最小二乘法

测量数据处理的完整步骤
1、求全部测得值的算术平均值x，实验标准偏差 , s( xi )。 注意：x作为中间计算数据要多保留 1～2 位。 2、利用异常值判断准则判断有无异常值， 如含有，则剔除异常值后再重新计算算术平均值x， 残差vi , 实验标准偏差s( xi )，并再次判断有无异常值。
3、检查有无系统误差， 如可检查判断出确有定值系统误差，则应确定误差 修正值（＝真值－测量值）并对x修正，或设法消除。 如存在明显规律的变值系统误差，则应在测量方法上设 法消除，如进行修正则应有充分的根据。
uD 2
对高度h 的测量不确定度影响显著的因素主要有： 高度的测量重复性引起的不确定度 uh1 测微仪示值误差引起的不确定度
uh 2
4. 不确定度评定：评定不确定度分量，并给出其数 值和自由度 （1）计算直径D的标准不确定度 uD
测量重复性引起的标准不确定度分量 uD1
uD1 sD
sD 6
p
i
, xn ，同时出现的概率为：
2 v 1 1 n i pi exp ( dx ) n 2 i i ( 2 ) i i
最可信赖值应使概率p最大，应满足上式中的指数最小：
2 2 v i i Min i
pv p v
4、分析造成测量不确定度的各测量不确定度分量，并进行 不确定度的A类或B类评定，确定计算各测量不确定度分量 的自由度。
5、计算合成标准不确定度uc ,和合成标准不确定度的有效 自由度 eff。计算合成标准不确定度uc 要注意各标准不 确定度分量之间是否相关，若相关则应在测量方法设计 上消除相关，若无法消除则合成时应计算相关项。
0.0049mm
D1 6 1 5
uD 2
1 8 2 2 (0.25)
测微仪示值误差引起的不确定度
（仪器说明书：测微仪的示值误差范围 0.01mm ）
u
0.01 0.0058mm 仪 3
D2
2 2 2 2 uD பைடு நூலகம்D u 0.0049 0.0058 0.0076mm 1 D2
l1 Y1 f1 ( X 1 , X 2 ,
问题：如何根据 l1 , l2 ,..., ln 和测量方程解得待测 量的估计值 x1 , x2 ,..., xt ？
函数关系：
Yi fi X1, X 2 ,
, Xt
若直接量Y1, Y2 ,, Yn 的估计量分别为 y1 , y2 ,, yn
2 1 1 2 2 2
p v p v min
2 n n i 1 2 i i
n
最小二乘条件 的一般形式
即测量结果的最可信赖值应在加权残差平方和为最 小的条件下求得。 n 2 2 2 2 v v v v i min 在等权测量条件下有 1 2 n
i 1


虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误 差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。 按最小二乘法原理所的结果是最可信赖，具有最优性 （即最小二乘估计是无偏的，且方差最小），这是因 为按上述的最小二乘条件处理测量数据能充分的利用 误差的抵偿作用，从而可以有效的减小随机误差的影 响。
5、计算合成标准不确定度和有效自由度： uc ui2＝ u12＋u2 2 0.0000031V 有效自由度：
eff
4 uc (0.31 10 5 )4 4 ui (0.28 10 5 )4 (0.12 10 5 )4 9 i
＝13.5
6、计算扩展不确定度： 置信概率p 0.95, eff 13, 查t分布表k95 (13) 2.16, U 95 2.16 0.31 10 5 0.000007V 7、不确定度报告： x （10.000014 0.000007）V , 式中 号后的数值为 (扩展不确定度)U 95＝kuc，U 95是由(合成标准不确定度) uc 0.31 10－5V 和包含因子k=2.16确定的，k依据 置信概率p=0.95和自由度 =13,由t分布表查得。
v
2 i
2.8 v
x7＝10.000121 ,
v7= 0.000017
vd xd x G( , n)s( x)
显著性水平α选为0.05， 查格拉布斯准则临界值 表G( 0.05,10)=2.176
v7 x7 x 0.000017 2.176 0.0000089 0.000019 故x7不是异常值，应予保留，测值中无异常值。
测某一圆柱体的体积。由分度值为0.01mm的 测微仪重复测量直径D和高度h各6次，数据如下：
Di/mm 10.075 10.085 hi/mm 10.105 10.115 10.095 10.060 10.085 10.080 10.115 10.110 10.110 10.115
1. 建立V与D、h数学模型
对某量X进行测量，得到一组数据x1，x2，…， xn，不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且 服从正态分布,其标准偏差为 1 , 2 , , n
测得值xi落入(xi，xi+dx)的概率:
pi
1
i
v exp 2 dx 2 2 i
2 i
而上述测得值 x1 , x2 ,
格拉布斯准则：
3、建立测量数学模型： x X X 其中X 为仪器最大允许误差对X的修正值
4、评定各测量不确定度分量， 并计算各测量不确定度分量的自由度: 1）A类标准不确定度u1 : u1 s( X ) 0.0000028 V, 其自由度 ＝n-1=9 2)由仪器最大允许误差引起的不确定度u2： 仪器最大允许误差为 0.000002 V 为均匀分布： u1 0.000002 / 3 0.0000012 V, 其自由度 ＝
yi fi x1, x2 ,
即
vi li fi x1, x2 , , xt
, xt
测量数据 l1 , l2 ,, ln 的残差为 vi li yi
称为残差方程。
实例：取6次不同温度，测定该不同温度下铜棒的长度 共6次，测量数据如下表，试估计0℃时的铜棒长度l0和铜 的线膨胀系数α。
V u1 u D 1.216 D
D 2
h

