电磁场矢量分析
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标量积服从交换律和分配律，即
A B B A , A ( B C) A B A C
第一章 矢量分析
2.矢量积(Vector Product) ：又称矢量的叉积(Cross Product)。
ax a y az C A B an AB sin Ax Ay Az Bx By Bz a x ( Ay Bz Az By ) a y ( Az Bx Ax Bz ) a z ( Ax By Ay Bx )
o
x 1
1 1 y
A d S
S 前 后
x
A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S
左 右 上 下
第一章 矢量分析
A d S＋ A d S＝
前 后
前
A ax dydz ＋ A (ax )dydz ＝ 1 0 1
图1-15 闭合曲线方向与 面元方向示意图
此极限值就是环量的 面密度（即环量对面 积的变化率）。
第一章 矢量分析
2）旋度的定义
环量面密度与 l 所围成的面元 S 的方向有关： 如果 l 围成的面元矢量与旋涡面的方向重合，则环量 面密度最大；如果所取面元矢量与旋涡面的方向之间有一 夹角，则环量面密度总小于最大值；如果面元矢量与旋涡 面的方向相垂直，则环量面密度为零。
若 0 ，表示有净通量流入，说明封闭曲面 S 内有吸 收流体的负源（Sink,称之为沟）； 若 0 ，表示流入等于流出，此时 S 内正源与负源的 代数和为零，即没有源。
φ> 0 (有正源)
φ < 0 (有负源)
φ = 0 (无源)
第一章 矢量分析
结论：
矢量场在闭合面上的通量是由面内的源决定的，它
4.矢量差：A B ex (Ax Bx ) ey (Ay By ) ez (Az Bz ) 5. 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：
ex e y e y ez ex ez 0
ex ex e y e y ez ez 1
ex e y ez , e y ez ex , ez ex e y
即在给定点上，不同路径，环量面密度不同。故引入
旋度来限制给定点上的环量面密度。
n
P
l
rot A
旋涡面
第一章 矢量分析
rot A R n lim
[ A d l ]max
c
S 0
第一章 矢量分析
3) 高斯散度定理（Divergence Theorem）
AdV A d S
V S
(1 22)
即矢量场 A 散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的 封闭曲面的总通量
第一章 矢量分析
2 【例1-3】在矢量场 A a x x a y xy a z yz 中，有一个边
AdV (3x y)dxdydz 2
V 0 0 0
1 1 1
z
故从单位立方体内穿出的通量为2，且高斯散 度定理成立，即
o
x 1
1
V
AdV A d S
S
1 y
第一章 矢量分析
1.3.3 矢量场的环量和旋度
1.环量定义(Circulation) 设有矢量场 A ，l 为场中 的一条封闭的有向曲线，则定 义矢量场A 环绕闭合路径 l 的 线 积分为该矢量的环量，记作
c1和c2是积分常数。
第一章 矢量分析
例1-2 设点电荷q位于坐标原点，它在空间任一点P（x, y, z) 处所产生的电场强度矢量为 q
E
4 0 r
3
r
求 E的矢量线方程画出矢量线图。
解：
E
q 4 0 r
3
r
q 4 0 r
3
(a x x a y y a z z )
ax Ex a y E y az Ez
是一个积分量。它描绘闭合面内较大范围内的源的分 布情况。 描述场中每一个点上源的性质，必须引入新的矢量， 故引入矢量场的散度的概念。
第一章 矢量分析
2.矢量场的散度 （divergence ）
1) 散度定义
A
n
P
设有矢量场 A ，在场中任一点P处作 V 一个包含P点在内的任一闭合曲面 S ， 设 S 所限定的体积为ΔV， 当体积ΔV以任意方式缩向P点 （ V 0 ）时， 取下列极限:
S S
(1 3 8)
如果 S 是一个闭合曲面，则其通量为：
A d S
S
(1 3 9)
通量的物理意义：（假设矢量场 A 为流体的速度） 通量表示在单位时间内流体从闭合曲面内流出曲面 S 的正 流量与流入闭合曲面 S内部的负流量代数和，即净流量。
第一章 矢量分析
若 0 ，表示有净通量流出，说明封闭曲面 S 内必定 有产生流体的正源（Source）；
