二项式定理中展开式系数的六种常见类型

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二项式定理中展开式系数的六种常见类型

二项式定理中展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。

一、(a +b )n (n ∈N *)型例1．(x -2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是（）（A ）840（B ）－840（C ）210（D ）－210解析：在通项公式T r +1=r C 10(-2y )r x 10-r 中令r =4，即得(x -2y )10的展4开式中x 6y 4项的系数为C 10(-2)4=840,故选A 。

例2．(x -1x)8展开式中x 5的系数为。

解析：通项公式Tr +1=C x r 88-r (-1x)=(-1)C xr r r 838-r 23，由题意得8-r =5，2则r =2，故所求x 5的系数为(-1)2C 82=28。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。

二、(a +b )±(c +d )(n ,m ∈N )型21例3．(x 3-)4+(x +)8的展开式中整理后的常数项等于.x x2r 342r r r 1-24r 解析；(x 3-)4的通项公式为T r +1=C ,令(-)(x -)r =C 44-(2)x x x2332=－32,12-4r =0，则r =3,这时得(x 3-)4的展开式中的常数项为-C 4xn m *1k 1k 8-k k 8-2k ()x =C 8x ,令8-2k =0，则k =4,这时得(x +)8的通项公式为T k +1=C 8x x121(x +)8的展开式中的常数项为C 84=70，故(x 3-)4+(x +)8的展开式中常数项x x x等于-32+70=38。

例4．在(1-x )5-(1-x )6的展开式中，含x 3的项的系数是（）(A)-5(B) 5(C)-10(D) 10解析：(1-x )5中x 3的系数-C 53=-10,-(1-x )6中x 3的系数为3-C 6⋅(-1)3=20,故(1-x )5-(1-x )6的展开式中x 3的系数为10,故选D 。

二项式定理的常见题型及解法特全版

Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ，填 2 2 2
（备用题）：（05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3

1 的展开式中没有常数项，且 2≤n≤8， n N* ，．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。（备用题）（05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2）一般的系数最大或最小问题例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有

(完整版)二项式展开式系数的性质

(
2)n cos n
4
Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L
(
2)n sin n
4
证明：
2
cos
4
i sin
4
n
(
2)n cos n i(
4
2)n sin n
4
①又Βιβλιοθήκη 2cos4
i
sin
4
n
2
2 i 2
2 2
n
(1
i)n
1 Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i L
(Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn )(Cn0xn Cn1xn1 L Cnn1x Cnn )
令a 1,b 1,则0 Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)n Cnn
Cn0 Cn2 Cn2r C1n Cn3 Cn2r1 2n1
性质4：
4. (x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小大小
当当nn为为偶奇数数时时，，中中间间项两为项第系数n2 最1大项，，它二们项是式第系n数C1 n项n2 最和大； 2
证明：Q kCnk nCnk11 ,
n
n
n
左边
kCnk
nCnk11 n
C k 1 n1
k 1
k 1
k 1
n 1
n
Ck n 1
n 2n1 右边
k 0
(2)
Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
L
1 n 1
Cnn
1 (2n1 1) n 1
证明：Q (k 1)Cnk11 (n 1)Cnk ,
的展开式中，按
1 2

专题39 二项式展开项的通项及应用--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

【热点聚焦】二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．【重点知识回眸】1. 二项式定理()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，其中的系数rn C (0,1,2,3,,r n =)叫做二项式系数．式中的r n r rn C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r rr n T C a b -+=.2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，nn C . 3. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，11n n n C C -=，，m n m n n C C -=.(2)增减性与最大值：二项式系数rn C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项2n nC 取得最大值．当n 是奇数时，中间两项12n nC+ 和12n nC-相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和()na b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012r nn n n n n C C C C +++++=，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=，（4）常用结论①0n C ＝1；②1nn C =；③m n m n n C C -=；④11m m m n n n C C C -+=+.4.二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①()11nx nx +≈+；②()()21112nn n x nx x -+≈++；（5）证明不等式.【典型考题解析】热点一二项式展开式的通项公式的应用【典例1】（2020·全国·高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【典例2】（2019·浙江·高考真题）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【典例3】（2022·山西·高三阶段练习）二项式()4x ay +的展开式中含22x y 项的系数为24，则=a ______．【典例4】（2022·全国·高考真题）81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．【总结提升】1.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a ＋b )n 的展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r (r ＝0,1,2，…，n )求通项． ②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．2.已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．3.求解形如()()nma b c d ＋＋的展开式问题的思路 (1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如222()()()(2)m m a b c d a ab b c d ＋＋＝＋＋＋，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如5752252()()[()()11]()11111()()x x x x x x x ＋－＝＋－－＝－－；(3)分别得到(),()nma b c d ＋＋的通项公式，综合考虑．4.求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．热点二形如()na b c ＋＋的展开式问题【典例5】（2021·江西南昌·高三阶段练习）5144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含3x -的项的系数为（） A ．1-B ．180C ．11520-D ．11520【典例6】（2022·全国·高三专题练习）()52x y z +-的展开式中，22xy z 的系数是（） A ．120B ．-120C ．60D ．30【典例7（2022·山东济南·模拟预测）()3221x x -+的展开式中，含3x 项的系数为______（用数字作答）. 【规律方法】求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．热点三二项式系数的和与各项的系数和问题【典例8】（2022·全国·高三专题练习）已知012233C 2C 2C 2C 2C 243n nn n n n n +++++=，则123C C C C nn n n n ++++=（）A ．31B ．32C ．15D ．16【典例9】（2023·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（） A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-【典例10】（2022·北京四中高三开学考试）设多项式51010910910(1)(1)x x a x a x a x a ++-=++++，则9a =___________，0246810a a a a a a +++++=___________. 【规律方法】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)． ①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝.②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝.热点四二项式系数的性质【典例11】（2023·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（） A ．7B ．8C ．9D ．10【典例12】（2022·全国·高三阶段练习）已知()610ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2x -的系数为60，则下列说法正确的是（）A ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为1 B ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为2240xC ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-D ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式的系数和为32【典例13】（2022·浙江·三模）在二项式4(2)+x 的展开式中，常数项是__________，二项式系数最大的项的系数是__________．【规律方法】1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数，则中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．2．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式(1)(1)2f f +-(1)(1)2f f --组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．热点五二项式定理应用【典例14】（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A ．222234510C C C C 165++++=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【典例15】（2023·全国·高三专题练习（理））设0122191919191919C C 7C 7C 7a =++++，则a 除以9所得的余数为______．【典例16】（2021·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.【规律方法】1.二项式定理应用的常见题型及求解策略（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．（3）近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项. 2.特别提醒: （1）分清是第项，而不是第项.（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转rn rr n C ab -1r +r 1r n r r r n T C a b -+=1r T +rn C a b n r a b n r n r化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及它们之间的大小关系.（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定； ②是展开式中的第项，而不是第项；③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置； ④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．【精选精练】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习（理））612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（） A ．160 B ．120 C ．90D ．602．（2022·全国·高三专题练习）()()52x y x y +-的展开式中的33x y 项系数为（） A ．30B ．10C ．-30D ．-103．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在812x x ⎫⎪⎭的展开式中5x 的系数为（）A ．454B ．458-C ．358D ．74．（2022·湖南·高三开学考试）已知()522x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3-，则该展开式中x 的系数为（） A ．0B ．120-C ．120D ．160-5．（2022·全国·高三专题练习）设()011nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，若1263n a a a ++⋅⋅⋅+=，则展开式中系数最大的项是（） A ．315xB ．320xC ．321xD ．335x6．（2023·全国·高三专题练习）511x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（）n r r n n r 1r n r r r n T C a b -+=rn C a b 1r T +n r 1r T +1r +r a b n a b ()na b -A ．5B ．-5C ．15D ．-15二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）62⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式中，下列结论正确的是（） A ．展开式共6项 B ．常数项为160C ．所有项的系数之和为729D ．所有项的二项式系数之和为648．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知660(2)ii i x a x =+=∑，则（）A ．123456666a a a a a a +++++=B ．320a =C ．135246a a a a a a ++>++D ．1034562234a a a a a a +=+++9．（2022·河北张家口·三模）已知52(1)(0)b ax x b x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数为30，1x 项的系数为M ，则下列结论正确的是（） A ．0a > B ．323ab b -=C ．M 有最大值10D ．M 有最小值10-三、填空题10．（2022·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．11．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）在3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为 ____．12．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()31nx -的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，则n =__________.（2）1921C C n nn n --+=__________.13．（2019·浙江·高考真题）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.14．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）二项式3nx x ⎫⎝的展开式中共有11项，则n =___________，常数项的值为___________.15．（2022·全国·高三专题练习）在()413x +的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答）四、解答题16．（2019·江苏·高考真题）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(13)3n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.。

