椭圆定义及标准方程

4、已知椭圆
x2 y2 25 16
1上一点P到其中一个焦点的距离为3，
则点P到另一个焦点的距离是 7
5、已知F1， F2是椭圆
x2 16

y2 9
1的两焦点，过F2的直线交椭圆
于点A，B，若 AB 5，则 AF1 BF1 11
例2、已知点P是椭圆4y2+5x2=20上的一点，F1与F2 是焦点，且 ∠F1PF2=600 ，求△ F1F2P的周长与面积。
A
有 |AB|+|AC|=10，
BO
∴ 由椭圆的定义知：点A的轨迹是椭圆，
Cx
2c=6 , 2a=10，
∴ c=3 ，a=5 ，
b2 = a2-c2 = 52-32 =16 .
故顶点A的轨迹方程是：
x2 25

y2 16

1
(y≠0)
小结：
1、先定位后定量；
2、设方程技巧：焦点位置不确定时，不妨设其标准
设想： 平面内与两定点的距离的和等于
定长的点的轨迹是什么呢？ F1•
• M (x, y)
• F2
返回解例2 返回求方程
2.1 椭圆定义及标准方程
——仙女座星系
星系中 的椭圆
----“传说中的”飞碟
一、椭圆定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数
…(大…于…|F…1F…2|) 的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。
F(±c，0) ,焦距为2c F(0，±c) ,焦距为2c
a,b,c的关系
c2=a2-b2
练习： 1、椭圆 2x2 3y2 12 的焦距为 2 2
2、 x 1- 2y2 所表示的曲线是 右半个X型椭圆
3、已知方程
x2 25 -
m

y2 m9
1
表示焦点在y轴上的椭圆，则
m的取值范围是 （8,25）
-
3 2
，5 2

解法1 解法2
③求焦点在坐标轴上，且经过A（ 3 , -2 )和B（2 3 ，1） 两点的椭圆的标准方程。
小结
③： 求焦点在坐标轴上，且经过A（ 3, -2 )和B（2 3，1） 两点的椭圆的标准方程。
分析： 由题设条件焦点在哪一个坐标轴上不明确，椭圆的标准方
程有两种情形，为了计算方便，可含糊地设其方程为

y2 m2 1
1
答：在y 轴。 a2=m2-1,b2=m2;（0，±1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。
2 椭圆 x 2 y 2 1上一点P到一个焦点的距离为5， 25 9
则P到另一个焦点的距离为（A ）
A.5
B.6
C.4
D.10
3.已知椭圆的方程为 x2 y 2 1 ，焦点在X轴上， 则其焦距为（A ） 8 m2
课堂练习：
1：判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴，并指明a2、b2， 写出焦点坐标。
(1) x2 y 2 1 答：在 x 轴，a2=25,b2=16;（±3，0）. 25 16
(2) x2 y2 1 144 169
答：在 y 轴。 a2=169,b2=144;（0，±5）
(3)
x2 m2
43
2 52
3
回顾求轨迹方程步骤
例3：已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点 B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨 迹方程．
解：设｜PB｜＝r．
∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10． ∴两圆的圆心距｜PA｜＝10－r，
即｜PA｜＋｜PB｜＝10 (大于｜AB｜)．
∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．
设a2 - c2 b2 (b 0) 得 : b2 x2 a2 y2 a2b2
b2x2 a2 y2 a2b2
两边同除以 a2b2 得：
x2 a2

y2 b2
1
(a b 0)
y
M (x, y)
F1
O
F2
x
这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在
x轴上，焦点是F1(-c ，0)、F2(c ，0)，其中 c2=a2-b2 .

-
3
2

2 b2
所以像这种求椭圆方程先假设其方程, 然后根据题目 条件得出所求方标准方程
定义 图形
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2
M
F1 o
F2 x
o
x
F1
标准方程 焦点
x2 a2

y2 b2
1
(a

b

0)
y2 a2

x2 b2
1
(a
b
0)
mx2+ny2=1(m、n>0且m≠n) ,其中m、n的大小先不做确定， 即先不考虑焦点位置，根据已知所给条件求出m、n值后 再行判断其焦点位置 。
解： 设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m、n>0)
因为椭圆过点A（ 3, -2 )和B（2 3 ，1），
故得 3m+4n=1与12m+n=1
所以，m

如果用类似的方法，建系时让椭圆的焦点在y轴上，
可得出它的方程为：
y2 a2

x2 b2
1
(a b 0)
它也是椭圆的标准方程。
二、椭圆的标准方程：
y
M
F1 o
F2 x
y
F1
M
ox
F2
x2 a2

y2 b2
1
(a b 0)
y2 a2

x2 b2
1
(a

b

0)
*两种椭圆图形的异同点:
问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是 线段F1F2 ; 问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是 不存在 .
二、椭圆的标准方程：
y
• M (x, y)
F1•
O
• F2
分析：
（1）求椭圆的方 程出发点？
（定义） x （2）如何建系，
使得椭圆的
如图建立直角坐标系
方程较简单？
设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0) ，则 F1(-c,0)、F2(c,0)，M与F1、F2的距离的和等于常数2a。
第二章 圆锥曲线与方程
问:解析几何要解决的两类基本问题是什么? 答:(1)已知曲线研究其方程;
(2)已知曲线方程研究其曲线的性质.
回顾圆的定义及标准方程的学习过程及求法:
1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹
2、求轨迹方程的基本步骤：
（1）建立适当的坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合(可以省略); （3）将条件P（M）坐标化，列出方程 ; （4）对方程化简； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以 省略不写,如有特殊情况， 应当适当予以说明).
练习：在平面直角坐标系中，已知三角形 ABC中
B(-3,0) ，C(3,0),且三边|AC|, |BC| , |AB|长依 次成等差数列，求顶点A的轨迹方程。 分析： 因为B（-3，0），C（3，0）所以|BC|=6
又三边|AC|, |BC| , |AB|长依次成等差数列
AC AB 2 BC 12
2
10
2 2 2 2
∴ a 10 ，又 c 2 ， ∴ b2 a2 - c2 6
所以所求椭圆的标准方程为：
y2 x2 1
10 6
返回
解:设所求的标准方程为
y2 a2

