10-1 对弧长的曲线积分的概念与性质

（4）设曲线 L 的方程为 ( ) ( ), 则


f ( x , y ) ds

L

f ( ( ) cos , ( ) sin ) 2 ( ) 2 ( ) d
例1 求 L ( x
y ) ds ,
其中 L 是点 O ( 0 , 0 ),
第十章 曲线积分与曲面积分
§10.1 对弧长的曲线积分
一 对弧长的曲线积分的概念与性质 二 对弧长的曲线积分的计算方法
一 对弧长的曲线积分的概念与性质
1 定义 设 f ( x , y ) 是定义在平面光滑曲线
L
上的有界函数，
则 f ( x , y ) 在 L 上对弧长的曲线积分定义为
lim
0

f ( x , y ) ds
L
f ( x ( y ), y ) 1 x 2 ( y ) dy
（3）设曲线 L 的方程为 x x ( t ) , y y ( t ) ( t ), 则

f ( x , y ) ds
L


f ( x ( t ), y ( t )) x 2 ( t ) y 2 ( t ) dt
C
0

n
f ( k , k , k ) s k
k 1
若曲线 C 的参数方程为 x x ( t ), y y ( t ), z z ( t )
( t ),
则

f ( x , y , z ) ds
C



f ( x ( t ), y ( t ), z ( t ))
L

g ( x , y ) ds
L
且 （2）设 L 是分段光滑曲线， L L1 L 2 , 则

f ( x , y )ds
L

f ( x , y )ds
L1

f ( x , y )ds
L2
（3） L ds s （ L 的弧长 ）
（4） L
f ( x , y ) ds

f ( x , y ) ds
2 4
2
0

2
2
t sin 2 t dt
2 0

0
t d cos 2 t
0
( t cos 2 t )

2 4
4

2
cos 2 tdt

2 2

例5 求 x ds ,
2 C
其中 C
x y z 1
2 2 2
:
y x
解
因为 C 的参数方程为：
x y 2 2 cos t , z sin t ( 0 t 2 )
2
dy
4
2
y 2y y
2
dy
0
x
o x
2y y
2
4
y 1 ( y 1)

2
dy
0
令 y 1 sin t
4 2 (1 sin t )dt 4
2
方法三
y

2
( x y ) ds
2 2
L
2
x y 2y
2 2


2 (1 sin t ) ( sin t ) (cos t ) dt
,
其中 L 是圆周 x 2
y a
2
2
在第一
象限中的部分。
解 方法一
y
a

y
a
xyds

L

a
x a x
2
2
1
x
2
2 2
0
a x
dx
a x
2
2
o
x
a x dx
0
a
a
3
2
方法二


xyds
L


2
( a cos t )( a sin t ) ( a sin t ) ( a cos t ) dt
L
③ 当 f ( x , y ) 为曲线 L 的线密度时，L f ( x, y )ds 表示曲线 L 的质量。 （物理意义）
2 性质
它的性质与定积分、重积分的性质完全类似。如：
（1） [ f ( x , y ) g ( x , y ) ] ds
L


f ( x , y ) ds
2 2
0
y
a

x a cos t y a sin t
a
a
3

2

2
0
sin 2 t dt
a
3
2
o
x
例3 求 L
( x y ) ds ,
2 2
其中 L 是圆周 2 sin .
解 方法一
y
2

( x y ) ds
2 2
L

o x


4 sin
2
( 2 sin ) ( 2 cos ) d
弧长元素： ds
( dx ) ( dy )
2 2
（1）设曲线 L 的方程为 y y ( x ) ( a x b ), 则

f ( x , y ) ds
L
a c
d
b
f ( x , y ( x )) 1 y 2 ( x ) dx
（2）设曲线 L 的方程为 x x ( y ) ( c y d ), 则

n
y
k 1
f ( k , k ) s k

s k

f ( x, y )ds
弧长元素
o
L
A
A
1
A
k 1
A
k
B An
n 1
其中 max s k .
1 k n
A A0
( k , k )
x
说明： ① 当 L 是封闭曲线时，记为 f ( x , y ) ds ; L ② 若 f ( x , y ) 在 L 上连续，则 f ( x, y )ds 存在；
2 2
0 2
2
x cot t
o x
0
(1 sin t )dt 4
y 1 sin t (0 t 2 )
推广： 设
f ( x, y, z )
是定义在空间光滑曲线 C 上的
有界函数， 则 f ( x , y , z ) 在 C 上对弧长的曲线积分为

f ( x , y , z ) ds lim
L
（5）对称原则 设 L 关于x 轴对称，则
0,
f ( x , y ) f ( x , y )

f ( x , y ) ds
2 f ( x , y ) ds ,
L上
L
f ( x , y ) f ( x , y )
其中 L 上 是 L 在 x 轴上方的部分。
二 对弧长的曲线积分的计算方法
所以

x ds
2
C

2
1 2
2
cos
2
t
1 2
sin
2
2
t
1 2
sin
2
t cos
2
t dt
0

1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
cos
tdt
1
0
4
(1 cos 2 t ) dt

2
0
2 2
0
8 sin d 16 2 sin 2 d
2 0


0
1 16 4 2 2
方法二

y
( x y ) ds
2 2
L

L
2 yds 2
2 2
2 yds
L右
x y 2y
2 2
2
4 y 1
0
2
(1 y ) 2y y
x ( t ) y ( t ) z ( t ) dt
2 2 2
例4 求 C
xyzds ,
其中 C 为螺旋线 x cos
t , y sin t ,
z t ( 0 t 2 ).
解 xyzds C
2 2


0
2
t cos t sin t
2 dt
A (1, 0 ), B ( 0 ,1)
组成的折线 OAB .
解 (x L
y
y ) ds

( x y ) ds
OA

( x y ) ds
AB
B

o

( x y ) ds
1
OA

ds
AB
x y 1

x

0
xdx

2
y0A


1 2
2
例2 求 L xyds