z
A
P
dl
l
y
o x
图 1-14矢量场的环量
A d l A cosdl
c c
(1 3 19)
第一章 矢量分析
矢量的环量也是一标量，如果 0，则表示闭合曲线 l
内有产生这种场的旋涡源；如果 0 ，则表示该封闭曲线 l
内无涡旋源。
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是描绘矢
即
divA A
第一章 矢量分析
在圆柱坐标系和球坐标系中，散度的表达式分别为
1 1 A Az A ( A ) z
(1 3 15)
1 2 1 A 2 (r Ar ) ( A sin ) r r r sin 1 A (1 3 16) r sin
x 1 后 x 0
1 1 a y )dxdz ＋ A a y dxdz ＝0 左A d S＋右A d S＝左 A（ 右 y 0 y 1 2 2
1 1 上A d S＋下A d S＝上 A az dxdy z 1＋下 A (az )dxdy z 0＝ 2 0 2
2 x 2 y 2 z
第一章 矢量分析
1.1.2 矢量的代数运算 设两个矢量为 A ex A x e y A y ez Az， B ex Bx ey By ez Bz，则
1.标量积(Scalar Product) ：
A B AB cos Ax Bx Ay B y Az Bz －－－－标量
矢量有电场、磁场、力、速度、力矩等。
2. 矢量的表示：矢量
A 可以表示为 A a A 其中， A是矢量 A 的大小; a 代表矢量 A 的单位矢量。
第一章 矢量分析
零矢(Zero Vector)：大小为零的矢量，又称空矢(Null Vector) 。
单位矢量（Unit Vector)：大小为1的矢量。
ex ex e y e y ez ez 0
第一章 矢量分析
1.3 矢量场
本节要点：－－考察矢量场在空间的分布及变化规律。 矢量线 通量和散度
环量与旋度
第一章 矢量分析
1.3.1 矢量场的矢量线(Vector Line)
所谓矢量线就是这 样一些曲线：在曲 线的每一点处，场 的矢量都位于该点 处的切线上。
3. 位置矢量：从原点指向点P的矢量，用 r 表示。
r X ax Y a y Z az
影唯一地被确定。 4. 直角坐标系中，矢量
(11 2)
即空间中点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投
A可以表示为
A Ax a x Ay a y Az a z
A A A A
an a A aB
（右手螺旋）
矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即
A B B A , A ( B C) A B A C
第一章 矢量分析
3.矢量和：A B ex (A x Bx ) e y (A y By ) ez (Az +Bz )
第一章 矢量分析
例1-1 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。
解： 矢量线应满足的微分方程为
dx dy dz 2 2 2 xy x y y z
从而有
dy dx xy 2 x 2 y dx dz xy 2 y 2 z
z c x 1 解之即得矢量方程 2 2 x y c2
由式（1－3－5）得矢量线方程为 此方程解为
dx dy dz x y z
y c1 x z c2 y
c1和c2是积分常数。
第一章 矢量分析
z
y
x
由图可见，电力线是一簇从点电荷出发向空间发散的径 向辐射线，它形象地描述点电荷的电场在空间的分布状况。
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的通量及散度
dr
A(r )
r
o
图 1-10 力线图
例如：静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线。
第一章 矢量分析
矢量线方程：
A d r 0
直角坐标系中，
－－－－定义式
dx d y d z Ax Ay Az
(1 3 5)
结论： 矢量线可以使我们直观、形象地了解矢量场在空间的 分布状况。
量场 A 性质的重要物理量，同样都是积分量。
环量是矢量 A 在大范围闭合曲线上的线积分，反映了闭
合曲线内旋涡场的分布情况。要分析每个点附近旋涡源的分
布情况，引入旋度。
第一章 矢量分析
2. 矢量场的旋度(curl)
n
1) 环量密度
S 0
A dl lim
