函数、不等式恒成立问题解法(学生用)
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函数、不等式恒成立问题解法（老师用）
类型1：利用一一次函数的单调性
对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：
⎩
⎨
⎧<<⇔<⎩
⎨⎧>>⇔>0)(0
)(0)(,
0)(0
)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1．若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：
0)12()1(2
<---x x m ，
；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)( ⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0 )12()1(20)12()1(22 2 x x x x ，所以x 的范围是)2 31, 2 71(+ + -∈x 。 类型2：利用一元二次函数的判别式 设)0()(2≠++=a c bx ax x f ， ⑴ R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； ⑵ R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。 例2．若不等式02)1()1(2 >+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）01≠-m 时，只需⎩ ⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(0 12 m m m ，所以，)9,1[∈m 。 类型3：利用函数的最值（或值域） ⑴ αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切 ⑵ αα>⇔∈ 简单记作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类 求函数的最值问题。 例3.在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )2 4 ( sin sin 4)(2<-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立，求 实数m 的范围。 解析：由]1,0(sin ,0,1sin 22cos )2 4( sin sin 4)(2∈∴<<+=++=B B B B B B B f ππ ， ]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f 恒成立，2)(2<-<-∴m B f ， 即⎩⎨ ⎧+<->2 )(2)(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：由于函]4 3,4[4 ),4 sin(2cos sin π ππ π - ∈-- = ->x x x x a ， 显然函数有最大值2，2>∴a 。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2 ,0(4 ,cos sin π π∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化， 这样使得x x y cos sin -=的最大值取不到2，即a 取2也满足条件，所以2≥ a 。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 类型4：数形结合法: 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解 恒成立对一切I x x g x f ∈>)()( )()()()()(max min I x x g x f x g x f ∈>⇔的图象的上方或 的图象在 例5.已知恒成立有时当2 1)(,)1,1(,)(,1,02 < -∈-=≠>x f x a x x f a a x ，求实数a 的取 值范围。 解析：由x x a x a x x f <- < -=2 12 1)(2 2 ，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的 图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由1 2 22 1)1(2 11-=- -=- a a 及得到 a 分别等于2和0.5，并作出函数x x y y )2 1 (2==及的图象，所以，要想使函数 x a x <- 2 12 在区间)1,1(-∈x 中恒成立，只须x y 2=在区间)1,1(-∈x 对应的图象在2 12 -=x y 在区间)1,1(-∈x 对应图象的上面即可。当2,1≤>a a 只有时才能保证， 而2