矩阵分析所有习题及标准答案

A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U*
∴ i2=i,即i{0,1},i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值0全排在后面,则(*)
式即给出所需答案.
习题3-14
#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕
注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
习题3*1试证：向量长度的齐次性
#3*1:试证 k k , k C, Cn
证:令=(a1,…,an)T ,则 k=(a1,…,an)T
.
1
1 1
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 2222
2
2 2
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 22 2 2
3
3 3
( 1 , 1 , 1 , 1)T 22 22
1,2,3就是所要求的标正基.
习题3*5(i)用归纳法证明 1+3+5+…+(2n-1)2=n2
证:对k用归纳法证明.k=1时结论显然成立. 若n-1时结论成立
其中1,…, n是A的特征值并且全为实数.令 t>Max{|1|,…,|n|},于是,A+tE是Hermite矩阵 并且特征值全为正数，即得证A+tE是正定
Hermite矩阵. A－tE是Hermite矩阵 并且特征值全为负数，即得证A－tE是负定
Hermite矩阵.
习题3-25
#3-25:A*=-A(ASHnn) U=(A+E)(A-E)-1Unn. (ASHnnAE的特征值全不为0,从而AE可逆)
A En
0 A*
0 A* A
因S= 可逆,故 Em
A En
AA* A*
0 0
S
0 A*
A0* AS 1
~
0 A*
0 A* A
从而det(E-AA*)=0与det(E-A*A)=0有相同非零
解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.
习题3-28设A为正规矩阵.试证:①若 Ar=0,则A=0.②若A2=A,则A*=A.
1+3+5+…+(2n-3)=(n-1)2
上三角矩阵. 2 0 5
解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值.
显然V=,(1=1,(0,2,1,03)),T是2A=的(1一,0个,0特)T,征向3=(量0,.0作,1酉)T矩,则阵
子是矩V1=阵*A(V-A=21的/001特5,33征21/86值55仍)00T1是,作3A-1612, ,阶A对1 酉 应3矩2 的阵85单 位特征向量
2 5
5 0 1 5
0 1 0
1
5
0
2 5
习题3-9
#3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则 A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵.
证: A*A=((E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1
=((E+T+iS)-1(E-(T+iS))(E+(T+iS))(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =E
即AB相似于一个Hermite矩阵M.
∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又 因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相 同,故BA的特征值也都是实数.
证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B)) =det A det(A-1-B)=0.
但det A >0,和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例 3.9.1的相关证明)
解: U*=U-1 ((A-E)*)-1(A+E)*=(A-E)(A+E)-1 (-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) A2-E=A2-E
因最后一式恒成立,得证U*=U-1,从而
B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似.
必要性:显然,因为,相似矩阵有相同的特征值.
习题3-13
#3-13:若AHnn,A2=A,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,0),r=rank(A).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=A 和
注:可以不证 AA*=E; (E-(T+iS))(E+(T+iS))=(E+(T+iS))(E-(T+iS))
=(E+T+iS)(E-T-iS)
习题3-12设A,B均是正规矩阵,试证:A与B酉 相似的充要条件是A与B的特征值相同
证:充分性：因为A,B是正规矩阵,所以存在 U,VUnn 使得
A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…,n是A,B的特征值集合.于是
(1+2,1+2)2=(1,1)+(1,2)+(2,1)+(2,2) =(1,1)+(2,2)
若k-1时结论成立,则 (1+…+k-1,k)=0
(1+…+k,1+…+k)=((1+…+k-1)+k,(1+…+k-1)+k)
=(1+…+k-1,1+…+k-1)+(k,k) =(1,1)+…+(k,k)+(k,k)
U=(A+E)(A-E)-1Unn.
习n.题试3证-2:6A设*AA的为特正征规值矩为阵|特1征|2值,…为,|1,n…|2,.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*,
其中1,…, n是A的特征值.于是, A*A=Udiag(|1|2,…,|n|2)U*.
