相交线中的角 (最新)
相交线中的角(同位角、内错角、同旁内角)
相交线中的角教学目的：1、通过学习使学习能从“三线八角”中认识有关“同位角”、“内错角”、“同旁内角”的有关定义；2、能从一些变形的图形中找到符合题意的对应角。
教学分析：重点：能从适当的图形中找到相关的角； 难点：如何正确地认识图形。
教学过程：一、知识导向：本节“三线八角”的学习是为后面学习“平行线”打基础，本节掌握的程度将起到至关重要的作用。
在本节的学习中，主要是如何引导学生对图形的分解，如何从相关角的位置地认识不同的对应角。
二、新课拆析： 1、知识导入：（引疑1）如图，直线AB 交直线CD 于点O ，则从前面的学习中，我们也知道在相交所形成的四个角中，存在着两种对应角：对顶角与邻补角。
（引疑2）如图，直线AB 分别与直线CD 、直线EF 都相交，交点分别为P 、Q ，则图中存在着八个角，这八个角1234ABCDO ABCDEFP Q13245678中，有相同顶点的角是对顶角或是邻补角，那么其他的角，又有什么位置关系？2、知识形成：我们说：在一个平面内，一条直线l与两条直线a、b分别相交于点P、Q，可以说成“直线l截直线a、b于点P、Q”。
其中，直线l叫做截线，直线a、b叫做被截直线。
在右图，我们很容易得知，有八个角，其中有四对对顶角，八对邻补角，对于1∠与5∠这样位置的一对角，我们称之为同位角；对于3∠与5∠这样位置的一对角，我们称之为内错角；对于4∠与5∠这样位置的一对角，我们称之为同旁内角；概括：同位角一对角位于截线的同侧，被截线的同侧；内错角一对角位于截线的异侧，被截线的内侧；同旁内角一对角位于截线的同侧，被截线的内侧。
所以，在上图中还有其他的“同位角”、“内错角”、“同旁内角”。
3、例题讲解：例：请找到图中的同位角，内错角，同旁内角。
三、巩固训练：Ｐ165 exc1、2、3、“试一试”132456四、知识小结：本节主要为平行线的学习打基础，学习了如何从“三线”中找到“八角”，每对角的相对位置是找到相应角的关键。
相交线的角度关系与计算
相交线的角度关系与计算在几何学中，线与线的交汇点被定义为相交点。
当两条直线相交时，产生的角度关系一直以来都是研究的重点。
本文将探讨相交线的角度关系以及相关的计算方法。
1. 垂直线当两条线相交时，如果它们的交角为90度，我们可以称其为垂直线。
垂直线之间的角度关系是直角，也就是说它们是互相垂直的。
在计算中，我们可以使用垂直线的性质来求解角度大小。
2. 成锐角和成钝角除了垂直线外，两条相交线还可以形成其他角度关系。
当两条线相交时，如果它们的交角小于90度，则它们之间的角度关系被称为成锐角。
相反，当两条线相交时，如果它们的交角大于90度，则它们之间的角度关系被称为成钝角。
成锐角与成钝角之间的大小关系可以用以下规律来描述：锐角+钝角=180度。
3. 同位角和内错角在两条相交线中，角度关系还可以细分为同位角和内错角。
同位角指的是两条平行线被直线截断后，与直线同侧的对应角。
同位角之间的关系是相等的，也就是说它们的角度大小相同。
内错角是指两条平行线被直线截断后，与直线异侧的对应角。
内错角之间的关系是补角关系，也就是说它们的角度大小相加为180度。
4. 角度计算方法当我们需要计算相交线的角度关系时，可以使用以下方法：4.1 视觉比较法：将两条线的交点作为维度，通过使用量角器或直观感受来比较角度的大小。
4.2 利用已知角度：如果已知某个角度的大小，我们可以利用同位角、内错角等角度关系来计算其他角度。
4.3 利用三角函数：当两条线的斜率已知时，我们可以使用三角函数来计算角度。
通过计算斜率的差值，并求解反三角函数，我们可以得到角度的大小。
综上所述，相交线的角度关系与计算是几何学中的基础内容。
我们可以通过明确角度关系的定义和性质，运用相应的计算方法来求解角度大小。
通过深入学习和实践，我们可以更好地理解相交线的角度关系，并应用于实际问题的解决中。
七年级数学人教版下册第五章5.3相交线、平行线中角的计算的四种常见题型课件(共25张PPT)
解：∵在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，
∴∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.
∴∠AOE＝2∠BOD＝2x°，
题型 2 利用垂线求角 ∴∠BOC＝
×180°＝35°，
(4)由(3)可知∠BOC＋∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°－∠BOC＋90°＝180°－∠BOC.