超详细的.二项式展开式性质

r 9
1 9 3 变式：求（ x 2 ) 展开式中含 x 的项 x
通项公式： Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)
9 r r x 9r 3 r r 1 9r r Tr 1 C ( ) ( ) C9 ( ) 3 x 2 3 3 x 1 由9-r- r 0得r 6. 2 6 1 96 6 T7 C9 ( ) 3 2268 3
1 1
1
1 1 3
2
3
1
1
试一试：你能根据杨辉三角形写出(a+b)5 的展开式吗？
4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角形
(a+b) 5= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(1 x ) C C x C x C x ;
n 0 n 1 n r n r n n n 0 1 r n (1 1)n Cn Cn Cn Cn ; 0 1 r n (1 x )n Cn Cn x (1)r C n x r (1)n C n x n ;
n 2 n
C
相等，且同时取得最大值。 n （3）各二项式系数的和 C0 C1 C2 Cn 2n n n n 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1
C
n 1 2 n
、
C
n 1 2 n
特值思想、不可忽视
二项式定理对任意的数a、b都成
立，当然对特殊的a、b也成立！
2.已知（ x
Байду номын сангаас

高考数学讲义二项式定理.版块二.二项展开式2求展开式中的特定项.教师版

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容求展开式中的特定项里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．）常数项【例1】在()2043x +展开式中，系数为有理数的项共有项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星典例分析【题型】填空【关键字】2010年，湖北高考【解析】略【答案】6；【例2】 100的展开式中共有_____项是有理项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r r rrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ，又0100r ≤≤，故01216k =L ，，，，，共有17项．【答案】17；【例3】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j i j i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，辽宁高考【解析】略【答案】5-【例5】二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，石景山一模【解析】通项公式4421442C 2C rrrr r rr T xx x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，2r =时，可得常数项2242C 24=；令1x =即可得各项系数和为4381=．【答案】24,81；【例6】若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，崇文1模【解析】由二项式定理4124311212CC rrr r r r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令44033r r -=⇒=．于是有3312C 2201a a =-⇒=-．【答案】1-；【例7】在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，海淀一模【解析】由二项式定理，()()5210355C C rrr rr rr a T xa xx --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭．当1031r -=时，3r =，于是x 的系数为()3335C 10a a -=-，从而1a =．【答案】1；【例8】在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，西城2模【解析】容易知道26C 15=为所求．【答案】15；【例9】如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，朝阳2模【解析】由题意有35C C 8n n n =⇒=；展开式的常数项的值为48C 70=．【答案】8，70；【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例11】若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，重庆高考【解析】由题意，2646n n =⇒=．于是通项662166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=当620r -=时，3r =．常数项为34620T C ==．【答案】20；【例12】若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=，即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例13】在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例14】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx --+=-=-，常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例15】已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==．如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤．所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例16】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，山东高考【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r r r rr r r T xxx---+==-，当1203rr --=时，9r =，常数项为912C 220-=-．【答案】220-；【例17】已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+=＝405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -=．【答案】45；【例18】已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-，存在常数项，则350n r -=， n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例19】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j ij i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例20】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】2005年，湖北高考【解析】注意到21055512((()22(2)x x x x x x +++==，所以要求10(x +的5x 的系数，10(x 的通项公式为：101011010C C r r r rr r r T x x --+==当5r =时，可求得10(x 的5x 的系数，所以所求常数项为55105C 2=．当然也可以直接将原多项式变为10，然后用通项公式求常数项．【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例22】已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】略；【答案】B ；【例23】在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例24】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx--+=-=-，常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例25】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，山东高考【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r rr rr r r T xxx---+==-，当1203rr --=时，9r =，常数项为912C 220-=-．【答案】220-；【例26】已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+==405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -= 【答案】45；【例27】已知10()n n ∈N ≤，若nx x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-，存在常数项，则350n r -=，n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例28】 12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2008年，山东高考【解析】41212311212C C (1)rr r r r r r T xx--+⎛==- ⎝， 412093r r -=⇒=，9912121110C (1)22032⨯⨯-=-=-⨯．【答案】C ；【例29】求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】212xx ++= 12612xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．由12展开式的通项公式12611212rr r rr T x --+==C C ，可得展开式的常数项为612924=C ．【例30】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年，四川高考【解析】通项公式662621661C (2)(1)C 22rr rr r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，得3r =，故常数项为336(1)C 20-=-．【答案】-20【例31】在2nx ⎫+⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】通项公式3212C 2C rn r rn rr r r nn T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3023n r nr -=⇒=，且n 为3的倍数．常数项为2332C 60215nn n==⨯，从而6n ≤，故3n =或6，验证可知6n =．【答案】B ；【例32】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】2007年，四川高考【解析】8n =；44448411C C n n nn T xx x --+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭为常数项，故80n -=．【答案】8；【例33】若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．14【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2009年，东城区一模【解析】通项公式3561C C rn rr n r rr n n T x --+==，由题设知存在r n ≤，使得350n r -=，即35n r =，因此n 应是5的倍数，只有A 选项符合要求，验证可知满足要求．【答案】A ；【例34】在261(2)x x-的展开式中常数项是，中间项是________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】略【答案】360160x -，．35460160T T x ==-，．【例35】已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==．如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤．所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例36】若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=，即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例37】已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（）A ．