3.4--函数的单调性与凹凸性判别

例例3 讨论函数 y = 3 x2 的单调性 解 函数的定义域为( )
y = 2 (x 0) 33 x
因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单调减少 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 )上单调增加
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函数的单调性与曲线的凹凸性
例 讨论函数 y=x3 的单调性 解 函数的定义域为( )
y=3x2 显然当x=0时 y=0 当x0时 y>0 因此函数y=x3在区间( 0]及[0, )上都是单调增 加的 从而函数在整个定义域( )内是单调增加的
导数等于零的点和不可导点, 可能是单调区间 的临界点．
方法 用方程 f ( x) = 0的根及 f ( x)不存在的点 划分函数 f ( x)的定义区间, 然后判定区间内导数 的符号.
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函数的单调性与曲线的凹凸性
• 确定函数单调区间的步骤
(1) 确定函数的定义域 (2) 求出导数f (x) (3) 求出f (x)全部零点和不可导点 (4) 判断或列表判断 (5) 综合结论
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函数的单调性与曲线的凹凸性
例 确定函数 f ( x) = 3 x2 的单调区间.
解 定义域 (,).
y
f ( x) = 2 , 33 x
( x 0)
当x = 0时,导数不存在.
O
x ( ,0) (0, )
f ( x)
f (x)
y = 3 x2
x
单调区间为 (,0], [0,).
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函数的单调性与曲线的凹凸性
§3.4 函数的单调性 与曲线的凹凸性
函数单调性的判别法 单调区间求法 曲线凹凸性的判别法 曲线的拐点及其求法 小结 思考题 作业
第三章 微分中值定理与导数的应用
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一、函数单调性的判定法
• 观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系？
• 观察结果 函数单调增加时导数大于零 函数单调减少时导数小于零
3
❖ 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少
证明 只证(1) 在[a b]上任取两点x1 x2(x1<x2)
单调增加 在区间[1 2]上单调减少
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函数的单调性与曲线的凹凸性
例 确定函数 y = 3 3 x2 x 的单调区间
2
解 这个函数的定义域为( )
y = 1 1, 3x
驻点 x=1, 不可导点 x=0 ,
x ( 0) (0 1) (1 )
y
－
＋
－
y
↘
↗
↘
函数f(x)在区间( 0]和[1 )上单调减少 在区间[0 1]上单调增加
由拉L格ag朗ra日ng中e定值理公式 有
f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x1<x<x2) 因为f (x)>0 x2x1>0 所以
f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1)>0
即
f(x1)<f(x2)
这就证明了函数f(x)在[a b]上单调增加
4
❖ 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少
处成立, 故 y = x sin x在(, ) 内单调增加.
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函数的单调性与曲线的凹凸性
例 当x > 0时,试证x > ln(1 x)成立.
证
设f (x) =
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函数的单调性与曲线的凹凸性
例 确定函数 f(x)=2x39x212x3 的单调区间
解 这个函数的定义域为( )
f (x)=6x218x12=6(x1)(x2)
导数为零的点为x1=1、x2=2 列表分析
y=2x39x212x3
x ( 1) (1 2) (2 )
f (x)
f (x)
函数f(x)在区间( 1]和[2 )上
例 讨论函数 y=ex x1的单调性 解 函数y=exx1的定义域为( )
y=ex1 因为在( 0)内y<0 所以函数 y=exx1在( 0] 上单调减少 因为在(0 )内y>0 所以函数 y=exx1在[0 ) 上单调增加
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❖ 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少
注 导函数只在区间内可数个点处导数值为零,而
其余点处导数值均为正（或负），y
y = x3
不影响区间的单调性.
如, y = x3 , y x=0 = 0, 但在(,)上 单调增加.
O
x
又如,y = x sin x在(, )内可导,且
y = 1 cos x 0,等号只在 x = (2k 1) (k = 0, 1,)
例 判定函数 y=xsin x 在[0 2p]上的单调性
解 因为在(0, 2p)内 y=1cos x >0
所以函数 y=xsin x 在[0 2p]上的单调增加
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❖ 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少
说明： 一般地 如果 f (x)在某区间内
的有限个点处为零 在其余各点处 均为正(或负)时 那么f(x)在该区间 上仍旧是单调增加(或减少)的
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函数的单调性与曲线的凹凸性
例 讨论函数 y = 1 x
的单调性.
分界点处导数不存在。
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函数的单调性与曲线的凹凸性
二、单调区间求法
问题 如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调． 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间.
f (x)>0
f (x)<0
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❖ 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a bwenku.baidu.com上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少 注 此定理不论对于开、闭、有限或无穷 区间都正确.