再见
∴∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.
∴∠EGF＝∠EGD＝55°.
(4)由(3)可知∠BOC＋∠AOD＝180°，
(3)∠AOD与∠BOC互补．理由如下：
(3)根据(1)(2)的结果猜想∠AOD与∠BOC有怎样的关系，并 根据图①说明理由；
(4) 如 图 ② ， 若 ∠ BOC ∶ ∠ AOD ＝ 7 ∶ 29 ， 求 ∠ BOC 和 ∠AOD的度数.
人教版数学七年级下册
第五章
5.3.4 相交线、平行线中角的四种常见题型
合作探究 题型 1 利用余角、平角、对顶角转换求角
1．如图，三条直线AB，CD，EF相交于同一点O.若∠AOE ＝2∠BOD，∠COF比∠AOE大30°，求∠AOC的度数.
解：设∠AOC＝x°，则∠BOD＝∠AOC＝x°. ∴∠AOE＝2∠BOD＝2x°， ∠COF＝∠AOE＋30°＝2x°＋30°. ∵∠AOE＋∠AOC＋∠COF＝180°， ∴2x＋x＋2x＋30＝180，解得x＝30. ∴∠AOC＝30°.
解：∠AOD 与∠BOC 互补．理由如下： ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°. ∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－∠BOC. ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°. ∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°－∠BOC＋ 90°＝180°－∠BOC. ∴∠AOD＋∠BOC＝180°，即∠AOD 与∠BOC 互补．
相交线中的角PPT课件(华师大版)
一、问题情景
l
b
α
l
1
2
b
43
l
1
2
b
3 4
α
l
1
2
b
3 4
56
α
87
二、探索交流 相交线中的角
１ 视察交流
b
l
1
2
3 4
从直线 l 来看，∠１与∠５处于哪个位置？
5
6
∠１与∠５处于直线 l 的同一侧 α
从直线a、b来看，∠１与∠５又处于哪个位置8？ 7
∠１与∠５都处于直线a、b的同一方
二、探索交流 相交线中的角
l
1
2
３ 类比交流
b
3 4
从直线 l 来看，∠３与∠５处于哪个位置？
56
∠３与∠５都处于直线 l 的两侧 α 从直线a、b来看，∠３与∠５又处于哪个位置8？ 7
∠３与∠５都处于直线a、b的内部
这样的一对角（ ∠３与∠５ ）就是内错角 （Z型）
图中的内错角还有哪些？
内错角还有∠４与∠６。
∠４与∠５都处于直线a、b的内部
这样的一对角（ ∠４与∠５ ）就是同旁内角 （n型）
图中的同旁内角还有哪些？
同旁内角还有∠３与∠６。
二、探索交流 相交线中的角
６ 练习
请找出图中的同旁内角？
b
图中的同旁内角有：
a
∠４与∠５、 ∠３和∠６、
l
12
8
二、探索交流 相交线中的角
７ 例题： 请同学们指出下列各图中∠１与∠２的关系。
2、 2的同位角是_____5____，
6
3、 3的内错角是_____6____，
课件相交直线所成的角
在几何图形中的应用
01
02
03
确定几何图形形状
通过相交直线所成的角， 可以确定几何图形的形状， 如三角形、四边形等。
计算面积和周长
利用相交直线所成的角， 可以计算几何图形的面积 和周长，如三角形的高、 矩形的长和宽等。
解决几何问题
通过相交直线所成的角， 可以解决一些几何问题， 如求两直线的交点、判断 两直线是否平行等。
注意相交直线所成的角的取值范围
总结词
相交直线所成的角的取值范围是0度到 180度，课件中应明确指出这一限制条件 。
VS
详细描述
根据几何学原理，相交直线所成的角的大 小范围在0度到180度之间。超出这个范 围的角不可能由两条直线相交形成。课件 中应明确指出这一限制条件，帮助学生理 解角的正确取值范围。
相交直线所成的角的度量
度量单位
角度的度量单位是度（°），也可以使 用弧度（rad）。
度量工具
可以使用量角器、直尺和三角板等工 具进行测量。
相交直线所成的角的取值范围
取值范围
相交直线所成的角的取值范围是$0° leq theta leq 90°$，其中$theta$是两直 线之间的夹角。
特殊ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ况
当两直线垂直时，所成的角为$90°$；当两直线平行或重合时，所成的角为 $0°$。
课件相交直线所成的角
• 课件相交直线所成的角的定义 • 课件相交直线所成的角的计算方法 • 课件相交直线所成的角的应用 • 课件相交直线所成的角的注意事项
01
课件相交直线所成的角的定义
定义与性质
定义
相交直线所成的角是指两条相交 直线在平面内形成的夹角。
性质
相交直线所成的角是两条直线之 间的相对位置关系，具有方向性 和大小。
5.1相交线.3.同位角、内错角、同旁内角
号，同旁内角叫.