1-B ．1C ．45-D ．45【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【解析】通项公式52221C ()(1)C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛==- ⎝，由题设2244(1)C 310(1)C 14n nn -=⇒=-．令52082n r r -=⇒=，故常数项为8810(1)C 45-=．【答案】D ；【例38】若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数和为512，则n 等于________；该展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年朝阳区一模【解析】由题设25129nn =⇒=，通项公式291831991C ()C rrrr rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1830r -=，得6r =，故常数项为69C 84=．【答案】9；84；【例39】若921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为84，则a =_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年，西城区二模【解析】通项公式2991831991C ()(1)C rrrr r r rr T ax a xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1830r -=，得6r =，常数项6639(1)C 841a a -=⇒=，展开式中二项式系数之和为92512=．【答案】1512，；【例40】若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A ．10B ．20C ．30D ．120【考点】求展开式中的特定项【难度】2星【题型】选择【关键字】无【解析】略【答案】B ；有理项【例41】求二项式15的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C rrrr rr r r r T x--+=-=-． ⑴设1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =； ⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数，又∵015r ≤≤，∴r 可取0，6，12三个数，故共有3个有理项．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例42】100的展开式中共有_______项是有理项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r rrrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ，又0100r ≤≤，故01216k =L ，，，，，共有17项．【答案】17；【例43】二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C r rr rr r rr r T x--+=-=-．⑴1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =；⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数，又∵015r ≤≤，∴r 可取0612，，三个数．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例44】已知在n的展开式中，前三项的系数成等差数列①求n ；②求展开式中的有理项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】①通项公式2341C C 2rn rr r n rn r nr T x--+==，由题设2102C C C 2822nn nn +=⨯⇒=（1n =舍去）．②34841C 2r rr r T x -+=，1r T +为有理项的充要条件为344r -∈Z ，所以r 是4的倍数，048r =，，．因此所有有理项为415923518256T x T x T x ===，，．【例45】二项展开式15中，有理项的项数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】45515611515C C rrrrrr T x --+=⋅=⋅（r = 0，1，2，…，14 ），当3915r =，，时，为有理项，选A ．【答案】A ；【例46】在(1132的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则1p x dx =⎰A ．1B ．67 C ．76 D ．1113【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】B ；11111111323211111C 3232C rrr rr r r r r T x x x --+-+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是r 可取3，9，则21126P ==，1711660066|77x dx x ⎰== 【答案】B ；【例47】12的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（） A ．4项 B ．3项 C ．2项 D ．1项【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】略【答案】B ；【例48】若(51a +=+a ，b 为有理数），则a b +=（） A ．45B ．55C ．70D ．80【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2009年，北京高考【解析】(523451141+=++++=+【答案】C ；系数最大的项【例49】已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴由题设，得02111C C 2C 42n nn +=⨯，即2980n n -+=，解得8n =或1n =（舍去）． ⑵设第1r +项的系数最大，则1881188111C C 2211C C 22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥，即1182(1)1129r r r r⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥解得2r =或3r =．所以系数最大的项为7523477T x T x ==，．【例50】 20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【考点】求展开式中的特定项【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅．若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥．将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例51】已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】由已知有21C C C 121n n n n n n --++=，即22400n n +-=，解得15n =或16n =-（舍去）设第第1r +项的系数最大，则111515111515C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r ++--⎧⋅⋅⎪⎨⋅⋅⎪⎩≥≥，即133115116r r r r -+-≥，≥ 解得1112r =，所以系数最大的项为1111111215C 3T x =⋅和1212121315C 3T x =⋅．【例52】在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】于是8n =⨯，展开式的常数项为6216378C 72x T x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】B ；【例53】已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】由题设，44lg 48C (2)()1120x x x =，即44lg 1x x +=，0x >．故44lg 0x +=或1x =，解得x 的值为1或110．【答案】x 的值为1或110．【例54】求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】展开式的通项公式为：3056110C (1)2r rrrr T x--+=-⋅⋅，系数的绝对值为10C 2rr -⋅，记为1r t +．用前后两项系数的绝对值作商得：1(1)12101011010C 2C 10!!(10)!10C 22C (1)!(9)!210!2(1)r r r r r r rr t r r r t r r r +-+++-+⋅--===⋅=⋅+⋅-⋅+．令1012(1)r r -+≥得：83r ≤，即012r =，，时，上述不等式成立．所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小．系数绝对值最大的项为第4项，5533322410C (1)215T x x -=-=-．从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，记它们的系数分别为3t 与5t ，224431051045210105C 2C 24168t t --=⋅==⋅==，．所以，系数最大的项为第5项，5351058T x =．【例55】已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴ 由题设知2C 45n n-=，解得10n =． 21113010341211010C ()()C r rrrr r T x x x---+==，令11303612r r -=⇒=，因此含3x 的项为633710C 210T x x ==． ⑵ 系数最大的项为中间项，即55302551212610C 252T xx -==．【例56】设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】11C C 19m n +=，即19m n +=．∴19m n =-．⑴设2x 的系数为222221919C C 1917117124mnT n n n ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭．∵n +∈N ，1n ≥，∴当1n =或18n =时，max 163T =；当9n =或10时，min 81T =． ⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m n ，的值，即98()(1)(1)f x x x =+++从而7x 的系数为77109C C 156+=．【例57】已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=，又展开式中二项式系数和为2n ，∴222992n n -=，5n =．⑴ ∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335C ()(3)90T x x x ==，22232233345C ()(3)270T x x x ==， ⑵ 设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155C ()(3)3C r rrr rr r T x x x+-+==，∴115511553C 3C 79223C 3C r r r r r r r r r --++⎧⎪⇒⎨⎪⎩≥≤≤≥，∴4r =，即展开式中第5项系数最大，2264243355C ()(3)405T x x x ==．【例58】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅．若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥．将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例59】关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】二项式2005(1)x -所有项的系数和为0，其常数项为1-，非常数项的系数和是1，得①正确；二项展开式的第六项为520002005C x，即得②错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项（系数为10022005C ）与第1004项（系数为10032005C -），得系数最大的项是第1003项，即③错误；当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是20052006(1)2005+-=，即④正确．故应填①④．【答案】①④；【例60】在2nx ⎛ ⎝的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】7；根据第5项的二项式系数最大可求出n ．常数项为7。

