全等三角形中的截长补短学生版

第九讲

中考要求

板块

考试要求

A 级要求

B 级要求

C 级要求 全等三角 形的性质 及判

定

会识别全等三角形

掌握全等三角形的概念、判定和 性

质，会用全等三角形的性质和 判定解决简单问题

会运用全等三角形 的性质和判定解决 有关问题

知识点睛

全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，

对应角的角平分线相等，面积相等.

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3) 有公共边的，公共边常是对应边. (4) 有公共角的，公共角常是对应角. (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角. (6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边 (或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或

最小角)是对应边(或对应角).

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等.

(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、 角相等、两直线垂直等问题，在证 明的过程中，注意有时会添加辅助线.

奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系. 而证明

全等三角形中的截长

补短一

两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.

例题精讲

板块一、截长补短

【例1】（06年北京中考题）已知ABC中，A 60o, BD、CE分别平分ABC和.ACB ,

BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.

【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN 60，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点N , DM与MN有怎样的数量关

系？

【例3】如图2-9所示.已知正方形ABCD 中, M为CD的中点，E为MC上一点，且/ BAE=2 / DAM .求证：AE=BC+CE .

【例4】（“希望杯”竞赛试题）如图，AD丄AB, CB丄AB, DM=CM=a , AD=h , CB= k , / AMD =75° / BMC =45° 贝U AB 的长为（）

A.a

B. k c. - h D. h

2

【例5】 已知：如图， ABCD 是正方形，/ FAD= / FAE.求证：BE+DF=AE.

【例7】（北京市数学竞赛试题， 天津市数学竞赛试题）如图所示，

ABC 是边长为1的正三

角形， BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60°的 MDN ，点 M 、N

分别在AB 、AC 上，求 AMN 的周长.

【例6】 以 ABC 的AB 、AC 为边向三角形外作等边

ABD 、 ACE ，连结 CD 、BE 相交

于点0 .求证：OA 平分 DOE

.

E

D

【例8】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120。的等腰三角形，以D为顶点作一个60。的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.

【巩固】（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在ABC中，AB AC，D是底边BC上的一点，E是线段AD上的一点，且BED 2 CED BAC，求证BD 2CD .

【例9】五边形ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD，/ ABC+ / AED=180° 求证：AD 平分 / CDE

【巩固】（2009浙江湖州）若P为ABC所在平面上一点，且APB BPC CPA 120 ,

则点P叫做ABC的费马点.

⑴若点P为锐角ABC的费马点，且ABC 60 , PA 3, PC 4，则PB的值

板块—、全等与角度

【例10】如图，在ABC中，BAC 60°, AD是BAC的平分线，且AC AB BD，求ABC的度数•

【例11】在等腰ABC中，AB AC，顶角 A 20，在边AB上取点D，使AD BC ,求BDC •

【例12】（“勤奋杯”数学邀请赛试题）如图所示, 在ABC中，AC BC ,

在AC上，N在BC上，且满足

C 20°,又M

BAN 50°, ABM 60°，求NMB •

⑵如图，在锐角ABC外侧作等边ACB',连结BB'.

A

B C

【例14】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形ABCD 中， DAC 12 ,

CAB 36， ABD 48， DBC 24，求 ACD 的度数.

【例15】（河南省数学竞赛试题）在正 ABC 内取一点D ，使DA

E ，使 DBE DBC ，且 BE BA ，求 BED .

【例16】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在 ABC 中，BAC BCA

【例13】在四边形ABCD 中，已知 AB AC , ABD 60 , 求

DBC 的度数.

ADB 76 , BDC 28 ,

内一点，使得 MCA 30， MAC 16，求 BMC 的度数.

44，M 为 ABC

C

A B

n

DB ，在ABC 外取一点