c
P
S
S
(1 3 20)
l
1. 矢量场的通量(Flux)
单位矢量
n
A
dS源自文库
n 是面元外法线方向。
d S ndS
(1 3 7)
面元矢量：
A d S A cosdS
－－标量积称为矢量 A 穿过 d S 的通量。
第一章 矢量分析
矢量场 A 穿过整个曲面 S 的通量为：
A d S A ndS
长为1的立方体，它的一个顶点在坐标原点上，如图示。试求：
(1) 矢量场 A 的散度； (2) 从六面体内穿出的通量，并验证高斯散度定理。
解：(1) 根据散度计算公式得，
z
( x 2 ) ( xy) ( yz) A 3x y x y z
(2) 从单位立方体穿出的通量：
S
V 0
A d S lim
S
V
称此极限为矢量场 A 在点P处的散度。 －－定义式
记作
A d S div A lim
S V 0
V
第一章 矢量分析
2) 哈密尔顿（Hamilton)算子
哈密顿算子是一个矢性微分算子，在直角坐标系中有：
ax ay az x y z
第一章 矢量分析
结论：
散度表示场中一点处的通量对体积的变化率。也就是说
在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源 的强度。 散度是一个标量，它描述的是场分量沿各自方向上的变 化规律。故散度用于研究矢量场标量源在空间的分布状况。
在P点处，
div A 0 ，表明 A 在该点有散发通量之正源，称为源点； div A 0 ，表明 A 在该点有吸收通量之负源，称为汇点； div A 0 ，表明 A 在该点无通量源，称为连续或无散的。
故在直角坐标系中，散度的表达式可写为
(1 3 13)
A x ex y e y z ez ( Ax ex Ay e y Az ez ) Ax Ay Az (1 3 14) －－－计算式 x y z
第一章 矢量分析
1.1 矢量及其代数运算 1.2 圆柱坐标与球坐标 1.3 矢量场*
1.4 标量场*
1.5亥姆霍兹定理
第一章 矢量分析
1.1 矢量及其代数运算
1.1.1. 标量（Scalar）与矢量(Vector)
1. 标量：实数域内任一代数量，只表示该代数量大小。 矢量：既表示大小（模），又表示方向。 物理学中，赋予单位，具有物理意义，称为物理量。 例如： 标量有电压、电流、温度、时间、质量、电荷等；
A B B A , A ( B C) A B A C
第一章 矢量分析
2.矢量积(Vector Product) ：又称矢量的叉积(Cross Product)。
ax a y az C A B an AB sin Ax Ay Az Bx By Bz a x ( Ay Bz Az By ) a y ( Az Bx Ax Bz ) a z ( Ax By Ay Bx )
o
x 1
1 1 y
A d S
S 前 后
x
A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S
左 右 上 下
第一章 矢量分析
A d S＋ A d S＝
前 后
前
A ax dydz ＋ A (ax )dydz ＝ 1 0 1
图1-15 闭合曲线方向与 面元方向示意图
此极限值就是环量的 面密度（即环量对面 积的变化率）。
第一章 矢量分析
2）旋度的定义
环量面密度与 l 所围成的面元 S 的方向有关： 如果 l 围成的面元矢量与旋涡面的方向重合，则环量 面密度最大；如果所取面元矢量与旋涡面的方向之间有一 夹角，则环量面密度总小于最大值；如果面元矢量与旋涡 面的方向相垂直，则环量面密度为零。
若 0 ，表示有净通量流入，说明封闭曲面 S 内有吸 收流体的负源（Sink,称之为沟）； 若 0 ，表示流入等于流出，此时 S 内正源与负源的 代数和为零，即没有源。
φ> 0 (有正源)
φ < 0 (有负源)
φ = 0 (无源)
第一章 矢量分析
结论：
矢量场在闭合面上的通量是由面内的源决定的，它
4.矢量差：A B ex (Ax Bx ) ey (Ay By ) ez (Az Bz ) 5. 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：
ex e y e y ez ex ez 0
ex ex e y e y ez ez 1
ex e y ez , e y ez ex , ez ex e y
即在给定点上，不同路径，环量面密度不同。故引入
旋度来限制给定点上的环量面密度。
n
P
l
rot A
旋涡面
第一章 矢量分析