二项式定理应用的六种题型

二项式定理的应用二项式定理)()(110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n n n n ⑴这个公式叫做二项式定理.⑵展开式：等号右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，展开式中一共有1+n 项.⑶二项式系数：各项的系数}),,2,1,0{(n k C kn ∈叫做二项式系数.展开式的通项n b a )(+展开式的第1+k 项叫做二项展开式的通项，记作k k n k n k b a C T -+=1.题型1求某项系数例1.二项式8312(xx-中展开式的常数项是)(答案：常数项为7)1()21(68627=-⋅=C T .例2.在62)1(xx +的展开式中，3x 的系数是)(答案：20.例3.若二项式7)1(xx -的展开式中的第四项等于7,则x 的值是)(答案：51-=x .题型2多个多项式例4.72)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，3x 的系数是)(答案：3x 的系数为7048373433==+++C C C C .例5.设432231404321))()()((A x A x A x A x A a x a x a x a x ++++=++++则=2A ；=3A ；答案：4343243212)()(a a a a a a a a a A +++++=，4324314213212a a a a a a a a a a a a A +++=.例6.9)2(z y x -+的展开式中324z y x 的系数为)(.答案：324z y x 的系数为5040-.例7.求当52)23(++x x 的展开式中x 的一次项的系数为)(.分析：解法①：5252]3)2[()23(x x x x ++=++，r rrr x x C T )3()2(5251-++=，当且仅当1=r 时，1+r T 的展开式中才有x 的一次项，此时x x C T T r 3)2(421521+==+，所以x 的一次项为x C C 3244415⋅，它的系数为2403244415=⋅C C .解法②：)22)(()2()1()23(555415505554155055552C x C x C C x C x C x x x x ++++++=++=++ 故展开式中含有x 的项为x x C xC C 2402244555545=+，故展开式中x 的系数为240.例8.求式子3)21(-+xx 的常数项为)(答案：631()21(xx x x -=-+，设第1+r 项为常数项，则rr r r rr r r xC xxC T 266661)1(1()1(--+-=-=，得3026=⇒=-r r ，所以20)1(36313-=-=+C T .例9.52)1)(1(x x x -++的展开式中，4x 的系数是)(分析：已知表达式展开式中每一项由两部分相乘而成，要想凑得4x ，不妨从其中一个式子切入进行分类讨论（以)1(2x x ++为例）1：)1(2x x ++出1，则5)1(x -出4x ，该项为：44455)(11xx C =-⋅⋅⋅2：)1(2x x ++出x ，则5)1(x -出3x ，该项为：4323510)(1xx C x -=-⋅⋅⋅3：)1(2x x ++出2x ，则5)1(x -出2x ，该项为：42325210)(1x x C x =-⋅⋅⋅综上所述：合并同类项后4x 的系数是5.例10.102)1(+-x x 的展开式中3x 的系数是)(分析：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为10个因式如何分配所出项的问题：若要凑成3x 有以下几种可能：⑴：1个2x ，1个)(x -，8个1，所得项为：3888192110901)(xC x C x C -=⋅-⋅⑵：3个)(x -，7个1，所得项为：377733101201)(x C x C -=⋅-，所以3x 的系数是210-.例11.求43)1()21(x x -+的展开式中2x 的系数是)(分析：因为3)21(x +的展开式的通项是3,2,1,0,2)2(33=⋅⋅=⋅m x C x C mmmmm，4)1(x -的展开式的通项是4,3,2,1,0,)1()(44=⋅-⋅=-⋅n x C x C n n nn n ，令2=+n m ，则有0=m 且2=n ，1=m 且1=n ，2=m 且0=n ，因此43)1()21(x x -+的展开式中2x 的系数等于6)1(2)1(2)1(20422311411322403-=-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅C C C C C C .例12.求10463)11()1(xx ++展开式中的常数项是)(答案：4246例13.已知nxx x x 1)(1(32+++的展开式中没有常数项，*∈N n 且82≤≤n ，则=n 分析：n xx 1(3+的展开式的通项为rn r n r r n r n x C x x C 43---⋅=⋅⋅，通项分别与前面三项相乘可得24144,,+-+--⋅⋅⋅r n r n r n r n rn rn x C x C xC ，因为展开式中不含常数项，82≤≤n 所以r n 4≠且14-≠r n 且24-≠r n ，即8,4≠n 且7,3≠n 且6,2≠n ，所以5=n 题型3系数特征例14.在204)3(y x +的展开式中，系数为有理数的项有项.答案：6项例15.求二项式93)(x x -的展开式中的有理项.分析：62793192191)1()()(x r rrrrr xC x x C T --+-=-=，令)90(,627≤≤∈-r Z r得3=r 或9=r 当3=r 时，44393484)1(,4627x x C T r -=-==-，当9=r 时，3399910)1(,3627x x C T r -=-==-.例16.nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项，系数最大的项.分析：二项展开式的通项rrrn r x C T 21=+，由第6项与第7项的系数相等得，8226655=⇒=n C C n n ，所以展开式中二项式系数最大得项为44448511202x x C T ==，设第1+r 项系数最大，则⎩⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--118811882222r r r r r r r r C C C C ，解之得65≤≤r 即5=r 或6，所以系数最大得项为55558617922x x C T ==或66668717922x x C T ==.例17.在nb a 2)(+的展开式中，求二项式系数最大的项.分析：二项式的幂指数是偶数n 2，则中间一项的二项式系数最大，即1122++=n nT T ，也就是第1+n 项.例18.在nxx)12(3-的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是.分析：只有第5项的二项式最大，则512=+n，即8=n ，所以展开式中的常数项为第7项等于721(268=C .题型4求系数和常用赋值举例：⑴设nn n r r n r n n n nn nb C b a C b aC a C b a +++++=+-- 11)(，①令1==b a ，可得：nnn n n nC C C C ++++= 212②令1,1-==b a ，可得：nn n n n n n C C C C C )1(0321-+-+-= ，即13120-+++=+++n n n n n n n n C C C C C C （假设n 为偶数），再结合①可得：1131202--=+++=+++n n n n n n n n n C C C C C C ⑵设nn n xa x a x a a x x f ++++=+= 2210)12()(①令1=x ，则有：)1()112(210f a a a a nn =+⨯=++++ ，即展开式系数和②令0=x ，则有：)0()102(0f a n=+⨯=，即常数项③令1-=x ，设n 为偶数，则有：)1()1)1(2(3210-=+-⨯=++-+-f a a a a a nn ，所以)1(((13120-=+++-+++-f a a a a a a n n ）），即偶次项系数和与奇次项系数和的差，由①③即可求出）n a a a +++ 20(和）131(-+++n a a a 的值例19.