第四章 格林函数法 (2)

Ω
可得 与
∂v ∂u (u∇ v − v∇ u )dV = ∫∫ (u − v )dS ∂n ∂n Γ ∂v ∂u ∫∫ (u ∂n − v ∂n )dS = 0 Γ
2 2
1 u (M 0 ) = − 4π
∂ 1 u (M ) ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u (M ) dS − rM M ∂n 0
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问 题的解 ？
∂u 为得到狄利克雷问题的解, 为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 ∂n |Γ ,
这需要引入格林函数的概念. 这需要引入格林函数的概念.
设 u, v 为 Ω 内的调和函数并且在 Ω + Γ 上 有一阶连续偏导数， 有一阶连续偏导数，利用第二格林公式
∫∫∫
∂u ∂u 所以牛曼内问题( 有 ∫∫ dS = 0. 所以牛曼内问题( |Γ = f ) ∂n ∂n Γ
∫∫ fdS = 0
Γ
事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件. 事实上 这也是牛曼内问题有解的充分条件
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题 是定解问题的两个解， 设 u1 ,u 2 是定解问题的两个解，则它们的 差 v = u1 − u2 必是原问题满足零边界条件的 解。对于狄利克雷问题， 对于狄利克雷问题，
Γ + Γε
∫∫
1 ∂ r 1 ∂u u − dS ∂n r ∂n
∂ (1/ r ) 1 ∂ (1/ r ) 1 =− = 2 = 2 ∂n ∂r r ε ∂ (1/ r ) 1 1 因此 ∫∫ u dS = 2 ∫∫ udS = 2 u ⋅ 4πε 2 = 4π u ∂r ε Γε ε Γε 1 ∂u 1 ∂u ∂u 同理可得 ∫∫ r ∂n dS = ε ∫∫ ∂n dS = 4πε ∂n Γε Γε
∇ 2 v = 0, v |Γ = 0
v 满足
v∈Ω
对于牛曼问题, 对于牛曼问题
v 满足
v∈ Ω
∇ 2 v = 0, ∂v |Γ = 0 ∂n
在第一格林公式中取 u = v = u1 − u2 , 由 v 是 调和函数， 调和函数，可得
uuuuu uuuuu r r ∂v 0 = ∫∫ v dS − ∫∫∫ grad v ⋅ grad v dV ∂n Ω Γ ∂v 在两个边界条件下， 在两个边界条件下，都有 ∫∫ v ∂n dS = 0 Γ uuuuu 2 r 所以 ∫∫∫ grad v dV = 0.
在球面 Γ ε 上,
我们可得
∂ 1 1 ∂u ∂u ∫∫ u ∂n r − r ∂n dS + 4π u − 4πε ∂n = 0 Γ
令ε →0 , 则 于是
limε →0 u = u (M 0 ) ,
∂u lim ε →0 4πε = 0 ∂n
相加得
∂v 1 ∂ 1 u (M 0 ) = ∫∫ u − ∂n 4π ∂n rM 0 M Γ ∂u 1 + − v dS ∂n 4πrM M 0
如果能找到调和函数 v , 使得 v |Γ = 4π r , M M 那么上式意味着
∆u = 0 (Ω)
u |Γ = f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
∆u = 0 (Ω)
∂u = f ∂n Γ
纽曼(Neumann)问题
以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些边界条件, 在 上给定某些边界条件, 区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称为内问题 区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称为内问题. 内问题. 在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法. 在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法. 例如, 当确定某物体外部的稳恒温度场时, 例如, 当确定某物体外部的稳恒温度场时, 就归结为在区 的外部求调和函数u 使满足边界条件u 域Ω 的外部求调和函数u, 使满足边界条件u|Γ = f, 这里Γ 是Ω 的边界, f 表示物体表面的温度分布. 像这样的定解问 的边界, 表示物体表面的温度分布. 题称为拉普拉斯方程的外问题 题称为拉普拉斯方程的外问题. 外问题. 由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的, 由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的, 定解 问题的解是否应加以一定的限制? 问题的解是否应加以一定的限制? 基于在电学上总是假定 在无穷远处的电位为零, 在无穷远处的电位为零, 所以在外问题中常常要求附加如 下条件: 下条件:
