数值分析(06)矩阵的正交分解

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数值分析
数值分析
. 构造H阵,将向量x ( x1 , , xk , xk 1 , , xn )T 的 后面n k个分量约化为零(1 k n)。 即：任给定x ( x1 , x2 , , xn )T 0, 构造H k R nn , 使 H k x ( x1 , x2 , , xk 1 , k , 0, , 0)T
8、输出H 1 , y。
数值分析
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function [H,y]=holder1(x) if z(1)<0 n=length(x); s=-s; M=max(abs(x)); end if M==0, p=s*(s+z(1)); disp(‘M=0'); u=z; return; u(1)= s+z(1); else H=eye(n,n)-p\u*u'; z=x/M; y=zeros(n,1); end; y(1)=-M*s; s=norm(z);
构造初等反射阵 UU T 1 T H I 2WW I 2 I UU T 2 U
1 1 2 2 其中 U T U ( x1 ... ( xi i )2 xn ) 2 2 1 (2 xi i 2 i 2 ) i ( xi i ) 2

1 ( xi2 )
i 1
n
1 2
如果x1 0, 4、x1 x1 1 5、1 1 x1 6、计算U 1，U 1 x 1 T 7、H 1 I U 1U 1 9、输出H 1 , y。
则 1 1
1 8、y ( M 1 , 0, , 0)T

max xi
1 i n
x y x , H k x y, Hk x y, M M || x ||2 || y ||2 , || x ||2 || y ||2
k
k
M
,
k
k
M
2
,
U kFra Baidu bibliotek x y,
Uk Uk x y M T 1 1 T Hk I U kU k I U kU k
故取K 3 3 于是y 3e3 Ke3 (0,0, 3,0)T ,
U x y (2,0,5,1) , 3 ( 3 x3 ) 3(3 2) 15
T
U TU
11 0 1 1 T H I UU 15 10 2
令单位阵I (1) R( k 1)( k 1)，I (2) R( n k 1)( nk 1) , (2) 对x (2)构造一个(n k 1)阶的初等阵H k , 使
(2) ( Hk x(2) k e1k )
( 其中e1k ) (1,0, ,0)T Rnk 1 , 用前面介绍的方法 (2) 构造H k 。
1 ( zi2 )
i 1
n
1 2
如果z1 0, 则 1 1 4、1 1 ( z1 1 ) 5、计算U 1，U 1 z , U 1 (1) z1 1 1 T 6、H 1 I U 1U 1
1 7、y ( M 1 , 0, , 0)T
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三、 Householder变换与矩阵的正交分解
1、初等反射阵(Householder变换阵)
定义 设非零向量W R n ,W ( w1 , w2 , , wn )T , 且满足条件 W 2 1, 形如 H E (W ,W , 2) I 2WW T 的n阶方阵称为初等反射阵, 或称为Householder 变换阵. 2 1 2 w1 2 w1 w2 2 w1 w n 2 2 w2 w1 1 2 w2 2 w2 w n H 2 2 wn w1 2 wn w2 1 2 wn
其中 i sign( xi ) x 2 sign( xi )( x ) ,
k 1 n 1 2 2 k
U x y x i ei ( x1 ,, xi i ,, xn ) ,
T
1 sign( xi ) 1
xi 0 xi 0
有Hx y i ei
数值分析
T
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H阵的性质：
（ ）非奇异 1
det( H ) 1 2W TW 1
（2）对称正交 H HT HH T H 2 ( I 2WW T )( I 2WW T ) T T T I 4WW 4WW WW I
2 1 2 w1 2 w2 w1 H 2 wn w1
数值分析
数值分析
function [H,y]=holder2(x) n=length(x); if x(1)<0 M=max(abs(x)); s=-s; if M==0, end; disp(‘M=0'); x(1)=s+x(1); return; p=s*x(1); else u=x; x=x/M; H=eye(n,n)-p\u*u'; end; y=zeros(n,1); s=norm(x); y(1)=-M*s;
k
k
数值分析
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算法1
1、输入x ( x1 , x2 , , xn )T 。
给定向量x 0, 计算初等反射阵H1。
2、将x规范化, M max x1 , x2 , , x n 如果M 0, 则转出停机 否则zi xi / M , i 1, 2, , n 3、计算
n
U
(1)
x 1e1 ( 1 x1 , x2 ,, xn )T ,
H 1 I 2WW
T
i 1
1 2 2 i
sign( x1 )