已知0199101052)123(a x a x a x a x x ++++=+- ，求29753121086420)()(a a a a a a a a a a a ++++-+++++的值.分析：令1=x ，得510102=+++a a a ，令1-=x ，得59753110864206)()(=++++-+++++a a a a a a a a a a a ，所以555297531210864201262)()(=⨯=++++-+++++a a a a a a a a a a a 求展开式系数和，充分利用赋值法.赋值时，一般地，对于多项式nn nx a x a x a a px x g ++++=+= 2210)1()(有以下结论：⑴)(x g 的二项式系数和为n2；⑵)(x g 的奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和12-=n ；⑶)(x g 的各项系数和为)1(g ；⑷)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ；⑸)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g .例20.已知1111221092)1()1()1()2)(1(-++-+-+=-+x a x a x a a x x ，则1121a a a +++ 的值为.分析：本题虽然等式左侧复杂，但仍然可通过对x 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2=x ，得到011210=++++a a a a ，只需要再求出0a 即可.令1=x 可得20-=a ，所以21121=+++a a a .例21.设443322104)22(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为.分析：所求))(()()(43210432102312420a a a a a a a a a a a a a a a +-+-++++=+-++，在恒等式中令1=x 可得443210)22(+=++++a a a a a ，令1-=x 可得44321022(-=+-+-a a a a a ，所以16)22(22()()(442312420=-+=+-++a a a a a 例22.若55443322105)32(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则||||||||||||543210a a a a a a +++++等于.分析：虽然5)32(x -的展开式系数有正有负，但5)32(x -与5)32(x +对应系数的绝对值相同，且5)32(x +展开式的系数均为正数.所以只需计算5)32(x +的展开式系数和即可.1=x 可得系数和为55，所以55432105||||||||||||=+++++a a a a a a .例23.若)(2206220N n C C n n ∈=++，且n n n x a x a a x +++=- 10)2(，则n n a a a a )1(210-+-+- 等于.分析：由2206220++=n n C C 可得262+=+n n 或202)62(=+++n n ，解得4=n ，所求表达式只需令1-=x ，可得81)]1(2[)1(4210=--=-+-+-n na a a a .例24.已知nn nx a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-29121 ，则n 的值为.分析：在恒等式中令1=x 可得系数和12)12(222221210--=+++=++++-n nn a a a a ，与条件联系可考虑先求出0a ，n a ，令0=x ，可得n a =0，展开式中n a 为最高次项系数，所以1=n a ，所以12211210---=+++++-n a a a a n n ,所以n n n -=---+291221，即3221=+n ，解得4=n .例25.55443322105)32(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则5432105432a a a a a a +++++的值是.分析：设55443322105)32()(x a x a x a x a x a a x x f +++++=-=所以45342321454322)32(5)(x a x a x a x a a x x f ++++=⋅-='，令1=x 可得54321543210a a a a a ++++=而在55443322105)32(x a x a x a x a x a a x +++++=-中，令0=x ，可得243350-=-=a ，所以2335432543210-=+++++a a a a a a .例26.已知10102210)(x a x a x a a x g ++++= ，9910)(x b x b b x h +++= ，若)()()1()21)(1(1019x h x g x x x +-=-+，则=9a .分析：由条件中恒等式的特点可得对应项的系数相等，在)()1(10x g x -中，与9a 相关的最高次项为19x ，故以此为突破口求9a ，等式左边19x 的系数为18181919)2()2(-+-C ，而右边19x 的系数为9910109)1(-⋅+C a a ，所以181819199910109)2()2()1(-+-=-⋅+C C a a ，只需再求出10a 即可，同样选取含10a 的最高次项，即20x ，左边20x 的系数为19)2(-，右边20x 的系数为10a ，所以1910)2(-=a ，从而解得18923⨯-=a .题型5逆用例27.=++⋅+⋅+-12321666n nn n n n C C C C .答案：)17(61-n例28.=++++-n n n n n n C C C C 1321393 .答案：314-n 题型6应用例29.证明：)(98322*+∈--N n n n 能被64整除分析：21111101211111011111211111011122888981)1(888898888898)18(989983-++++-+++++++-++++++++++=--++++++=--+++++=--+=--=--n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C n n C C C n C C C C C n n n 由于各项均能被64整除所以)(98322*+∈--N n n n 能被64整除.例30.已知*∈N n ，求证：1522221-++++n 能被31整除.分析：132122121222155152-=-=--=++++-n n n n 113131311)131(111-+⨯++⨯+=-+=--n n n n n n C C )3131(311211---++⨯+⨯=n n n n n C C 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.。

二项式定理(2)

2 3

9r
r
9
展开式中的有理项
r r 9
27 r 6
27 r 3 r 令 Z 即4 Z (r 0,19) 6 6
r 3或r 9
27 r 3 3 4 4 r 3 4 T4 (1) C9 x 84 x 6 27 r 9 9 3 3 r 9 3 T10 (1) C9 x x 6 3 4 原式的有理项为:T4 84 x T10 x
二项式定理(2)
复习回顾
1、二项式定理：
1 (a b) n Cn0 a n Cn a n1b Cn2 a n2b 2 Cnr a nr b r Cnnb n
注：展开式共有n+1项
2、通项：
Tr 1 C a b
r nr r n
注：区分二项式系数和项的系数
的通项是
16 r 2 s 2
C C (1) 2
s 5 r 6 s
5 s
x
由题意知：
16 r 2 s 2
6
r 2s 4 (r 06, s 05)
解得
r 0 s 2
2 3
1 5
r 2 s 1
2 6 4
r 4 s 0
所以 x 6 . 的系数为:
2
5
15 6 1 8 1 (2) T21 C ( x ) 15 x 2 x , 2x 4x 4 15 故第3项的系数为 . 4
例1
在
2 1 x 2x
9
的展开式中，求：
(1)第6项 (2)第3项的系数(3)含x9的项(4)常数项
0 4 C5 C6 (1)0 25 640 C C (1) 2 C C (1)2

