高中数学选修微积分基本定理

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高中数学第1章1.5定积分1.5.3微积分基本定理讲义(含解析)苏教版选修2_2

1．5.3 微积分基本定理[对应学生用书P28]已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x . 问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛20(2x ＋1)d x 的值．提示：⎠⎛20(2x ＋1)d x ＝6.问题3：求F (2)－F (0)的值．提示：F (2)－F (0)＝4＋2＝6. 问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛20f (x )d x ＝F (2)－F (0)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：已知f (x )＝x 3，F (x )＝14x 4，试探究⎠⎛10f (x )d x 与F (1)－F (0)的关系．提示：因⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10x 3d x ＝14.F (1)－F (0)＝14，有⎠⎛10f (x )＝F (1)－F (0)且F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理对于被积函数f (x )，如果F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )，即⎠⎛ba F ′(x )d x＝F (b )－F (a )．1．微积分基本定理表明，计算定积分⎠⎛a bf (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．[对应学生用书P29]求简单函数的定积分[例1] (1)⎠⎛21(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛π0(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛0－π(cos x －e x)d x . [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析] (1)取F (x )＝x 33＋x 2＋3x ，则F ′(x )＝x 2＋2x ＋3，从而⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12F ′(x )d x ＝F (2)－F (1)＝253. (2)取F (x )＝－cos x －sin x ，则F ′(x )＝sin x －cos x ，从而⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πF ′(x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(3)取F (x )＝sin x －e x ，则F ′(x )＝cos x －e x，从而⎠⎛0－π(cos x －e x)d x ＝⎠⎛0－πF ′(x )d x ＝F (0)－F (－π)＝1e π－1. [一点通] 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(江西高考改编)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝____________.解析：∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x . ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 答案：＝－132.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. 解析：∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，∴⎠⎛π0(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )|π0 ＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π. 答案：π3．求下列定积分：(1)∫π20sin 2x 2d x ；(2)⎠⎛23(2－x 2)(3－x )d x .解：(1)sin 2x 2＝12－cos x 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，所以∫π20sin 2x 2d x ＝∫π20⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x |π20＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎛32(6－2x －3x 2＋x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×3－32－33＋14×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.求分段函数的定积分 [例2] (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0.求⎠⎛1－1f (x )d x ； (2)求⎠⎛a－a x 2d x (a >0)． [思路点拨] 按照函数f (x )的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和． [精解详析] (1)⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23.(2)由x2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，得⎠⎛a －a x 2d x ＝⎠⎛a 0x d x ＋⎠⎛0－a (－x )d x ＝12x 2|a0－12x 2|0－a ＝a 2.[一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的积分可分成几段积分的和的形式． (2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．4.⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝________. 解析：∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(－2<x ≤3)－x －2，(－4≤x ≤－2)∴⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝⎠⎛3－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x |3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－2x |－2－4＝292.答案：2925．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋∫a 0 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，故f (0)＝0＋∫a 0 3t 2d t ＝t 3|a0＝1，得a ＝1. 答案：1求图形的面积[例3] 求由曲线x 2x y x [思路点拨]在坐标系中作出图象→求曲线与直线的交点→利用定积分求面积.[精解详析] 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，得A (0,3)，B (3,6)．所以S ＝⎠⎛30(x ＋3)d x －⎠⎛30(x 2－2x ＋3)d x ，取F (x )＝12x 2＋3x ，则F ′(x )＝x ＋3，取H (x )＝13x 3－x 2＋3x ，则H ′(x )＝x 2－2x ＋3，从而S ＝F (3)－F (0)－[H (3)－H (0)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32＋3×3－0－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13×33－32＋3×3－0 ＝92. [一点通] 利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，定出积分上、下限； (3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差； (5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．6．曲线y ＝ x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________．解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点A (0，－2)，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以B (4,2)，因此所围成的图形的面积为∫40()x －x ＋2d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x 40＝163.答案：1637．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：491．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分． 2．利用定积分求曲边梯形的面积(1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．(2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f (x )≤0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来．[对应课时跟踪训练(十一)]一、填空题1.⎠⎛1e1x d x ＝________.解析：⎠⎛1e1xd x ＝ln x |e1＝ln e －ln 1＝1. 答案：12.⎠⎛0π(2sin x －3e x＋2)d x ＝________.解析：⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)d x ＝(－2cos x －3e x ＋2x )|π0＝7＋2π－3e π.答案：7＋2π－3e π3．(江西高考改编)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ， S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析：S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.答案：S 2<S 1<S 34．设f (x )＝错误!则错误!f (x )d x ＝________.解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝56.答案：565．(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e ×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e 2二、解答题6．f (x )是一次函数，且∫ 10f (x )d x ＝5，∫ 10xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5. ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝13a ＋12b ＝176，所以由⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.7．求由曲线y ＝x 2与直线x ＋y ＝2围成的面积．解：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝4，即两个交点为(1,1)，(－2,4)．直线为y ＝2－x ，则所求面积S 为： S ＝⎠⎛1－2[(2－x )－x 2]d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22－x 33|1－2＝92.8．设f (x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0.(1)求f (x )的表达式；(2)求f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∵其图象过点(0,1)，∴c ＝1，又∵在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝1，f ′(－2)＝－2.∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·(－2)2＋b ·(－2)＋1＝1，2a ·(－2)＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝2，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，f (x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S ＝∫0－1(x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－1＝13. (3)依题意，有12S ＝∫0－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－t ＝16，即13t3－t2＋t＝16，∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－132.。