1 1
x1 0 x1 0
可构造初等反射阵
I 2
T U 1U 1
有H1 x y 1e1
U1
2
I
1

T U 1U 1
1 T 1 2 2 其中 1 U1 U1 (( x1 1 )2 x2 ... xn ) 2 2 1 (2 x1 1 2 12 ) 1 ( x1 1 ) 2
数值分析
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在计算时为了防止向量x的分量很大而溢出， 可以先将向量x规范化。
M x
2
2 2
4 0 4 1 9, K 3
T
取K 3 于是y Ke3 (0,0, 3,0)T ,
U x y (2,0,5,1)
H I 2 UU U
T 2 2
11 0 1 15 10 2
0 1 0 0
10 0 10 5
x y

y
数值分析
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U 证：若设W ，则有 W 2 1，因此 U 2 UU T H I 2WW T I 2 2 U 2 ( x y) T I 2 ( x yT ) 2 x y 2 ( x y) Hx x 2 ( xT yT ) x 2 T T x y 2 ( x y )( x x y x ) x2 2 x y 2 2 T T T T 因为 x y 2 ( x y )( x y ) 2( x x y x )
推导：x ( x1 , x2 ,, xn ) 0
T
y ( x1 ,, xk 1 , k ,0,,0)
k sign( xk )( x ) ,
i k n 1 2 2 i
T
U ( k ) x y (0,,0, xk k , xk 1 ,, xn )T
代入上式后即得到 y x T x yT y , Hx T T x y y x
数值分析
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. Householder变换可以将给定的向量变为一个与 任一个ei Rn (i 1, 2, , n)同方向的向量。
即：x ( x1 , x2 , , xn )T R n , x 0, 可构造H阵，使 Hx y i ei (0, ..., 0, i , 0, , 0)T R n
Hk I 1
1 sign( xk ) 1
xk 0 xk 0
k
U ( k ) (U ( k ) )T
1 ( k )T ( k ) 其中 k U U k ( k xk ) 2
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特别，取k 1. x ( x1 , x2 , , xn )T R n , x 0, 可构造H阵，使 Hx y 1e1 ( 1 ,0, ,0)T Rn 其中 1 sign( x1 ) x 2 sign( x1 )( x ) ,
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算法2
给定向量x 0, 计算初等反射阵H1。
1、输入x ( x1 , x2 , , xn )T 。
2、将x规范化 , M max x1 , x 2 , , x n 如果M 0, 则转出停机, 否则xi xi / M , i 1, 2, , n 3、计算
2 w1 w2 2 w1 w n 2 1 2 w2 2 w2 w n 2 2 wn w2 1 2 wn
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（3）镜映射 几何意义 平面 方程 W T x 0 x 若 x , Hx ( I 2WW T ) x x 2WW T x x
数值分析
若 y , Hy H ( x kW ) x k ( I 2WW T )W x kW 2kWW W x kW y
T
W
y x kW
x

y x kW
数值分析
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H阵的作用：
定理 设两个不相等的n维向量x , y R n , x y , 但 x 2 y 2 , 则存在householder阵 UU T H I 2 2 U 2 使Hx y，其中U x y。 W x
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对第二种情形的Hk阵，还可进行降维处理。
H k阵对向量x的前k 1个分量的作用就如同是一个 (k 1)阶的单位阵的作用。 x Rn
x x ( 2 ) (2) x x ( xk , xk 1 ,, xn )T Rnk 1
(1)
x(1) ( x1 , x2 ,, xk 1 )T Rk 1
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1 例：W 2
1 3 0 R ,|| W ||2 1 2 1 2 1 1 T H I 2WW I 2 0 0 2 1 2 2 0 0 1 0 1 0 1 0 0
1 2
0 1 0 0
10 0 10 5
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例 已知向量x (2, 0, 2,1)T , 试构造Householder阵, 使Hx Ke3 , 其中e3 (0, 0,1, 0)T R4 , K R。
解:y Ke3 , K x
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例 已知向量x (2, 0, 2,1)T , 试构造Householder阵, 使Hx Ke3 , 其中e3 (0, 0,1, 0)T R4 , K R。
解 : 3 sign( x3 ) x
2
4 0 4 1 3,因x3 2 0,