4.2 格 林 公 式
高斯公式：设 Ω 是以光滑曲面 为边界的有界区 Γ 域，P( x, y, z )， Q(x, y, z )，R(x, y, z )在闭域+ Γ Ω 续,在 Ω 内有一阶连续偏导数，则 上连
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ∂x + ∂y + ∂z dV = ∫∫ ( P cos ( n, x ) + Q cos ( n, y ) + R cos ( n, z ) ) dS Ω Γ
∂v Q ( x, y , z ) = u ∂y
∂v R ( x, y , z ) = u ∂z
则
P, Q, R ∈ C (Ω + Γ ) ∩ C 1 (Ω )
将 P, Q, R 代入高斯公式，等式右端
∂v ∂v ∂v ∫∫ u ∂x cos(n, x ) + ∂y cos(n, y ) + ∂z cos(n, z )dS = Γ
其中 n 为 Γ 的外法向量。 高斯公式可简记为
r r r ∫∫∫ ∇ ⋅ adV = ∫∫ a ⋅ n d S
Ω Γ
设 u = u ( x, y, z ) , v = v( x, y, z ) 满足
u , v ∈ C (Ω + Γ ) ∩ C (Ω )
1 2
∂v 令 P ( x, y , z ) = u ∂x
(
)
uuuuu r 故在 Ω 内必有 grad v = 0 , 即
∂v ∂v ∂v = = =0 ∂x ∂y ∂z
Ω
(
)
为常数. 可得 v ≡ C ，其中 C 为常数
对于狄利克雷问题, 对于狄利克雷问题 由于 v |Γ = 0 , 故 C = 0 从而 v = 0 . 结论 狄利克雷问题在 C ( Ω + Γ) ∩ C ( Ω)
拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
设 u = u ( x, y, z ) 满足拉普拉斯方程
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + 2 + 2 = 0, 2 ∂x ∂y ∂z 描述稳恒状态下的物理过程。
通常表示成
∇ u=0
2
Байду номын сангаас
不存在初始条件. 拉普拉斯方程的解称为调和函数
边界条件: 1） 第一边值问题
则
∂G u (M 0 ) = − ∫∫ u dS ∂n Γ
G (M , M 0 ) 称为拉普拉斯方程的格林函数 称为拉普拉斯方程的格林函数.
如果能找到格林函数中的 v , 并且它在 上有一阶连续偏导数， Ω + Γ上有一阶连续偏导数， 2 则狄利克雷问题 ∇ u = 0, u ∈ Ω u |Γ = f 的解如果存在, 的解如果存在 必可以表示为
1 u (M0 ) = − 4π
∂ 1 ∫∫ u ( M ) ∂n rM M Γ 0
1 ∂u ( M ) dS − rM M ∂n 0
4)平均值公式 平均值公式 内是调和函数, 设函数 u (M ) 在某区域 Ω 内是调和函数
M0 是
内任一点, Ω 内任一点
∂v ∫∫ u ∂n dS Γ
等式左端 的位置, 交换 u, v 的位置 有 ∂P ∂Q ∂R uuuuu uuuuu r r ∫∫∫ ∂ x + ∂2y + ∂ z dV ∂u v∇ udV = ∫∫ v dS − ∫∫∫ ( grad v ⋅ grad u ) dV ∫∫∫ ∂v + u ∂ v dV + ∫∫∫ ∂u∂∂nv + u ∂ v ΩdV + ∂u ∂v + u ∂ v dV ∂u = ∫∫∫ Ω Γ ∫∫∫ ∂ z ∂ z ∂ z ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x 两式相减, 两式相减 得
Ω
2
2
2
2
2
Ω
Ω
2
Ω
∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v = ∫∫∫ + ∂ x ∂ x 2 v∂− ∂ y +2uz) dV dV + ∫∫∫ u ∂ x 2 + ∂ y 2 + ∂ z 2 dV (u∇ y v∇ ∂ ∂ z Ω Ω r r Ω uuuuu uuuuu Γ 2 = ∫∫∫ grad u ⋅ grad v dV + u ∇ vdV
Ka
表示以 M 0 为中 内的球面, 内的球面
心, 则有
a 为半径且完全落在 Ω
1 u (M0 ) = 2 4π a
∫∫ udS
Ka
4.3 格林函数 调和函数的积分表达式
1 u (M0 ) = − 4π ∂ 1 ∫∫ u ( M ) ∂n rM M Γ 0 1 ∂u ( M ) dS − rM M ∂n 0
1 在区域 Ω − K ε 内及其边界 Γ + Γε 上， v = r
在第二格林公式中, 取 u 为调和函数, 并 为调和函数, 在第二格林公式中, 上有一阶连续偏导数, 假定它在 Ω + Γ 上有一阶连续偏导数, 而 1 取 v = , 在区域 Ω − K ε 上应用公式得