第二章导数与微分总结

第二章 导数与微分总结

一、导数与微分概念 1．导数的定义

设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆。如果极限 ()()x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim

lim

存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0

x x y ='

，

0x x dx dy =，()0

x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，

则称函数()x f y =在点0x 处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则

()()()

000

lim

x x x f x f x f x x --='→

我们也引进单侧导数概念。 右导数：()()()()()

x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++

→∆→+000000lim lim 0

左导数：()()()()()x

x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--

→∆→-000000lim lim 0

则有

()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义

如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线

()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。

切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()()

()()()01

0000≠'-'-

=-x f x x x f x f y

设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则

()0t f '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数()x f y =在点0x 处可导，则()x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数

()x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。例如，()x x f y ==，在00=x 处连

续，却不可导。 4．微分的定义

设函数()x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量()()00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式

()()x o x x A y ∆+∆=∆0 ()0→∆x

其中()0x A 为x ∆为无关，()x o ∆是0→∆x 时比x ∆高阶的无穷小，则称()x f 在0x 处可微，并把y ∆中的主要线性部分()x x A ∆0称为()x f 在0x 处的微分，记以0

x x dy

=或

()

x x x df =。

我们定义自变量的微分dx 就是x ∆。 5．微分的几何意义

()()00x f x x f y -∆+=∆是曲线()x f y =在点0x 处相应于自变量增量x ∆的纵坐标

()0x f 的增量，微分0

x x dy

=是曲线()x f y =在点()()000,x f x M 处切线的纵坐标相应的

增量（见图）。

6．可微与可导的关系

()x f 在0x 处可微()x f ⇔在0x 处可导。

且()()dx x f x x A x x dy

000

'=∆==

一般地，()x f y =则()dx x f dy '= 所以导数()dx

dy

x f =

'也称为微商，就是微分之商的含义。 7．高阶导数的概念

如果函数()x f y =的导数()x f y '='在点0x 处仍是可导的，则把()x f y '='在点0x 处

的导数称为()x f y =在点0x 处的二阶导数，记以0x x y =''，或()0x f ''，或0

2

2x x dx y

d =等，也称()x f 在点0x 处二阶可导。

如果()x f y =的1-n 阶导数的导数存在，称为()x f y =的n 阶导数，记以()

n y

，

()

()x y n ，n n dx

y

d 等，这时也称()x f y =是n 阶可导。

二、导数与微分计算 1．导数与微分表（略） 2．导数与微分的运算法则 （1）四则运算求导和微分公式 '

212'1'21][f f f f f f +=

'

3213'2132'1'321][f f f f f f f f f f f f ++=

2

'

'')(g

fg g f g f -= （2）反函数求导公式

设)(x f y =的反函数为)(y g x =，则)]

([1

)(1)('

''

y g f x f y g == （3）复合函数求导和微分公式 设)(),(x g u u f y ==，则)()]([''x g x g f dx

du du dy dx dy == （4）隐函数求导法则

每一次对x 求导，把y 看作中间变量，然后解出'

y 例：765)23sin(=++-++y x y x e

y

x ，确定)(x y y =，求'y