流体动力学理论基础第三章

u x u x ( x、y、z、t ) u y u y ( x、y、z、t ) u z u z ( x、y、z、t )
（x,y,z,t）—欧拉变量
考察不同时刻液体质点通过流场中固定空间 点的运动情况，综合足够多的固定空间点的运动 情况，得到整个液流的运动规律。——流场法
若令上式中x、y、z为常数，t为变数， 即可求得在某一固定空间点上流体质点在不 同时刻通过该点的流速的变化情况。 若令t为常数，x、y、z为变数,则可求得 在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点 的流速的分布情况(即流速场)。
加速度是速度的全微分。对于流体质点，不同时刻
位于不同的空间位置。
故质点加速度必須按复合函数求导数的法则求导：
位变导数 迁移导数 对流导数
时变导数 当地导数 局部导数
质点的加速度（流速对时间求导）
时变加速度（当地加速 度）——液体由于速度 位变加速度（迁移加速 度)——液体由于速度
随时间变化而引起的加
速度 由流速不恒定性引起
随位置变化而引起的加
速度 由流速不均匀性引起
在恒定流中，流场中任意空间点的运动要素不随 时间变化，所以时变加速度等于零 在均匀流中，质点运动速度不随空间位置变化， 所以位变加速度等于零
z
t （x，y，z） （t0）
O
M （a，b，c）
x
y
x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
x x(a, b, c, t ) t t y y (a, b, c, t ) uy t t z z (a, b, c, t ) uz t t ux
az= ……
类似地有： ay=……;
u x u x u x u x ax ux uy uz t x y z u y u y u y u y ay ux uy uz t x y z u z u z u z u z az ux uy uz t x y z
B、迁移加速度为零 D、合加速度为零
时刻t A点流速为 ux Aˊ点的流速为 u x 时刻t+dt，
u x dx x
u u x x dt A点的流速变为 t Aˊ点的流速为 (u x u x dx ) (u x u x dx )dt x t x u u u x x dx x dt x t
欧拉法不直接追究质点的运动过程，而是研究各 时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动 过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在 流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化， 把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动 情况。
u x u x ( x、y、z、t ) u y u y ( x、y、z、t ) u z u z ( x、y、z、t )
第3章 流体动力学理论基础
实际工程中经常遇到运动状态的流体。流体的运动 特性可用流速、加速度等一些物理要素来表征。流体动力
学研究运动要素随时空的变化情况，建立它们之间的关系
式，并用这些关系式解决工程上的问题。
经典力学中有质量守恒定律、能量守恒定律。
本章先建立流体运动的基本概念，然后依据流束理论 ，从质量守恒定律出发建立流体的连续性方程、从能量守
恒定流时时变加速度为零，非恒定时时变加速 度不等于零。但位变加速度是否等于零并不决定于
是否是恒定流，而要看流体质点自一点转移到另一
点时流速是否改变。均匀流是迁移加速度为零。
1、在水位恒定的情况下： (1)A→A’不存在时变加速度 和位变加速度。 (2)B→B’不存在时变加速度， 但存在位变加速度。 2、在水位变化的情况下： (1) A→A’存在时变加速度，但不存在位变加速度。 (2) B→B’既存在时变加速度，又存在位变加速度。 问题：均匀流是： A、当地加速度为零 C、向心加速度为零
式中第一项叫时变加速度或当地加速度 (Local Acceleration)，流动过程中流体由于速度 随时间变化而引起的加速度；第二项叫位变速度 ，流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的 加速度(Connective Acceleration)。
算子
全质 导点 数导 数
d dt
=
t
+
(u )
二、一元流、二元流、三元流
凡流体中任一点的运动要素只与一个空间自变量
有关，这种流体称为一元流(One-dimensional Flow)。
du u u dx u dy u dz a dt t x dt y dt z dt u u u u ux uy uz t x y z
分量
u x u x u x u x ax ux uy uz t x y z
3-1 描述流体运动的两种方法
一、拉格朗日法 (Lagrange Method)
拉格朗日法以研究个别流体质点的运动为基础，通过 对每个流体质点运动规律的研究来获得整个流体运动的规 律性。所以这种方法又可叫做质点系法。
拉格朗日法---将液体质点作为研究对象
跟踪并研究每一个液体质点的运动情况， 它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过 综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个 流动。——质点系法
ux
速度
uy uz
加 速 度
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须
知Hale Waihona Puke Baidu个别质点的运动情况，所以除了少数情况（如波浪运 动）外，水力学中很少采用。
二、欧拉法(Euler Method)
