2019届神州智达高三诊断性大联考(二)(质检卷Ⅱ)数学(文)试题(解析版)
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详解：（1）证明：取 中点为 ,连接
∵底面 为菱形， ,
∴ 为正三角形，
∴
又∵ 为正三角形，
∴
又∵ 平面 , 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ .
（2）法一：设 ，则 ，
在正三角形 中， ，同理 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ,
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ .
法二：设 ，则 ，
在正三角形 中， ，同理 ，
【解析】先判断出正方体的内切球直经就是其棱长，显然截面面积最大是对角面.
【详解】
解：当截面为正方体的对角面时，截面面积最大，
由已知得正方体棱长为 截面面积的最大值为
故选：D
【点睛】
考查正方体的截面问题的有关计算，是基础题.
10．已知函数 ，若 相邻两个极值点的距离为 且当 时， 取得最小值，将 的图象向左平移 个单位，得到一个偶函数图象，则满足题意的 的最小正值为（）
12．已知函数 ，方程 有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合 ，若函数 有零点，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函数 的图象如图，
由图可知 ，函数 有零点，即 有根， 与 在 上有交点，则 的最小值为 ，设过原点的直线与 的切点为 ，由 得 ，则切线方程为 ，把 代入，可得 ，即 ，∴切线斜率为 ，即 的取值范围是 ，故选B．
【详解】
解：根据题意，列表表示两次出现的点数情况:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
共 种情况，其中 的有 种情况，
则 的概率为
故选：
【点睛】
考查古典概型的概率运算，是基础题.
7．已知 为坐标原点， 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线 右支上一点，若 则双曲线 的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据 和双曲线的性质确定 为直角三角形且 ，然后根据离心率的定义代入计算即可.
【详解】
解： 函数 是 上的偶函数.
【点睛】
本题考查偶函数的有关性质，是基础题.
14．已知点 满足约束条件 ， 则 的最小值是___________．
【答案】
【解析】先画出可行域，然后表示出 ，根据截距可求最小值.
【详解】
由约束条件作出可行域如右图阴影部分所示，
， ，
，
当直线 经过点 时， 的最小值为 .
【详解】
解：由题意得
设直线
由 得
故 又
因此过 的抛物线的切线的斜率为
同理过 的拋物线的切线斜率为
因此
则 点 在以 为直径的 上，
且 又
故线段 长度的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查抛物线的性质、曲线上过某一点的切线的斜率的求法及基本不等式的应用，是中档题.
三、解答题
17．已知 中角 所对的边分别为 且 .
2019届神州智达高三诊断性大联考（二）（质检卷Ⅱ）数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合 则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分别求出集合 ，然后求交集即可.
【详解】
解：由已知得
故选：A
【点睛】
考查集合的运算，是基础题.
2．已知 为虚数单位，且复数 满足 则复数 在复平面内对应的点位于（）
【详解】
解： 依题意，得 ，
解得
故椭圆 的方程为
当直线 的斜率不存在时，其方程为
此时
当直线 的斜率存在时，
设其方程为 ，设 ，
显然直线 不与 轴重合，即
联立 ，解得
故
因为
故 分别为 的中点，
故
故 与 同底等高，
故 ，
点 到直线 的距离
令 ，
故
故 的最大值为
【点睛】
知识：椭圆方程、韦达定理的应用、直线和椭圆的位置关系及弦长公式的求解、求函数的最值的方法等.能力：考查了逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.是难题.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据 相邻两个极值点的距离为 求出最小正周期，进一步求出 ，再根据当 时， 取得最小值，求出 ，再根据平移关系即可求解.
【详解】
解：由函数 相邻两个极值点的Байду номын сангаас离为 ，
知函数 最小正周期为
由 时， 取得最小值，
知 ，
图象向左平移 个单位，得
由题意得
故满足题意的 的最小正值为
18．炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量 与冶炼时间 （从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
【详解】
解：若
则
又 .
故选：A
【点睛】
考查双曲线的性质及有关运算，是基础题.
8．已知函数 为定义在 上的奇函数，且当 时， 则 在 处的切线斜率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据 为奇函数，确定 的值，再求出 时 的解析式，然后求导数即可得斜率.