rot A R n lim
[ A d l ]max
c
S 0
第一章 矢量分析
3) 高斯散度定理（Divergence Theorem）
AdV A d S
V S
(1 22)
即矢量场 A 散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的 封闭曲面的总通量
第一章 矢量分析
2 【例1-3】在矢量场 A a x x a y xy a z yz 中，有一个边
AdV (3x y)dxdydz 2
V 0 0 0
1 1 1
z
故从单位立方体内穿出的通量为2，且高斯散 度定理成立，即
o
x 1
1
V
AdV A d S
S
1 y
第一章 矢量分析
1.3.3 矢量场的环量和旋度
1.环量定义(Circulation) 设有矢量场 A ，l 为场中 的一条封闭的有向曲线，则定 义矢量场A 环绕闭合路径 l 的 线 积分为该矢量的环量，记作
c1和c2是积分常数。
第一章 矢量分析
例1-2 设点电荷q位于坐标原点，它在空间任一点P（x, y, z) 处所产生的电场强度矢量为 q
E
4 0 r
3
r
求 E的矢量线方程画出矢量线图。
解：
E
q 4 0 r
3
r
q 4 0 r
3
(a x x a y y a z z )
ax Ex a y E y az Ez
是一个积分量。它描绘闭合面内较大范围内的源的分 布情况。 描述场中每一个点上源的性质，必须引入新的矢量， 故引入矢量场的散度的概念。
第一章 矢量分析
2.矢量场的散度 （divergence ）
1) 散度定义
A
n
P
设有矢量场 A ，在场中任一点P处作 V 一个包含P点在内的任一闭合曲面 S ， 设 S 所限定的体积为ΔV， 当体积ΔV以任意方式缩向P点 （ V 0 ）时， 取下列极限:
S S
(1 3 8)
如果 S 是一个闭合曲面，则其通量为：
A d S
S
(1 3 9)
通量的物理意义：（假设矢量场 A 为流体的速度） 通量表示在单位时间内流体从闭合曲面内流出曲面 S 的正 流量与流入闭合曲面 S内部的负流量代数和，即净流量。
第一章 矢量分析
若 0 ，表示有净通量流出，说明封闭曲面 S 内必定 有产生流体的正源（Source）；
z
A
P
dl
l
y
o x
图 1-14矢量场的环量
A d l A cosdl
c c
(1 3 19)
第一章 矢量分析
矢量的环量也是一标量，如果 0，则表示闭合曲线 l
内有产生这种场的旋涡源；如果 0 ，则表示该封闭曲线 l
内无涡旋源。
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是描绘矢
即
divA A
第一章 矢量分析
在圆柱坐标系和球坐标系中，散度的表达式分别为
1 1 A Az A ( A ) z
(1 3 15)
1 2 1 A 2 (r Ar ) ( A sin ) r r r sin 1 A (1 3 16) r sin
x 1 后 x 0
1 1 a y )dxdz ＋ A a y dxdz ＝0 左A d S＋右A d S＝左 A（ 右 y 0 y 1 2 2
1 1 上A d S＋下A d S＝上 A az dxdy z 1＋下 A (az )dxdy z 0＝ 2 0 2
2 x 2 y 2 z
第一章 矢量分析
1.1.2 矢量的代数运算 设两个矢量为 A ex A x e y A y ez Az， B ex Bx ey By ez Bz，则
1.标量积(Scalar Product) ：
A B AB cos Ax Bx Ay B y Az Bz －－－－标量
矢量有电场、磁场、力、速度、力矩等。
2. 矢量的表示：矢量
A 可以表示为 A a A 其中， A是矢量 A 的大小; a 代表矢量 A 的单位矢量。
第一章 矢量分析
零矢(Zero Vector)：大小为零的矢量，又称空矢(Null Vector) 。
单位矢量（Unit Vector)：大小为1的矢量。
ex ex e y e y ez ez 0
第一章 矢量分析
1.3 矢量场
本节要点：－－考察矢量场在空间的分布及变化规律。 矢量线 通量和散度
环量与旋度
第一章 矢量分析
1.3.1 矢量场的矢量线(Vector Line)
所谓矢量线就是这 样一些曲线：在曲 线的每一点处，场 的矢量都位于该点 处的切线上。
3. 位置矢量：从原点指向点P的矢量，用 r 表示。
r X ax Y a y Z az
影唯一地被确定。 4. 直角坐标系中，矢量
(11 2)