图形中的同旁内角除了∠4和 ∠5还有哪 几对？
解：除了∠4和 ∠5， 还有： ∠3和∠6.
l
b
1 2
a
4 5
3 6
87
5.填表
角的 名称
位置特征
图形结构 特征
同位 角
在截线＿同＿一＿侧 ,在两 条被截直线同＿一＿方＿.
形如符号“F” (或反置或倒置)
内错 角
在截线＿两＿侧＿(交＿错＿) ,在 两条被截直线内＿部＿.
b
c
12 34 a 567 8
练习2：如图，与∠1是同位角的是＿∠4 , 与∠1是内错角的是＿∠2＿ ，与∠1是同旁 内角的是＿∠＿5
3 2
4
5
1
3、如图，请判定
（1）∠A与∠B是直线AB、CD被直线BC
所截而成的同旁内角。 （× ）
（2）∠B与∠C是直线AB、CD被直线BC
所截而成的同旁内角。 （
邻补角有：
四对:∠1和∠2
a 12 43
∠2和∠3 ∠3和∠4 ∠4和∠1
2.又有直线b与l相交于点Q，构成几个角 ？有多少对对顶角？有多少对邻
解 构成八个角；
l
b a
1
4 5
Q2 3 6
8 P7
2.又有直线b与l相交于点Q，构成几个角
？有多少对对顶角？有多少对邻补角 ？
解：构成八个角.
对顶角四l 对:∠∠∠125和和和∠∠∠347
a
4 5
3 6
87
这样位置的 一对角就是
内错角 a
b 53
观察∠3和 ∠5这两个角,其图形如什么符 号？
l
b
1 2
a
相交线中的角 PPT课件 华东师大版
研 相交 读 线中 （4） ∠2与∠4是直线 A 课 D 的角 DE _ BC 和 EF被直线__ 程 所截而得的 同位角 _____ . 标 1 2 C B 准 3 5 （5）∠4与∠5是直 开 4 F EF 被直 BC 和____ 线____ E 展 DE 所截而得的 线____ 多 同旁内角 _________. 元 教 走进生活，关注数学 学
游乐 场
交通指南
超市
学校 学
新
桥
人
路
飞机场 北
京 路
民 路
汉字中的数学美
研 相交 读 线中 汉字有方、正、秀、美的特点。许多汉字本身就 课 可以看作一幅美丽的数学图形。 的角 让我们把下面这些汉字看成几何图形，找出 程 标 今天所学到的角。 准 开 展 多 元 教 走进生活，关注数学 学
士车 丰
找一找:
走进生活，关注数学
拓展练习
元 教 学
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研 相交 说一说 读 线中 课 的角 你能说出下图中的截线与被截线吗 ? 程 a m 标 m 准 a 开 c b a 展 b b 多 元 教 走进生活，关注数学 学
m
1 b 4 5 8
2
3
6
7
a
走进生活，关注数学
研 相交 读 线中 课 的角 程 标 准 开 展 多 元 教 学
研 相交 读 线中 两条直线被第三条直线所截， 课 m 的角 1 2 程 如∠ 1与∠ 5位于两直线 3 标 4 的同一方，第三条直线同 b 6 准 5 一侧,这样位置的一对角就 开 7 8 是同位角. a 展 多 还有∠2与 ∠ 6、∠3与 ∠7、 元 ∠4与 ∠8 教 走进生活，关注数学 学
新七年级数学PPT 相交线中的角课件
同位角
被截线
21
a
4 3
5 6
b
77 8
l 截线
达标练习
1、如图：找出图中的同位角。
C
E
A
12
34
B
D
56
F
∠1与 ∠3， ∠2与 ∠4
内错角
被截线
21
a
4 3
5 6
78
l
b 截线
达标练习
2、如图：找出图中的内错角。
C
E
12
34
A
D
56
B
∠2与 ∠5F
同旁内角
被截线
21
a
4 3
5 6
b
78
AA 11 BB 2
D 33 444 DD
CCC ∠∠21和和∠∠344是是内同内错 旁错角 内角， 角，是 ，是由 是由直 由直直 线线ABADCB，，BDCCDC与
DE被直线FC所截的同位角，（ ∠1 ）
与（∠3 ）是直线AB与FC被直线DE
所截得的内错角，∠c与∠B是直
线AB与FC被直线（ BC ）所截得
的同旁内角。
A F
D1
2E
3
思考题
B
C
把握今天 成就未来
谢谢
作业布置
1、P165练习题1
2、思考题。如图：三直线
两两相交，共有多少对同
a
位角、内错角及同旁内角？
b
a
c
∠1与 ∠6 是同位角；
∠5与 ∠3，∠5与∠4 是同旁内角；
∠2与
是内错角。 ∠1
a
c
d 27
13
b
45
6
相交线所成的角课件
CHAPTER
06
相交线所成的角的练习题及解 析
基础练习题
题目：两条直线被第三条直线所截，如果∠1和∠2是同旁内角，并且∠1 = 75°，那么∠2为( )
解析：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，所以只有当 两直线平行时，同旁内角才互补。
答案：D
提高练习题
01
题目：已知直线a平行于x轴，点M（-2，-3）是直线a上的一个点 ，若点A（n，-3）也是直线a上的一个点，则实数n的值是（）
同位角相等，内错角相等。
内错角
两条相交直线被第三条直线所截，位 于两条被截直线之间，且在第三条直 线的两侧的两个角。
证明方法