4
V uh 0.4823 h
2
u2
2
V V uc uD uh 1.31mm3 D h
其自由度为
1.314 16.76 4 4 1.216 0.4823 12.94 9.32
i 1 i i 1
最高。
最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值 （n次）中，寻找t个最佳估计值（n ＞t ） 的问题。
待测量： X 1 , X 2 ,..., X t
直接测量量： Y1 , Y2 ,..., Yn
, Xt ) l2 Y2 f 2 ( X 1 , X 2 , , X t ) M ln Y f ( X , X , , X ) n n 1 2 t
0.00764 D 12.94 4 4 0.0049 0.0058 5 8
（2）计算高度h的标准不确定度 uh
测量重复性引起的标准不确定度分量 uh1
uh1
sh sh 6
0.0017mm
h1 6 1 5
uh 2
1 8 2 2 (0.25)
测微仪示值误差引起的不确定度
写出第1组测量数据的测量方程： x1 10 x2＝2000.36 即： a11 x1 a12 x2＝l1 ， 同理可写出其他5个测量方程
写出完整的测量方程组：
x1 10 x2＝2000.36 x1 20 x2＝2000.72 x1 25 x2＝2000.80 x1 30 x2＝2001.07 x1 40 x2＝2001.48 x1 45 x2＝2001.60 a11 x1 a12 x2＝l1 a21 x1 a22 x2＝l2 a31 x1 a32 x2＝l3 即： a41 x1 a42 x2＝l4 a51 x1 a52 x2＝l5 a61 x1 a62 x2＝l6
测量方程组的特点： 1、测量方程的个数多于待估参数xi的个数， 2、虽然测量方程组提供的是测量数据的信息，但不可能通 过直接解测量方程组，而得出待估参数的最可信赖的估计值。 3、需利用最小二乘法求出待估计参数的最可信赖值。 4、还必须给出求出的待估参数最可信赖值的不确定度。
最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值 （n次）中，寻找t个最佳估计值（n ＞t ）的问题。
最小二乘法原理
若随机误差为正态分布，且不存在系统误差，对一 个量 X进行等权n次测量，得到数据x1,x2,…xn时
x
n
xi
i 1
n
n
n 2
u x
2 v i
n
nn 1
i 1
上式表明， vi2 越小，不确定度越小，所得x测量结果的可 信赖程度越高。当 v 为最小时，所得的结果可信赖程度
6、扩展不确定度 取置信概率p＝0.95， 查t分布表得包含因子
k t0.05 2 (16) 2.1098
于是，体积测量的扩展不确定度为
U kuc 2.76mm
3
＝16
7、不确定度报告 1）用合成标准不确定度表示测量结果
V 806.79mm3 , uc 1.31mm3 , 16
（仪器说明书：测微仪的示值误差范围 0.01mm ）
u
0.01 0.0058mm h2 3
D2
2 2 2 2 uh uh u 0.0017 0.0058 0.0061mm 1 h2
0.00764 h 9.32 0.0017 4 0.00584 5 8
5、不确定度合成 因 ij 0 ，则体积测量的合成标准不确定度 2 V D V Dh
i
ti
li
1
10
2000.36
2
20
2000.72
3
25
2000.80
4
30
2001.07
5
40
2001.48
6
45
2001.60
解：首先建立数学模型关系式：li＝l0 (1 t i ) l0 t i l0 式中 li ——在温度t i 下铜棒长度的测得值：
——铜的线膨胀系数。 令 l0＝x1 , l0 x2为两个待估计参量，
6、确定置信概率p，由置信概率p和有效自由度 eff 查t分布表 确定包含因子k，计算扩展不确定度U 或U P。
7、给出完整的测量结果报告。
例
用数字电压表测直流电压源的电压值,得： 10.000107,10.000103,10.000097, 10.000111,10.000091,10.000108,10.000121, 10.000101,10.000110,10.000094, 从说明书中查得数字电压表的最大允许误差为 ±0.000002V,
V
D2
4
h
2.计算D、h的平均值，求V的估计值
D 10.08 h 10.11
V
D2
4
h 806.79mm
3
3. 不确定度分析：分析测量不确定度的来源，列 出对测量结果影响显著的不确定度分量 分析测量方法可知，对直径D 的测量不确定度影响 显著的因素主要有： 直径的测量重复性引起的不确定度 uD1 测微仪示值误差引起的不确定度
试:按照测量数据处理的完整步骤进行实验数据处 理，并给出正确完整的测量结果的表达式。
1、 计算算术平均值等： X 10.000104v, n1 n( n 1) 2、判断有无异常值：（Grubbs准则） 可计算出测值中残余偏差绝对值最大的是： s
v
2 i
8.9 v, s( X )
2）用展伸不确定度表示测量结果
V (806.79 2.76)mm3 , p 0.95, 16
第8章 最小二乘法及其应用

最小二乘法是一种在多种学科领域得到广泛应用 的数据处理方法。人们采用这一方法，可以妥善 解决多个参数的最佳估计、用实验方法来拟定经 验公式、回归分析以及组合测量的数据处理等一 系列多参数数据处理和误差估计问题，并已形成 统计推断的一种准则。