2015高中数学-1.6微积分基本定理-课件(人教A版选修2-2)

[解]
∵f(x)＝－ x
(12t＋
a
4a)dt
＝ (6t2＋ 4at)|x－ a ＝ 6x2＋ 4ax－ (6a2－ 4a2 )
＝ 6x2＋ 4ax－ 2a2，
∴ F(a)＝01[f(x)＋ 3a2 ]dx＝01(6x2＋ 4ax＋ a2)dx
＝ (2x3＋ 2ax2＋ a2 x)|10＝ a2＋ 2a＋ 2 ＝ (a＋ 1)2＋ 1≥ 1，
4
4.02(x2－23x)dx＝ ____3____.
第一章导数及其应用
B．01 (x＋ 1)dx D．0112dx
第7页，共30页。
栏目导引
第一章导数及其应用
求简单函数的定积分
计算下列定积分：
(1)121xdx；(2)02πsin xdx；(3)13(2x－x12)dx；
(4)0－
(cos
9＋2× 3
93－ 2
(4＋2× 3
43)＝ 2
27－(4＋16)＝53.
33
第11页，共30页。
栏目导引
第一章导数及其应用
计算分段函数的定积分
计算下列定积分：
(1)若 f(x)＝x2
x≤ 0
cos x－1 x＞0
，求－ π2
f(x)dx；
1
(2)12
[解]
|3－ (1)
2x|dx.
－ π2
第一章导数及其应用
1．6 微积分基本定理
第1页，共30页。
第一章导数及其应用
学习导航
学习目标
1.了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． (重点、难点)
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观学法了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理不仅揭示指导了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定