利用平行线的性质和角的性质进行证 明。
CHAPTER
03
相交线所成的角的性质
对顶角的性质
对顶角相等
对顶角相等是相交线所成角的基本性质，即两 条相交直线所形成的对顶角大小相等。
计算方法
利用邻补角互补的性质，可以计算出相交线所成的角度。例 如，在直角三角形中，可以利用一个锐角的度数和邻补角互 补的性质计算出另一个锐角的度数。
利用同位角相等或内错角相等计算角度
同位角相等
当两条直线被第三条直线所截，位于截线的同侧的两个角称为同位角，它们的大小相等。
内错角相等
当两条直线被第三条直线所截，位于截线的内侧的两个角称为内错角，它们的大小相等。
02
解析：由于直线a平行于x轴，所以其上任意两点的纵坐标相等。 由此可知，点A的纵坐标为-3，与点M的纵坐标相同，因此横坐标
也相同。
03
答案：A
综合练习题
01
题目：已知直线a平行于y轴，点M（2，-3）是直线a上的一个点，若点A（m ，n）也是直线a上的一个点，则m，n的值为（）
七年级数学相交线中的角
-------------相交线中的角
宜宾南门大桥1990年竣工通车，跨径在同类 拱式结构桥中居亚洲前列。 2001年由于不堪交通重负发生过一次断裂。 为了缓解南门大桥的交通负担，宜宾于2004 年建成了戎州大桥。
金沙江 1 南 门 桥 4 2
3
5 8
6 7
戎州桥
一．两条直线被第三条直线所截
a
c b c d a b
2.根据图形按要求填空： （1）∠1与∠2是直线 AB 和 被直线 DE 同位角 BC所截而得的 .
A D C
1 2 B 3 5 4
E
F
（2） ∠1与∠3是直 线 AB 和 DE 被直线 所截而得的 内错角 . BC （3）∠4与∠5是 EF 直线 ____和 ____被 BC DE 直线 ____所截而得 同旁内角 的 _________.
A
D
1 2 C B 3 5 4 F E
生活联系：
（1）银行与超市是 （ 中山 ）街与（ 东 ） 街被（ 中心路 ）路所 截得到的 同位 角。
交通指南
中 东
超市 书店 中
山 学校
建设 银行
（2）与银行位置是内 错角关系的是（ Ｃ ） A、超市 B、书店 C、学校 （3）银行与书店的位 置是什么角关系？
民 主 路
东 街
∠5与 ∠3 和∠4 是同旁内角。 d a
c b
咱们来辨一辨：
如图：∠1与∠2是同位角吗 ？
a a b b
c c
d
粉嫩公主酒酿蛋/65/2016-03-11/7447.html 崔冚莒
如图：∠1与∠2是内错角吗？
a a
b
b c d c
如图：∠1与∠2是同旁内角吗？
七年级 相交线 ,最新版-带答案
相交线一、知识梳理二、教学重、难点三、作业完成情况四、典题探究例1、如图，点O在直线AD上，∠EOC=90°，∠DOB=90°，若∠EOD=50°，求∠AOC的度数．例2、如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC．（1）分别写出图中与∠AOM互余和互补的角；（2）已知OE平分∠BON，且∠EON=20°，求∠AOM的度数．例3、如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD的补角，∠BOE的邻补角．（2）试判断射线OE 与OD 的位置关系，并说明为什么？例4、如图，直线AB 、CD 相交于O ，∠1+∠2=110°，∠3=140°． （1）求∠2的度数；（2）试说明OM 平分∠AOD ．五、演练方阵A 档（巩固专练）1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )毛12121221A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于( • ) A.150° B.180° C.210° D.120°OFE D CB A O DCBA 60︒30︒34l 3l 2l 112图(1) 图(2) 图(3) 3.下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图2所示,直线AB 和CD 相交于点O,若∠AOD 与∠BOC 的和为236°,则∠AOC•的度数为( )A.62°B.118°C.72°D.59°5.如图3所示,直线L1,L2,L3相交于一点,则下列答案中,全对的一组是( ) A.∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°; B.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30C.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°;D.∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30° 6．判断题（对的打“√”，错的打“×”） （1）没有公共边的两个角是对顶角.（ ） （2）有公共顶点的两个角是对顶角.（ ）（3）两条直线相交所成的四个角中，不相邻的两个角是对顶角.