第26讲 图形的相似

第26讲图形的相似

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知识点题号

比例线段与相似多边形1,2,7

相似三角形的性质和判定5,6,8,9,10,12,13,14,15

位似图形3,4,11

A层(基础)

1.若2a=3b=4c,且abc≠0,则的值是( B )

(A)2 (B)-2 (C)3 (D)-3

解析:设2a=3b=4c=12k(k≠0),

则a=6k,b=4k,c=3k,

所以===-2.

故选B.

2.(2014河北)在研究相似问题时,甲,乙两同学的观点如下:

甲:将边长为3,4,5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距均为1,则新三角形与原三角形相似.

乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.

对于两人的观点,下列说法正确的是( A )

(A)两人都对(B)两人都不对

(C)甲对,乙不对 (D)甲不对,乙对

解析:由题意得,题图1中两个三角形对应边平行,则对应角相等,所以相似;

题图2中两个矩形对应角都是90°,宽与长的比为:=≠,则对应边不成比例,所以两个矩形不相似; 故选A.

3.在平面直角坐标系中,已知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点O为位似中心,相似比为,把△EFO缩小,则点E的对应点的坐标是( D )

(A)(-2,1) (B)(-8,4)

(C)(-8,4)或(8,-4) (D)(-2,1)或(2,-1)

解析:根据题意得:

则点E的对应点的坐标是(-2,1)或(2,-1),故选D.

4.(2015咸宁)如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为( B )

(A)1∶2 (B)1∶4 (C)1∶5 (D)1∶6

解析:∵以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,AD=OA,

∴OA∶OD=1∶2,

∴△ABC与△DEF的面积之比为1∶4.

故选B.

5.(2015聊城模拟)如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m,又测得地面的影长为2.6 m,请你帮她算一下,树高是( C )

(A)3.25 m (B)4.25 m (C)4.45 m (D)4.75 m

解析:如图,设BD是BC在地面的影子,树高为x,

根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同,

得=,

而CB=1.2,∴BD=0.96,

∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56,

由竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同,

得=,

∴x=4.45,∴树高是4.45 m.故选C.

6.(2015武威)如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,DE∥AC,若S△BDE∶S△CDE=1∶3,则S△DOE∶S△AOC的值为( D )

(A)(B)

(C)(D)

解析:∵S△BDE∶S△CDE=1∶3,

∴BE∶EC=1∶3,

∴BE∶BC=1∶4,

∵DE∥AC,

∴△DOE∽△COA,

==,

∴S△DOE∶S△AOC=()2=,故选D.

7.如图所示,一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的.矩形ABCD沿EF对开后,再把矩形EFCD沿MN 对开,依此类推.若各种开本的矩形都相似,那么等于( B )

(A)0.618 (B)(C) (D)2

解析:∵矩形ABCD∽矩形BFEA,

∴AB∶BF=AD∶AB,

∴AD·BF=AB·AB,

又∵BF=AD,

∴AD2=AB2,

∴==.

故选B.

8.(2015天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高度CD是8 米.

解析:由题意可得∠APE=∠CPE,

∴∠APB=∠CPD,

∵AB⊥BD,CD⊥BD,

∴∠ABP=∠CDP=90°,

∴△ABP∽△CDP,

∴=,

∵AB=2米,BP=3米,PD=12米,

∴=,

解得CD=8米.

9.如图,等边△ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D为AC上一点,若∠APD=60°,则CD的长为

.

解析:∵△ABC是等边三角形,

∴AB=BC=AC=3,∠B=∠C=60°,

∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°,

∵∠APD=60°,

∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°,

∴∠BAP=∠DPC,

又∠B=∠C,

∴△BAP∽△CPD,

∴=,

∵AB=BC=3,BP=1,CP=BC-BP=3-1=2,

∴=,

解得CD=.

10.如图所示,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2.若S=2,则S1+S2= 8 .

解析:过P作PQ∥DC,由DC∥AB,得到PQ∥AB,

∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形,

∴△PDC≌△CQP,△ABP≌△QPB,

∴S△PDC=S△CQP,S△ABP=S△QPB,

∵EF为△PCB的中位线,

∴EF∥BC,EF=BC,

∴△PEF∽△PBC,且相似比为1∶2,

∴S△PEF∶S△PBC=1∶4,

∵S△PEF=2.

∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP

=S1+S2=8.

11.已知:△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度)

(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1,并直接写出C1点的坐标;

(2)以点B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使△A2BC2与△ABC位似,且相似比为2∶1,并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积.

解:(1)如图,△A1B1C1即为所求,C1(2,-2);

(2)如图,△A2BC2即为所求,C2(1,0),