因对角矩阵diag(|1|2,…,|n|2)酉相似于A*A, 故A*A的特征值为 |1|2,…,|n|2
n
n
n
k
kai 2
k 2 ai 2 k
ai 2 k
i1
i1
i1
习题3*2试证：在酉空间V中成立广义 商高定理
#3*2:试证 1,…,kV &(i,j)=0,ij
1 ...k 2 1 2 ... k 2 . 或等价地(1+…+k,1+…+k)=(1,1)+…+(k,k)
证:对k用归纳法证明.k=2时,有
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和
A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U*
∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在
习题3-20 试证:两个半正定矩阵之和是半正 定;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵
解: 设A,BHnn 分别是半正定矩阵,正定矩阵.则 A*=A&B*=B (A+B)*=A+B Hnn
xCn,x*Ax0,x*Bx0 xCn,x*(A+B)x0 ∴ A+B是半正定Hermite矩阵.
0xCn,x*Ax0,x*Bx>0 0xCn,x*(A+B)x=x*Ax+x*Bx>0
W1=(1,2),2=(1/5,2/5)T,则W1*A1W1= 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则
1 0
101
为上三角矩阵.U AU= *
1
W1
1 0
0
3
6 A1
1
1
W1*
0 0
0 1 0
3 5
10 1
0
1
0
1
U=VW=
1
0
0
0
0
1
2 5 1 5
2
1 5
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 其中1,…, ArA=n是=UUdAdi的iaag特g((征1r1,,值…….,,于nn是r))U,U**,=0 蕴∴涵Air==U0d,iia=g1(,0…,…,n,.0后)U者*=又0.蕴涵 1=…=n=0.
若 A2=A, 则i2=i,i=1,…,n. 后者又蕴涵i=0 或1, i=1,…,n,(即正规矩阵A的特征值全为 实数). ∴ A*=Udiag(1,…,n)U*=A.
AA*x=x,x0.
于是
A*A(A*x)=(A*x).
因 x0,故A*x0,从而得证AA*的任意非零特
征值也是A*A的非零特征值.
同理可证:A*A的任意非零特征值也是AA*的非 零特征值.
习题3-27(2)另一解法
证:不难验证下列矩阵等式:
AA* A*
0 0
Em
A En
AA* A*
AAA**AA Em
必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn
即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
习题3-23设A*=A.试证:总存在t>0,使得 A+tE是正定;A-tE是负定
证:因为A是Hermite矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*,
习题3-1已知ACnn是正定Hermite矩阵,
,Cn.定义内积 (,)=A*.①试证它
是内积;②写出相应的C-S不等式
①: , A* ( A *)T ( A *)* A * , ;
(k, ) k A * k(, );
( , ) ( )A * A * A * (, ) ( , );
习题3-19设A是正定Hermite矩阵且 AUnn,则A=E
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. A 是正定蕴含 i>0,i=1,…,n AUnn 蕴含|i|=1,i=1,…,n 因此 i=1,i=1,…,n
∴ A=Udiag(1,…,n)U*=UEU*=UU*=E.
前面,则(*)式即给出所需答案.
习题3-16
#3-16:设若A,BHnn,且A为正定Hermite矩阵, 试证:AB与BA的特征值都是实数.
证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是
A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MHmn,
即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.
∴ A+B是正定Hermite矩阵.
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*,
其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集 合的任意排列.
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*),
则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C.
习题3*3令1=(1,1,1,1)T,2=(3,3,-1,-1)T, 3=(-2,0,6,8)T,求Span{1,2,3}的标正基
解: 1 1 (1,1,1,1)T ;
2
2
(2, (1,
1) 1)
1
(2,
2,
2,
2)T
;
wenku.baidu.com
3
(3 (2
, ,
2) 2)
2
(3, 1) (1, 1)
1
(1,1,
1,1)T
又
A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn,
即BA相似于一个Hermite矩阵M.
∴ (BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.
#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特 征值都是实数.
证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=MHmn,
习题3-27
#3-27(1):A*A,AA*都是半正定Hermite矩阵. (2):若ACmn,则A*A,AA*的非零特征值相同
(它们的谱可能不一样)
证:(1): (A*A)*=A*A,(AA*)*=AA*.
xCn,x*(A*A)x =(Ax)*Ax=(Ax,Ax)0.
(2): 对AA*的任意非零特征值有
(,) 0; (,) A* 0, 0 (因A正定).
②:Cauchy-Schwarz不等式：| (, ) |
nn
nn
nn
xiaij yj
xiaij xj
yiaij y j
i1 j1
ij
ij
习题3-3(1)
#3-3(1):已知A=
3 3
0 1
8 6
,试求UUnn使U*AU=R为