生自己动手去做，主要是因为例5、例6此类题目在高考中出现的几率很小，另一方面的原因是我们可以有更多的时间来学习换底公式，换底公式在化简、计算中有很重要的作用，而且换底公式还是一个难点，要花费我们很长时间和很大的精力的.）练习一：32log 9log 278的值练习二：教材第68页练习 4课下活动：请大家自学教材第66页例5、例6，想一想，我们所学习的知识，主要是用于做什么的？对，运用于实际生活中.这样的话就需要我们具体问题具体分析，如果例5、例6让我们自己来做，你能通过思考，做出来吗？以后再碰到类似的题目，我们该怎么做？【教学效果】：特好.这是我对这节课的评价.讲完练习题，感觉自己松了一口气，学生都能跟着老师的思路走，并且能一口的说出答案.四、【作业】必做题：教材第74页习题 2.2A 组第4题<3>,第11题； 2、选做题：教材第74页习题 2.2A 组第9题.五、【小结】这节课我们主要是学习了换底公式，换底公式是我们高中数学必须掌握的一个内容，是非常重要的.这一节课主要是让学生们通过自学，在自学中归纳出换底公式，这样对学生的记忆理解更有效，不容易忘却.并且老师要注意的是，换底公式的证明过程是不要求掌握的，我们只要求换底公式的应用.但是不要求掌握并不等于可以不讲，一定要讲，这样学生才会有深刻的印象，才能对换底公式有深刻的理解.这一节课的重点是应用，要达到熟练地应用换底公式这一目标.【反思】今天早上我是正在改作业的时候英语老师也就是班主任找我换课的，准备的不是很充分.因为我一般备课是备六遍的，这一节课只有五遍（课前默诵），所以还是有一点点的担心自己讲不好的，但是讲完之后，感觉真是特棒，效果好的有点儿感动.在这几年的教学中，我也参加了一些老师的听课活动.我觉得，一个老师讲课的要素是要重点突出.有些老师的讲课令我哭笑不得，因为我听了半天实在是不知道他在讲什么，作为教师我都不知道他在讲什么，你能要求学生能听的懂吗？这类老师简直是误人子弟.看到这类老师，我自己就觉得义愤填膺.当然，若是这个老师刚毕业一年或者两年，还有情可原，要是毕业几年了，有教学经验了，还这样，那真是令人发指了.我见过一个老教师，听完课之后简直为我们数学教师感到汗颜.这个老师讲课向量符号竟然不带箭头，讲了一节的课我们十几个数学老师不知道他要讲什么，只知道他向量符号不带箭头，向量的点积中间不加点，还美名其曰这都是小事儿，自己不屑写，也就是自己讲课方式和别人不一样.真不知道那个高三复习班的学生是怎么忍受过来的.说了这么多没有诋毁任何一个老师的意思，只是说，这种对教学不负责、对孩子不负责的老师，还能存在于讲台这么久，实在是教育的悲哀.一个老师讲课没有重点，经常的随意“发散思维”，好像自己很渊博，事实上脱离了课堂，这样的老师，我们不该反思吗？我听得最经典的一节课是一个老师讲了一节课，设计的练习题竟然不是这节课主讲的内容，而是复习的内容.实在是令人费解，我只能是无语了.我自己讲课中也存在问题，但是问题一出来我都能很认真的听别人的意见，都能很认真的改正.所以说，有错误不怕，怕的是有错误不改正.这节课主要考察的是学生的运算和推理化简能力，通过这节课，让学生锻炼了计算和推理能力.。
对数运算时换底公式课件
设logb a = x，则b^x = a，两边取以 c为底的对数，得到logc a = x logc b， 即换底公式。
换底公式应用举例
求解复杂对数运算
例如计算log5 8 + log5 3 - log5 2时，可利用换底公式转换 为lg 8 / lg 5 + lg 3 / lg 5 - lg 2 / lg 5，从而简化计算过程。
在数值计算中，通过换底 可以将复杂的对数运算转 化为简单的运算，从而简 化计算过程。
提高精度
换底方法可以提高对数运 算的精度，减少舍入误差 和截断误差的影响。
拓展应用范围
换底方法可以将对数运算 从一种底数拓展到其他底 数，从而拓展对数运算的 应用范围。
数值计算中换底方法实现步骤
确定原对数的底数和真数
常用对数表
常用对数
对数表
以$10$为底的对数叫做常用对数，记 作$\lg N$。
是一种可以用来查找对数值的工具书， 通常包括常用对数表和自然对数表。
自然对数