【详解】
解：函数 是定义在 上的奇函数，得
（1）求角 ；
（2）若 且 的面积为 求 的周长，
【答案】（1） （2）6
【解析】由 ，根据正余弦定理易求 .
由 得 再用余弦定理表示出 解方程即可.
【详解】
解：由正弦定理得，
由余弦定理，得
则
又
由 得
又由余弦定理，得
，
为
的周长为 .
【点睛】
本题主要考查正、余弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题.
【详解】
从六维能力雷达图上可以得到甲的记忆能力优于乙的记忆能力，故A错.
乙的创造力为3，观察能力为4，乙的观察能力优于创造力，故B错.
甲的六大能力总和为 ，乙的六大能力总和为 ，
故甲的六大能力整体水平优于乙，故C正确.
甲的六大能力中，推理能力为3，为最差能力，故D错.
综上，选C.
【点睛】
本题为图形信息题，要求不仅能从图形中看出两类数据之间的差异，还要能根据要求处理所给数据.
20．已知椭圆 的左、右焦点分别为 且椭圆 过点 离心率 点 在椭圆 上，延长 与椭圆 交于点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）记 与 的面积之和为 求 的最大值.
【答案】（1） （2）最大值为
【解析】根据椭圆 过点 和离心率 易求.
分两种情况： 的斜率不存在和斜率存在； 的斜率存在时，设出 的方程，证明 ，从而表示出 ，然后再利用换元法求最大值.
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
10400
36000
39900
32745
22785
18090
25500
39155
47940
15125
（1）据统计表明， 与 之间具有线性相关关系，请用相关系数 加以说明（ ，则认为 与 有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系， 精确到0.001）；
16．已知点 是抛物线 的焦点，点 为抛物线上异于原点的任意一点，直线 交抛物线于点 分别过点 作抛物线的切线，两条切线交于点 以 为直径作 为圆心，则线段 长度的最小值为__________．
【答案】
【解析】表示出直线 把它和抛物线联立，得到两根之积，判断出直线 和 互相垂直，从而得出 点在以为 直径的圆上， 为 的中位线， 再根据基本不等式可求.
故选：A
【点睛】
考查 型函数的有关性质，是基础题.
11．如图，在三棱锥 中， 两两垂直，且 点 为 中点，若直线 与底面 所成的角为 则三棱锥 外接球的表面积为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据 两两垂直确定 再将三棱锥补成正方体，正方体的对角线就是三棱锥的外接球的直径，最后求外接球的表面积即可.
【详解】
（1）由题得
可以认为 与 有较强的线性相关关系.
（2）
所以回归方程为
（3）当 时，
即大约需要冶炼172min
【点睛】
函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求 ，写出回归方程，回归直线方程恒过点 .
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】求出复数，然后根据复数的几何意义判断即可.
【详解】
解：
故 复数 在复平面内的对应点位于第一象限
故选：A
【点睛】
考查复数的运算及其几何意义，是基础题.
3．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是
点睛：本题考查函利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，较难；作出函数的图象，可知 ，把题意转化为 与 在 上有交点，然后利用导数求出切线斜率，即可求得 的取值范围．
二、填空题
13．已知函数 是 上的偶函数，则 _________．
【答案】
【解析】先求 ，再根据 是偶函数，得 即可.
【点睛】
考查线性规划的有关知识，是基础题.
15．已知数列 中， 数列 为公比不为 的等比数列，且 则 ____________．
【答案】
【解析】先表示出 ，然后根据 是等比数列即可求解.
【详解】
解：由己知得，
因为数列 为等比数列， ，
所以 .
故答案为：4.
【点睛】
已知等比数列求其中参数，考查等比数列的性质，是基础题.
4．在 中，若 则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先把 拆成 ，然后根据向量加法法则进行运算，注意用上 即可求解.
【详解】
解：
为边 的中点.
故选：C
【点睛】
考查向量的线性运算和中点向量公式，是基础题.
5．已知 是等差数列 的前 项和， 则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据 是等差数列，由 列出关于 和 的方程组，然后求解即可.
【详解】
解：由
得
又由 ，
，
故选：C
【点睛】
考查等差数列的有关运算，是基础题.
6．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 的正方体玩具)先后抛掷 次，记第一次出现的点数为 第二次出现的点数为 则 的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，列表表示两次出现的点数情况，然后找出满足 的情况，再利用对立事件概率的性质求概率即可.
