平行四边形的判定(第三课时)

18.1.2平行四边形的判定（第三课时）

1.理解三角形中位线的概念,掌握三角形的中位线定理.

2.能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算.

在灵活运用三角形中位线定理进行有关证明和计算的过程中,经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力.

结合实际问题,进一步理解三角形中位线的概念及性质,培养创造性思维.

【重点】掌握三角形中位线的性质.

【难点】三角形中位线性质的证明.

【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】复习平行四边形的性质与判定方法,三角形纸板.

导入一:

为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB,AC的中点D,E,若测出DE的长,就能求出池塘的宽BC,你知道为什么吗?今天这堂课我们就来探究其中的学问.

[设计意图]从生活实例引入,激发学生对问题探究的兴趣,拉近了数学与生活的距离,使学生产生学习的主观意愿.

导入二:

将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友,要求每人分得的形状和大小必须完全相同,该如何切割?

学生思考,并尝试画出剪切线.

同学们,通过今天的学习,你会找到一种新的切割方法.今天将要学习的内容是三角形中重要的线段——中位线及其性质.

[设计意图]通过操作实验导入新课,激发了学生学习本课的好奇心,为学习中位线及其性质做好铺垫.

1.三角形的中位线的定义

如图,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,像DE这样,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

教师讲解:三角形中位线的定义的两层含义:

①∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE为△ABC的中位线.

②∵DE为△ABC的中位线,∴D,E分别为AB,AC的中点.

提问:三角形有几条中位线?你能画出来吗?

学生尝试画图,教师巡视指正,引导学生观察总结:三角形有三条中位线.

教师画出三角形的一条中线和一条中位线,追问:说出三角形的中位线与中线有何相同点和不同点.

学生独立思考并回答,教师归纳总结:

相同之处:都是和边的中点有关的线段.

不同之处:三角形中位线的两个端点都是边的中点;三角形中线只有一个端点是边的中点,另一端点是三角形的顶点.

[设计意图]这两个概念容易混淆,通过画图比较,巩固学生对中位线概念的理解,培养学生严谨细致的学习习惯.

(1)找出三边的中点.

(2)连接六点中的任意两点(边除外).

(3)找找哪些线是你已经学过的,哪些是未曾学过的?

学生根据老师要求画出图形,如图所示,并说出已经学过的线段有AF,BE,CD,未曾学过的线段有DE,DF,EF.提问:没有学过的线段有什么特点呢?

学生发现:线段DE,DF,EF的端点都是三角形的边的中点.

教师明确:连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线.如图,DE,EF,DF是三角形ABC的3条中位线.跟踪训练:

①如果D,E分别为AB,AC的中点,那么DE为△ABC的;

②如果DE为△ABC的中位线,那么D,E分别为AB,AC的.

答案:①中位线②中点

师生总结:一个三角形有三条中位线.三角形的中位线和三角形的中线不一样,三角形的中位线是连接两边中点的线段,而三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段.

[设计意图]在本环节,经过动手操作,学生会发现有3条是已经学过的中线,有3条是没有学过的.最终给出三角形中位线的定义,也引出了本节课的课题:三角形的中位线.这样做,既让学生得出三角形中位线的概念,又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线.为了使学生加深对三角形中位线的概念的理解,为后面的探究打下基础,设立了以上两道简单的练习题,让学生学会从图中找出信息.

2.三角形的中位线的性质

思路一

提问:观察图形,猜想DE与BC有何位置关系,有何数量关系.

学生活动:(1)剪一个三角形,记为△ABC.

(2)分别取AB,AC的中点D,E,并连接DE.

(3)沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕点E旋转180°到△CFE的位置,得四边形DBCF(如图).

思考:四边形DBCF是什么特殊的四边形?为什么?

教师根据情况进行提示:要判定一个四边形是平行四边形,需具备什么条件?

结合题目中的条件,你选用哪一种判定方法?为什么?

学生发现:由操作(3)知△ADE≌△CFE,从而可知CF∥DB,CF=AD=DB,∴四边形BCFD是平行四边形.

教师进一步引导,得出:DE∥BC,DE=BC.

师生归纳总结:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.

[设计意图]通过对问题的逐层分析,把解决问题方案的范围逐渐缩小,最终确定一个合理的方案.能培养学生严密推理的能力和良好的思维习惯.

思路二

探索:如图,三角形的中位线DE与BC有什么样的关系?为什么?

思考:(1)你能直观感知它们之间的关系吗?用三角板验证;(2)你能用说理的方法来验证它们之间的这种关系吗?

学生在教师的指导下完成猜想,并证明.

已知:如图,点D,E分别为△ABC边AB,AC的中点.

求证:DE∥BC且DE=BC.

〔解析〕所证明的结论既有位置关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.

分小组讨论后,全班交流证明过程.

第一小组代表:如图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由题意易得△ADE≌△CFE,从而可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,DF=BC,由作图知DE=DF,所以DE∥BC且DE=BC.(也可以过点C作CF∥AB,交DE的延长线于F点,证明方法与上面大体相同)

第二小组代表:如图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,CD和AF,因为AE=EC,所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC,且AD=FC.因为AD=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,且DF=BC,因为DE=DF,所以DE∥BC且DE=BC.