自动控制-4根轨迹校正法

设计时一般根据性能指标要求确定闭环主导极 点，设计校正装置，使校正后的根轨迹通过期望的 闭环主导极点
2
1.性能指标的转换
根据性能指标要求确定闭环主导极点。
1)如果给定的期望指标是阻尼比和自然振荡频率， 则闭环主导极点为
s1,2 n jn 1 2
对于闭环主导极点s1,有
arccos
j
s1
n
校正后的系统稳态误差小
22
作业6-3：单位反馈系统开环传递函数为
G0 (s)
80 s(s
4)
要求性能指标： 0.707, n 10
试用根轨迹法确定串联超前校正装置
【可用手工计算，也可用Matlab辅助计算】
23
6.4.3 滞后校正装置的根轨迹设计
滞后校正引入一对靠近原点的开环负实数偶 极子，使根轨迹形状基本不改变，但大幅提高系 统开环放大倍数，从而改善系统稳态性能
t=0:0.1:6; u=t; lsim(sys1,sys2,u,t) % 斜坡输入 legend('校正前','校正后') title('例6.4.1 单位斜坡输入响应')
Amplitude
例6.4.1 单位斜坡输入响应 6
校正前
5
校正后
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
Exam6_4_13.m
取 D 10
28
4) 考虑减小校正装置零极点对主导极点的影响及校
正装置的可实现性，取
pc 0.005, zc 0.05
D zc 10 pc
滞后校正网络为
Gc (s)
s zc s pc
s 0.05 s 0.005
5)校正后的开环传函为
G(s)
Kg (s 0.05)
s(s 4)(s 6)(s 0.005)
滞后校正主要用于系统根轨迹已通过期望的 闭环主导极点，但不能满足稳态要求的场合
设计步骤： 1）绘制原系统的根轨迹，根据动态性能要求确 定期望主导极点（A点） 2）用幅值条件求出A点的根轨迹增益Kg及其对应 的开环放大倍数K
24
3）根据静态指标要求，确定所需放大倍数D 4）选择滞后校正网络的零点-zc和极点-pc,使
s(s 2)(s 5.4)
18.8
原系统增益 Kg0 4
故校正装置根轨迹增益为
K gc
Kg Kg0
18.8 4
4.7
超前校正网络为
Gc (s)
Kc
s zc s pc
4.7
s 2.9 s 5.4
19
7)时域响应对比 校正前的闭环传函
G0 (s)
4 s(s
2)
0 (s)
G0 (s) 1 G0 (s)
zc , pc 靠近原点，构成偶极子
一般
c 5
偶极子对s处的根轨迹影响很小
6
6.4.2 超前校正装置的根轨迹设计 超前网络与系统串联后，使根轨迹向左移动，
以增大系统的阻尼比 和自然振荡频率n
设计步骤： 1）做出原系统的根轨迹，分析性能，确定校正形式 2）根据性能指标要求，确定期望闭环主导极点位置s1 3）若原系统根轨迹不通过s1，说明单靠调整放大系数 无法获得期望的闭环主导极点，必须引入超前校正。
7
4）计算超前网络需要提供的相角 c
G0 (s) 原系统的传函 Gc (s) 超前网络的传函
串联校正后的系统开环传函为
G(s) Gc (s)G0 (s)
由根轨迹的相角条件有
Gc (s1) G0 (s1) (2k 1) c Gc (s1) (2k 1) G0 (s1)
8
5）根据计算的 c ，用图解法确定超前网络的零极点
6)
要求串联校正装置后 0.45,n 0.5
开环放大系数 K 15 试设计校正装置
解：1）绘制原系统的根轨迹
取 0.5
阻尼角 cos 60
26
% 例6.4.2 滞后校正 clc clear;
num=1; den=conv([1,4,0],[1,6]); rlocus(num,den); sgrid([0.5],[2.4,5,6])
3)AD和AE与实轴的交点为 校正网络的极点和零点
A’
A
pc
zc
D CE
O
pc 5.4 zc 2.9
16
超前校正网络为
Gc (s)
s zc s pc
s 2.9 s 5.4
pc 5.4 zc 2.9
5）串联校正网络后的系统开环传函为
G(s)
G0 (s)Gc (s)
Kg (s 2.9) s(s 2)(s 5.4)
num2=18.8*[1,2.9]; den2=conv([1,2,0],[1,5.4]); den2=den2+[0,0,num2]; sys2=tf(num2,den2);
step(sys1,sys2)% 阶跃响应 legend('校正前','校正后') title('例6.4.1 单位阶跃响应')
G0 (s)
4 s(s
2)
原传函中的增益4融入Kg,由幅值条件求Kg
17
% 例6.4.1 超前校正 clc; clear; num=1; den=[1,2,0]; sys1=tf(num,den);
num=[1,2.9]; den=conv([1,2,0],[1,5.4]); sys2=tf(num,den);
rlocus(sys1,sys2); sgrid([0.5],[4]) title('例6.4.1 超前校正') axis([-3,0.5,-5,5]);
Conv用于两个多项式相乘
Tf用于定义传函系统
Imaginary Axis
例6.4.1 超前校正
5
4
0.5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0.5
4
-5
-3
程序绘制根轨迹 使用函数rlocus
Imaginary Axis
例6.4.1 超前校正
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
原系统的根轨迹 Exam6_4_1.m
11
2）根据性能指标计算闭环主导极点
% 20% 0.456 取 0.5
title('例6.4.2 滞后校正') axis([-7,1,-6,6]);
例6.4.2 滞后校正
6
0.5
4
2
A
0
6
5
2.4
Imaginary Axis
-2
B
-4
0.5
-6
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
s1,2 1.2 j2.1
Exam6_4_2.m
0.5 n 2.4
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
校正前后的根轨迹
Exam6_4_11.m
校正后的根轨迹通过期望闭环极点
18
6）计算Kg
Kg
s1(s1 2)(s1 5.4) (s1 2.9)
18.7916 0.0325 j