∴ ，
∴ ，
又∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ,
∴ ，
∴ ，
连接 ,
∵在 中， ，
∴由余弦定理得 ，
∴在 中， .
点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
A．乙的记忆能力优于甲的记忆能力
B．乙的创造力优于观察能力
C．甲的六大能力整体水平优于乙
D．甲的六大能力中记忆能力最差
【答案】C
【解析】从六维能力雷达图中我们可以得到甲的各种能力的大小、乙的各种能力的大小以及甲、乙的各项能力的大小关系等，从而可判断A，B，D.而整体水平的优劣取决于六种能力的数字之和的大小，计算可得孰优孰劣.
【详解】
解： 点 为 的中点
两两垂直，
平面
为直线 与底面 所成的角，
由题意可知，
将三棱锥补成棱长分别为 的长方体，
设三棱锥外接球的半径为
则 ，
三棱锥外接球的表面积为
故选：C
【点睛】
本题考查三条侧棱两两互相垂直的三棱锥的外接球的表面积的求法，三条侧棱两两互相垂直的三棱锥可以由长方体分割得到，这样便于理解，本题是基础题.
（2）建立 关于 的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；
（3）根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，
，相关系数
参考数据： ，
.
【答案】（1）可以认为 与 有较强的线性相关关系;（2） ;（3）172min
【解析】(1)代入公式计算r，再作判断，(2)根据数据计算 ，利用 计算 ，(3)即计算 时对应函数值.
19．在如图所示的四棱锥 中，底面 为菱形， , 为正三角形.
（1）证明: ；
（2）若 ，四棱锥的体积为16，求 的长.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得 ， ，根据线面垂直的判定定理可得 平面 ，由线面垂直的性质可得结论；（2）根据勾股定理， ，结合 可得， 平面 ，设 ，利用棱锥的体积公式列方程解得 ，由勾股定理可得 的长.
故当 时，
时，
，
在 处的切线斜率为 ，
故选：D
【点睛】
考查奇函数的性质及曲线在某一点处的切线斜率的求法，是基础题.
9．立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.已知正方体 的内切球 的直径为 过球 的一条直径作该正方体的截面，所得的截面面积的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
∵底面 为菱形， ,
∴ 为正三角形，
∴
又∵ 为正三角形，
∴
又∵ 平面 , 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ .
（2）法一：设 ，则 ，
在正三角形 中， ，同理 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ,
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ .
法二：设 ，则 ，
在正三角形 中， ，同理 ，
【解析】先判断出正方体的内切球直经就是其棱长，显然截面面积最大是对角面.
【详解】
解：当截面为正方体的对角面时，截面面积最大，
由已知得正方体棱长为 截面面积的最大值为
故选：D
【点睛】
考查正方体的截面问题的有关计算，是基础题.
10．已知函数 ，若 相邻两个极值点的距离为 且当 时， 取得最小值，将 的图象向左平移 个单位，得到一个偶函数图象，则满足题意的 的最小正值为（）
12．已知函数 ，方程 有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合 ，若函数 有零点，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函数 的图象如图，
由图可知 ，函数 有零点，即 有根， 与 在 上有交点，则 的最小值为 ，设过原点的直线与 的切点为 ，由 得 ，则切线方程为 ，把 代入，可得 ，即 ，∴切线斜率为 ，即 的取值范围是 ，故选B．
【详解】
解：根据题意，列表表示两次出现的点数情况:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
共 种情况，其中 的有 种情况，
则 的概率为
故选：
【点睛】
考查古典概型的概率运算，是基础题.
7．已知 为坐标原点， 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线 右支上一点，若 则双曲线 的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据 和双曲线的性质确定 为直角三角形且 ，然后根据离心率的定义代入计算即可.
【详解】
解： 函数 是 上的偶函数.
【点睛】
本题考查偶函数的有关性质，是基础题.
14．已知点 满足约束条件 ， 则 的最小值是___________．
【答案】
【解析】先画出可行域，然后表示出 ，根据截距可求最小值.
【详解】
由约束条件作出可行域如右图阴影部分所示，
， ，
，
当直线 经过点 时， 的最小值为 .
