93二重积分计算(习题课)
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其它以直角坐标为宜
2. 关于积分次序的选择
选序原则 ①能积分，②少分片，③计算简
3. 关于积分限的确定
二重积分的面积元 d dx (d dryd )r为正d
确定积分限时一定要保证下限小于上限
定限 看图定限 —穿越法定限 和不等式定限 先选序，后定限
①直角坐标系
ⅰ.先 y 后 x ， 过任一x ∈ [ a , b ],作平行于 y 轴的直线
y 3x
oD 2
1
x
x
1
I xln y (1 y2)d x d y D 1
xlny ( 1y2)dxdy0 D 2
(5) 计算 x[1y(fx2y2)d] D :yx 3,y 1 ,x 1
D
解 Ix d x (yx2fy2)d
D
D
xy(xf2y2)d0
D
xdxd
D
D1
0
x3
xdx dy
②极坐标系
积分次序一般是 先r后
过极点O作任一极角为 ([,])的射线
从D的边界曲线 r1() 穿入, 从 r2() 穿出.
r1() ——内下限 r2() —内上限
具体可分为三种情况
⑴极点在D的外部 ,r 1 () r r 2 () ⑵极点在D的边界上 ,r 1 () r r 2 ()
(B) 2xydxdy
D1
(C) 4(xycosxsiny)dxdy (D) 0
D1
3. D
arctan
y x
d
4d2 rdr4d
2
32
rdr .
0
1
0
1
64
1x2 y2 4,yx,y0围成的第一象限的区域
4. sin x2 y2 d 2d 2sinrdr4.
, 是边界在极点处的切线的极角 r1() 绝大多数情况下为0
⑶极点在D的内部 0 2,0 r r ()
化累次积分后 外限是常数
内限是外层积分变量的函数或常数
极坐标系下勿忘 r
4. 关于对称性
利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的， 它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不 过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾 被积分函数和积分区域两个方面，不可误用
D
y0,yx2,x1所围区域 f(x， ,y)等 则于
(A) xy (B) 2xy (C)xy1 (D) xy1 8
2.设D是xOy平面上以 (1,1),(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域，
D1是D在第一象限的部分， (则 xycosxsiny)dxdy
D
(A) 2cosxsinydxdy
D1
a2y2
f(x,y)dx
a 2a
2a 2a
a
dyy2
f(x,y)dx.
2a
例 计算 Dx y2 2dx,D d:yx,y2,x y1
解D
1 x y y
Y—型
1 y 2
2
I=
2
y y2
dy
1
1 x 2 dx y
1
2 y 2 ( y 3 y ) dy 9
1
4
11
2
2
若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范
围内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。
例
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 ex d不 x 能 用 初 等 函 数 表 示
先 改 变 积 分 次 序 .
yx
1
xy
原式I dx exdy
1 2
x2
1x(eex)dx 1
2
2 x 2
22 8 x 2
I 0 d x 0 2f(x ,y )d y 2 d x 0 f(x ,y )d y
解: 积分域由两部分组成:
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
D
2
o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
穿过D的内部
从D的下边界曲线 y1(x)穿入 —内层积分的下限 从上边界曲线 y2(x) 穿出 —内层积分的上限
ⅱ.先 x 后 y
过任一 y ∈[ c , d ] 作平行于 x 轴的直线
左边界 x1(y) ——内层积分的下限 右边界 x2(y) ——内层积分的上限
ⅲ.如D须分片 则将D分成若干个简单区域 再按上述方法确定每一部分的上下限 分片计算，结果相加
2
8y2
ID f(x,y)dxdy 0 d y 2y f (x,y)dx
例
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
y 2ax y 2axx2
xaa2y2
= 原式
a
a a2y2
0 dy y2
f (x, y)dx
2a
2a
a
a 2a
dy 0 a
D
解 设f(x,y)xy2.
y
2
x2 y2 4
D 区域关于 x 轴对称，且
f(x,y)f(x,y),
D1
o
2x
xy2d2xy2d
D
D1
而
D1
:
0
x
4 y2 ,
0 y 2.
xy2d2xy2d
D
D1
而
D1
:
0
x
4 y2 ,
0 y 2.