s1 2 j2 3 G(s) Kg (s 2.9)
Imaginary Axis
例6.4.1 超前校正 5
4
0.5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0.5
4
-5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
Sgrid（Z,Wn）绘制等阻尼比线和等Wn线，Z 和Wn 是一维数组
14
3）计算 c
取点 s1 2 j2 3
4 G0 (s) s(s 2)
zc D pc
并要求-zc和-pc相对与A点是一对偶极子,靠近 原点，为易于实现，一般
(A pc ) (A zc ) 3
5)画出校正后的根轨迹，调整放大器增益，使闭 环主导极点位于期望位置 6）校验各项性能指标
25
【例6.4.2】设单位反馈系统的开环传递函数
G0 (s)
s(s
Kg 4)(s
位置，得网络的传函 (图解法在例题中详细介绍)
6）绘制校正后的根轨迹，由幅值条件确定校正后的
根轨迹增益 K g
9
【例6.4.1】某典型二阶系统的开环传递函数为
G0 (s)
4 s(s
2)
要求性能指标： % 20% ts 2s
试用根轨迹法确定串联超前校正装置
解：1）绘制原系统的根轨迹
10
% 例6.4.1 超前校正 num=1; den=[1,2,0]; rlocus(num,den); title('例6.4.1 超前校正') axis([-3,0.5,-5,5]);
0.5 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02
Real Axis
0 0.02
30
% 例6.4.2 滞后校正 clc; clear;
num=1; den=conv([1,4,0],[1,6]); sys1=tf(num,den); %原系统
num=conv(num,[1,0.05]); den=conv(den,[1,0.005]); sys2=tf(num,den);
Amplitude
例6.4.1 单位阶跃响应 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
校正前
0.2
校正后
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
Exam6_4_12.m
校正后的系统响应快
21
clc; clear; num=4; den=[1,2,4]; sys1=tf(num,den); %校正前
num2=18.8*[1,2.9]; den2=conv([1,2,0],[1,5.4]); den2=den2+[0,0,num2]; sys2=tf(num2,den2);
阻尼比和自然振荡频率都满足要求
27
2)计算A点处的Kg
Kg s1(s1 4)(s1 6) 44
相应的开环传函系数
K0
Kg 46
1.83
开环传函系数不满足要求
G0 (s)
s(s
Kg 4)(s
6)
s1 1.2 j2.1
K 15
3) 加入滞后校正，校正网络的零极点之比为
D zc K 15 8.2 pc K0 1.83
5
4
A
0.5
4
3
2
1
0
-1
O
-2
-3
-4
B 0.5
4
-5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
原根轨迹不可能通过期望闭环极点，必 须采用超前校正
Exam6_4_10.m
13
% 例6.4.1 超前校正 clc; clear; num=1; den=[1,2,0]; rlocus(num,den); sgrid([0.5],[4]) title('例6.4.1 超前校正') axis([-3,0.5,-5,5]);
zc
超前网络产生的相角 c z p 0
c 不宜太大，否则难以实现
超前网络会使系统根轨迹向左移动
5
3.串联滞后校正网络的影响 滞后网络传函为
s j
Gc (s)
Kc
s s
zc pc
补充一个零点和一个极点
z p zc pc
zc pc 0 零点总在极点左侧 滞后网络产生的相角 c z p 0
n 1 2
s1 n
n
3
2）如果给定超调量和调节时间，则有
% e 1 2 100%
ts
3.5
n
n
闭环主导极点为
s1,2 n jn 1 2
4
2.串联超前校正网络的影响 超前网络传函为
sj
Gc (s)
Kc
s s
zc pc
补充一个零点和一个极点
pc zc 0 极点总在零点左侧
p z
pc
60
% e 1 2 100%
ts
3.5
n
2s
n
3.5
期望主导极点A、B位置
取 n 4
s1,2 n jn 1 2 2 j2 3 2 3.46 j
12
虚线圆周代表
n 4 直线代表 0.5
直线与圆周交点即 为期望闭环极点
Imaginary Axis
例6.4.1 超前校正
G0 (s1) (s1) (s1 2) 150
所以
c (2k 1) G0 (s1) 30
15
4）用图解法确定校正网络的零极点 在未提出稳态误差要求时，一般方法是：
(1)过极点A作水平线A’， 连AO，作 OAA' 的角平分 线AC
(2)在AC两侧分别做张角为
0.5c 的两条直线AD和AE
s(s
4 2)Байду номын сангаас
4
校正后的闭环传函
G(s) 18.8(s 2.9) s(s 2)(s 5.4)
(s) G(s)
18.8(s 2.9)
1 G(s) s(s 2)(s 5.4) 18.8(s 2.9)
20
clc; clear; num=4; den=[1,2,4]; sys1=tf(num,den); %校正前
6.4 根轨迹法串联校正 6.4.1 根轨迹法设计的基本思想 6.4.2 超前校正装置的根轨迹设计 6.4.3 滞后校正装置的根轨迹设计
1
6.4.1 根轨迹法设计的基本思想
性能指标以时域量形式给出时，适合于采用根 轨迹法设计串联校正装置。给出的时域指标如
阻尼比 自然振荡频率 n
最大超调量 %
调整时间 ts
29
例6.4.2 滞后校正 6
0.5
4
Imaginary Axis
Imaginary Axis
2
0
6
5
2.4
-2
偶极子处放大
-4
0.5
-6
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
0.1
校正前后根轨迹
0.05
0
例6.4.2 滞后校正 0.5
Exam6_4_20.m
-0.05
-0.1
-0.15