（ ） （4）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.（ ） （5）对顶角的补角相等.（ ）7.如图4所示,AB 与CD 相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___.34D CBA 12OFED CB A图(4) 图(5) 8. 对顶角的性质是______________________.9.如图4所示,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______.10.如图5所示,直线AB,CD,EF 相交于点O,则∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______.B 档（提升精练）11.如图6所示,已知直线AB,CD 相交于O,OA 平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD=•______.OE D CBAODC BA 12图(6) 图(7)2.如图7所示,直线AB,CD 相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____.OE D CBAOE DCBA图(8) 图(9)3.如图8所示,直线AB,CD 相交于点O,OE 平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,•则∠EOB=______________.4.如图9所示,直线AB,CD 相交于点O,已知∠AOC=70°,OE 把∠BOD 分成两部分,• 且∠BOE:∠EOD=2:3,则∠EOD=________.5.如图所示,AB,CD,EF 交于点O,∠1=20°,∠BOC=80°,求∠2的度数.OF EDCBA 126.如图所示,l1,l2,l3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.34l 3l 2l 1127.如图所示,AB,CD 相交于点O,OE 平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD,∠AOE•的 度数.OE DCBA8.如图所示,直线AB 与CD 相交于点O,∠AOC:∠AOD=2:3,求∠BOD 的度数.ODCBA9.如图所示,直线a,b,c 两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°,求∠4的度数.c ba341210.如图,已知∠ABC=90°,∠1=∠2,∠DCA=∠CAB,求证:(1)CD⊥CB;(2)CD•平分∠ACE.C档（跨越导练）1.如图,OE,OF分别是∠AOC与∠BOC的平分线,且OE⊥OF,求证:A,O,B•三点在同一直线上.CA BOFE2.如图已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE=21∠EOC, ∠DOE=72°,求∠EOC的度数3．如图直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB21DCABE(1)若∠1=∠2，求∠NOD 的度数(2)若∠1=41∠BOC, 求∠BOD 的度数4.如图A 、B 、C 三点表示某平原的三个村庄；要建一个电视转播站，使它到三个村庄距离相等，求作电视转播的位置P.5.若4条不同的直线相交于一点,则图中共有几对对顶角?若n 条不同的直线相交 于一点呢?6..在一个平面内任意画出6条直线,最多可以把平面分成几个部分?n 条直线呢?•7.已知点O 是直线AB 上一点,OC,OD 是两条射线,且∠AOC=∠BOD,则∠AOC 与∠BOD 是 对顶角吗?为什么?8.如图16所示,直线AB,CD 相交于O,若∠1=40°,则∠2•的度数为____O DCBA12相交线答案四、典题探究例1、如图，点O在直线AD上，∠EOC=90°，∠DOB=90°，若∠EOD=50°，求∠AOC的度数．【答案】解：∵∠EOC=90°，∠DOB=90°，∠EOD=50°，∴∠EOD=∠BOC=50°，∴∠AOC=140°例2、如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC．（1）分别写出图中与∠AOM互余和互补的角；（2）已知OE平分∠BON，且∠EON=20°，求∠AOM的度数．【答案】解：（1）与∠AOM互余的角是：∠COM，∠BON；互补的角是：∠AON；（2）：∵OE平分∠BON，∴∠BON=2∠EON=40°，∴∠COM=∠BON=40°，∵AO⊥BC，∴∠AOC=90°，∴∠AOM=90°-∠COM=90°-40°=50°．例3、如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD的补角，∠BOE的邻补角．（2）试判断射线OE与OD的位置关系，并说明为什么？