圆锥曲线综合 轨迹方程(2)

【例1】 如图所示，平面内的定点F 到定直线L 的距离为2，定点E 满足||2EF =，且

EF L ⊥于G 点Q 是直线L 上的一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：PQ EF ∥，0PM FQ ⋅=，建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程．

P Q

F

E

G

M L

【例2】 如图，()20M -，

和()20N ，是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += ⑴求点P 的轨迹方程；

⑵若2

·

1cos PM PN MPN

=-∠，求点P 的坐标．

O

y

x

M (-2,0)P

N (2,0)

典例分析

板块一.轨迹方程（2）

【例3】 设()P a b ，

()0b ≠是平面直角坐标系xOy 中的点，l 是经过原点与点()1b ，的直线，记Q 是直线l 与抛物线()2

20x py p =≠的异于原点的交点，

⑴已知1a =，2b =，2p =，求点Q 的坐标；

⑵已知点()(0)，P a b ab ≠在椭圆2

214

x y +=上，12p ab =，求证：点Q 在双曲线

22441x y -=上；

⑶已知动点()P a b ，

满足0ab ≠，1

2p ab

=，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．

【例4】 已知以向量112v ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，为方向向量的直线l 过点

504⎛⎫

⎪⎝⎭

，，抛物线C ：22(0)y px p =>的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．

⑴求抛物线C 的方程；

⑵设A 、B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若20OA OB p ⋅+=（O 为原点，A 、B 异于原点），试求点

N 的轨迹方程．

【例5】 已知抛物线2:C y ax =，点(1,1)P -在抛物线C 上，过点P 作斜率为1k 、2k 的两

条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且满足

120k k +=．

⑴求抛物线C 的焦点坐标；

⑵若点M 满足BM MA =，求点M 的轨迹方程．

【例6】 已知圆C 的方程为224x y +=．

⑴直线l 过点()12P ，

，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =，求直线l 的方程；

⑵过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量

OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

【例7】 已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点()，A A A x y 和()，B B B x y ，且

A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含

边界）为D ．设点()，P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． ⑴若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； ⑵若曲线22251

:24025

G x ax y y a -+-++

=与D 有公共点，试求a 的最小值．

【例8】 已知以原点O

为中心的椭圆的一条准线方程为y =

e =，M 是椭圆上的动点．

⑴若C ，D

的坐标分别是(

0，-

，(0，求||||MC MD ⋅的最大值； ⑵如图，点A 的坐标为(10)，，B 是圆221x y +=上的点，N 是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ OM ON =+，0QA BA ⋅=．求线段QB 的中点P 的轨

迹方程．（椭圆的准线方程2

a y c

=±，其中c 为半焦距长，a 为半长轴长）

【例9】 已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到

两个焦点的距离分别是7和1 ⑴求椭圆C 的方程

⑵若P 为椭圆C 的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OP OM

λ=，求

点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

【例10】 已知圆22:2430C x y x y ++-+=，

⑴已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程；

⑵从圆C 外一点()，

P x y 向圆引一切线，切点为M ，O 为坐标原点，且MP OP =，求点P 的轨迹方程．求PM 的最小值以及此时对应的P 的坐标．

【例11】 已知圆的方程为222x y r +=，圆内有定点(,)P a b ，圆周上有两个动点A 、B ，

使PA PB ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．

【例12】 设椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆上的一点，

212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为

11

3

OF ．

⑴ 证明a =；

⑵ 设1Q ，2Q 为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线

OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．

【例13】 一条变动的直线l 与椭圆24x +2

2

y =1交于P 、Q 两点，M 是l 上的动点，满足关

系2MP MQ ⋅=．若直线l 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．

【例14】 长度为(0)a a >的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在

线段AB 上，且AP PB λ=（λ为常数且0λ>）． ⑴求点P 的轨迹方程C ，并说明轨迹类型；