正切函数图象与性质PPT课件

四、小结：正切函数的图象和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图 象向左、右扩展得到。
2
、y
⑴
tan x 性质:
定义域：{x | x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心： ( k , 0) 无对称轴
反馈演练:
1、比较大小：
(1)tan1380 __<___tan1430 。
(2)tan(-
134π)__>___tan(-
17π) 5
例2.求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间.
2
解：自变量x应满足
3
2
x
3
2
k
,k
Z
所T以，原函数即的2定义域x是所以13{原x函2| kx数,k的13周Z期2是k2, k. Z}.
高一数学必修4（人教A版）
探究
一、你能否根据研究正弦、余弦函数的图象 和性质的经验以同样的方法研究正切函数 的图像和性质?
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y=sinx
y
1
y=cosx
y
1
2
0
2
-1
3 2
2
5 2
x
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3 2 5 x
2
2
-1
xR
xR
y [1,1]
y [1,1]
2
由
2
k
2
x
3
2
k , k Z
解得
5 3
2k
x
1 3
2k
,
k
Z
所以原函数的单调递增区间是
(
5 3
2k,
1 3
2k ),
k
Z
反馈演练:
求函数y=tan3x的定义域，值域，周期及单调 增区间。
定义域：{x | x k , k z}
36
值域：R 周期：T
3
单调递增区间：（ k , k）, k z 6 36 3
2
R
T=
奇函数
增区间 (k , k )k Z
2
2
二、图象 正切曲线
是被相互平行的直线 x k , k z
2
所隔开的无穷多支曲线组成的.
渐近线 渐近线
3
0
2
渐近线 渐近线
正 切 函 数 图 像
性质
⑴
:
定义域：
{x
|
x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称.
由诱导公式知
tan x tan x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
T
y
思考
A
O
x
O
A x
y T
T y
O
A x
O
A x
T
y
2
如图，在(0, ) 内
2
T2
1 2
1
AT1 AT2
T1
即tan1 tan2
2
2
基础练习
1．关于正切函数 y tan x , 下列判断不正确的是（B ）
A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线
段相等
２．函数 y tan(3x)的一个对称中心是（ C ）
A
.
(
, 0)
9
B. ( , 0)
4
C.
（3）求函数
y
tan
3x
3
的定义域、值域，
并指出它的单调性、奇偶性和周期性；
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
对称轴： x k , k Z
对称中心：(
2
k
, 0)
kZ
新知
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0
x
定义域：
x
|
x
2
k
,
k
Z
思考
2、正切函数 y tan x 是否为周期函数？
tan(x ) tan x
∴ y tan x 是周期函数，周期是 ．
思考 3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
(6)单调性：在每一个开区2间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，k Z
2
2
(7)渐近线方程： x k , k Z
2
内都是增函数。
3.数学思想方法：数形结合的思想
❖ 1.必做题：习题1.4 A组 6、8 B组 2 ❖ 2.选做题：
（1）解不等式1 tan x 0
（2）解不等式：tan x 3
因而 y tan 在 (0, )单调递增；
O
A
x
在
(
2
, 0)内
2
T3
3
4 3
AT4 AT3
即tan4 tan3
因而 y tan 在( , 0) 单调递增；
T4
4
所以 y tan 在( 2, ) 单调递增
22
探究二、如何利用正切线画出函数
y
tan
x ，x
，
22
的图像？
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
( , 0)
6
D.
(
4
,
0)
三、例题分析
例1、比较下列每组数的大小.
解:（1）（2）90ta0n(-116147π0)与17t3a0n(-118350π0 )
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
注：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx的同一单 调区间内，再利用y=tanx的单调性解决.
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
y
x
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
一、性质
你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y
1 x
-3/2 - t- -/2 0 t /2 t+ 3/2 -1
函数 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
y=tanx {x | x k , k Z}
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k ]
减函数
奇函数
2
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴： x
2
k
,
k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
⑸(6)渐单近调线性(方：2程：在kx每,k2一个k2开,)区k 间，kZ Z
内都是增函数。
(7)对称中心
(
kπ,0) 2
问题讨论:
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，k Z 内都是增函数。