线性代数精品基础讲义-李擂
线性代数李4白底
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在 (♀♀) 方程组有 无穷多解的情况下,
x1 = d1 - c x 1,r+1 r+1 -L - c1n xn
x2
= d2 - c x 2,r+1 r+1 -L
- c2n xn
方程组有 n-r 个自 由未知量, 其解为
LLLLLLLL
xr = dr - cr,r+1xr+1 -L - crn xn
c1n
c2n
这里 r ≥ 0, r ≤ m,
M
r ≤ n.
crn 0
( r = R(A) )
L
0
因此, 我们将方程组 (1) 的增广矩阵进行初等行变换化为
1 0 K 0 c1,r+1 L c1n d1
0
0L
0 c2,r+1 L c2n
d2
M M M M
+
x 2 - x3 +
x = 4 ,① 4
x4 = 0 , ②
x = -3 , ③ 4
0 = 0 .④
( B2) ( B3) ( B4)
(B4) 是 4 个未知量 3 个有效方程的方程组，应有一个自 由未知量, 由于方程组（B4）呈阶梯行，可把每个台阶 的第一个未知量（即x1 、x2、 x4 ）选为非自由未知量， 剩下的 x3 选为自由未知量. 这样，就只需用“回代”的 方法便能解得 ：
定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解 的线性方程组.
在上述变换中，实际上只是对方程组的系数和常数 项进行运算，未知量并未参与运算，因此，若记
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
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特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数讲义(基础版)
1 2 3 1
2 0 2 1 a2
4 2 0 2 a3 a3 a3 − x a3 a4 a4 a4 a4 − x
a1 − x
例2 求 D=
a2 − x a2 a2
a0 1
例3 求 Dn +1 = 1
1 a1
1 a2
1 (ai ≠ 0) an
1
a1 + x a2 a3 a4 0 0 x −x 例 3 求 D4 = 0 −x x 0 0 0 −x x a1
n
6
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
7
例1． 设
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
， 求A
n
例2． 设
⎛3 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 3 0⎟ ， ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠
求 A
n
例3． 设
α = (1 2 3)T β = αT β
，
线性代数基础班 09
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1
第四篇：线性代数
第一章 行列式
考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2． 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
一、内容提要
1．行列式的定义
n 2 个数 ai j (i, j = 1,2,
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2
练习 求 Dn =
b1 a2
b2 an −1 bn −1
bn
an
1
练习
−1 −1 x −1 −1
1 x +1 1 1
x −1 −1 −1 −1
3
1 1 x +1
基础30讲线代和线代辅导讲义
基础30讲线代和线代辅导讲义一、线性代数的基础概念1.1 矩阵和向量•矩阵的定义和基本运算•向量的定义和基本运算•线性组合和线性相关性1.2 线性方程组•齐次线性方程组和非齐次线性方程组•列向量和矩阵的关系•矩阵的秩和解空间的性质二、矩阵的特征值和特征向量2.1 特征值和特征向量的定义•特征值和特征向量的基本概念•特征方程和特征多项式2.2 对角化和相似矩阵•对角化矩阵的性质和条件•相似矩阵的定义和性质•可对角化的判定条件2.3 特征值的计算方法•特征值的代数重数和几何重数•特征值计算的方法：特征方程、特征多项式、行列式等三、线性变换和线性映射3.1 线性变换和线性映射的定义•线性变换和线性映射的概念•线性变换和线性映射的基本性质：保持向量相加和标量乘积不变3.2 标准矩阵和基变换•线性变换和线性映射的表示：标准矩阵•基变换和基变换矩阵的求解3.3 线性变换和线性映射的应用•线性变换和线性映射在几何中的应用•线性变换和线性映射在工程中的应用四、矩阵的奇异值分解4.1 奇异值分解的定义•奇异值和奇异向量的基本概念•奇异值分解的意义和应用4.2 奇异值的计算方法•奇异值计算的方法：特征值分解、SVD分解等•奇异值的几何和代数性质4.3 矩阵的逆和伪逆•逆矩阵和伪逆矩阵的定义和性质•奇异值分解和矩阵的逆关系以上是关于基础30讲线性代数和线性代数辅导讲义的详细内容介绍。
通过学习这些内容，你将对线性代数的基础概念、矩阵的特征值和特征向量、线性变换和线性映射以及矩阵的奇异值分解有更深入的理解和应用能力。
无论是在理论研究中还是在实际问题中，线性代数都起着非常重要的作用。
希望这些讲义能够帮助你更好地掌握线性代数的知识，提高数学建模和问题求解的能力。
李林2014基础班线性代数讲义
).(11111)(00.)1()()()()(6.)(5.0)(4)(.)(3)(),(2)(1)()()1()()1()(.2.111131211223222132122111221112121)()(21)(2212222111211212121212121、范德蒙行列式：一些重要的结论：四则：的代数余子式为设展开：列行列式按行三式值不变。
的对应元素上，该行列上列加到另一行各元素乘以同一个数后列：把行列式的某一行性质相应两个行列式之和，则此行列式等于的元素都是两个数之和列：若行列式某一行性质式的元素成比例，则行列列：行列式中如果有两行性质的所有元素。
列用此数乘行列式某行即一个数乘行列式等于以提到行列式外面的所有元素的公因子可列：行列式中某一行性质。
完全相同，则其值为零列行列式有两行行列式变号。
因此，若列：互换行列式两行性质的转置表示：性质行列式的性质二的逆序数。
为排列其中中的项写成：或代数和个元素之积的为所有不同行，不同列个元素组成由（一）行列式的定义：定理计算行列式。
行列式按行（列）展开会应用行列式的性质和握行列式的性质。
了解行列式的概念，掌考试要求：第一章行列式i j nj i n nn n n n nnknj k j k j ik ij ni knin k i k i kj ij nj ij ij j i ij T Tn n injij ij j j J i i i nj j j j j j j j j nnn n n na a a a a a a a a a a a a a k j kj D A a A a A a A a k i k i D A a A a A a A a a M A D D D D j j j j j j a a a D mn a a a n a a a a a a a a a D nn n nn n-=⎩⎨⎧≠==+++=⎩⎨⎧≠==+++=-===--==∏∑∑∑≤≤≤----==++ττττ00211111(][333222111][10)(.1,01det )det()det(det ,det det )det()det(,)1()det(,)det(,)(5.)1(00004.,.,13).(,.2.01111222221222121211111爪形或箭形）计算例计算例、数字型证抽象型参数型数字型是本章的重点掌握三种行列式的计算典型例题五设阶方阵为阶方阵，为其中：，，的代数余子式为阶阵为注意：，但，一般：反对称，则，若n n nnn n n n n n n ij mn ij ij nnn n n n n n T T n n nD A AA E AA A A AA A A A A A A A A A k kA a A nB m A B A A BB A BC A B A B CA a A A A A A A A A A A A AA AA n A A k kA A k kA BA AB B A BA AB B A B A A A A A A===∴≠===⋅==⋅=⋅=-=-==-======≠=≠==+≠±=-==---⨯*-*-41341003410034][][000000][.0.2443214==---+=D xa aaa x a aa a x a a a a x D xx x x x x a a a x a D n 计算例计算例计算例推法）线行列式用（递如行（列）加法三对角展开，另外常用的方法”较多，再按行（列）中“角形或某行（列）利用行列式性质化为三基本方法是根据特点，参数形（行列式计算的.,54321.3._______0111111][0000000000000][21111--⨯-*⨯⨯⨯⨯=======-------+++++=∏A A AA A AA AB A AB B A A k kA A aaaba b a b a b a ba ab a ba b a D ni n n n n n n n n n n n n n n 则，，，的特征值为）设（可逆，则）设（，则）设（，则，）设（，则）设矩阵（）列式，常用到以下结论抽象型（计算抽象型行，则若例计算例λλλλλλλλ340420086420][.5043200100.4.32][.][3313332221132133=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=<===-+-+=+=+=⨯⨯）（，有如子式的最高阶数中非的秩是矩阵说明）证（的特征值是）证（））证秩（（）反证法（解有非）证，常用的方法：（证明证不可逆，求，，，矩阵设例求，，，线性无关，且，，，设例A A A A A A A n A AX A A E A E A E A A A A A A A A γαααααααααααα. 2.01,][.0 ][112=-===+≤+===≠=++⇔=⨯⨯EAAEAAAAnAnBAAXBABBAAEAAAAATTsnnn，证明且），阶正交阵（即为设例）（）（）（的列向量是齐次方程组）（，则若结论：设说明，证明，设例阶子式）（如果有阶子式全为且任意阶子式不为中有）（一般地，γγγγγγγ.01.12][.,:7.,;,:6.,,:5:4)(:,3.)()(:2.,,,:1.1..,:7.,;,:6.,,:5.)(:.,:4.)(,:3.,0,1:2).(1),(,1:.1..2.,).(.)(.:.1...4.3.2.1111211212222111211为正交矩阵称满足若方阵正交矩阵为反对称矩阵称若为对称矩阵称若对称矩阵可逆称若逆矩阵转置减法加法数乘称且为同型矩阵设相等矩阵的运算基本理论与方法二为正交矩阵称满足若方阵正交矩阵为反对称矩阵称若为对称矩阵称若对称矩阵可逆称若逆矩阵三角矩阵对角矩阵矩阵数量标量单位矩阵在方阵下有如下关系角矩阵全为零的方阵称为下三主对角线上方元素阵零的方阵称为上三角矩主对角线下方元素全为三角矩阵矩阵为零的方阵称为下三角若主对角线上的元素全，记为零的方阵主对角线以外的元素全对角矩阵或记其他元素为主对角线的元素都是单位矩阵列向量矩阵为列矩阵行向量矩阵为行矩阵列矩阵行矩阵几种特殊矩阵的行列式称为称为方阵称为矩阵记列的数表行排列个元素定义基本概念一方法。
线性代数讲义 (27)
7/9 第6章 矩阵的对角化 第1节 矩阵的相似与对角化问题
定理6.1.1 n 阶方阵 A 可对角化的充要条件是:
存在 n 个线性无关的 n 维向量 1, 2, , n, 使得 对每个i, 都有数 i , 使 Ai = ii .
