微积分公式与运算法则

微积分公式与运算法则

1.基本公式

（1）导数公式 (2) 微分公式

(xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx

(a x)ˊ= a x lna d(a x)= a x lna dx

(loga x)ˊ= 1/(xlna) d(loga x)= 1/(xlna) dx

(sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx

(con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx

(tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx

(cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx

(sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx (csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx (arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2 dx (arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2 dx (arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx (arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx (sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx

2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）

（1）函数的线性组合积、商的求导法则

（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2

（2）函数和差积商的微分法则

d（αμ+βυ）= αdμ+βdυ

d（μυ）=υdμ+μdυ

d（μ/υ）= (υdμ-μdυ)/υ2

3.复合函数的微分法则

设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为

dy/dx = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x)

所以复合函数的微分为

dy = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x) dx

由于fˊ[ψ(x)]= fˊ(μ)，ψˊ(x) dx = dμ，因此上式也可写成 dy = fˊ(μ) dμ

由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy = fˊ(μ) dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。