欧拉法是以考察不同流体质点通过固定空间 点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着 眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫 做流场法。 通常在同一时刻不同空间点上的流速是不同 的，同一空间点上不同时刻的速度也不同，即流速是 空间坐标（x，y，z）和时间t的函数： 速度
究具有重要的意义。
§3-2 研究流体运动的若干基本概念
一、恒定流与非恒定流
水位不变
恒定流(Steady Flow)：在流场中，任何空间点上所有 的运动要素都不随时间而改变。 运动要素仅仅是空间 坐标的连续函数，而与时间无关。
恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数 应等于零：
u x u y u z 0 t t t p 0 t
u 0， u x, y, z u t
p 0, p p x, y, z t
u x t u y t u z t
三者中至 少一个不 等于0
t0 t1 t2
孔口出口流速大小随时间变化 u2 u1
u0
落地流速方向和大小随时间变化
u2
u
u0
流场和运动参数
• 流场指充满运动流体的空间。 • 运动参数指表征流体运动特征的物理量。
z t
（x，y，z）
（t0） O M （a，b，c） x y
空间坐标
x x(a, b, c, t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点 所在的空间位置坐标，称为拉 格朗日数。所以，任何质点在 空间的位置（x,y,z）都可看作 是（a,b,c）和时间t的函数
恒定律出发建立流体的能量方程。
§2—1 描述流动的方法
一. 描述流体运动的困难
离散 质点系
流体
刚体
质点间 的约束 质点数
无 N个
弱 无穷
强
无穷
离散 质点系
流体
刚体
本章的主要内容：
• 流体运动的基本概念 • 流体运动的总流理论 ——恒定总流连续性方程、能量方程 • 流体运动的流场理论 ——理想流体的运动方程、N-S方程和恒定平面 势流 任务：建立描述流体运动的基本方程，并理解其物 理意义、掌握其实际应用。 本章重点：恒定总流的连续性方程、能量方程及其 应用
(1)(a,b,c)=const，t为变数，可以得出某个指 定质点在任意时刻所处的位置。 (2)(a,b,c)为变数，t=const，可以得出某一瞬 间不同质点在空间的分布情况。
根据质点动力学速度与加速度的定义
x t y t z t
u x 2x ax t t 2 u y 2 y ay t t 2 u z 2z az t t 2
u 0， u x, y, z u t
p 0, p px, y, z t
u x 0 t u y 0 t u z 0 t
非恒定流(unsteady flow) ：流场中任何点上有任何一
个运动要素是随时间而变化的。
在实际工程中，常把运动参数随时间变化缓慢的流动 按恒定流处理，以求简化。
表达式简单
不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体元的运动 变形特性 拉格朗日观点是重要的
直接反映参数的空间分布 适合描述流体元的运动变 形特性 流体力学最常用的解析方法
描述液体运动的两种方法
拉格朗日方法
着眼点：流体质点 基本思路：跟踪单个流体质点，并且随时间连续记录 其位置坐标和其它物理量，从而搞清楚该质点随时间变化 的规律。若对每一个流体质点皆照此办理，那么全部流体 的运动规律也就可以知道了。 流体质点是连续分布的，因此要研究某个确定的质点 的运动，首先必须有一个表征这个质点的办法，以便识别 和区分不同的流体质点。通常取初始时刻t=t0时每一个质 点的空间位置坐标 (a，b，c)作为区分质点的标识，不同 的a，b，c值代表不同的流体质点，不同流体质点在初始 时刻也唯一的对应一组a，b，c值 。
z
t时刻
M （x，y，z） O
x
y
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t )
dux ( x, y, z, t ) ax dt du y ( x, y, z, t ) ay dt du ( x, y, z, t ) az z dt
若x，y，z为常数，t为变数， 若t 为常数， x，y，z为变数，
质点通过流场中任意点的加速度
在实际工程中，一般都只需要弄清楚在某一
些空间位置上流体的运动情况，而并不去追究流
体质点的运动轨迹。
例如，研究一个隧洞中的水流，只要知道了 液体经过隧洞中不同位置时的速度及动压力，这 样就能满足工程设计的需要。 所以，欧拉（Euler）法对工程流体力学的研
该液体质点通过A点时的加速度为 u x u x (u x dx dt ) u x u u x t ax x ux x dt t x
当地加速度 当地加速度 迁移加速度 迁移加速度
2.比较
拉格朗日法
分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂 欧拉法 同时描述所有质点的瞬时参数
若给定a，b，c，即为某一质点的 运动轨迹线方程。
液体质点在任意时刻的速度。
描述流体运动的两种方法
欧拉方法
着眼点：空间点 基本思路：在固定的空间点上设置“观察哨”，随时间连 续变化，将有不同的流体质点鱼贯通过观察哨，通过连续记 录不同流体质点在经过哨所时的流动要素（如速度、压强 等），就可以掌握这一点（哨位）上的流动情况。若将此做 法遍及流场中的每一点，就可以了解流场中流体运动的全部 信息。 显然，在欧拉描述中，各空间点上的物理量（实际上是通 过此点的流体质点所具有的物理量）是随时间变化的。因此， 流体的运动参数应该是空间坐标和时间的函数。如流体的速 度、压强和密度可以表示为
dux u x u x u x u x ax ux uy uz dt t x y z duy u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z duz u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z