以常数$e$为底的对数叫做自然对数， 记作$\ln N$。
对数运算规则
乘法规则
$\log_a M+\log_a N=\log_a(M \times N)$，即两个数的对数和 等于这两数乘积的对数。
财务管理
02
在企业财务管理中，如资金筹措、成本核算等方面，也需要运
用对数运算换底公式进行数据处理和决策分析。
经济统计
03
在经济统计和分析中，对数运算换底公式被广泛应用于价格指
数、经济增长率等指标的计算和比较。
2023
PART 05
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
关键知识点总结回顾
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log a b N log a N . 因为x=logbN,所以 log b
log
a
所以 log
b
N
log
a
N
log
.
a
b
b
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值
例 1 计算： （1） lo g 9 2 7 ； （2） lo g 8 9 lo g 2 7 3 2
解: (1) lo g 9 2 7
经过 2 年，剩留量是 y 0 .8 4 ； …………………… x 经过 x 年，剩留量是 y 0 .8 4 ；
2
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
选做题:已知 lg x lg y 2 lg( x 2 y ) ,求 lo g
x
2
的值.
y
十、知识延伸
思考:对数有换底公式,指数有换底公式吗?
指数的换底公式 n lo g n a b
问题与思考
b
a
(1)你能证明指数换底公式吗? (2)已知 lg 2 0.3010 ， lg 3 0 .4 7 7 1 ，你能否较快地比
x
对上式两边同取以10为底的对数可得
lo g 1 0 2 lo g 1 0 1 5， 即
x
lg 2 lg 15 x lg 2 lg 15
x
x
lg 1 5 lg 2
， 即
lo g 2 1 5
lg 1 5 lg 2
lg 1 5 lg 2
x lo g 2 1 5
3 .9 1 .
神奇的对数换底 公式
一、复习与回顾 1、对数的定义 a N b log a N
b
2、对数的运算性质
如果 a 0 , a 1, M 0 , N 0 , 则
1 log a MN log a 2 log a 3 log a
M M N
n
M log
2 . 096
log 8 0 . 550
log
1 . 082
2 8 . 795
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y ，则 经过 1 年，剩留量是 y 0.84 ；
lo g b a 1 lo g a b
N lo g a N lo g a b
如何证明
令 N a ， lo g 由 推论2
n
b
即可得到
如何证明
lo g a m b
lo g a b lo g a a
n m
n m
lo g a b
n lo g a b m
lo g a m b
n
n m
两个推论
log
log
b
a log
b
n
a
b 1
log b
n m
a
m
a
思考：(1)对数换底公式的作用是什么？ (2)在什么情况下选用对数换底公式？
(3)在进行对数的化简与计算时，如何选用底数？
九、课外作业ห้องสมุดไป่ตู้
必做题: 教材 P88 习题 B 组 T4 2、 已知 log 7 3 a , log 7 4 b , 试用 a , b 表示 lo g 4 8 4 9 .
x
x 方法二 依题意得 0 .8 4 0 .5 ，
x lo g 0 .8 4 0 .5
ln 0 .5 ln 0 .8 4
3 .9 8
即约经过 4 年， 该物质的剩留量是原来的一半。
八、课时小结
你从这节课上学到了什么？
对数换底公式
log
b
N
log log
a a
N b
a , b
0 , a , b 1, N 0 .