因此，
xy2d2
2
xy2d 2 dy
4y2 xy2dx
1
x3
2 5
I 2 5
D2 D1
（6） 计算 (2x3y2)dD:x2y2a2
D
解 D关于 x , y 轴及原点对称
故 (2x3y)d0
D
2d 2a2
D
故
(2x3y2)d
a4
4
2a2
D
习题解析
1.设f(x,y)连续 ,且f(x,y)xyf(u,v)dud,其 v 中 D是由
D
y0,yx2,x1所围区域 f(x， ,y)等 则于
积分限如何确定 02 显然 r 呢？
极点在D的边界上，所以 0r2 那就错了
不能以为极点O在区域的边界上
就误以为对 r 积分的下限为0 定 r 的积分限，应先固定
[0, ]
2 以原点为起点作射线 这射线和两个半圆相交
从 r2co s穿入; 从 r2 穿出.
尽管极点在D的边界上 但极角为 ([0, ])
(A) xy (B) 2xy (C)xy1 (D) xy1 8
2.设D是xOy平面上以 (1,1),(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域，
D1是D在第一象限的部分， (则 xycosxsiny)dxdy
D
(A) 2cosxsinydxdy
D1
(B) 2xydxdy
D1
(C) 4(xycosxsiny)dxdy (D) 0
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
例
计算
cosx(y)dxdyD
D
0 :
0
x y
2
2
解 Ico x sy)(dxdcyo x sy)(dxdy
D 1
x 22
D 2
2
2
dxcosx( y)dy dx cos(x y)dy
0 0
0
x
2
2
2
[sin six n]dx [co xssin]dx
D2
02
0
2
D1
2
sinx(y)dx d2yD :0 x ,0 y x
y
wenku.baidu.com
2
D
三、对称性的应用例举
例. (1) D :x2y21.则 xcosyd0.
D
( 2 ) x y 2 d ,D :x 2 y 2 4 及 y 轴 围 成 的 右 半 闭 区 域 .
3e1 e.
82
y x2
例 计算
ysixn 1 )d ( x ,D :d y2 yx ,yx2 D x 1
解 根据积分区域的特点
应先对 x 后对 y 积分
2
I2dyy2ysinx(1)dx 1 y2 x1
1
4
但由于 sin(x 1)
-1
x1
对 x 的积分求不出，无法计算，
须改变积分次序。
D1
3. D
arctan
y x
d
1x2 y2 4,yx,y0围成的第一象限的区域
sin x2 y2
4. D
d
x2 y2
1x2y2 4
5.交换积分次序:
0 2 x
2 2 x
dx 2 f(x,y)d ydx 2 f(x,y)dy
2 0
00
习题解答
1.设f(x,y)连续 ,且f(x,y)xyf(u,v)dud,其 v 中 D是由
二重积分的计算 习题课
一、主要内容
二重积分的计算方法是累次积分法，化二重 积分为累次积分的步骤是：
①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序，定出积分限
1. 关于坐标系的选择
这要从积分区域的形状和被积函数的特点 两个方面来考虑
积分区域为圆形、扇形、圆环形 被积函数呈
f(x2y2),f(y) 常用极坐标 x
对 If(x,y)dxdy
D
①若D关于 x 轴对称
(1 )当 f(x , y ) f(x ,y )时 I0
(2 )当 f(x , y)f(x ,y)时I 2f(x, y)dxdy
D 2 ( x ,y ) D ,y 0 D2
②若D关于 y 轴对称
(1 )当 f( x ,y ) f(x ,y )时 I0
0 x 1
0(e2x 1e 1)d x1(ee2x 1)d x
1
0
e e1.
（4） 计算
其中D 由
y4x2, y 3x,x1所围成. 解: 令 f(x ,y)xln y (1 y2)
y 4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
6
2sin
15( 2
3).
例 计算 (x2y2)d D :2xx2y4x2
D
解 积分区域由不等式给出
在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆
但它们围不成区域 要2 使 xx 2, 4x 2 都有意义 必须限制 x[0,2]
因此D只能在x=0 ， x=2 之间
确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的 特点，化成极坐标计算较为简单
= x–y, 当y < x时,
y
y=x
1
D1
D
D2
0
1x
且区域D1: y x和D2: y < x分处在直线y=x的上，下方.