证明 再证充分性.
假设存在 n 个线性无关的 n 维向量 1, 2, , n, 使得 对每个i, 都有都有数 i , 使 Ai = ii . 令 P = (1 2 n ), 则由1, 2, , n 线性无关知 P 可逆.
第 6 章 矩阵的对角化
第1节 矩阵的相似与对角化问题 第2节 特征值与特征向量 第3节 内积与正交矩阵 第4节 实对称矩阵的对角化
矩阵的对角化是矩阵论中的一个重要问题, 对角化及与此密切关联的特征值和特征向量都有 深刻的理论及其应用背景.
矩阵的对角化理论是线性代数中的重要内容.
2/9 第6章 矩阵的对角化 第1节 矩阵的相似与对角化问题
5/9 第6章 矩阵的对角化 第1节 矩阵的相似与对角化问题
三、对角化
设 A 是 n 阶方阵, 是否存在一个对角矩阵 B 与 之相似? 如果存在, 此时也称 A 可对角化.
A 满足什么条件时可对角化呢?
假设 A 可对角化, 则有可逆矩阵 P 使得
1
P –1AP =
2
,
于是
1 AP = P 2
n
,
n
使得
B = P –1AP ,
则称矩阵 A 与 B 相似, 或称 B 是 A 的相似矩阵.
对 A 进行运算 P –1AP 称为对 A 进行相似变换, 可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
4/9 第6章 矩阵的对角化 第1节 矩阵的相似与对角化问题
线性代数考研讲义完整版
考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,…………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=b m,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m⨯n 型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12… a1n a11 a12… a1n b1A= a21 a22… a2n 和(A|β)= a21 a22… a2n b2…………………a m1 a m2… a mn a m1 a m2… a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,⋯ ,a n的向量可表示成a1(a1,a2,⋯ ,a n)或 a2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n矩阵,右边是n⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m⨯n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为α1, α2,⋯ ,αn时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(α1, α2,⋯ ,αn).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等(记作α=β),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m⨯n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m⨯n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m⨯n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m⨯n的矩阵,记作c A,法则为A 的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0⇔ c=0 或A=0.转置:把一个m⨯n的矩阵A行和列互换,得到的n⨯m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A').有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当α是列向量时, α T表示行向量, 当α是行向量时,α T表示列向量.向量组的线性组合:设α1, α2,…,αs是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c1α1+c2α2+…+c sαs为α1, α2,…,αs的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法.对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲 行列式一.概念复习 1. 形式和意义形式:用n 2个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式: a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … … . a n1 a n2 … a nn如果行列式的列向量组为α1, α2, … ,αn ,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式: a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 . a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33一般地,一个n 阶行列式 a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … … a n1 a n2 … a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a Λ2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定τ(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a Λ2121所乘的是.)1()(21n j j j Λτ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:023********, τ(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们可以写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n nnj j j j j j j j j a a a ΛΛΛτ-∑… … … a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j Λ21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+jM ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T|=|A | . ② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A |=c n|A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量α=β+γ ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ 所得到的行列式.例如|α,β1+β2,γ |=|α,β1,γ |+|α,β2,γ |.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. ⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A ||B |. O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 … 1 a 1 a2 a3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于 ).(i j ji a a -∏<因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D), 这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |β)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵: (A |β)→(E |η), η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1 ① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2 例2 1 2 3 4 52 3 4 5 1 3 4 5 1 2 . 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4例3 1+x 1 1 1 1 1 1+x 2 1 1 . 1 1 1+x 3 11 1 1 1+x 4例4 a 0 b c 0 a c b . b c a 0 c b 0 a例5 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四) 0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x 3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 3 3x 2-29 x 36 -6例7 求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 1 2 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(α, γ1, γ2 ,γ3),B =(β, γ1, γ2 ,γ3),|A | =2, |B |=3 ,求|A +B | . 例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01) 2 2 2 2 0 -7 0 0 5 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0 证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑L L .… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111n nii i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏LL .… … … … b n 0 0 … 0 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 另一个常见的n 阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0 a a+b b … 0 0… … … … = 11n n nn i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时).0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题 例14设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c,ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等. (2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3(a+10). 例2 1875.例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3. 例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a 2-a 3+a 4-a 5. 例6 9,-6 例7 1,-10. 例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1. 例10 -28.例14 x 1=a,x 2=b,x 3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12... a1n b11 b12... b1s c11 c12 (1)A= a21 a22... a2n B= b21 b22... b2s C=AB=c21 c22 (2)………………………a m1 a m2… a mn ,b n1 b n2… b ns ,c m1 c m2… c ms ,则c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a in b nj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A≠0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A≠0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质:|AB|=|A||B|.如果AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h.② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!n阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有:(A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22 A 21 A 22 B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22 要求A ij 的列数B jk 和的行数相等. 准对角矩阵的乘法: 形如A 1 0 ... 0 A = 0 A 2 0… … … 0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A 1,A 2,…,A k 都是方阵.两个准对角矩阵A 1 0 ... 0 B 1 0 0A = 0 A 2 … 0 ,B = 0 B 2 … 0 … … … … … … 0 0 … A k 0 0 … B k 如果类型相同,即A i 和B i 阶数相等,则A 1B 1 0 0AB = 0 A 2B 2 … 0 . … … …0 0 … A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组 设A 是m ⨯n 矩阵B 是n ⨯s 矩阵. A 的列向量组为α1,α2,…,αn ,B 的列向量组为β1, β2,…,βs , AB 的列向量组为γ1, γ2,…,γs ,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):① AB 的每个列向量为:γi =A βi ,i=1,2,…,s. 即A (β1, β2,…,βs )= (A β1,A β2,…,A βs ).② β=(b 1,b 2,…,b n )T,则A β= b 1α1+b 2α2+…+b n αn .应用这两个性质可以得到:如果βi=(b1i,b2i,…,b ni)T,则γi=AβI=b1iα1+b2iα2+…+b niαn.即:乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组α1, α2,…,αn的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量βi的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i 个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设 B=(β1, β2,…,βs),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=βi,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.) “⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)→(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为 A11 A21… A n1A*= A12 A22… A n2 =(A ij)T.………A1n A2n… A mn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1 α=(1,-2,3) T,β=(1,-1/2,1/3)T, A=αβ T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=αβ T,则A k=(βTα)k-1A=(tr(A ))k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如βTα的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1ααT= -1 1 -1 ，求αTα.（2003一）1 -1 1②设α=(1,0,-1)T, A=ααT,求|a E-A n|.③ n维向量α=(a,0,⋯,0,a)T, a<0, A=E-ααT, A-1=E+a-1αα T,求a. (03三,四)④ n维向量α=(1/2,0,⋯,0,1/2)T, A=E-αα T, B=E+2αα T,求AB. (95四)⑤ A=E-αβ T,其中α,β都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求αTβ.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)1 0 1例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.0 1 0例4 设A为3阶矩阵, α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足Aα1=α1+α2+α3, Aα2=2α2+ α3, Aα3=2α2+3α3.求作矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(α1,α2,α3),|A|=1,B=(α1+α2+α3,α1+2α2+3α3,α1+4α2+9α3),求|B|.(05)例6 3维向量α1, α2, α3, β1, β2, β3满足α1+α3+2β1-β2=0, 3α1-α2+β1-β3=0, -α2+α3-β2+β3=0,已知|α1, α2, α3|=a,求| β1, β2, β3|.例7设A是3阶矩阵, α是3维列向量,使得P=(α,Aα,A2α)可逆,并且A3α=3Aα-2A2α.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设α1=(5,1,-5)T, α2=(1,-3,2)T, α3=(1,-2,1)T,矩阵A满足Aα1=(4,3) T, Aα2=(7,-8) T, Aα3=(5,-5) T,求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)如果n>2,则 |A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)3⨯3满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A 0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆.讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设α是n维非零列向量,记A=E-ααT.证明(1) A2=A⇔αTα =1.(2) αTα =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例135A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1① 3.② a2(a-2n). ③ -1. ④ E. ⑤ 4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔ A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例 7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例 9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例 10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例 11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例 12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例 13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例 17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19 E(i,j).例22 提示:用克莱姆法则.例如证明 ,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例 24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设α1,α2,…,αs是一个n维向量组.如果n维向量β等于α1,α2,…,αs的一个线性组合，就说β可以用α1,α2,…,αs线性表示.如果n维向量组β1, β2,…,βt 中的每一个都可以可以用α1,α2,…,αs线性表示,就说向量β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示.判别“β是否可以用α1, α2,…,αs线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x1α1+ x2α2+…+x sαs=β是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以(α1, α2,…,αs |β)为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以(A|β)为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“β是否可以用A的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合,从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示;反之,如果向量组β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示,则矩阵(β1,β2,…,βt)等于矩阵(α1,α2,…,αs)和一个s⨯t矩阵C的乘积. C可以这样构造: 它的第i个列向量就是βi对α1,α2,…,αs的分解系数(C不是唯一的).向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示,而α1,α2,…,αs 可以用γ1,γ2,…,γr线性表示,则β1,β2,…,βt可以用γ1,γ2,…,γr线性表示.当向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt互相都可以表示时,就说它们等价,并记作{α1,α2,…,αs }≅{β1,β2,…,βt}.等价关系也有传递性.2. 向量组的线性相关性(1) 定义(从三个方面看线性相关性)线性相关性是描述向量组内在关系的概念,它是讨论向量组α1, α2,…,αs 中有没有向量可以用其它的s-1个向量线性表示的问题.定义设α1,α2,…,αs 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,…,c s使得c1α1+c2α2+…+c sαs=0,则说α1,α2,…,αs 线性相关,否则(即要使得c1α1+c2α2+…+c sαs=0,必须c1,c2,…,c s全为0)就说它们线性无关.于是, α1,α2,…,αs “线性相关还是无关”也就是向量方程x1α1+ x2α2+…+x sαs=0“有没有非零解”,也就是以(α1,α2,…,αs )为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解.当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量.两个向量的相关就是它们的对应分量成比例.(2) 性质①当向量的个数s大于维数n时, α1, α2,…,αs 一定线性相关.。
李林2015年线代讲义
第二篇 线性代数第一讲 行列式考纲要求1.了解行列式的定义，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式. 问题1 何谓行列式？行列式在线性代数中有哪些应用？答 行列式是方阵的元素按一定规则运算得到的一个数，它在线性代数中有广泛应用： 设A 为阶方阵，则下列命题等价： n ⑴0A ≠（A 非奇异）； ⑵A 可逆；⑶存在方阵B ，使得AB E =； ⑷（()r A n =A 满秩）；⑸A 的特征值全不为零；⑹A 的行（列）向量组线性无关； ⑺只有零解； 0Ax =⑻有惟一解. Ax b =问题2 何谓余子式、代数余子式？答 余子式、代数余子式的定义见教材，由定义知，代数余子式ij A 与第i 行、第j 列的元素的取值无关.例设4521011130112101−−=D ，求41424344A A A A +++；41424344.M M M M +++【】 1;5−−问题3 行列式有哪些性质？ 答 行列式的性质有⑴行列互换，行列式不变； ⑵两行互换，行列式反号； ⑶一行的公因子可以提出来； ⑷两行成比例，行列式为零；⑸行列式可以按一行拆分为两个行列式之和；⑹一行的倍数加到另一行，行列式不变. 注 行列式对行成立的性质，对列也成立. 问题4 写出行列式按行（列）展开公式.答 1122i i i i in in A a A a A a A =+++L （按第i 行展开）1122j j j j nj nj A a A a A a A =+++L （按第j 列展开）▲一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即11220()i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠L问题5 如何计算数字、字母型行列式？ 答 数字、字母型行列式的计算方法有 ⑴化三角形法； ⑵展开降阶法； ⑶展开递推法； ⑷归纳法；⑸公式法.常用公式有公式1 上（下）三角形行列式112212************n n na a a a a a a a a ==L OO . 公式2 关于副对角线的上（下）三角形行列式11(1)22212******(1)******n n n n na a a a a a a a a −==−L N N . 公式3 范德蒙德行列式12111112111()ni j j i nn n n nx x x x x x x x ≤<≤−−−=−ΠL LM MM L . 计算行列式时，根据行列式的特点（例如行和相等、爪形、可化为爪形、三对角等），采用适当的变形方法，可以简化运算.常用变形方法⑴把某一行（列）的倍数加到其余各行（列）； ⑵把每行（列）的倍数加到某一行（列）；⑶逐行（列）相加. 例1.设方阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=3241223k kA 0A E λ−=，求λ的值.【1231,1λλλ==−=】 2.求方程0347534453542333322212223212=−−−−−−−−−−−−−−−x x x x x x x x x x x x x x x x 的根.【0,1x x ==】3.设63121024221421)(++−−=x x xx xxx f ，证明0)(=′x f 有小于1的正根.【用罗尔定理】4.计算1111111111111111−−+−−−+−−−=x x x x D 【】 4x 解 【行和相等，首先将第2、3、4列加到第1列】12341111111111111111111111111c c c c 111x xx x x x D x x x x x +++−−−−−+−−+−==−−−−+−−−−213141411111*********111110011111000c c c cc c x x x x x xx x x +−+−−−+−==−−−−=.5.计算432101001001111a a a a D =，其中0432≠a a a .【)111(4321432a a a a a a a −−−】 【爪形行列式，将第2、3、4列的适当倍数加到第1列，化为上三角】6.计算43214321432143214321++++=a a a a a a a a a a a a a a a a D 【32414!(1)234a a aa ++++】【特点：除对角元素外，各列元素相同，只要将第2、3、4行减去第1行，就化为爪形】7.计算a a a a a a a a a D −−−−−−−−−=110001100011000110001【三对角行列式，展开、递推，】 23451a a a a a −+−+−8.计算22221111000000c d a b d c b a D =【特点：多零，按第一行展开， 】12121212()(a a b b c c d d −−)9. 计算12564271625169454321111=D【利用行列式性质和范德蒙德行列式，】4−10.计算ab b b a bb b a D n L M M M L L =【特点：各行元素之和相等，各列加到第一列，1[(1)]()n a n b a b −+−−】问题6 如何计算抽象行列式？答 计算抽象行列式，除了掌握行列式的性质，还必须熟记关于矩阵行列式的结论： ⑴若A 为n 阶矩阵，则nkA kA =.⑵若A 为n 阶矩阵，则TAA =，1*n A A−=.⑶若A 为n 阶可逆矩阵，则11A A −−=.⑷若A ，B 为阶矩阵，则n AB A B =⋅.⑸若A 为n 阶矩阵，(1,2,,i i )n A 的特征值，则12n A λλλ=L .=λL 是⑹设A ，B 分别为阶，阶矩阵，则m n A C A O A B O B C B ==⋅，(1)mn C A O AA B B O B C==−⋅.