(完整)高中数学选修2-2微积分基本定理

[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).思考函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一求简单函数的定积分例1 计算下列定积分. (1)3d x ；(2)(2x ＋3)d x ； (3) (4x －x 2)d x ；(4)(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以3d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3，所以(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2，所以(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5，所以 (x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a ). (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分： (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(2)x (1＋x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122d x ＋⎠⎛121x2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21＝13×(23－13)＋2×(2－1)－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝296. (2)⎠⎛49x (1＋x )d x＝⎠⎛49(x ＋x )d x＝⎝⎛⎭⎫23x x ＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝⎛⎭⎫23×9×3＋12×92－⎝⎛⎭⎫23×4×2＋12×42 ＝2716. 题型二求分段函数的定积分例2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2)，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.解由定积分的性质知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪10＋x 33⎪⎪⎪21＋2x ln 2⎪⎪⎪32＝14＋83－13＋8ln 2－4ln 2 ＝3112＋4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分： (1)⎠⎛02|x 2－1|d x ；(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .解 (1)∵y ＝|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，0≤x ＜1，x 2－1，1≤x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2.(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝⎝⎛⎭⎫22＋22－1＋(－1)－⎝⎛⎭⎫－22－22 ＝22－2.题型三定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2，即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.反思与感悟定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.解由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x ＋sin x d x 等于( )A.2(2－1)B.2＋1C.2－1D.2－2答案 C解析结合微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π4cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π40＝2－1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x ＝12x 2⎪⎪⎪ 10＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪ 10＝12＋1＝32，⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1，⎠⎛0112d x＝12x ⎪⎪⎪10＝12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪20－x 23⎪⎪⎪20＝83－43＝43. 4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫3x －x 22⎪⎪⎪21＝176.5.已知函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66 f (x )d x ＝ .答案 16解析因为函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y ＝⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.－sin xC.cos x －1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′＝cos x ，⎠⎛0x cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪x0＝sin x ，故选A. 2.若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )＝13x 3B.F (x )＝x 3C.F (x )＝13x 3＋1D.F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3. ⎠⎛－40|x ＋2|d x 等于( )A. ⎠⎛－40 (x ＋2)d xB. ⎠⎛－40 (－x －2)d xC.⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－202(－x －2)d xD.⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴⎠⎛－40|x ＋2|d x ＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x .故选D.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.－23 答案 B解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋x |10＝13＋1＝43，故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2－1 C.2 D.π－24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 6.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1＜S 2＜S 3B.S 2＜S 1＜S 3C.S 2＜S 3＜S 1D. S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.二、填空题7.⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝ .答案 π2解析 ⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积，即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2|1－1＝0，∴⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝π2.8.若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝ 13x 3⎪⎪⎪t 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 9.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0＝ .答案33解析由⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，得⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.故填33. 10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝ .答案 1解析因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3⎪⎪⎪a＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛01bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.即f (x )＝4x ＋3. 12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.13.求定积分⎠⎛－43|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛－43(x ＋a )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时，原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛－a3 (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a－4＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛－43[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪3-4＝－7a ＋72. 综上，得⎠⎛－43|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。

高中数学选修2-2微积分基本定理课件

3 dx
-1 1 + x2
= arctanx
3 -1
= arctan 3 - arctan -1
=
π 3
-
-
π 4
=
7 12
π
新知探究
例2. 计算
3 1
2x
-
1 x2
dx
解: 因为x2来自'=2x,
1 x
'
=
-
1 x2
,
由微积分基本定理得：
3
1
2x
-
1 x2
dx
=
3
2xdx -
课前导入
学习微积分，数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地说，不学或未学懂微积分，思维难以达到较高的水平，难以适应21世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本定理，我们就能轻松解决首页的问题.
课前导入
学习微积分的意义微积分是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.恩格斯称之为“17 世纪自然科学的三大发明之一”. 微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想.” 微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.
新知探究
变速直线运动
如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可知，它在任意时刻t的
速度
v t = y' t .设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y(t),v(t)表示s吗？

高二数学微积分基本定理1

进而得出微积分基本定理
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理（微积分基本定理）
如果 f (x) 是在区间[a, b]上的连续函数,并且
F(x)

f
(x),
，则
b
a
f
( x)dx

F(b)
F (a).
记:F(b) F(a) F(x) |ba
则:
b a
f
( x)dx

F (x) |ba
F (b)

F (a)
注意:
1.
当a

b 时，
b
a
f
(
x)dx

F
(b)

F
(a)仍成立.
若 2. F( x) f ( x),则F ( x)称为f ( x)的一个原函数
微积分基本定理表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于
它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例3 求 1 1dx.
2 x
解当 x 0时， 1 的一个原函数是 ln( x) (x 0) ,
x
1
2
1dx x