故，原式 = (yx)d(xy)d
D1
D2
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1dx 1(xy1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
0
0
D
D1
2 y2(4y2)dy 0
64 . 15
(3) exyd, D : xy1.
y
D
1
解：能否用对称性？
y1x
y1x
1
D
o 2o
D
1
1
x
e x y d exyd exyd yx1
yx1
D
D1
D2
1
0d xx 1exeyd y1d x x 1 exeyd y
1 x 1
先x 后y 有
1
I dx
x y sin( x 1) dy
0 x x1
4
dx
x y sin( x 1)dy
1 x2 x 1
奇函数
0 4 1 [ x ( x 2 ) 2 ] sin( x 1 ) dx
12
x1
1
4
(
x2
5x
4 ) sin(
x 1 ) dx
21
x1
1
例 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y 3x0
2
3
x2y24y r 4 sin
x 3y0
1
6
x2y22y r2sin
(x2y2)dxdy
D
3d
4sinr2rdr
4
(4
x ) sin(
2
1
1
(3
sin
3)
2
x 1 ) dx
例. 求球体
被圆柱面 x2y22ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D :0r2aco ,0 s
2
z
由对称性可知
V4D 4a2r2rdrd
o
y
2acos 0
4a2r2rdr2
a
x
32a3(2)
3 23
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(2 )当 f( x ,y )f(x ,y )时 I 2f(x, y)dxdy
D 1 ( x ,y ) ( x ,y ) D ,x 0 D1
③若D关于原点对称
( 1 ) 当 f( x , y ) f( x , y ) 时 I0
(2 )当 f( x , y )f(x ,y )时 I 2f(x, y)dxdy
D3
D 3 ( x ,y ) D ,x 0 ,y 0
①、②、③简单地说就是：
奇函数关于对称域的积分等于0，偶函 数关于对称域的积分等于对称的部分区域 上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇 偶函数的定积分的性质.
对于变量x,y来说，可以简述为 “你对称，我奇偶”
二、例题分析
例. 交换下列积分顺序
的射线并不是从极点穿入
2
域D的极坐标表示为 0,2co sr2
而不是 02,0r22
2
I d
2
r2
rdr
1
2
(1616co4s)d
0 2cos
40
4(31)5
2 422 4
例. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx| d
其中D：0 x 1, 0 y 1 D
解：积分区域如图
记 f (x, y) = | y – x | y–x, 当y x时,
2. 关于积分次序的选择
选序原则 ①能积分，②少分片，③计算简
3. 关于积分限的确定
二重积分的面积元 d dx (d dryd )r为正d
确定积分限时一定要保证下限小于上限
定限 看图定限 —穿越法定限 和不等式定限 先选序，后定限
①直角坐标系
ⅰ.先 y 后 x ， 过任一x ∈ [ a , b ],作平行于 y 轴的直线
y 3x
oD 2
1
x
x
1
I xln y (1 y2)d x d y D 1
xlny ( 1y2)dxdy0 D 2
(5) 计算 x[1y(fx2y2)d] D :yx 3,y 1 ,x 1
D
解 Ix d x (yx2fy2)d
D
D
xy(xf2y2)d0
D
xdxd
D
D1
0
x3
xdx dy
②极坐标系
积分次序一般是 先r后
过极点O作任一极角为 ([,])的射线
从D的边界曲线 r1() 穿入, 从 r2() 穿出.
r1() ——内下限 r2() —内上限
具体可分为三种情况
⑴极点在D的外部 ,r 1 () r r 2 () ⑵极点在D的边界上 ,r 1 () r r 2 ()
(B) 2xydxdy
D1
(C) 4(xycosxsiny)dxdy (D) 0
D1
3. D
arctan
y x
d
4d2 rdr4d
2
32
rdr .
0
1
0
1
64
1x2 y2 4,yx,y0围成的第一象限的区域
4. sin x2 y2 d 2d 2sinrdr4.
, 是边界在极点处的切线的极角 r1() 绝大多数情况下为0
⑶极点在D的内部 0 2,0 r r ()
化累次积分后 外限是常数
内限是外层积分变量的函数或常数
极坐标系下勿忘 r
4. 关于对称性
利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的， 它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不 过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾 被积分函数和积分区域两个方面，不可误用
D
y0,yx2,x1所围区域 f(x， ,y)等 则于
(A) xy (B) 2xy (C)xy1 (D) xy1 8
2.设D是xOy平面上以 (1,1),(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域，
D1是D在第一象限的部分， (则 xycosxsiny)dxdy
D
(A) 2cosxsinydxdy
D1
a2y2
f(x,y)dx
a 2a
2a 2a
a
dyy2
f(x,y)dx.