例1.设γβααα,,,,321都是4维列向量，且a =βααα,,,321，b =+123,,,αααγβ，=321,,,2αααγ .【2()a b −】2.设123,,2ααα=，则112123,2,23αααααα+++= .【12】3.设A 为3阶方阵，且2=A ，则=−−*1)2(A A . 【2716−】 4.设，矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100021012A B 满足E BA ABA +=**2，则B = .【19B =】5.设A 为3阶方阵，且E A E A E A +−−2,2,均不可逆，则=A .【】 1−6.设A ,B ,C 都是行列式为2的3阶方阵，求CB A O1)32(−−.【278】第二讲 矩阵及其运算考纲要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.5.了解分块矩阵及其运算. 问题1 关于矩阵的运算. 答 相关内容有：1.矩阵的概念（零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵）2.矩阵的运算（加法、数乘、乘法、方阵的幂、转置）3.矩阵的运算律矩阵的加法和数乘满足下列运算律：设A ，B ，C 是同型矩阵，λ，μ是数，则 ⑴A B B A +=+；⑵()()A B C A B C ++=++； ⑶()()A A λμλμ=； ⑷()A A A λμλμ+=+； ⑸()A B A B λλλ+=+. 矩阵的乘法满足如下运算律：设A ，B ，C 都是矩阵，λ是数，且下列运算都是可行的，则 ⑴()()AB C A BC =；（结合律） ⑵()A B C AB AC +=+；（左分配律） ⑶()B C A BA CA +=+；（右分配律） ⑷()()()A B A B AB λλλ==；（结合律） ⑸AE EA A ==.（单位矩阵的性质） 方阵的幂满足klk lA A A+=，()，但不满足.k l kl A A =()k k AB A B =k矩阵的转置满足下列运算律：假设下面的矩阵运算是可行的，则 ⑴；TT()A A =⑵；TT ()A B A B +=+T T ⑶； TT ()A A λλ=⑷.TT ()AB B A =▲关于矩阵的运算，一是可行性，二是运算律. 特别，矩阵的乘法不满足交换律，消去律和零因子律，即一般情形下，AB BA ≠；,AB AC A O =≠不能推出B C =；AB O =不能推出A O =或者B O =.例1.设维向量n ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21,0,,0,21L α，T A E αα=−，T 2B E αα=+，则=AB .【E 】2.下列关于矩阵的命题中哪些是错误的（假设运算都是可行的）： ⑴BA AB =；⑵若，则O AB =O A =或O B =； ⑶若，则AC AB =C B =； ⑷；TT ()AB A B =T ⎞⎟⎠⑸； kkkB A AB =)(⑹；111)(−−−=B A AB ⑺；))((22B A B A B A −+=−⑻，其中TA B A C C D B D ⎛⎞⎛=⎜⎟⎜⎝⎠⎝A ，均为方阵；D ⑼B A AB =； ⑽B A B A +=+； ⑾A k kA =；⑿若为同阶对称阵，则B A ,AB 为对称阵.▲只有⑼对；若可交换，⑴⑷⑸⑹⑺⑿也是对的，且所有乘法公式（平方差、立方差、立方和、二项式定理等 ）对矩阵成立.B A ,问题2 如何求方阵的幂？ 答 求方阵A 的幂的方法有⑴归纳法 依次求出A ，等，找出规律，写出； 2A nA ⑵对角化法 若1P AP Λ−=，则1A P P Λ−=，1nnA P P Λ−=； ⑶将矩阵分解为列向量与行向量的乘积，再用结合律；⑷将矩阵分解为数量矩阵与幂零矩阵的和，再用二项式定理； ⑸利用分块矩阵求幂.▲求方阵的幂时，常常运用矩阵乘法的结合律. 例1.设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=321α⎟⎠⎞⎜⎝⎛=31211β，αβ=A ，求.【nA 111123232133312n −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠】2.设矩阵，求.111121A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠T ()nA A 【】 11111111111111111136326363263463263632636n n n n n n n n n n n n n n n n n n −−−−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞+−+⋅+⎜⎟−+⋅+⋅−+⋅⎜⎟⎜⎟+−+⋅+⎝⎠3.设,求.【⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=λλλ001001A nA 121(1)2n n n nn nn n n n λλλλλλ−−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠】4.设，，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100000001B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=112012001P PB AP =，求A 及.5A 【5A 100200611A ⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠】5.设，求.【 】 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=10001000010001λλA n A10010********n n λλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠问题3 关于可逆矩阵. 答 相关内容有 1.概念定义1 设A 为阶方阵. 若存在阶方阵n n B ，使得AB BA E ==，则称方阵A 是可逆矩阵，或者说A 可逆，并称B 是A 的逆阵，记作，即1AB −=.定义2 设()ij A a =为阶方阵，由元n (,1,2,,)ij a i j n =L 的代数余子式ij A 组成的方阵1121112222*12n n nn nn A A A A A A A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M L称为A 的伴随矩阵.A 的伴随矩阵具有如下重要性质：**AA A A A E ==.2.矩阵可逆的充要条件定理 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是：0A ≠，且当A 可逆时，1*1AA A−=. ▲设A ，B 都是n 阶方阵，若AB E =，则A ，B 都可逆，且A ，B 互为逆阵. 3.可逆矩阵的性质⑴若方阵A 可逆，则1A −可逆，且11()A A −−=；⑵若方阵A 可逆，则(0A )λλ≠可逆，且111()A A λλ−−=；⑶若方阵A 可逆，则可逆，且；TA T 11T ()()A A −−=⑷若阶方阵n A ，B 都可逆，则AB 可逆，且11()AB B A 1−−−=.问题4 如何求逆矩阵？ 答 求逆矩阵的方法⑴用定义：找方阵B ，使得AB E =. ⑵用伴随矩阵：1*1AA A−=. ⑶用初等行变换：.1()~(A E E A −)⑷用分块矩阵：111A O A O O B OB −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，111O A O B B O AO −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠. ▲求逆阵的运算容易出错，建议读者求出1A −后验证1AA E −=.例1.设，求.【210121111A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1A −111110222113A −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠】 2.设，则＝ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0004300002000010A 1−A .【100041000100210003⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠0 】3.设B A AB 2−=，，则＝ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=102010201B 1)2(−+E A .【】 001010100−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠4.设，，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=3211A E A A B 232+−=1−B ＝ .【10211⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠】 5.已知矩阵A 满足E A 23=，则＝ 1−A .【212A 】 6.已知矩阵A 满足，则 O A =3=++−12)(A A E .【E A −】问题5 如何证明矩阵可逆？ 答 证明矩阵A 可逆的方法有⑴定义法：找方阵B ，使得AB E =； ⑵行列式法：证明0A ≠. 例1.已知矩阵A 满足，证明O E A A =−−322E A 4+可逆，并求其逆阵.【1(621)A E −−】2.已知矩阵A ,B 满足B A AB +=，证明E A −可逆，并求其逆阵.【B E −】3.设A ,B ，B A +都是可逆矩阵，证明11−−+B A 可逆，并求其逆阵.【1()B A B A −+】4.设E B A ==22，且0=+B A ，证明B A +不可逆. 5.已知α,β是相互正交的维列向量，证明可逆. n TE αβ+问题6 如何解矩阵方程？答 先将矩阵方程化简为三种基本类型：AX B =，XA B =，AXB C =，然后用逆矩阵求解.例1.设3阶方阵A ,B 满足，且BA A BA A +=−61⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=710004100031A ，则=B .2.设矩阵A ,B 满足，且，求E BA BA A 82*−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=121A B . 3.设，，且，求⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000110001100011B ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2000120031204312C 11)(−−=−A C B C E T T A . 4.已知，且，求⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A E BA ABA 311+=−−B . 5.设矩阵满足B A ,E B B A 421−=−， ⑴证明E A 2−可逆；⑵若，求⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200021021B A . 6.设，且，则 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=7600054000320001A )()(1A E A EB −+=−=+−1)(B E . 答案 1. 2.3. 300020001⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟200040002⎛⎞⎜⎟−⎜⎜⎟⎝⎠100021*********1⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠4. 5. 6. 6000060060600301⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠020110002⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠1000120002300034⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠问题7 关于伴随矩阵.答 关于伴随矩阵，除了它的定义，还要掌握：1.基本关系式：**AA A A A E ==. 2.求伴随矩阵的方法⑴用定义：1121112222*12n n nn nn A A A A A A A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M L，特别地，若，则； a b A c d ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠*d b A c a −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠⑵用逆矩阵：1**11AA A A A A−−=⇒=. 3.伴随矩阵的性质（行列式、秩、特征值） 设A 为阶方阵， n ⑴1*n A A−=.⑵若，则()r A n =*()r A n =；若，则()1r A n =−*()1r A =；若()1r A n <−，则. *()0r A =⑶若A 可逆，λ是A 的特征值，则Aλ是的特征值.*A 例1.设，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=4321A =*A ，1A −= .【4231−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ ；】213/21/2−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠2.设A 为阶方阵，证明.n *1()n kA k A −=*证 先求代数余子式.22232323331111123()n nn n n nnka ka ka ka ka ka kA k A ka ka ka −==L L M M M L ，类似求得， 1()(,1,2,,)n ij ij kA k A i j n −==L 故.*1()n kA kA −=*3.设A 为阶可逆方阵，证明n A AA n 2**)(−=.4.设A 为可逆方阵，证明，.T **T()()A A =1**1)()(−−=A A 5.设A 是3阶非零矩阵，且)3,2,1,(==j i A a ij ij ，证明A 可逆，并求A .6.设3阶方阵A 的特征值为1，2，3，则112233A A A ++= .【11】 解A 的特征值为1，2，3，6A =，的特征值为6，3，2，*A 由特征值的性质知，的对角元之和*A 11223363211A A A ++=++=.问题8 关于分块矩阵.答 分块矩阵的内容包括：分块矩阵的概念、运算和分块对角阵1.