整除问题

整除问题

一、整除的定义

如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b∣a。

如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a。

二、整除的一些判断方法

1、末位系

能被2、5整除的特征：个位数字能被2或5整除。

能被4、25整除的特征：末两位数能被4或25整除。

能被8、125整除的特征：末三数能被8或125整除。

2、数字和系

能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。

如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

3、数字差系

能被11整除的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。

4、截位系

能被7、11、13整除的数的特征：从右往左数，每三位一截断，奇数段数之和减去偶数段数之和的差能被7或11或13整除。

三、整除的一些基本性质

性质1、如果数a和数b能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除。即

如果c︱a，c︱b，那么c︱（a≠b）。

性质2、如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除，即如果b∣a，c∣b，那么c∣a。

性质3、如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c，整除，即如果b c∣a，那么b∣a，c∣a。

性质4、如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除，即如果b∣a，c∣a，且（b，c）＝1，那么b c∣a。

例如：如果数3∣12，4∣12，且（3，4）＝1，那么（3×4）∣12。

性质5、如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除，如果b∣a，那么b m∣an（m为非0整数）。

性质6、如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd 整除，如果b∣a，且d∣c，那么b d∣ac。

整除练习题

1、判断下面11个数的整除性：

23487 3568 8875 6765 5880 7538 198954 6512 93625 864 407

（1）这些数中有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？哪些数能被25整

除？哪些数能被125整除？

（2）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？

（3）哪些数能被11整除？

2、一个三位数6□4的十位数字未知，请分别根据下列要求找出“□”中合

适的取值；

（1）如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于多少？（2、5、8）

（2）如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于多少？（0、2、4、6、8）（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除？如果有可能，“□”可能等于多少？

3、173□是一个四位数，数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，

得到的3个四位数依次能被9、11、8整除”，问：数学老师先后填入的3个数字

之和是多少？

4、五位数3□07□同时能被11和25整除，这个五位数是多少？

5、刘经理给45名员工发完工资后，将总钱数记在一张纸上，不知为何，记帐的这张纸破了两个洞，上面只剩下67□8□，其中□是破的两个洞，刘经理记得每名员工的工资都一样，并且都是整数元，那么45名员工的总工资可能是多少元呢？

6、六位数□2012□能同时被9和11整除，这个六位数是多少？

7、小王写了一个两位数59，小平写了一个两位数89，他们让小高写了一个一位数放在59与89之间形成一个五位数59□89，使得这个五位数能被7整除，那么小高写的数应该是几？

8、五位数73□29能被13整除，那么这个五位数除以13等于多少？

9、小高写了一个五位数，用□盖住两个数字后变成：3□6□5，并告诉小王说这五个位数既是7的倍数、又是125的倍数，那么小高写的五位数可能是多少？

10、975×935×927×□，要使这个连乘积的最后4个数都是0，那么在□内最小应填什么数？

11、从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的“0”？

12、（□08）一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是＿＿＿。

13、已知41位数55…5□99…能被7整除，那么中间□内的数字是多少？

14、已知多位数81□25858…258能同时被7和13整除，□的数是多少？

15、如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后的两位数是多少？

16、（2012迎春杯）一个电子钟表总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101，如果2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD，那么ABC D＝＿＿＿。

课后作业1、下面有9个自然数：14，35，80。152，650，434，4375，9064，24125在这些自然数中请问：

（1）、有哪些数能被2整除？哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？

（2）、有哪些数能被5除？哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？

2、173□是一个四位数，数学老师说：我在其中的□内先后填入了3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除，问数学老师先后填入的3和数字和是多少？

3、七位数22□333□能被44整除，那么这个七位数是多少？

4如果六位数1949□□能同时被3、5、7整除，那么这个六位数是多少？

5小于买了72支同样的钢笔，可是发票进水看不清楚了□114□元，你能帮助找出不明数字吗？

6是否能在□中填入一个数字，使得27位数11…1□66…6能被13整除。