2a
例 计算 Dx y2 2dx,D d:yx,y2,x y1
解D
1 x y y
Y—型
1 y 2
2
I=
2
y y2
dy
1
1 x 2 dx y
1
2 y 2 ( y 3 y ) dy 9
1
4
11
2
2
若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范
围内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。
例
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 ex d不 x 能 用 初 等 函 数 表 示
先 改 变 积 分 次 序 .
yx
1
xy
原式I dx exdy
1 2
x2
1x(eex)dx 1
2
2 x 2
22 8 x 2
I 0 d x 0 2f(x ,y )d y 2 d x 0 f(x ,y )d y
解: 积分域由两部分组成:
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
D
2
o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
穿过D的内部
从D的下边界曲线 y1(x)穿入 —内层积分的下限 从上边界曲线 y2(x) 穿出 —内层积分的上限
ⅱ.先 x 后 y
过任一 y ∈[ c , d ] 作平行于 x 轴的直线
左边界 x1(y) ——内层积分的下限 右边界 x2(y) ——内层积分的上限
ⅲ.如D须分片 则将D分成若干个简单区域 再按上述方法确定每一部分的上下限 分片计算，结果相加
2
8y2
ID f(x,y)dxdy 0 d y 2y f (x,y)dx
例
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
y 2ax y 2axx2
xaa2y2
= 原式
a
a a2y2
0 dy y2
f (x, y)dx
2a
2a
a
a 2a
dy 0 a
D
解 设f(x,y)xy2.
y
2
x2 y2 4
D 区域关于 x 轴对称，且
f(x,y)f(x,y),
D1
o
2x
xy2d2xy2d
D
D1
而
D1
:
0
x
4 y2 ,
0 y 2.
xy2d2xy2d
D
D1
而
D1
:
0
x
4 y2 ,
0 y 2.
因此，
xy2d2
2
xy2d 2 dy
4y2 xy2dx
1
x3
2 5
I 2 5
D2 D1
（6） 计算 (2x3y2)dD:x2y2a2
D
解 D关于 x , y 轴及原点对称
故 (2x3y)d0
D
2d 2a2
D
故
(2x3y2)d
a4
4
2a2
D
习题解析
1.设f(x,y)连续 ,且f(x,y)xyf(u,v)dud,其 v 中 D是由
D
y0,yx2,x1所围区域 f(x， ,y)等 则于
积分限如何确定 02 显然 r 呢？
极点在D的边界上，所以 0r2 那就错了
不能以为极点O在区域的边界上
就误以为对 r 积分的下限为0 定 r 的积分限，应先固定
[0, ]
2 以原点为起点作射线 这射线和两个半圆相交
从 r2co s穿入; 从 r2 穿出.
尽管极点在D的边界上 但极角为 ([0, ])
(A) xy (B) 2xy (C)xy1 (D) xy1 8
2.设D是xOy平面上以 (1,1),(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域，
D1是D在第一象限的部分， (则 xycosxsiny)dxdy
D
(A) 2cosxsinydxdy
D1
(B) 2xydxdy
D1
(C) 4(xycosxsiny)dxdy (D) 0
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
例
计算
cosx(y)dxdyD
D
0 :
0
x y
2
2
解 Ico x sy)(dxdcyo x sy)(dxdy
D 1
x 22
D 2
2
2
dxcosx( y)dy dx cos(x y)dy
0 0
0
x
2
2
2
[sin six n]dx [co xssin]dx
D2
02
0
2
D1
2
sinx(y)dx d2yD :0 x ,0 y x
y
wenku.baidu.com
2
D
三、对称性的应用例举
例. (1) D :x2y21.则 xcosyd0.
D
( 2 ) x y 2 d ,D :x 2 y 2 4 及 y 轴 围 成 的 右 半 闭 区 域 .
3e1 e.