概念 用一组横线和竖线将矩阵A 分割成若干个小矩阵，每个小矩阵成为A 的子块，这种以子块为元的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵分块的作用是：⑴降低矩阵的阶数，简化矩阵的运算；⑵利用矩阵分块（尤其是按行分块和按列分块），进行理论推导，许多重要的定理和结论都是用这种方法推导出来的.2.运算分块矩阵的运算类似普通的数字矩阵.设11122122A A A A A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，11122122B B B B B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠. 在运算可行的条件下，1111121221212222A B A B A B A B A B ++⎛⎞+=⎜⎟++⎝⎠；11122122A A A A A λλλλλ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠；11111221111212222111222121122222A B A BA B A B AB A B A B A B A B ++⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠；TTT1121TT 1222A A A A A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠. 分块矩阵的运算含有两级运算：分块矩阵间的运算和子块间的运算，分块方法必须使得这两级运算都有意义.对于分块矩阵的加法，要求两个矩阵的分块方法相同；对于分块矩阵的乘法，要求左矩阵列的分组方法和右矩阵行的分组方法一致.3.分块对角阵设均为方阵，则称矩阵12,,,r A A A L 12r A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O为分块对角阵. 分块对角阵具有如下性质：⑴12n n nn r A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O； ⑵12r A A A A =L ；⑶若都可逆，则12,,,r A A A L A 可逆，且111121r A A A A −−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O. 例1.设为可逆方阵，，证明B A ,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B O O A C ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=***B A OO A B C .2.设A 为阶非奇异方阵,n α为维列向量，n T *EO P A A α⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，T A Q b αα⎛⎞=⎜⎟⎝⎠⑴计算并化简；【PQ T 10()APQ A b A ααα−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠】⑵证明：Q 可逆的充要条件是T 1A b αα−≠.3.设方阵，可逆，证明分块矩阵11A 22A 111222A A A O A ⎛⎞=⎜⎝⎠⎟可逆，并求1A −. .问题9 关于矩阵的初等变换和初等方阵 答 相关内容有：1.初等变换的概念 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换： ⑴互换两行的位置；⑵用一个非零数乘某一行； ⑶把一行的倍数加到另一行上. 将定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.如果矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作~A B .2.初等方阵 单位矩阵经一次初等变换得到的方阵称为初等方阵.三种初等变换对应三种初等方阵，三种初等方阵都可逆，且它们的逆矩阵仍为初等方阵：1(,)(,)E i j E i j −=，11(())(())E i k E i k−=，1(,())(,())E i j k E i j k −=−.3.初等变换与初等方阵的关系定理 对矩阵m n ×A 进行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的阶初等方阵；对矩阵m A 进行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等方阵.推论⑴任何可逆方阵都可以表示为有限个初等方阵的乘积.⑵m 矩阵n ×~A B 的充要条件是：存在阶可逆方阵和阶可逆方阵Q ，使得m P n PAQ B =，特别，m n ×矩阵A 经初等行变换化为B 的充要条件是：存在阶可逆方阵，使得.m P PA B =⑶若A 为可逆方阵，则经有限次初等行变换，. 1()~(A E E A −))证 .11()(A A E E A −−=⑷若A 为可逆方阵，则经有限次初等行变换，. 1()~(A B E A B −)))证 .11()(A A B E A B −−=4.初等变换的应用⑴求矩阵的秩【用初等变换将矩阵化为阶梯阵】⑵求矩阵的逆矩阵【用初等行变换：】1()~(A E E A −⑶求矩阵方程AX B =的解1X A B −=【用初等行变换：】 1()~(A B E A B −)⑷解线性方程组Ax b =【用初等行变换将方程组的增广矩阵()A b 化为行最简形】 ⑸求向量组12,,,s ααL α的一个最大无关组【用初等行变换将12(,,,)s αααL 化为阶梯阵】 例1.设A 是阶可逆方阵，将n A 的第行和第i j 行对换后得到的矩阵记为B , ⑴证明B 可逆； ⑵求.【1−AB (,)E i j 】2.设，，，则必有（）.【C 】⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010101P ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1010100012P （A ） (B) B P AP =21B P AP =12 (C) B A P P =21 (D) B A P P =123.设A 为三阶矩阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再将B 的第2列加到第3列得，则满足C AQ C =的可逆矩阵Q 为（）.【D 】（A ）（B ）（C ）（D ）010100101⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠010101001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠010100011⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠011100001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠4.设A 为三阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1−倍加到第2列得C ，记，则（）.【B 】110010001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟（A ）（B ）（C ）（D ）1C P AP −=1C PAP −=T C P AP =T C PAP =5.设A 为阶可逆矩阵，交换(2n n ≥)A 的第1行与第2行得矩阵B ，则（）.【C 】（A ）交换的第1列与第2列得*A *B（B ）交换的第1行与第2行得*A *B（C ）交换的第1列与第2列得*A *B −（D ）交换的第1行与第2行得*A *B −问题10 关于矩阵的秩. 答 相关内容有：1.概念 矩阵的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩；2.性质⑴设A 是m 矩阵，则n ×()r A m ≤，()r A n ≤； ⑵；T()(r A r A =)⑶若A 为阶矩阵，则当n n A R =)(时，；当n A R =)(*1)(−=n A R 时，；当时，；1)(*=A R 1)(−<n A R 0)(*=A R ⑷； ()()()r A B r A r B +≤+⑸，；()(r AB r A ≤))()(r AB r B ≤⑹若A 可逆，则()(r AB r B )=，若B 可逆，则()(r AB r A )=； ⑺设A 是m 矩阵，n ×B 是矩阵，且n s ×AB O =，则()()r A r B n +≤. 3.定理定理1 初等变换不改变矩阵的秩. 定理2 阶梯阵的秩等于它的非零行数. 4.求法⑴初等变换法：用初等变换化为阶梯阵；⑵夹逼法：利用关于秩的不等式，证明()r A r ≤，，则. ()r A r ≥()r A r =例1.设，，则＝ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4321032100210001A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1100111011010011B )(AB r .【3】 2.设阶矩阵，且)3(≥n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111LM M M L L a a a aa a A 1)(−=n A r ，则=a .【11a n=−】3.设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=54232121a A B 是43×的非零矩阵，且AB O =，=)(B r .【1】第三讲 向量考纲要求1.理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.n 2.理解向量线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组和秩.4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系.5.了解维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念. n6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法. 8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质. 问题1 关于向量的线性组合与线性表示. 答 相关内容有： 1.概念定义 如果存在一组数12,,,s k k k L ，使得1122s s k k k βααα=+++L ，则称向量β 是向量组12,,,s ααL α的一个线性组合，或者称向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示，其中12,,,s k k k L 称为表示系数.2.关于线性表示的定理 定理1 下列命题等价⑴向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示； ⑵线性方程组1122s s x x x αααβ+++=L 有解；⑶1212(,,,,)(,,,)s s r r αααβααα=L L . 定理2⑴向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示且表示法唯一线性方程组⇔1122s s x x x ααα+++=L β有唯一解；⑵向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示且表示法不唯一线性方程组⇔1122s s x x x ααα+++=L β有无穷多解；⑶向量β不可由向量组12,,,s ααL α线性表示⇔线性方程组1122s s x x x αααβ+++=L 无解.定理3 若向量组12,,,s ααL α线性无关，12,,,s αααL ，β线性相关，则向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示，且表示法惟一.问题2 如何判别向量β能否由向量组12,,,s ααL α线性表示？ 答 判别向量β能否由向量组12,,,s ααL αT−线性表示的方法有： ⑴定义法 ⑵秩法⑶利用已知结论 例1.若可由线性表示，则t＝ ()T1,2,t β=()()()T T 1232,1,1,1,2,7,1,1,4ααα==−=−.【.】5t =2.设，()()()TT1231,1,,1,1,,1,,1,2t t ααα=−=−=T()T24,,4t β=−,若β可由321,,ααα线性表示且表示法不唯一，求t 及β的表达式.【124,3(4)t k k 3k βαα==−+−+k α(为任意常数)】 3.若向量组321,,ααα线性无关，432,,ααα线性相关，问 ⑴4α能否由321,,ααα线性表示？ ⑵1α能否由432,,ααα线性表示？ 证明你的结论.答 ⑴4α能由321,,ααα线性表示.因为321,,ααα线性无关，故23,αα线性无关，又432,,ααα线性相关，所以4α能由23,αα线性表示，从而4α能由321,,ααα线性表示.⑵1α不能由432,,ααα线性表示.若1α能由432,,ααα线性表示，由⑴知4α能由23,αα线性表示，则1α能由23,αα线性表示，从而321,,ααα线性相关，与题设相矛盾.所以，1α不能由432,,ααα线性表示.问题3 关于向量组的线性相关性. 答 相关内容有： 1.概念定义 如果存在一组不全为的数012,,,s k k k L ，使得11220s s k k k ααα+++=L ，则 称向量组12,,,s ααL α线性相关，否则称12,,,s ααL α线性无关.2.关于线性相关性的定理 定理1 下列命题等价：⑴向量组s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）；⑵齐次方程组11220s s x x x ααα+++=L 有非零解（只有零解）； ⑶12(,,,)()s r s s ααα<=L ；推论 个维向量组s s s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）的充要条件是行列式12,,,0(0)s ααα=≠L .定理2 向量组s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）的充要条件是其中至少有一个向量可（其中任何一个向量都不可）由其余向量线性表示. 问题4 如何判断向量组的线性相关性？答s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）等价于齐次方程组11220s s x x x ααα+++=L 有非零解（只有零解），因此可以利用齐次方程组来判断线性相关性，方法有：⑴定义法 ⑵秩法 ⑶行列式法除用上述方法外，还常用下列结论：⑴线性无关向量组的任何一个部分组线性无关； ⑵线性无关向量组的任何一个延伸组线性无关；⑶个维向量必线性相关，一般地，若，则个维向量必线性相关； 1n +n r n >r n ⑷两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例.