[ln(

x
)]
|1
2
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
1.6《微积分基本定理》
教学目标
• 了解牛顿-莱布尼兹公式 • 教学重点： • 牛顿-莱布尼兹公式

人教B版高中数学选修2-2第三章6《微积分基本定理》ppt课件

4) (cos x )' sin x

b sin xdx
a

-
cos x |ba
5) (ln x )' 1
x
b 1 dx ax
ln|x ||ba
6) (e x )' e x

b e x dx
a
e x |ba
7) (ax )'
ax lna
b ax dx
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数
f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间 [a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定
n
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s '(ti1)t.
取极限i1 ，由定i1积分的i1 定义得 i1
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
进而得出微积分基本定理.
从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为

x3
'
3x2 ,
1
'

x

1 x2
原式
3
3x2dx
31 dx
3
3x2dx
3 1 dx
1
x 1
2

高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理

求使3f(x)dx＝430恒 k
成立的 k 值．
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时，
k3f(x)dx＝k3(1＋x2)dx＝x＋13x33k ＝3＋13×33－k＋13k3 ＝430，整理得 k3＋3k＋4＝0，即 k3＋k2－k2＋3k＋4＝0， ∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0， ∴k＝－1. 而 k∈(2,3]，∴k＝－1 舍去．
∴∫2ππ(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)2ππ ＝(sin 2π－cos 2π)－
(sin π－cos π)＝(0－1)－[0－(－1)]＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
∴∫
0 -π
(ex
－
cos
x)dx ＝ (ex － sin
x)
0 －π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上，从图形的角度直观理解微积分基本定理． 2．从形式上体会原函数与被积函数之间的关系，并深化认识微积分基本定理． 3．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
高考导航对于本节知识，高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结合考查定积分的计算，以选择题或填空题的形式呈现，分值 5 分.
(2)当 k∈[－2,2]时，
3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋13x332
＝(22＋2)－(k2＋k)＋3＋13×33－2＋13×23 ＝430－(k2＋k)＝430，
∴k2＋k＝0，
解得 k＝0 或 k＝－1，
综上所述，k＝0 或 k＝－1.