【详解】
解：由题意得
设直线
由 得
故 又
因此过 的抛物线的切线的斜率为
同理过 的拋物线的切线斜率为
因此
则 点 在以 为直径的 上，
且 又
故线段 长度的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查抛物线的性质、曲线上过某一点的切线的斜率的求法及基本不等式的应用，是中档题.
三、解答题
17．已知 中角 所对的边分别为 且 .
2019届神州智达高三诊断性大联考（二）（质检卷Ⅱ）数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合 则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分别求出集合 ，然后求交集即可.
【详解】
解：由已知得
故选：A
【点睛】
考查集合的运算，是基础题.
2．已知 为虚数单位，且复数 满足 则复数 在复平面内对应的点位于（）
【详解】
解： 依题意，得 ，
解得
故椭圆 的方程为
当直线 的斜率不存在时，其方程为
此时
当直线 的斜率存在时，
设其方程为 ，设 ，
显然直线 不与 轴重合，即
联立 ，解得
故
因为
故 分别为 的中点，
故
故 与 同底等高，
故 ，
点 到直线 的距离
令 ，
故
故 的最大值为
【点睛】
知识：椭圆方程、韦达定理的应用、直线和椭圆的位置关系及弦长公式的求解、求函数的最值的方法等.能力：考查了逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.是难题.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据 相邻两个极值点的距离为 求出最小正周期，进一步求出 ，再根据当 时， 取得最小值，求出 ，再根据平移关系即可求解.
【详解】
解：由函数 相邻两个极值点的Байду номын сангаас离为 ，
知函数 最小正周期为
由 时， 取得最小值，
知 ，
图象向左平移 个单位，得
由题意得
故满足题意的 的最小正值为
18．炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量 与冶炼时间 （从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
【详解】
解：若
则
又 .
故选：A
【点睛】
考查双曲线的性质及有关运算，是基础题.
8．已知函数 为定义在 上的奇函数，且当 时， 则 在 处的切线斜率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据 为奇函数，确定 的值，再求出 时 的解析式，然后求导数即可得斜率.
【详解】
解：函数 是定义在 上的奇函数，得
（1）求角 ；
（2）若 且 的面积为 求 的周长，
【答案】（1） （2）6
【解析】由 ，根据正余弦定理易求 .
由 得 再用余弦定理表示出 解方程即可.
【详解】
解：由正弦定理得，
由余弦定理，得
则
又
由 得
又由余弦定理，得
，
为
的周长为 .
【点睛】
本题主要考查正、余弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题.
【详解】
从六维能力雷达图上可以得到甲的记忆能力优于乙的记忆能力，故A错.
乙的创造力为3，观察能力为4，乙的观察能力优于创造力，故B错.
甲的六大能力总和为 ，乙的六大能力总和为 ，
故甲的六大能力整体水平优于乙，故C正确.
甲的六大能力中，推理能力为3，为最差能力，故D错.
综上，选C.
【点睛】
本题为图形信息题，要求不仅能从图形中看出两类数据之间的差异，还要能根据要求处理所给数据.
20．已知椭圆 的左、右焦点分别为 且椭圆 过点 离心率 点 在椭圆 上，延长 与椭圆 交于点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）记 与 的面积之和为 求 的最大值.
【答案】（1） （2）最大值为
【解析】根据椭圆 过点 和离心率 易求.
分两种情况： 的斜率不存在和斜率存在； 的斜率存在时，设出 的方程，证明 ，从而表示出 ，然后再利用换元法求最大值.
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
10400
36000
39900
32745
22785
18090
25500
39155
47940
15125
（1）据统计表明， 与 之间具有线性相关关系，请用相关系数 加以说明（ ，则认为 与 有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系， 精确到0.001）；
16．已知点 是抛物线 的焦点，点 为抛物线上异于原点的任意一点，直线 交抛物线于点 分别过点 作抛物线的切线，两条切线交于点 以 为直径作 为圆心，则线段 长度的最小值为__________．
【答案】
【解析】表示出直线 把它和抛物线联立，得到两根之积，判断出直线 和 互相垂直，从而得出 点在以为 直径的圆上， 为 的中位线， 再根据基本不等式可求.
故选：A
【点睛】
考查 型函数的有关性质，是基础题.