二项式定理中展开式系数的六种常见类型--学生版

二项式定理中展开式系数的六种常见类型一、)()(*∈+N n b a n 型例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（）（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210例2．8)1(x x -展开式中5x 的系数为。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。

二、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型例3．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（）(A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10三、),()()(*∈++N m n d c b a m n 型例5．72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是。

例6．()()811x x -+的展开式中5x 的系数是（）（A ）14- （B ）14 （C ）28- （D ） 28四、)()(*∈++N n c b a n 型例7．5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 .五、1()()()(,,1)m m n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤< 型例8．在62)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，2x 项的系数是。

例9．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121六、求展开式中若干项系数的和或差例10．若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则_______)()()()(20040302010=++++++++a a a a a a a a 。

(用数字作答)例11．423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2312420)()(a a a a a +-++的值为（）(A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2。

二项式定理

1 (2＋ 1)n＝ 2n＋ C1 2n 1＋„＋ Cn 2＋ 1≥2n＋ n· 2n 1＋ 2n＋ 1>2n n· n ·
－－－
＋ n· 2n－1＝(n＋2)· 2n－1，故 3n>(n＋2)· 2n－1.
2 n 例 4：已知( x－ 2) (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三 x 项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 的项； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
2 3 1 ( x 2) 【 3】展开式中的常数项是_______. 2 x
20
1 1 3 3 C x C 2 C1 ( 2) C3 (2) x
1 3 2 1 2
20.
( x 2 12 2)3 ( x 1 )6 x x
Tr +1 = (1) C x
r n－ r r n－ r r a＝2x，b＝3y，Tr＋1＝Cn2 · 3 x y ，其中 r Cn
2n－r3r 就是 Tr＋1 项的系数．
求展开式中的特定项或特定项的系数
1 x＋ n 例 1 在二项式 4 的展开式中，前三项的系数成等 2 x 差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．
4 所以x的系数为 C4 5 3 2 240.
【点评】三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式．
例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数．解法二：因为 (x2 十 3x 十 2)5 ＝ (x2 十 3x 十 2)(x2 十 3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2), 所以 (x2 十 3x 十 2)5 展开式的各项是由五个因式中各选一项相乘后得到的. 则它的一次项只能从五个因式中的一个取一次项3x,另四个因式中取常数项2相乘得到.

二项式展开式系数的性质

2 n 4 n 6 n n
π π nπ nπ n n 证明： 2 cos + i sin = ( 2) cos + i ( 2) sin 4 4 4 4
n
①
π π 2 2 n +i 又 2 cos + i sin = 2 = (1 + i ) 4 4 2 2
n
n
1 2 3 4 5 6 7 = 1 + Cn i Cn Cn i + Cn + Cn i Cn Cn i +L
= (1 C + C C + L) + i (C C + C C + L) ②
2 n 4 n 6 n 1 n 3 n 5 n 7 n
①、②两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。
4
6 10
6
8 10
8
10 10
10
105 5 ∴第 5 项系数最大，即 x3 。 8
2. (1) 求 (1 + 2 x)7 展开式中系数最大的项。 (2) 求 (1 2 x) 展开式中系数最大的项。
7
C7k 2k ≥ C7k 1 2k 1 13 16 ≤k≤ k =5 解： k k (1) k +1 k +1 3 3 C7 2 ≥ C7 2
1 10! 1 10! k !(10 k )! 2k ≥ (k + 1)!(9 k )! 2k +1 1 10! 1 10! k ≥ k 1 k !(10 k )! 2 (k 1)!(11 k )! 2
k +1 1 10 k ≥ 2 8 11 ≤k≤ k =3 3 3 11 k ≥ 2 k
二项式展开式系数的性质

高考数学复习-二项式定理中展开式系数的六种常见类型

高考数学二项式定理中展开式系数的六种常见类型一、)()(*∈+N n b a n 型例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（）（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。

例2．8)1(x x -展开式中5x 的系数为。

解析：通项公式r rr r r rr x C x x C T 2388881)1()1(--+-=-= ，由题意得5238=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。

二、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型例3．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x-的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x-的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x+的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。

例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（）(A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10解析：5)1(x -中3x 的系数35C -=10-, 6)1(x --中3x 的系数为336(1)C -⋅-=20,故65)1()1(x x ---的展开式中3x 的系数为10,故选D 。

二项式定理--展开式

两理两数四原则十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C C 3.组合数：
m n
nm Anm
n
m!
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明
注2. 常用的排列数： An0 1 An1 n Ann n！
则不同的染色方法有多少种？
法1：通项公式：
hn (k 1)n (1)n (k 1)
法2：化环型域为条型域：
h1 k
A1 An
A2
An1
A3
A4
h2 k(k 1) , h3 k(k 1)(k 2)
tn hn hn1 (n 4)
注：思路显然，但操作量过大
2.环型域： ①无心环型域: 如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域
注⑤：设n元某计数问题共有an种方法若求an的通项公式有难度，可考虑求其递推公式
1.分类加法计数原理：
完成一件事有n类方式, 在第一类方式中有m1种不同的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类方式中有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法
2.分步乘法计数原理：完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同
(a+b)4= a4 + 4a4b+6a2b2 +4ab3 + b4
14641
(a+b)5= a5 +5a4b + 10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 1 5 10 10 5 1
十三世纪的阿拉伯人就已经发现了：从第二行起，每行除两端的1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和

第六章二项式定理

跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.如果
3
x2＋1xn
的展开式中，x2
项为第
3
项，则自然数
n＝__8__，其
x2
项
的系数为_2_8__.
解析
Tk＋1＝Ckn( 3
x2)n－k1xk＝Ckn
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn等于
A.1
B.－1
√C.(－1)n
D.3n
解析原式＝(1－2)n＝(－1)n.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.
x－2x6 的展开式中的常数项为
√A.60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 6.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝_2__.(用数字填写答案) 解析二项展开式的通项为 Tk＋1＝Ck10x10－kak，当 10－k＝7 时，k＝3，T4 ＝C310a3x7，则 C310a3＝15，故 a＝12.