【答案】解：（1）∵OD平分∠BOC，∴∠DOB=∠DOC，∵∠AOD+∠DOB=180°，∴∠AOD的补角是∠DOB和∠DOC；∵∠BOE+∠AOE=180°，∴∠BOE的邻补角是∠AOE．（2）OE⊥OD，理由是：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠DOC=1/2∠BOC，∠EOC=1/2∠AOC，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=90°，∴OE⊥OD．例4、如图，直线AB、CD相交于O，∠1+∠2=110°，∠3=140°．（1）求∠2的度数；（2）试说明OM平分∠AOD．解：（1）∵∠3=140°，∴∠AOD=∠3=140°，∴∠1=180°-140°=40°，∵∠1+∠2=110°，∴∠2=110°-40°=70°；（2）∵∠1+∠2=110°，∴∠MOD=180°-110°=70°，∴∠2=∠MOD=70°，∴OM平分∠AOD．A档（巩固专练）1.A2.B3.B4.A5.D6.（1）×（2）×（3）∨（4）×（5）∨7.∠2和∠4 ∠3 8.对顶角相等9.155°25°155°10. ∠BOC ∠COB和∠AOD 50°130°B档（提升精练）1.35°•2.125°55°3.147.5°4.42°5.∠BOC=80°∴∠BOF=∠BOC-∠1=80°-20°=60°又∵∠BOF=∠2（对等角相等）∴∠2=60°6.∠4=∠1+∠2∠1=∠2，∠3：∠1=8：1∠1=∠2=180°÷10=18°∴∠4=36°7.∵∠AOC和∠BOD是对顶角∴∠BOD=∠AOC=120°∵∠AOD+∠AOC=180°∴∠AOD=60°∵OE平分∠AOD∴∠AOE=1/2∠AOD=30°8.直线AB与CD相交于点O∴∠AOC＋∠AOD=180∠AOC＝∠BOD∵,∠AOC:∠AOD=2:3,∠AOC=∠BOD=72°9.10. （1）∵∠DCA=∠CAB∴AB//CD∵∠ABC=90°，即AB⊥CB∴CD⊥CB（2）由CD⊥CB可知∠BCD=∠1+∠ACD=90°那么∠2+∠DCE=180°-∠BCD=180°-90°=90°又∠1=∠2∴∠ACD=∠DCE即：CD平分∠ACEC档（跨越导练）1.∵OE平分∠AOC∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC/2∵OF平分∠BOC∴∠BOF＝∠COF＝∠BOC/2∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝∠AOC/2+∠BOC/2＝（∠AOC+∠BOC）/2＝∠AOB/2 ∵OE⊥OF∴∠EOF＝90∴∠AOB/2＝90∴∠AOB＝180∴A，O，B三点在同一直线上2.设∠EOC=2x∵∠BOE=1/2∠EOC∴∠BOE=x∵∠DOE=∠DOB+∠BOE∠DOE=72°∴∠DOB=72°-x∵OD是∠AOB的平分线∴∠AOB=2∠DOB∴∠AOB=144°-2x∵∠AOB+∠BOE+∠COE=180°∴144°-2x+x+2x=180°∴x=36°∴∠EOC=2x=72°3.（1）∵OM⊥AB∴∠AOM＝90°∵∠AOM＝∠AOC+∠1∴∠AOC+∠1＝90°∵∠1＝∠2∴∠AOC+∠2＝90°∵∠CON＝∠AOC+∠2∴∠CON＝90°∴ON⊥CD∴∠NOD＝90°（2）∵OM⊥AB∴∠AOM＝90°∴∠AOC+∠1＝90°∵∠1=1/4∠BOC∴∠AOC+1/4∠BOC＝90°∴∠AOC＝90°-1/4∠BOC∵∠AOC+∠BOC＝180°∴90°-1/4∠BOC+∠BOC＝180°∴∠BOC＝120°∴∠AOC ＝90°-1/4∠BOC ＝90°-30°＝60°∠1＝1/4∠BOC ＝30°∴∠MOD ＝180°-∠1＝180°-30°＝150°∴∠BOD=∠MOD-90°=150°-90°=60°4.连接AB,AC,BC ，然后分别做它们的中垂线，会交于一点即是p 点所在位置5.4条不同的直线相交于一点,图中共有12对对顶角(平角除外),n 条不同的直线相交于一点,图中共有(n2-n)对对顶角(平角除外).6.6条直线最多可以把平面分成22个部分,n 条直线最多可以把平面分成(1)12n n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个部分.7.∠AOC 与∠BOD 不一定是对顶角.如图1所示,当射线OC,OD 位于直线AB 的一侧 时,不是对顶角;如图2所示,当射线OC,OD 位于直线AB 的两侧时,是对顶角.(1)D CB A 21 (2)O CB A8.140°.。
相交线中的角
初一数学
主讲教师:于静 主讲教师:
相交线中的角
如图,有公共顶点的角是对顶角或邻补角,那么,没有公共 顶点的角呢? 直线a,b叫被截线,c叫截线.此图所示为直线a,b被c所截, 即两条直线被第三条直线所截. 两条直线被第三条直线所截, 产生了8个角. 85 76 c b 41 3 2 a
2
小结
1.这节课你又认识了什么角? 2.你有好办法来找出这些角吗?