11．如图，在三棱锥 中， 两两垂直，且 点 为 中点，若直线 与底面 所成的角为 则三棱锥 外接球的表面积为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据 两两垂直确定 再将三棱锥补成正方体，正方体的对角线就是三棱锥的外接球的直径，最后求外接球的表面积即可.
【详解】
（1）由题得
可以认为 与 有较强的线性相关关系.
（2）
所以回归方程为
（3）当 时，
即大约需要冶炼172min
【点睛】
函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求 ，写出回归方程，回归直线方程恒过点 .
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】求出复数，然后根据复数的几何意义判断即可.
【详解】
解：
故 复数 在复平面内的对应点位于第一象限
故选：A
【点睛】
考查复数的运算及其几何意义，是基础题.
3．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是
点睛：本题考查函利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，较难；作出函数的图象，可知 ，把题意转化为 与 在 上有交点，然后利用导数求出切线斜率，即可求得 的取值范围．
二、填空题
13．已知函数 是 上的偶函数，则 _________．
【答案】
【解析】先求 ，再根据 是偶函数，得 即可.
【点睛】
考查线性规划的有关知识，是基础题.
15．已知数列 中， 数列 为公比不为 的等比数列，且 则 ____________．
【答案】
【解析】先表示出 ，然后根据 是等比数列即可求解.
【详解】
解：由己知得，
因为数列 为等比数列， ，
所以 .
故答案为：4.
【点睛】
已知等比数列求其中参数，考查等比数列的性质，是基础题.
4．在 中，若 则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先把 拆成 ，然后根据向量加法法则进行运算，注意用上 即可求解.
【详解】
解：
为边 的中点.
故选：C
【点睛】
考查向量的线性运算和中点向量公式，是基础题.
5．已知 是等差数列 的前 项和， 则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据 是等差数列，由 列出关于 和 的方程组，然后求解即可.
【详解】
解：由
得
又由 ，
，
故选：C
【点睛】
考查等差数列的有关运算，是基础题.
6．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 的正方体玩具)先后抛掷 次，记第一次出现的点数为 第二次出现的点数为 则 的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，列表表示两次出现的点数情况，然后找出满足 的情况，再利用对立事件概率的性质求概率即可.
∴ ，
∴ ，
又∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ,
∴ ，
∴ ，
连接 ,
∵在 中， ，
∴由余弦定理得 ，
∴在 中， .
点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
A．乙的记忆能力优于甲的记忆能力
B．乙的创造力优于观察能力
C．甲的六大能力整体水平优于乙
D．甲的六大能力中记忆能力最差
【答案】C
【解析】从六维能力雷达图中我们可以得到甲的各种能力的大小、乙的各种能力的大小以及甲、乙的各项能力的大小关系等，从而可判断A，B，D.而整体水平的优劣取决于六种能力的数字之和的大小，计算可得孰优孰劣.
【详解】
解： 点 为 的中点
两两垂直，
平面
为直线 与底面 所成的角，
由题意可知，
将三棱锥补成棱长分别为 的长方体，
设三棱锥外接球的半径为
则 ，
三棱锥外接球的表面积为
故选：C
【点睛】
本题考查三条侧棱两两互相垂直的三棱锥的外接球的表面积的求法，三条侧棱两两互相垂直的三棱锥可以由长方体分割得到，这样便于理解，本题是基础题.
（2）建立 关于 的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；
（3）根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，
，相关系数
参考数据： ，
.
【答案】（1）可以认为 与 有较强的线性相关关系;（2） ;（3）172min
【解析】(1)代入公式计算r，再作判断，(2)根据数据计算 ，利用 计算 ，(3)即计算 时对应函数值.
19．在如图所示的四棱锥 中，底面 为菱形， , 为正三角形.
（1）证明: ；
（2）若 ，四棱锥的体积为16，求 的长.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得 ， ，根据线面垂直的判定定理可得 平面 ，由线面垂直的性质可得结论；（2）根据勾股定理， ，结合 可得， 平面 ，设 ，利用棱锥的体积公式列方程解得 ，由勾股定理可得 的长.
故当 时，
时，
，
在 处的切线斜率为 ，
故选：D
【点睛】
考查奇函数的性质及曲线在某一点处的切线斜率的求法，是基础题.
9．立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.已知正方体 的内切球 的直径为 过球 的一条直径作该正方体的截面，所得的截面面积的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】D