二项式定理知识点总结

二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。

具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。

+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。

右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。

二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。

2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。

3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。

通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。

例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。

+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。

二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。

具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。

通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。

它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。

三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。

拓展二：二项式定理15种常见考法归类 -高二数学讲义(人教A版2019选择性必修第三册)(解析版)

拓展二：二项式定理15常见考法归类考点一求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量（一）求常数项（二）求指定项系数（三）求有理项（四）求参数考点二求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)型的展开式问题考点三求形如(a+b+c)n(n∈N*)展开式中特定项考点四求多个二项式的和或积展开式的问题考点五二项式系数的和问题考点六二项展开式中的系数的和问题考点七二项式系数的最值问题考点八项的系数的最值问题考点九整除和余数问题考点十近似计算问题考点十一证明组合恒等式考点十二杨辉三角问题考点十三与导数的综合问题考点十四与数列的综合问题考点十五与函数的综合问题1.二项式定理概念公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理.二项式各项的系数C k n(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.系数通项C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做T k＋1＝C k n a n－k·b k(k＝0，1，2，…，n).二项C0n a n＋C1n a n－1b1＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式.展开式2.二项式系数的性质二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n 有关的n ＋1个组合数，与a ，b 无关.其性质如下：(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由C m n ＝C n －m n 得到.直线r ＝n 2将函数f (r )＝C rn 的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.(2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，C k n 随k 的增加而增大；当k >n ＋12时，C k n 随k 的增加而减少.如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项，即12n T +的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项12n T +与112n T ++的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.3.杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表(如下)，是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，….(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C r n ＝C n －r n .(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C r n ＝C r －1n －1＋C r n －1.(4)第n 行奇数项之和与偶数项之和相等，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋….(5)第n 行所有数的和为2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n 个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数.4.求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其系数.5.求形如(a+b)n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项T r+1=a n-r b r ,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出r;第三步,把r代入通项中,即可求出T r+1,有时还需要先求n,再求r,才能求出T r+1或者其他量.6.对于两个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合定义求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.7.求三项展开式中某些特定项的系数的方法：①两次利用二项式定理的通项公式求解；②由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.8.某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解.转化的方法通常为配方、因式分解.9.“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx ＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）2.10.赋值法是求解二项式系数和问题的基本方法，是常用的特殊化思想.如何赋值，需根据实际情况而定，如要求常数项，应赋x为0；求所有项系数之和，应赋x为1；要求奇次项系数和或偶次项系数和，还需赋x为-1，再通过联立方程组求得.11.二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数最大的项就是二项展开式中的中间项；求()na bx+展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1,A2,…,A n+1,且第k项系数最大,应用≥t,≥r,从而解出k来,即得.考点一求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量（一）求常数项1．（2023·山东济南·一模）62xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式中的常数项为______．【答案】160【分析】由题意利用二项式定理可得解.【详解】二项式62x x ⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式的通项公式6662162C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令620r -=，可得3r =，所以展开式中的常数项为336C 2160⨯=.故答案为：160.2．（2023·贵州·统考模拟预测）612x ⎛- ⎝的展开式中的常数项为___________.【答案】154【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项.【详解】612x ⎛- ⎝的展开式通项公式为()6613612216611C C 122rrrr r r r r T x x x----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3602r -=，解得4r =，故()24456115C 124T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以展开式中常数项为154.故答案为：1543．（2023·天津河北·统考一模）102x⎛⎝的展开式中的常数项为______.【答案】45【分析】首先写出展开式的通项，令52002r-=求出r ，再代入计算可得.【详解】二项式102x⎛ ⎝展开式的通项为()()520102211010C C 1rrr r r r T xx--+⎛=⋅=-⋅ ⎝，令52002r-=，解得8r =，∴常数项为()881081C 145T +=⨯-=.故答案为：45．（二）求指定项系数4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）在二项式262()x x-的展开式中，第三项的系数是（）A ．15-B ．15C ．60-D ．60【答案】D【分析】根据二项式展开式的通项公式：()62162C rrr r T xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,第三项令2r =求系数即可.【详解】二项式展开式的通项公式：()()621231662C 2C rrr r r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，第三项则2r =，可得第三项的系数是()2262C 41560-=⨯=.故选:D.5．（2023春·天津宝坻·高二天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）8的展开式中含3x 项的系数为______．（用数字作答）【答案】16-【分析】利用二项展开式的通项公式可求得结果.【详解】由题可知展开式的通项公式84188C (2)C kk k k k kk T x --+⎛==- ⎝⋅，令431k k -=⇒=，此时，含3x 的项为1133328(2)C 2816T x x x =-=-⨯=-，所以含3x 项的系数为16-．故答案为：16-6．（2023春·河南郑州·高二郑州十九中校联考期中）在二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的二项式系数为（）A ．15B ．15-C ．10D ．10-【答案】A【分析】首先写出展开式的通项，再令622r -=求出r ，即可求出含2x 项的二项式系数.【详解】二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()6621662C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令622r -=，解得2r =，所以展开式中2x 项的二项式系数为2615C =.故选：A7．（2023·北京·校考模拟预测）已知55432012345(12)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则4a =___________．【答案】10-【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】5(12)x -的二项展开式的通项公式()()5155C 122C rrr r r r r T x x -+=⨯⨯-=-⨯⨯，所以()11452C 10a =-⨯=-.故答案为：10-.8．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）若()()()()82801281111x a a x a x a x-=+++++++ ，则5a =______．【答案】448-【分析】令1x t +=可得()82801282t a a t a t a t -=++++ ，分析可知5a 为展开式中5t 的系数，然后利用二项式定理可求得5a 的值.【详解】令1x t +=可得1x t =-，则()1112x t t -=--=-，所以，()82801282t a a t a t a t -=++++ ，所以，5a 为展开式中5t 的系数，()82t -的展开式通项为()()()88188C 2C 210,1,2,,8kkk k kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= ，所以，()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-.故答案为：448-.（三）求有理项9．（2023·江苏·高二专题练习）二项式50)的展开式中系数为有理数的项共有（）A ．6项B ．7项C ．8项D ．9项【答案】D【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.【详解】二项式的通项25053215050C C 3)2r rrrr r rr Tx --+==，若要系数为有理数，则25Z 2r -∈，Z 3r∈，050r ≤≤，且r ∈Z ，即Z 2r ∈，Z 3r∈，易知满足条件的{0,6,12,18,24,30,36,42,48}r ∈，故系数为有理数的项共有9项.故选：D10．（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）在72的展开式中，系数为有理数的项是（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】C【分析】根据二项式定理展开式的通项)2177C kkk kT -+⎛=- ⎝可确定系数为有理数时k 的取值，即可得出结果.【详解】在72的展开式中，根据通项)2177C kkk kT -+⎛=- ⎝可知，4k =时系数为有理数，即第五项为)43424157C T T +⎛== ⎝．故选：C11．（2023·全国·高三专题练习）)51-的展开式中所有有理项的系数之和为__________.【答案】16-【分析】先根据二项式展开式通项，找出有理项，再计算有理项的系数之和.【详解】由二项式定理，可得)51的展开式通项为()515C 1,0,1,2,3,4,5rrrr T r -+=-=，当50,2,4r -=，即5,3,1r =时，1r T +为有理项，所以所有有理项的系数之和为()()()()535315551C 1C 1C 110516-⨯+-⨯+-⨯=-++=-.故答案为：16-.12．（2023·高二课时练习）在*(N )nn+∈的展开式中，有理项恰有两项，则n 的可能取值为（）A ．8B ．12C ．13D ．15【答案】AC【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项【详解】*(N )n n ∈展开式通项为2561C C (0)rn rr n r rr n n T x r n --+==⋅≤≤，对于A ，展开式通项为165618C r r r T x-+=⋅，所以由165Z 6r-∈可得=2r 或8，所以此时有两个有理项，故正确；对于B ，展开式通项为2456112C r r r T x-+=⋅，所以由245Z 6r-∈可得0r =或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；对于C ，展开式通项为2656113C r r r T x-+=⋅，所以由265Z 6r-∈可得4r =或10，所以此时有两个有理项，故正确；对于D ，展开式通项为3056115C r r r T x-+=⋅，所以由305Z 6r-∈可得0r =或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；故选：AC （四）求参数13．（2023·河南·校联考模拟预测）若二项式n的常数项为－80，则n =______.【答案】5【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的指数为零，求出r ，从而利用常数项建立方程求解.【详解】二项式n的通项为231C (2)C rn r rrn r r rr nn T x---+⎛=-=- ⎝，由题意(2)C 80023r rn n r r ⎧-=-⎪⎨--=⎪⎩，且r ，n 为整数，解得35r n =⎧⎨=⎩，故答案为：514．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）若6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为20-，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【分析】由二项式定理的通项公式求6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项，由条件列方程求a .【详解】二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第1k +项为()662166C C kk k k kk k a T x a x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620k -=可得3k =，所以二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第4项为常数项，常数项为()3346C T a =-，所以()336C 20a -=-，所以1a =，故选：C.15．（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）设2012(12)n nn x a a x a x a x +=++++ ，若78a a =，则n =（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【分析】根据二项式定理展开表示对应项系数，再由组合数计算即可.【详解】由二项式定理可得()()7877788878C 12,C 12n n n n a x x a x x --=⋅⋅=⋅⋅，故77788878C 12C 12n n n n a a --=⋅⋅==⋅⋅，即()()27788n n n n =⋅-⋅-!!!!!!，解之得：11n =.故选：C16．（2023·全国·高三专题练习）若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为5-，则n等于_________.【答案】6【分析】先由题意得到二项展开式的通项，进而得到含21x 项与含41x项的系数，然后根据题意得到关于n 的方程，解方程可得所求．【详解】二项式12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为211(2)(1)2rr n r r n r r n r r n n T C x C x x ---+⎛⎫=-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭(0,1,2,,)r n = ，令22n r -=-，得22n r +=，所以含21x 项的系数为222222(1)2n n n n n C +++--⋅⋅222222(1)2n n n n C +-+=-⋅⋅；令24n r -=-，得42n r +=，所以含41x 项的系数为444222(1)2n n n n n C +++--⋅⋅444222(1)2n n n n C +-+=-⋅⋅．由题意得222444222222(1)25(1)2n n n n n n nnCC+-++-+-⋅⋅=-⨯-⋅⋅，整理得242225n n nnC C++=，∴!!251!1!2!2!2222n n n n n n ⨯=⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得6n =．故答案为：6．考点二求形如(a+b)m (c+d)n (m,n ∈N*)型的展开式问题17．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）61x ⎛- ⎝的展开式中的常数项为______________．【答案】60【分析】先求出61⎛ ⎝展开式的通项，求出含1x -项时r 的值，即可求出答案【详解】61⎛ ⎝的展开式的通项为2166C (C (2)rr r r r r T x -+=-=-，令12r -=-即2r =，所以61x ⎛ ⎝的展开式中的常数项22160C (2)6x x --⋅=故答案为：6018．（2023春·河南郑州·高二郑州十九中校联考期中）二项式()511x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项为__________．【答案】10【分析】先确定51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式的通项公式，再由()5551111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求解即可.【详解】51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式的通项公式为5521551C C rr r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而()5551111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令-+=5210r ，得3r =；令520r -=，得52r =（舍）.。