例1（具体向量组）1.设, ()()()TT1231,1,1,1,2,3,1,3,t ααα===T⑴t 为何值时，321,,ααα线性相关？【5t =】 ⑵t 为何值时，321,,ααα线性无关？【5t ≠】⑶线性相关时，将3α表为21,αα的线性组合.【3122ααα=−+】2.设，，(线性相关，则＝ ()T1,1,2,1()T1,0,0,2)T1,4,8,t −−−t .【】 2t =3.判断()，()，，(的线性相关性. T1,0,2,3T1,1,3,5()T1,1,2,1a −+)T1,2,4,9a +【当且1a ≠−2a ≠−时，线性无关；当1a =−或者2a =−时，线性相关.】 例2（抽象向量组）1.设向量组321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.2.设向量组s ααα,,,21L 线性无关，讨论13221,,,αααααα+++s L 的线性相关性.3.设r ααα,,,21L 是齐次方程组的一个基础解系，向量0=Ax β不是的解，证明0=Ax β，r αβαβαβ+++,,,21L 线性无关.证 【用定义法】设1211()()r r k k k 0ββαβα++++++=L ，整理得121211()r r k k k k k 0r βαα++++++++=L L ，⑴ 左乘A ，得121211()r r k k k A k A k A 0r βαα++++++++=L L ，121()0(0,1,2,)r i k k k A A i r βα+⇒+++===L Q L ， 1210(0)r k k k A β+⇒+++=≠L Q ，⑵代入⑴，得2110r r k k αα+++=L ，又r ααα,,,21L 线性无关，故，代入⑵，得20,,0r k k +=L 1=10k =， 所以β，1βα+，2βα+，L ，r βα+线性无关.4.设A 是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量n k 0=x A k α，且，证明线性无关.01≠−αk A ααα1,,,−k AA L 5.设A 为阶矩阵，n 321,,ααα是维列向量，且n 01≠α，11A k αα=，21A l k 2ααα=+，323A l k αα=+0，≠l ，证明321,,ααα线性无关.α6.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，且m n ×E AB =，，证明n m >B 的列向量组线性无关. 证 【用秩法，只要证明()r B m =】()r B m ≤，又，故()()()r B r AB r E m ≥==()r B m =，所以B 的列向量组线性无关. 例31.设向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（）.【用排除法，C 】 （A ）14433221,,,αααααααα++++线性无关 （B ）14433221,,,αααααααα−−−−线性无关 （C ）14433221,,,αααααααα−+++线性无关 （D ）14433221,,,αααααααα−−++线性无关2.设向量组Ⅰ：r ααα,,,21L 可由向量组Ⅱ：s βββ,,,21L 线性表示，则（）. （A ）当s r <时,向量组Ⅱ必线性相关 （B ）当s r >时,向量组Ⅱ必线性相关 （C ）当s r <时,向量组Ⅰ必线性相关 （D ）当s r >时,向量组Ⅰ必线性相关【D ，因为1212(,,,)(,,,)r s r r s r αααβββ≤≤L L <TT】3.设有4个向量组① TTT(,,),(,,),(,,),(,,)a b c b c d d e f f g h ②TT(,1,,0,0),(,0,,2,0),(,0,,0,3)a b c d e f③ T T T (,1,2,3),(,1,2,3),(,1,2,3),(,0,0,0)a b c d TTT ④ TTT(1,0,3,1),(1,3,0,2),(2,1,7,2),(4,2,14,5)−−则下列结论正确的是（）.【D 】（A ）线性相关的向量组为①④，线性无关的向量组为②③ （B ）线性相关的向量组为③④，线性无关的向量组为①② （C ）线性相关的向量组为①②④，线性无关的向量组为③ （D ）线性相关的向量组为①③④，线性无关的向量组为②4.设,则（）.【A 】 T T 123(1,4,3,1),(2,,1,1),(2,3,1,1)t t ααα=−=−−=−+（A ）,R t ∈∀321,,ααα 线性无关 （B ）仅当3−=t 时,321,,ααα线性无关 （C ）当时,0=t 321,,ααα线性相关 （D ）仅0≠t 且3−≠t ,321,,ααα线性无关5.设A 是矩阵，则（ ）.【A 】 43×（A ）A 的列向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性无关 （C ）A 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性无关6.设非零矩阵满足，则（ ）.【A 】 B A ,O AB =（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关7.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，且满足m n ×E AB =，则（）.【D 】 （A ）A 的列向量组线性无关,B 的行向量组线性无关 （B ）A 的列向量组线性无关,B 的列向量组线性无关 （C ）A 的行向量组线性无关,B 的行向量组线性无关 （D ）A 的行向量组线性无关,B 的列向量组线性无关8.设向量组321,,ααα线性相关，向量组432,,ααα线性无关，则（）.【A 】 （A ）1α必能由432,,ααα线性表示 （B ）2α必能由431,,ααα线性表示（C ）3α必能由421,,ααα线性表示 （D ）4α必能由321,,ααα线性表示问题5 关于向量组的秩与最大无关组. 答 相关内容有： 1.概念最大无关组：向量组的一个部分组满足⑴线性无关，⑵任意添加一个向量所得部分组线性相关（向量组12,,,s ααL α中任一向量可由其最大无关组线性表示）.向量组的秩：最大无关组所含向量的个数. 2.定理定理1 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩. 定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤. 定理3 若向量组A 与向量组B 等价，则()()r A r B =. 3.求最大无关组的步骤⑴以向量m ααα,,,21L 为列向量构成矩阵A ；⑵用初等行变换将矩阵A 化为阶梯阵U ，则U 的首非零元对应的A 的列向量为向量组的一个最大无关组.【若继续将U 化为行最简形，则可求出其余向量由该最大无关组线性表示的表示系数】 例1.向量组的秩为 ()()()(TTTT12342,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8αααα====).【2】2.求向量组()()()()(T T T T 123451,2,1,2,1,0,3,1,2,1,0,1,2,1,2,2,2,2,4,3ααααα===−=−=)T的一个最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示.解 利用初等行变换将()12345,,,,A ααααα=化为阶梯阵：()12345112220211,,,,301232112A ααααα⎛⎞⎜⎟−⎜⎟==⎜⎟−⎜⎟⎝⎠241122205322~022*******⎠1122200770~008800312⎛⎞⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟−⎝−−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟−⎝−−−11⎠112220312~0001100000⎛⎞⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠， 最大无关组为123,,ααα（或者124,,ααα，或者135,,ααα，或者145,,ααα）. 再利用初等行变换将A 化为行最简形：A 00001121110000111111~~00000011110000000000⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟⎟⎠3， 故412αααα=−+，512ααα=+.3.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，证明s n ×()(r AB r A )≤，()(r AB r B )≤. 证 将A 按列分块为()12,,,n A a a a =L ，则()11121212221212,,,s s n n n ns b b b b b b AB a a a b b b ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L L M M M L (1,2,,)j s L 的第个列向量 1122j j j nj c b a b a b a =+++L n ，即AB 的列向量可由A 的列向量线性表示，故 ()(r AB r A ≤)T ).由，得.TT ()AB B A =T T T T ()(())()()(r AB r AB r B A r B r B ==≤=4.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，且s n ×O AB =，证明n B R A R ≤+)()(证 ，故1212(,,,)(,,,)s s AB A b b b Ab Ab Ab O ===L L 0(1,2,,)j Ab j s ==L ，即B 的个列向量都是的解，这个解的秩s 0Ax =s ()()R B n R A ≤−（解集的秩），即.0Ax =n B R A R ≤+)()( 5.证明：若A 为阶矩阵，则当时，；当n n A R =)(n A R =)(*1)(−=n A R 时，；1)(*=A R当时，.1)(−<n A R 0)(*=A R 证 ⑴当时，n A R =)(1*0,0n A A A−≠=≠，故；n A R =)(*⑵当时，1)(−=n A R *0,A AA A E O ===，故*()()R A R A n +≤，*()()1R A n R A ≤−=，又**()10()1ij R A n A A O R A =−⇒∃≠⇒≠⇒≥，故；1)(*=A R ⑶当时，则1)(−<n A R *,1,2,,,0ij i j n A A O ∀==⇒=⇒0)(*=A R L . 问题6 关于向量空间.（数一） 答 相关内容有：1.基础知识（向量空间、基、维数、坐标、基变换公式与过渡矩阵、坐标变换公式） 设V 为维向量的非空集合n V 为向量空间⇔对向量的加法和数乘运算封闭； V V 的基的最大无关组；V 的维数的秩；⇔V ⇔V 若1122s s x x x βαα=+++L α，称12(,,,)s x x x L 为在基12,,,s ααL αs 下的坐标（表示系数）； 若1212(,,,)(,,,)s P βββααα=L L ，称矩阵为基P 12,,,s ααL α到基12,,,s ββL β的过渡矩阵（表示系数矩阵） 2.求过渡矩阵的方法设1212(,,,)(,,,)s s P βββααα=L L ，记作B AP =，则1P A B −=，求法如下：因为，所以，可利用初等行变换，.1(,)(,)A A B E A B −=1−1231,1,1,1,0,1,1,0,1ααα==−=31(,)~(,)A B E A B −例1.已知是()()()TTTR的一组基，证明也是()()()TTT1231,2,1,2,3,4,3,4,3βββ===3R 的一组基，并求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵.解 【因为任意3个线性无关的向量是3R 的一组基，只要证明321,,βββ线性无关】123123,,23440143βββ==≠，故321,,βββ线性无关，故321,,βββ是3R 的一组基.经初等行变换，()123123111123,,,,,100234111143αααβββ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠111123101133~011111~001101020020010010⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟−⎠ 100234100234~001101~01001001001001101⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝， 故由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵234010101P ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠.2.已知3R 的两个基()()(T T 1231,0,1,2,1,1,1,1,1ααα=−==)TT和.()()()TT1230,1,1,1,1,0,1,2,1βββ==−=⑴求由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵P ；⑵求在这两组基下的坐标.【⑴()T 9,6,5γ=011132244P ⎛⎞⎜⎟=−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠T (1,2,4)⑵；】T(0,4,5)−。
2018李永乐线性代数冲刺班讲义
参考答案 1 -6 0 0 ù é ê ú 1 2 0 ù é ê ú êú 0 0 ú ê0 1 ê ú ( ) ( ) 1. 1 1 8, 2 2 0 2. 4. 0 0 -1ú 5. a =-1 6. a =1 -2 3. ê ú ê 5 5 2 -2 ú ê0 0 ê ú ê ú ë 0 -1 0 û ê ú ê 5 5 ú ë0 0 -2 2 û
A x =b 解的结构 : α +k k k 1 1+ 2 … + n r r. η η ηnA α =λ α, α ≠0
齐次方程组线性无关解向量的个数 : n-r(A ) .
( )λ ( ) , 或 A -λ (λ 2 E -A = 0 E =0 E -A ) x =0 i ( )若P-1 3 A P = B. 由A 由B α =λ α⇒B (P-1 α ) =λ(P-1 α) ; α =λ α⇒A (P α ) =λ(P α). ⇔ k 重特征值必有k 个线性无关的特征向量 .
1 1 1ù é ê ú ê ú 已知 A = ê0 0 0ú 和 B = 2 3. ê ú ê ú ë0 0 0û
( ( Ⅰ )求 a 的值 ; Ⅱ )求可逆矩阵 P 使P-1 A P = B.
2 -2 4ù é ê ú ê ú ê1 -1 aú 相似 . ê ú ê ú ë0 0 0û
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.
T 2 设 α, 矩阵 A = E +2 若A 则 αT 2. α A -3 E = O, +2 β 都是n 维非零列向量 , β , β=
.