82
y x2
例 计算
ysixn 1 )d ( x ,D :d y2 yx ,yx2 D x 1
解 根据积分区域的特点
应先对 x 后对 y 积分
2
I2dyy2ysinx(1)dx 1 y2 x1
1
4
但由于 sin(x 1)
-1
x1
对 x 的积分求不出，无法计算，
须改变积分次序。
D1
3. D
arctan
y x
d
1x2 y2 4,yx,y0围成的第一象限的区域
sin x2 y2
4. D
d
x2 y2
1x2y2 4
5.交换积分次序:
0 2 x
2 2 x
dx 2 f(x,y)d ydx 2 f(x,y)dy
2 0
00
习题解答
1.设f(x,y)连续 ,且f(x,y)xyf(u,v)dud,其 v 中 D是由
二重积分的计算 习题课
一、主要内容
二重积分的计算方法是累次积分法，化二重 积分为累次积分的步骤是：
①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序，定出积分限
1. 关于坐标系的选择
这要从积分区域的形状和被积函数的特点 两个方面来考虑
积分区域为圆形、扇形、圆环形 被积函数呈
f(x2y2),f(y) 常用极坐标 x
对 If(x,y)dxdy
D
①若D关于 x 轴对称
(1 )当 f(x , y ) f(x ,y )时 I0
(2 )当 f(x , y)f(x ,y)时I 2f(x, y)dxdy
D 2 ( x ,y ) D ,y 0 D2
②若D关于 y 轴对称
(1 )当 f( x ,y ) f(x ,y )时 I0
0 x 1
0(e2x 1e 1)d x1(ee2x 1)d x
1
0
e e1.
（4） 计算
其中D 由
y4x2, y 3x,x1所围成. 解: 令 f(x ,y)xln y (1 y2)
y 4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
6
2sin
15( 2
3).
例 计算 (x2y2)d D :2xx2y4x2
D
解 积分区域由不等式给出
在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆
但它们围不成区域 要2 使 xx 2, 4x 2 都有意义 必须限制 x[0,2]
因此D只能在x=0 ， x=2 之间
确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的 特点，化成极坐标计算较为简单
= x–y, 当y < x时,
y
y=x
1
D1
D
D2
0
1x
且区域D1: y x和D2: y < x分处在直线y=x的上，下方.
故，原式 = (yx)d(xy)d
D1
D2
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1dx 1(xy1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
0
0
D
D1
2 y2(4y2)dy 0
64 . 15
(3) exyd, D : xy1.
y
D
1
解：能否用对称性？
y1x
y1x
1
D
o 2o
D
1
1
x
e x y d exyd exyd yx1
yx1
D
D1
D2
1
0d xx 1exeyd y1d x x 1 exeyd y
1 x 1
先x 后y 有
1
I dx
x y sin( x 1) dy
0 x x1
4
dx
x y sin( x 1)dy
1 x2 x 1
奇函数
0 4 1 [ x ( x 2 ) 2 ] sin( x 1 ) dx
12
x1
1
4
(
x2
5x
4 ) sin(
x 1 ) dx
21
x1
1
例 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y 3x0
2
3
x2y24y r 4 sin
x 3y0
1
6
x2y22y r2sin
(x2y2)dxdy
D
3d
4sinr2rdr
4
(4
x ) sin(
2
1
1
(3
sin
3)
2
x 1 ) dx
例. 求球体
被圆柱面 x2y22ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D :0r2aco ,0 s
2
z
由对称性可知
V4D 4a2r2rdrd
o
y
2acos 0
4a2r2rdr2
a
x
32a3(2)
3 23
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(2 )当 f( x ,y )f(x ,y )时 I 2f(x, y)dxdy
D 1 ( x ,y ) ( x ,y ) D ,x 0 D1
③若D关于原点对称
( 1 ) 当 f( x , y ) f( x , y ) 时 I0
(2 )当 f( x , y )f(x ,y )时 I 2f(x, y)dxdy
D3
D 3 ( x ,y ) D ,x 0 ,y 0
①、②、③简单地说就是：
奇函数关于对称域的积分等于0，偶函 数关于对称域的积分等于对称的部分区域 上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇 偶函数的定积分的性质.
对于变量x,y来说，可以简述为 “你对称，我奇偶”
二、例题分析
例. 交换下列积分顺序
的射线并不是从极点穿入
2
域D的极坐标表示为 0,2co sr2
而不是 02,0r22
2
I d
2
r2
rdr
1
2
(1616co4s)d
0 2cos
40
4(31)5
2 422 4
例. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx| d
其中D：0 x 1, 0 y 1 D
解：积分区域如图
记 f (x, y) = | y – x | y–x, 当y x时,