线性代数精品基础讲义-李擂
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
年考研数学线性2014年考研数学线性2014
代数基础班
主讲老师：李擂
第一讲
行列式
第一讲 行列式行列式的定义
§1.1.行列式的定义
行列式的性质
§2.2.行列式的性质
行列式的展开定理
§3.3.行列式的展开定理
行列式的定义§1.1.行列式的定义
一、排列与逆序
由 个自然数 组成的无重复有序实数组 称为一个 级排列。
在一个 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。
对于逆序，我们感兴趣的是一个 级排列 中逆序的总数，称为
该 级排列的逆序数，记作
n n
1,2,3,...,n 12,,...,n i i i §1.1.行列式的定义
行列式的定义n
n 12,,...,n i i i n ()
12,,...,n
i i i τ
二、行列式
111212122212.....................n
n n n nn
a a a a a a a a a n 中所有不同行不同
列的 项元素乘积
的代数和。()
12121211121,,...,2122212,,...,12
......(1)..................n n
n n
i i i n i i ni i i i n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=−∑
a b
c d
=ad bc −123
123123
a a a
b b b
c c c =
123231312
321213132
a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++−−−
11121222...0 (00)
...n n nn
a a a a a a
11121112222122
112212
...0
...0
0 0
(00)
......n
n nn
nn n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a =
=
1111,112,12212,111,1
0...0...0......0...
...
...
...
..................
n n n n n n n n n nn
n a a a a a a a a a a a a −−−−=
(1)2
1211
(1)
...n n n n n a a a −−=−
§2.2.行列式的性质
行列式的性质1、将行列式的行和列互换后，行列式的值不变，也即
1112
1112112122212
2221212..........................................n n n n n n nn n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a =
2、将行列式的任意两行（或两列）互换位置后，行列式改变符号。推论1：如果行列式有两行（或两列）相同，则行列式的值为0.
3、将行列式的某一行（或某一列）乘以一个常数 后，行列式的值变为
原来的 倍。
推论推论2
2：如果一个行列式的某两行（或某两列）元素对应成比例，则行列式的值等于0.
k k
4、如果行列式某一行（或某一列）的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（或列）分别为对应两个加数，其余行（或列）与原行列式相等。
11121111211112
12122221222212221122
12
1212
12
............
........................
............
.......................................
...n n
n n n n i i i i in in i i in i i n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a b b a a a a a a =
+
+++12
..................in n n nn
b a a a
k
推论3：将行列式的一行（或列）的 倍加到另一行（或另列）上，行列式的值不变。
例：计算下列行列式
（1）
123 199201502 225
（2）111111
222222
333333
245245245a b a b a b a b a b a b a b a b a b +−++−++−+
§3.3.行列式的展开定理
行列式的展开定理一、余子式
将行列式中元素 所在的行和列划掉之后得到 阶行列式，称之为元素 的余子式，记作给余子式加上符号 则成为代数余子式，记作ij a 1
n −ij
M ij a (1)
i j
+−(1)i j ij ij
A M +=−