3.二项式定理

例讲三：多项式的展开式问题
1.在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)11 的展开式中，x2 项的系数是 2.(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为 3.已知(x－1)(ax＋1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 0，则正实数 a＝________． 4.(x2－x＋1)10 的展开式中 x3 项的系数为 5.(x2＋x＋y)5 的展开式中 x5y2 的系数为
二项式定理
一.二项式定理及性质
1.定理：(a＋b)n＝C 0n an＋C 1nan －1b＋…＋C knan－k bk＋…＋C nn bn(n ∈N*)．
2.通项：第 k＋1 项为 Tk＋1＝Cknan－kbk． 3.二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：Ckn (k＝0，1，2，…，n)．
64∶1，则
x3
的系数为
2.若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝
【解析】 (1)由题意知42nn＝64，得 n＝6，展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6x6－r 3xr＝3rCr6x6－32r，令 6－32r＝3，得 r＝2，则 x3 的系数为 32C26＝135.故选 C. (2)令 x＝0，得 a0＝1，令 x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝ 511.
2.若
x＋1 x
n展开式的二项式系数之和为
64，则展开式的常数项为_系数为 C25－122＝52.
(2)ax2＋
1x5的展开式的通项
Tr＋1＝C5r (ax2)5－r×
1xr＝Cr5a5－rx10－52r，令
10－52r＝0，得
r＝4，所以 C45a5－4＝－10，解得 a＝－2.