较2
100
与 3 的大小吗?
65
(3)指数换底公式的意义是什么?有什么作用?
思考：对数换底公式的作用是什么？ 答：利用对数换底公式可以将不同底数的对数化为同 底的对数；或将一般地对数化为自然对数或常用对数， 这样便于查表和计算. 思考：在什么情况下选用对数换底公式？ 答：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表 获得对数值时，可化为10为底的常用对数进行运算.
n
n m
2 log 3 3 5 log 3 2 10 3 log 3 2 3 log 3 3 9
m
lo g a b lo g b a 1
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值
例 1 计算： （1） lo g 9 2 7 ； （2） lo g 8 9 lo g 2 7 3 2
对数换底公式
log
b
如何证明
0 , a , b 1, N 0 .
证:设 lo g 2 1 5 x ，
N
log log
a a
N b
a , b
证明: 设x=logblog a N N,根据对数定义,有 根据对数的定义, 证明二：设 x x, 写成指数式，得 N=b .log b 换底公式好神奇 a 2 15 两边取以a为底的对数,得 换成新底可任意 两边取常用对数,得 x lg 2 lg 15 logN x logx.a b log a b x原底加底变分母 则 log a aN=logab lg 1 5 而logabx=xlogab,所以 所以 x . 真数加底变分子 lg 2 x 所以 loga b ab. log b N N N=xlog x log a N . 由于b≠1,则logab≠0,解出x得 x
解法三: (1) lo g 9 2 7 lo g 3 3
3
2
3 2
lo g 3 3
2
3 2
5
( 2 ) lo g 8 9 lo g 2 7 3 2 lo g 2 3 3 lo g 3 2 2 2 3 lo g 2 3 5 3 lo g 3 2 10 9
六、公式推论 推论1
四、获取新知
由 lo g 2 1 5
lg 1 5 lg 2
抽象推广到一般情况可得重要
的对数转换公式：
换底公式
lo g b N
lo g a N lo g a b
( 其 中 a， b 0， a， b 1， N 0 )
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面 对log 2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类 似证明对数换底公式，
3
知识应用
log 2 48 ； log 3 10 ; log 8 ; lg 48 解： 2 48 log 5 . 585 lg 2
log 3 10 ln 10 ln 3
log 5 50 2 . 431
例2 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）
log 5 50 ; log 1.082 2
解法二: (1) lo g 9 2 7
lo g 3 2 7 lo g 3 9
2 3
lo g 3 3 lo g 3 3
5 3
3 2
3 2
( 2 ) log 8 9 log
27
32
log 3 3 log 3 2
log 3 2 log 3 3
lo g a m a
n lo g a m b n lo g b a
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y ，则
经过 x 年，剩留量是 y 0 .8 4 ；
lo g a b
直接利用换底公式
七、跟踪练习
计算：(1) log 9 8 log 32 3 1 3 13 1 lg lg 8 lg 1 lg lg 2 lg 3 lg 27 1 1 3 解：1) 2 ) log8 log 32log log ( ( 解： log 9 2 27 3 125 2 325 5 lg lg 9 lg 3 32 lg 23 lg 2 lg 5 125 32 lg 3
lg 2 0 . 301
ln 2 0 . 693
说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；
第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学
计算器可以直接计算常用对数和自然对数.
三、问题探究
问题：可否利用计算器的“lg”或“ln”键求出 lo g 2 1 5 的值呢？
从而有 2 1 5 我们可设 lo g 2 1 5 x ，
( 2 ) log 8 9 log
lg 2 7 lg 9
27
lg 3 lg 3
2 3
3 2
3 2
5 3
32
lg 3 lg 2
lg 2 lg 3
2 lg 3 5 lg 2 10 3 lg 2 3 lg 3 9
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值
例 1 计算： （1） lo g 9 2 7 ； （2） lo g 8 9 lo g 2 7 3 2