0 ù é1 -1 0 ê ú ê ú 0 0 ú ê0 1 6 如A = ê 则A 3. = ú, 1 -1ú ê0 0 ê ú ê ë0 0 -1 1 ú û
线性代数考研讲义完整版
线性代数考研讲义完整版前言线性代数是数学中的重要分支，也是计算机科学和物理学等领域中不可或缺的基础知识。
在考研数学中，线性代数是必考内容，因此对线性代数的掌握程度也是考生考研数学成绩的重要指标之一。
在本篇文章中，我们将介绍线性代数考研讲义的完整版，包括向量、矩阵、行列式、线性方程组、特征值、特征向量等知识点，帮助考生全面掌握线性代数的基本原理和应用。
第一章向量1.1 向量的基本概念•向量是有大小和方向的量，在平面和空间中表示为有向线段。
•向量的大小称为模长，方向由箭头所指示。
•向量之间可以进行加、减、数乘等运算。
1.2 向量的几何意义•向量可以表示平移和旋转等变换。
•向量运算可以表示点与直线、点与面的关系。
1.3 向量的坐标表示•向量的坐标表示可以转化为矩阵的形式。
•两个向量的数量积可以表示为它们坐标的点积。
1.4 向量的线性运算•向量加、减、数乘的线性运算满足交换律、结合律、分配律等基本性质。
•向量组的线性运算可以表示为矩阵的形式。
第二章矩阵2.1 矩阵的基本概念•矩阵是一个由数个数排成的矩形数表。
•矩阵可以表示为行向量和列向量的组合形式。
•矩阵的大小也称为维数，行数和列数分别表示为矩阵的行数和列数。
2.2 矩阵的运算•矩阵加法、减法、数乘等运算满足基本性质。
•矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
•矩阵的转置、伴随矩阵等运算也具有重要的应用意义。
2.3 矩阵的初等变换•矩阵的初等变换包括交换矩阵的两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以非零数加到另一行（列）上等三种操作。
•矩阵的初等变换可以通过矩阵乘法表示为简单矩阵的乘积，也称为初等矩阵。
第三章行列式3.1 行列式的定义•行列式是一个数值函数，是一个方阵中各行各列对应元素的代数和。
•若行列式的值为零，则该矩阵为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
3.2 行列式的性质•行列式可以表示为对角线元素的乘积形式。
•行列式的任意两行（列）互换改变行列式的符号，相同的两行（列）使行列式为零。
2015年考研数学导学——李擂
2015年考研数学导学班讲义2013年考研国家复试分数线学科门类A 类B 类总分单科（满分=100分）单科（满分=150分总分单科（满分=100分）单科（满分=150分经济学34049743304669工学29540602853756管理学34551773354872平均分：数一：73数三78人民大学中央财经大学天津大学北京理工大学360分366分365分360分考试分析一、基本概况高等数学线性代数概率论与数理统计数学一56%22%22%数学二78%22%数学三56%22%22%题目分配数学一/数学三高等数学线性代数概率论与数理统计选择题8道：422填空题6道：411简答题9道：522二、试题特点【例】（2013—15）01cos cos 2cos3n x x x x ax a →−⋅⋅当时，与为等价无穷小，求与k的值【解析】0001cos cos 2cos31cos cos 2cos3lim 11cos cos 2cos3=1cos +cos cos cos 2cos cos 2cos cos 2cos3=1cos cos (1cos 2)cos cos 2(1cos3)1cos cos 2lim n n x x x x x x ax x x xax x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x →→→−⋅⋅−⋅⋅=−⋅⋅−−⋅+⋅−⋅⋅−+−+⋅−−⋅因为当时，与为等价无穷小所以又因为：即002222220cos31cos cos (1cos 2)cos cos 2(1cos3)=lim 1-cos cos (1cos 2)cos cos 2(1cos3)=lim 111()(2)()(3)()222lim 149=222n nx n n n x n n n x x x x x x x x ax ax x x x x x x ax ax ax x o x x o x x o x ax ax ax n a a →→→⋅−+−+⋅−−⋅−⎛⎞++⎜⎟⎝⎠⎛⎞+++⎜⎟=++⎜⎟⎜⎟⎝⎠++所以且172a a=⇒=无穷小：lim ()0,()x af x x a f x →=→则称时，为无穷小比较：lim ()0x ag x →=()()0,()(())lim ()(())x a f x o g x f x g x o f x g x →=⎧⎪=∞=⎨⎪≠⎩，C 0，同阶【例】220,()x x xx o x →=当时，【例】（2013——1）2323222220().()().()()().()()().()()()x o x x A x o x o x B o x o x o x C o x o x o x D o x o x o x →⋅=⋅=+=+=当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）【注意】等价无穷小替换，乘数因子能替换，其余不要。
线性代数总复习讲义PPT课件
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
线性代数第一章第一节PPT课件
01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。
《线性代数第1讲》课件
2 应用广泛
线性代数在数学、物理、 工程和计算机科学等领域 有广泛的应用。
3 继续学习
进一步学习线性代数的高 级概念和技术。
通过实际问题，展示线性方程组求解的 应用场景。
4. 线性变换
线性变换的定义
解释线性变换的概念和性质。
线性变换的例子
举例说明线性变换在几何和物理 等领域的具体应用。
线性变换的矩阵表示
介绍线性变换与矩阵的关系，以 及矩阵表示的计算方法。
总结
1 掌握基本概念
通过学习本课程，你将对 向量、矩阵、线性方程组 和线性变换有深刻理解。
1. 向量
向量的表示
介绍向量的表示方法，如坐标表 示、列向量表示和解析表示。
向量的运算
讲解向量的加法、减法和数量乘 法运算规则以及向量点乘和叉乘 的定义和性质。
向量的应用
探索向量在几何、物理和工程等 领域的应用，如力的分解、平面 垂直和投影。
2. 矩阵
矩阵的定义
介绍矩阵的定义，以及行、列和元素的概念。
矩阵的运算
讲解矩阵的加法、减法和数量乘法运算规则，以及矩阵乘法的定义和性质。
矩阵的应用
探索矩阵在线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程组求解、线性变换和网络模型等领域的应用。
3. 线性方程组
1
概念解释
介绍线性方程组的概念、解的概念和解
求解方法
2
集的形式。
讲解线性方程组的求解方法，包括高斯
消元法、矩阵求逆法和克拉默法则。
3
应用举例
《线性代数第1讲》PPT课件
# 线性代数第1讲 ## 简介 介绍线性代数的基本概念和相关知识点，包括向量、矩阵、线性方程组等。 ## 前置知识 1. 数学基础知识 2. 高中数学知识 ## 主要内容 1. 向量的定义和运算 2. 矩阵的定义和运算 3. 线性方程组及其求解方法 4. 线性变换 ## 目标 1. 熟练掌握向量的概念和运算 2. 熟练掌握矩阵的概念和运算 3. 能够解决线性方程组及其求解方法 4. 了解线性变换的基本概念
线代最后必背知识
(β1, β2, β3) = (α1,α2,α3)P （基变换公式），
则 P 称为从旧基到新基的过渡矩阵．有 P = (α1,α2,α3)−1(β1, β2, β3) ．
设向量 x = ( x1, x2, x3)T 在旧基和新基下的坐标分别为 y1, y2, y3 和 z1, z2, z3 ，即
⎛ y1 ⎞
A 与 B 等价 ⇔ 存在可逆阵 P 及 Q ，使 PAQ = B ⇔ A、B 同型，且 r( A) = r(B)
线性代数最后必背知识---李良老师
新浪微博：@良哥考研
四、矩阵的秩 1．矩阵秩的定义
设 A 为 m × n 矩阵，如果 A 中存在 r 阶子式不为 0，而 r + 1阶子式全为 0，则称矩阵 A 的秩为 r ，记作 r( A) ．规定零矩阵的秩为 0 ．
阵：
（1） E 作变换 ri ↔ rj （或 ci ↔ c j ），得初等矩阵 Eij
（2） E 作变换 ri × k （或 ci × k ），得初等矩阵 Ei (k)
（3） E 作变换 ri + krj （或 c j + kci ），得初等矩阵 Eij (k)
2．初等矩阵的性质
（1）初等变换与初等矩阵的关系：对矩阵 Am×n 施行一次初等行 变换，就相当于在 A 的左
（5） r(AB) ≤ min{r(A), r(B)} （6）若 Am×nBn×s = O ，则 r( A) + r(B) ≤ n
（7）若 A 列满秩，则 r( AB) = r(B),若 B 行满秩则 r( AB) = r( A)
五、向量表出判定定理
1.向量 β 可由向量组 α1,α2,L ,αm 线性表示
边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，就相当于在 A 的右边乘以相应的
2024线代基础知识突破讲义
2024线代基础知识突破讲义2024 线性代数基础知识突破讲义该讲义旨在帮助学生突破线性代数基础知识，提高对线性代数的理解与应用能力。
下面是一些重要的知识点和相关的学习方法，可以帮助学生更好地掌握线性代数的基础内容。
一、矩阵及其运算1. 矩阵的定义和基本性质：了解矩阵的定义，包括行数和列数，以及如何表示矩阵。
掌握矩阵的基本性质，如矩阵的加法、乘法、转置等。
2. 矩阵的运算：矩阵的加法、减法和乘法的运算规则。
注意矩阵的尺寸要满足乘法运算的条件。
3. 矩阵的转置：了解矩阵转置的定义和性质，以及转置运算的规则。
4. 矩阵的秩：了解矩阵的行秩和列秩的定义，以及它们的关系。
掌握计算矩阵秩的方法。
5. 逆矩阵：了解逆矩阵的定义和性质，以及逆矩阵存在的条件。
掌握求逆矩阵的方法。
二、线性方程组1. 线性方程组的定义和解：了解线性方程组的定义，以及如何求解线性方程组的方法。
掌握初等行变换、高斯消元法和高斯-约当消元法等求解线性方程组的方法。
2. 线性方程组的解的性质：了解线性方程组解的存在唯一性和解的结构的性质。
3. 齐次线性方程组和非齐次线性方程组：了解齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义，以及它们解的性质。
4. 矩阵的秩和线性方程组：了解矩阵的秩与线性方程组解的关系，掌握通过矩阵的秩判断线性方程组解的存在性和求解的方法。
三、向量空间1. 向量的定义和性质：了解向量的定义，包括向量的加法、数乘、长度和夹角等性质。
2. 向量空间的定义和基本性质：了解向量空间的定义，以及向量空间的加法和数乘运算的性质。
掌握向量空间的基本性质，如零向量、单位向量、线性无关等概念。
3. 子空间：了解子空间的定义和性质，包括子空间的判断条件、交和和等概念。
4. 线性组合与生成子空间：了解线性组合和生成子空间的定义和性质。
四、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质：了解特征值和特征向量的定义，以及它们的基本性质。
掌握特征值和特征向量的求解方法。
线性代数李第5章
特征值与二次型
第五章主要内容
•
第一节 第二节
向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 化二次型为标准型 正定二次型
• • •
第三节向量
x1 x2 xn
向量的内积
y1 y2
....