�
A
C
14 13 15 16 H
D
练习3:找出下图中∠A的同位角, ∠C的内错角,并指出是哪两 条直线被哪一条直线所截而成的 E B
A C
F
练习4:如图,能否画一条直线,使图形中与∠B成为同旁内角 的角有3个?有4个?如果能,请画出来 A
C
B
练习5:指出下图中的两个角是不是同位角,如果是请指出是哪两 条直线被哪一条直线所截而成的 1 a 2 c 1 b c a b 1 2 b c a 1 2 1 a c b d c 2 d a e b
∠2与∠8被直线a,b夹在 ∠3的内错角是 部,在直线c的 旁(交错着) .
, ∠5的内错角是
4 1 32
a
85 76 c
b
相交线中的角——内错角 内错角 相交线中的角
左 6 8 4 2
57 31 右
同旁内角
∠2与∠5被直线a,b夹在 ∠3的同旁内角是 部,在直线c的 旁; . , ∠8的同旁内角是
4 1 3 2
a
b 85 76 c
相交线中的角——同旁内角 同旁内角 相交线中的角
左 6 8 4 2
5 3 17 右
a
4 1 32 85 76 c
b
相交线之间的角和关系
相交线之间的角和关系角是几何形状中常见的概念之一，它是由两个射线共享一个端点形成的，可以用来描述物体之间的相对位置和方向。
当两条线相交时，会形成多个角，它们之间存在一些特殊的关系。
本文将探讨相交线之间的角和关系。
一、对顶角和补角当两条线直接相交时，形成的相邻角被称为对顶角。
对顶角的特点是它们的度数相等。
例如，当两条线直接相交时，形成的四个角ABD、ABC、CBD和CBA都是对顶角，它们的度数相等。
补角是指两个角度加起来为180度的角。
在相交线中，如果一对对顶角的度数加起来等于180度，则称这两个对顶角是互补角。
例如，当角ABD和角CBD是一对对顶角时，它们的度数之和为180度，则它们是互补角。
二、同位角和内错角同位角是指两条平行线被一条横穿线相交形成的角。
同位角的特点是它们的度数相等。
例如，当直线AB和直线CD是平行线，直线EF横穿这两条平行线时，形成的角AED和角BEF是同位角，它们的度数相等。
内错角是指两条平行线被一条横穿线相交形成的与同位角相对的角。
内错角的特点是它们的度数之和等于180度。
例如，当直线AB和直线CD是平行线，直线EF横穿这两条平行线时，形成的角DEC和角BEF 是内错角，它们的度数之和等于180度。
三、余角和邻补角余角是指一个角度与90度之差的角。
对于一个角度x，它的余角是90度减去x的度数。
例如，一个角的度数是60度，它的余角是90度减去60度，即30度。
邻补角是指两个角度加起来为90度的角。
在相交线中，如果一对相邻角的度数加起来等于90度，则称这两个相邻角是邻补角。
例如，当角ABD是一个角度x，邻补角是一个角度y，且x + y = 90度，则角ABD和角CBD是邻补角。
四、垂直角和全等角垂直角是指两条相交线的交角，并且交角的度数为90度。
当两条线相交且形成90度角时，称这两条线是垂直的。
垂直角的特点是它们的度数相等。
全等角是指两个角度的度数完全相等。
当两个角度的度数完全相等时，称这两个角度是全等角。
相交线中的角
∠3与∠6在截线 EF的 .两条 被截线（AB、 CD）的 ，
这样位置的角 称为 .
(4)观察∠3和∠6两个角, 图形结构 像哪一个字母？
87 5
6 43 12
图中的同旁内角除∠3和∠6外，还 有哪几对？
87 56 43 12
请同学们分别用双手的大 拇指和食指各组成一个角，两 根手指相连成一条线，保持在 同一平面内，分别进行尝试， 如何构成同位角、内错角和同 旁内角？
教学目标
通过学习使学生能从“三线 八角”中认识有关“同位角”、 “内错角”、“同旁内角”的有 关定义；
教学重点：
从对顶角发展到同位角、内 错角、同旁内角，牢固理解概念；
教学难点：
在具体图形中运用概念辨别 同位角、内错角、同旁内角。教 学过程：
导入新课
1．如图，∠1与∠3，∠2与∠4是什么角？它们 有什么关系？
2、在“三线八角”的图形中应先找到 “截线”，再找另外两直线，然后根据角的 位置决定是哪一种角.