即空间中点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投
A可以表示为
A Ax a x Ay a y Az a z
A A A A
an a A aB
（右手螺旋）
矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即
A B B A , A ( B C) A B A C
第一章 矢量分析
3.矢量和：A B ex (A x Bx ) e y (A y By ) ez (Az +Bz )
第一章 矢量分析
例1-1 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。
解： 矢量线应满足的微分方程为
dx dy dz 2 2 2 xy x y y z
从而有
dy dx xy 2 x 2 y dx dz xy 2 y 2 z
z c x 1 解之即得矢量方程 2 2 x y c2
由式（1－3－5）得矢量线方程为 此方程解为
dx dy dz x y z
y c1 x z c2 y
c1和c2是积分常数。
第一章 矢量分析
z
y
x
由图可见，电力线是一簇从点电荷出发向空间发散的径 向辐射线，它形象地描述点电荷的电场在空间的分布状况。
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的通量及散度
dr
A(r )
r
o
图 1-10 力线图
例如：静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线。
第一章 矢量分析
矢量线方程：
A d r 0
直角坐标系中，
－－－－定义式
dx d y d z Ax Ay Az
(1 3 5)
结论： 矢量线可以使我们直观、形象地了解矢量场在空间的 分布状况。
量场 A 性质的重要物理量，同样都是积分量。
环量是矢量 A 在大范围闭合曲线上的线积分，反映了闭
合曲线内旋涡场的分布情况。要分析每个点附近旋涡源的分
布情况，引入旋度。
第一章 矢量分析
2. 矢量场的旋度(curl)
n
1) 环量密度
S 0
A dl lim
c
P
S
S
(1 3 20)
l
1. 矢量场的通量(Flux)
单位矢量
n
A
dS源自文库
n 是面元外法线方向。
d S ndS
(1 3 7)
面元矢量：
A d S A cosdS
－－标量积称为矢量 A 穿过 d S 的通量。
第一章 矢量分析
矢量场 A 穿过整个曲面 S 的通量为：
A d S A ndS
长为1的立方体，它的一个顶点在坐标原点上，如图示。试求：
(1) 矢量场 A 的散度； (2) 从六面体内穿出的通量，并验证高斯散度定理。
解：(1) 根据散度计算公式得，
z
( x 2 ) ( xy) ( yz) A 3x y x y z
(2) 从单位立方体穿出的通量：
S
V 0
A d S lim
S
V
称此极限为矢量场 A 在点P处的散度。 －－定义式
记作
A d S div A lim
S V 0
V
第一章 矢量分析
2) 哈密尔顿（Hamilton)算子
哈密顿算子是一个矢性微分算子，在直角坐标系中有：
ax ay az x y z
第一章 矢量分析
结论：
散度表示场中一点处的通量对体积的变化率。也就是说
在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源 的强度。 散度是一个标量，它描述的是场分量沿各自方向上的变 化规律。故散度用于研究矢量场标量源在空间的分布状况。
在P点处，
div A 0 ，表明 A 在该点有散发通量之正源，称为源点； div A 0 ，表明 A 在该点有吸收通量之负源，称为汇点； div A 0 ，表明 A 在该点无通量源，称为连续或无散的。
故在直角坐标系中，散度的表达式可写为
(1 3 13)
A x ex y e y z ez ( Ax ex Ay e y Az ez ) Ax Ay Az (1 3 14) －－－计算式 x y z
第一章 矢量分析
1.1 矢量及其代数运算 1.2 圆柱坐标与球坐标 1.3 矢量场*
1.4 标量场*
1.5亥姆霍兹定理
第一章 矢量分析
1.1 矢量及其代数运算
1.1.1. 标量（Scalar）与矢量(Vector)
1. 标量：实数域内任一代数量，只表示该代数量大小。 矢量：既表示大小（模），又表示方向。 物理学中，赋予单位，具有物理意义，称为物理量。 例如： 标量有电压、电流、温度、时间、质量、电荷等；