x=
， y=
yn
令
[x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn，
正交向量组必线性无关，反之不成立。
定理 2 若a1 ,a 2 ,a r 是正交向量组，且r n，则必
存在n维非零向量x，使a1 ,a 2 ,a r ,x也为正交
证：
向量组。 x应满足a1 x = 0, a 2 x = 0,a r x = 0, 即
a1 a1 0 a2 a2 0 x= , 记 A= . 0 a a r r
设a1 ，… ，ar 是向量空间V的一个基，要 求V的一 个规范正交基，也就是要找一组两两正交的单位向量 e1 ，…，er ，使e1 ，…，er 与a1 ， …， ar 等价， 我们把这样一个问题称为把a1 ， …， ar 这个基规范 正交化。
我们可以用下面的方法把， …， ar 规范正交化：
取 β1= a1 ,
1 , 2 ,, k 与a1 , …,ak 等价。
例3 已知 a 1 = (1,- 1,0 )' , a 2 = (1,0,1)' , a 3 = (1,- 1,1)' R3 的一个基 , 试用施密特 正交化方法 , 构造 是 R 3的一个正交规范基 .
1 - 解: 取 1 = a 1 = 1 , 0
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年考研数学线性2014年考研数学线性2014代数基础班主讲老师：李擂第一讲行列式第一讲 行列式行列式的定义§1.1.行列式的定义行列式的性质§2.2.行列式的性质行列式的展开定理§3.3.行列式的展开定理行列式的定义§1.1.行列式的定义一、排列与逆序由 个自然数 组成的无重复有序实数组 称为一个 级排列。
在一个 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。
对于逆序，我们感兴趣的是一个 级排列 中逆序的总数，称为该 级排列的逆序数，记作n n1,2,3,...,n 12,,...,n i i i §1.1.行列式的定义行列式的定义nn 12,,...,n i i i n ()12,,...,ni i i τ二、行列式111212122212.....................nn n n nna a a a a a a a a n 中所有不同行不同列的 项元素乘积的代数和。
()12121211121,,...,2122212,,...,12......(1)..................n nn ni i i n i i ni i i i n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑a bc d=ad bc −123123123a a ab b bc c c =123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++−−−11121222...0 (00)...n n nna a a a a a11121112222122112212...0...00 0 (00)......nn nnnn n n nna a a a a a a a a a a a a a a ==1111,112,12212,111,10...0...0......0..............................n n n n n n n n n nnn a a a a a a a a a a a a −−−−=(1)21211(1)...n n n n n a a a −−=−§2.2.行列式的性质行列式的性质1、将行列式的行和列互换后，行列式的值不变，也即111211121121222122221212..........................................n n n n n n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =2、将行列式的任意两行（或两列）互换位置后，行列式改变符号。
推论1：如果行列式有两行（或两列）相同，则行列式的值为0.3、将行列式的某一行（或某一列）乘以一个常数 后，行列式的值变为原来的 倍。
推论推论22：如果一个行列式的某两行（或某两列）元素对应成比例，则行列式的值等于0.k k4、如果行列式某一行（或某一列）的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（或列）分别为对应两个加数，其余行（或列）与原行列式相等。
111211112111121212222122221222112212121212..........................................................................................n nn n n n i i i i in in i i in i i n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a b b a a a a a a =++++12..................in n n nnb a a ak推论3：将行列式的一行（或列）的 倍加到另一行（或另列）上，行列式的值不变。
例：计算下列行列式（1）123 199201502 225（2）111111222222333333245245245a b a b a b a b a b a b a b a b a b +−++−++−+§3.3.行列式的展开定理行列式的展开定理一、余子式将行列式中元素 所在的行和列划掉之后得到 阶行列式，称之为元素 的余子式，记作给余子式加上符号 则成为代数余子式，记作ij a 1n −ijM ij a (1)i j+−(1)i j ij ijA M +=−二、展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其代数余子式乘积之和，即()()11221122... 1,2,..., ... 1,2,...,i i i i in in j j j j nj nj a A a A a A i n a A a A a A i n =+++==+++=A例：计算下列行列式（1）100010001001a a aa（2）2512 3714 5927 4612−−−−−第二讲矩阵矩阵的定义与运算§1.1.矩阵的定义与运算逆矩阵§2.2.逆矩阵矩阵的秩§3.3.矩阵的秩§1.1.矩阵的定义与运算矩阵的定义与运算一、定义由 个数 排列成的 行 列数表称为 矩阵，简记为 。
m n ×111212122212.....................n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠n m m n ×(1,2,...,;1,2,...,)ij a i m j n ==()ij m n a ×=A常见矩阵二、矩阵的运算1、加法2、数乘3、转置4、乘法设 ， （注意 的列数和 的行数相等），定义矩阵 ，其中 称为矩阵 与矩阵 的乘积，记作 。
()ij m n a ×=A ()ij n k b ×=B A B ()ij m kc ×=C 11221...n ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b==+++=∑A B C =AB121121022234133−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟−⎝⎠11201(1)1222131(1)221321304(1)2232432(1)3243×+×+×−×+×+××−+×+×⎛⎞=⎜⎟×+×+×−×+×+××−+×+×⎝⎠09622216⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠100010001a b c d e f ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠1001a b c d e f ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠a bc d e f ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠a b c d e f ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠三、运算法则()()(),,,()k l kl k k k k l k l +=++=+A +B =B +A A +B +C =A +B +C ,(A)=()A A B A B A A A1、加法与数乘2、乘法()()()(),,()()k k k ==AB C =A BC C A +B =CA +CB,(A +B)C =AC +BC A B A B AB()()()k k T T T T T T T T A +B =A +B ,A =A ,AB =B A 3、转置§2.2.逆矩阵逆矩阵一、定义对于一个 阶方阵 ，如果存在一个 阶方阵 ,使得 则称矩阵 为可逆矩阵，并称矩阵 为矩阵 的逆矩阵，记作n AB =BA =E-1B =A11212111101211111201−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠B A n A B A 111211211−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠二、性质1、若 可逆，则其逆矩阵唯一。
2、若 可逆，则 均可逆，且3、若 为同阶可逆矩阵，则 可逆，且推广：()()11n n −−=A A ,A B 1,T −A A ()111−−−AB =B A A()()()1111,T T −−−−==A A A A ()111112-11m m m −−−−A A ...A =A A ...A A AB4、若 可逆，且 ，则 可逆，且5、若 可逆，则6、若 均可逆，则 均可逆且 111111,−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠O B A O A A O O ==O B A O B O B O ,A B k A A 11−=A A A 0k ≠()111k k −−−=A A ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠A O OB ,O B A O三、伴随矩阵1、定义设 为 阶矩阵 的代数余子式，定义矩阵为 的伴随矩阵A n ij A 1121112222*12......()...............n n ji nn nn A A A A A A A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠A A2、定理设 为 阶方阵， 为它的伴随矩阵则有A n **==AA A A A E *A111213112131212223122232313233132333a a a A A A a a a A A A a a a A A A ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠3、矩阵可逆的充要条件设 为 阶方阵，则 可逆的充要条件为 。
A n 0≠A A定理：设 为 阶方阵，且有 或 ，则有An BA =E AB =E 1−B =A⎞⎟⎟⎟⎠A 110010121001223100−⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟⎝⎠()223100110010121001⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠A E 100143010153001164−−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠110010011011043120−⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟−⎝⎠100143010153001164−−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠矩阵的秩§4.4.矩阵的秩一、子式A k k k A k任取矩阵 的 行 列所得到的 阶行列式称之为矩阵 的一个 阶子式。
二、矩阵的秩矩阵 中非零子式的最高阶数为矩阵 的秩，记作：A ()r A A12111223a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A例27： ，已知 ，则()3r =A a =111111111111a a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A向量与线性方程组、线性方程组§ 1 1、线性方程组、向量组的线性相关与线性表出§ 2 2、向量组的线性相关与线性表出§ 1 1、线性方程组、线性方程组一、定义方程组 称为 个方程， 个未知量的线性方程组。