x2 b2
1(a

b
0)
依题意得
5 2


2 a2
3. 由椭圆的定义和标准方程可知：确定椭圆的 标准方程需要三个条件：焦点位置、 a、b的值。
一般先定位后定形！
例１ 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
①两个焦点的坐标分别是 (- 4，0) 、(4，0)
椭圆上一点到两焦点距离的和等于10．
x2 y2 1
25 9
②两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,-2),并且经过
1 15
,n

1 5
所以，椭圆的方程为 x 2 y 2 1
15 5
③： 求焦点在坐标轴上，且经过A（ 3 , -2 )和B（2 3，1） 两点的椭圆的标准方程。
反思 ：在不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常要进行 分类讨论，但计算较 为复杂。一般可先设其方程 为mx2+ny2=1(m、n>0且m≠n) ，只是此时m、n 的大 小还未确 定，用已知的条件来求出其值即可确定 X、Y型。
A 2 8 - m2
B 2 2 2-m
C 2 m2 -8
D 2 2 m -2 2
4. a 6, c 1 ,焦点在y轴上的椭圆的标准方程
是
y2 x2 1
__3_6___35____.
跳到注
小结：
本节课学习了椭圆的定义及标准方程, 应注意以下几点:
①椭圆的定义中a、b、c皆正，a2=b2+c2 ,其中2c是 椭圆焦距；
a2 - cx a (x - c)2 y2
两边再平方得：
F1
a4 - 2a2cx c2 x2 a2 x2 - 2a2cx a2c2 a2 y2
( ) ( ) a2 - c2 x2 a2 y2 a2 a2 - c2
y
M (x, y)
O
F2
x
由椭圆定义知： 2a 2c,即a c, a2 - c2 0
方程为mx2+ny2=1(m、n>0且m≠n)
3、设方程技巧：与
x2 a2

y2 b2
1有相同焦点的椭圆方
程不妨设为 x2 y2 1
a2 k b2 k
4、求动点的轨迹方程时：
①若无法判断曲线类型：用求曲线方程一般步骤;
②若可由定义法判断出曲线类型：可直接套用现成结论。
③求出曲线的方程之后，要验证方程是否有增根，如有，
x2 24 -
k

y2 16
k
1表示椭圆，求k的取值范围
再见！
[注]：1. 标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的 形状和大小，是椭圆的定形条件。
2. 焦点F1、F2的位置，是椭圆的定位条件，它 决定椭圆焦点在坐标系里的位置和标准方程的类型， 也就是说，知道了焦点的位置，标准方程只有一种形 式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型。反 过来，只要知道方程的形式，就可以判定焦点位置。
A
解： （根据例题同理可知）
A点的轨迹方程是 B
C
x2 y2 1 （y 0)
36 27
解：因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为
y2 a2

x2 b2
1 (a b 0)
由椭圆的定义知：
2a
-
3 2

5

2
2


-
3
2



5
-
2
2
由定义知： MF1 MF2 2a
(x c)2 y2 (x - c)2 y2 2a
回顾求轨迹方程步骤
(x c)2 y2 (x - c)2 y2 2a
将方程移项后平方得：
(x c)2 y2 4a2 - 4a (x - c)2 y2 (x - c)2 y2
同: 形状相同,大小相同，a,c几何意义相同，并且： 其中a最大,b,c大小无法确定。
异：两种椭圆相对于坐标系的位置不 同，它们的焦
点坐标也不同．x、y下的分母大小不同。
二、椭圆的标准方程：
y
M
F1 o
F2 x
y
F1
M
ox
F2
x2 a2

y2 b2
1
(a b 0)
y2 a2

x2 b2
1
应在方程后注明限制条件。
补充作业： ①若 x2 y表2 示椭1 圆，求k的取值范围
24 - k 16 k
②椭圆过点A(2,－3)，且与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点。 求该椭圆的标准方程
③平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离 的和是10的点的轨迹方程
④在平面直角坐标系中，已知△ABC中B(-3,0) ，C(3,0), 且三边|AC|,|BC|,|AB|长依次成等差数列，求顶点A的 轨迹方程。
(a

b

0)
椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=c2+b2 。
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
哪一个轴上，（a总是最大）或看焦点坐标来决定a、b。
②要注意特征量a 、 b、c的几何意义 ,它们确定椭 圆的形状.
③焦点的位置由椭圆的标准方程中x2,y2的分母大小 或焦点坐标来决定； 求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确 定代入哪个方程解题.
作业:
1、《课》P33练习1、2
P39习题1。
2、《世纪金榜》P18-19 基础达标1、3、4
3、补充：若
∴2a＝10，
2c＝｜AB｜＝6，
∴a＝5，c＝3．
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．
即点P的轨迹方程为
x2 25

y2
16＝1．
练习：已知 B、C 是两个定点，|BC| = 6，且△ABC的
周长等于16，求顶点A的轨迹方程 .
解： 建系如图，由题意
y
|AB|+|AC|+|BC|=16， |BC| = 6，