作业
1、课本第168页习题2、3。
同位角“F”
内错角“Z”
同旁内角“U”
角的名称
位置特征
图形结构特征
同位角 在截线的同侧，在两条被 形如字母“F”
截直线同方向，
（或倒置）
内错角 在截线的两侧，在两条 形如字母“Z” 被截直线内部，（交错） （或反置）
同旁内角 在截线的同侧
形如字母“U”
在两条被截直线内部，
辩一辩 ：
1、如图，∠1与∠2是同位角吗？
2．如图，∠1与∠2，∠l与∠4是什么角？它们 有什么关系？
E
A
பைடு நூலகம்
87
56
43
B
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（1）直线l与两直线a,b分别相交于点P,Q （2）直线l截直线a,b于点P,Q （3）直线a,b被直线l所截
l
直线l 叫做截线 直线a,b叫做被截直线
a b
P Q
问题：你能说出以下这些图形，哪两条 直线被第三条直线所截吗？
a b
l
直线a,b被直线 l 所截
直线BC,DE 被直线AB所截
四、堂上练习
P165 1．如图，直线a截直线b、c 所得的 同位角有 4 对，它们是 ∠1与∠3 、∠2与∠4、
∠5与∠7、 ∠6与∠8
内错角有 2 对，他们是 ∠2与∠7 、∠3与∠6 ，
同旁内角有
2 对，他们是∠2与∠3 、∠6与∠7 。
P166 ２．如图，与∠1是同位角的角是 ∠4 ， 与∠1是内错角的角是 ∠2 ，与∠1是同旁内 角的角是 ∠5 。
截线
b
a
内部
像这样位于截线l 的同侧，两条直线a、b的内部的 同旁内角还有 ∠3与∠6 。
位置关系 在两被截直线的同一方
基本模型
同位角 在截线的同一侧
位置相同 在两被截直线的内部 内错角 在截线的两侧 内部交错 在两被截直线的内部 同旁内角 截线的同侧
同位角模型
内错角模型
同旁内角模 型
同位角、内错角、同旁内角是三种特殊位置关系 的角，在找这些角时，要注意到两个角的公共边 所在的直线是截线，其余两边是两条被截直线
∠1与∠5都处于直线l的 左侧
2
3 5 6 8 7
∠1与∠5都处于直线a、b的 上方
这样位置的一对角就是同位角
截线
像这样位于截线l 的同侧，两条直线a、b的同方的同位角 还有 ∠2与∠6 、 ∠3与∠7 、 ∠4与∠8 。
2、内错角
如图中∠3与∠5的位置有什么关系呢？
l 左 右 1 b a 2 3 5 6 8 7 截线
一条直线l与两条直线a、b分别相交于点P、 Q（直线l 分别截直线a、b于点P、Q 或都 说两条直线a、b被直线l 所截）。
l 1 b 4 2 3
a
5 6 8 7
两条直线被第三条直 线所截，形成“三线 八角”的图形.
截线
二．
1、同位角 如图中∠1与∠5的位置有什么关系呢？
左 右
左侧 上 方b a 上 方 l 1 4
A
D C F
1 2 B 3 5 4
E
（2） ∠1与∠3是直 线AB 和 DE 被直线 BC 所截而得的 内错角. （3）∠4与∠5是 BC 和____ EF 被 直线____ 直线____ DE 所截而得 同旁内角 的_________.
A
D
1 2 C B 3 5 4 F E
4
∠3与∠5都处于直线l的两侧 ∠3与∠5都处于直线a、b的内部 这样位置的一对角就是内错角
像这样位于截线l 的两侧，两条直线a、b的 内部的同位角还有 ∠4与∠6 。
3、同旁内角
如图中∠4与∠5的位置有什么关系呢？
左侧
左 l右
1
∠4与∠5都于直线l 的左侧
3
2
4 5 6 8 7
∠4与∠5都处于直线a、b的内部 这样位置的一对角就是同旁内角
E A
截线
D B C
咱们来辨一辨：
如图：∠1与∠2是同位角吗？
如图：∠1与∠2是同旁内角吗？
如图：∠1与∠2是内错角吗？
１．如图：所标的六个角中，
∠1与 ∠2与 ∠6 是同位角；
∠5与∠3 或∠4 是同旁内角； ∠1 是内错角。
2.根据图形按要求填空： （1）∠1与∠2是直线 AB 和 DE 被直线 BC 所截而得的 同位角 .