高中数学选修2-2讲义：第一章 4 2 微积分基本定理含答案

1．4.2 微积分基本定理已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，问题1：f (x ) 和F ′(x )有何关系？提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛02(2x ＋1)d x 的值．提示：⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝6. 问题3：求F (2)－F (0)的值．提示：F (2)－F (0)＝4＋2＝6.问题4：⎠⎛02(2x ＋1)d x 与F (2)－F (0)有什么关系？提示：⎠⎛02f (x )d x ＝F (2)－F (0)．1．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数，由于[F (x )＋c ]′＝f (x )，F (x )＋c也是f (x )的原函数，其中c 为常数．2．微积分基本定理的表示形式一般地，原函数在[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a )简记作F (x )|b a ，因此，微积分基本定理可以写成形式：⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．1．微积分基本定理表明，计算定积分⎠⎛a bf (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．3．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x ；[对应学生用书P28](3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )．[例1] 求下列定积分：(1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ； (2)⎠⎛-π0 (cos x －e x )d x ；(3)⎠⎛2πsin 2x 2d x .[思路点拨] (1)(2)先求被积函数的原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)则需先对被积函数变形，再计算．[精解详析] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33|21＋x 2|21＋3x |21＝253. (2)⎠⎛-π0(cos x －e x )d x ＝⎠⎛-π0cos x d x －⎠⎛-π0e x d x＝sin x |0－π－e x |0－π＝1e π－1.(3)sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ， ∴⎠⎛02πsin 2x 2d x ＝⎠⎛02π⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x 02π＝π4－12＝π－24. [一点通]由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )，再计算定积分，具体步骤如下．[对应学生用书P28]第一步：求被积函数f (x )的一个函数F (x )；第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )．1.⎠⎛241x d x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝(ln x )|42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D2．计算下列定积分：(1)⎠⎛01(x 3－2x )d x ；(2)⎠⎛02π(x ＋cos x )d x ；(3)⎠⎛121x (x ＋1)d x .解：(1)⎠⎛01(x 3－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2|10＝－34. (2)⎠⎛02π(x ＋cos x )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x 02π＝π28＋1. (3)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln (x ＋1)＝ln xx ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1，所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1d x ＝lnx x ＋1|21＝ln 43.3．计算定积分⎠⎛03|x 2－1|d x .解：⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |31＝223.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π.求定积分⎠⎛0πf (x )d x .解：⎠⎛0πf (x )d x ＝⎠⎛02πf (x )d x ＋⎠⎛2ππf (x )d x ，又(2x 2－2πx )′＝4x －2π，(sin x )′＝cos x ，所以⎠⎛02π(4x －2π)d x ＋⎠⎛2ππcos x d x ＝(2x 2－2πx )2π＋sin x2ππ＝π22－π2－0＋0－1＝－π22－1. ∴⎠⎛0πf (x )d x ＝－π22－1.[例2] 求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积． [思路点拨] 结合图形，先求出两曲线的交点坐标．思路一：选x 为积分变量，将所求面积转化为两个积分的和求解；思路二：选y 作积分变量，将所求面积转化为一个积分的计算求解．[精解详析] 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图1)，则面积为 S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝423x 32|20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x 32－12x 2＋4x |82 ＝18.图1 图2法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图2所求的面积为 S ＝⎠⎛-42⎝⎛⎭⎫4－y －y 22d y ＝⎝⎛⎭⎫4y －12y 2－16y 3|2－4 ＝18.[一点通] 利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤： (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．5．求曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及直线x ＝1所围成的图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e －x ，解得交点为(0,1)，所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x＋e －x )|10＝e ＋1e－2. 6．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图．从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92.[例3] (12分)已知f (x )是二次函数，其图像过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠0f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．[精解详析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.①(2分) ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴f ′(0)＝b ＝2.②(4分)∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx |10 ＝13a ＋12b ＋c ＝0.③(6分) 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，(10分)∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.(12分)[一点通]含有参数的定积分问题的处理办法(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．7．(湖南高考)若⎠⎛0Tx 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵⎠⎛0Tx 2d x ＝13T 3＝9，T >0，∴T ＝3. 答案：38．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝kx ＋b ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2＋bx |10＝⎝⎛⎭⎫k 2＋b －0＝k 2＋b ， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(kx 2＋bx )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 3x 3＋b 2x 2|10 ＝k 3＋b 2. ∴⎩⎨⎧k2＋b ＝5，k 3＋b 2＝176，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.答案：f (x )＝4x ＋39．已知f (x )＝⎠⎛-a x(12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．解：∵f (x )＝⎠⎛-a x(12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x－a ＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2) ＝6x 2＋4ax －2a 2，∴F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|1＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1， ∴当a ＝－1时，F (a )最小值＝1.1．求定积分的一些常用技巧： (1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．2．在利用定积分求平面图形的面积时，要注意f (x )≥0的条件．当恒有f (x )＜0时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 为负值，从而曲边梯形的面积为⎠⎛a bf (x )d x 的相反数．1．(陕西高考)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C.答案：C2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x ＜0，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )A.⎠⎛－11x 2d x B.⎠⎛－112xd x C.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d x D.⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x 解析：⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x .答案：D3．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.[对应课时跟踪训练(十一)]答案：D4．若⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．2解析：⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a1＝(a 2＋ln a )－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，a ＞1，a ＝2，∴a ＝2.答案：D5．(江西高考)计算定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－cos x |1－1＝23. 答案：236．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.解析：图形如图所示：S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x ＝⎠⎛0134x 2d x ＝14x 3|10＝14. 答案：147．计算下列定积分：(1)⎠⎛－2－1(2＋x 2)2d x ；(2)3ππ⎰cos ⎝⎛⎭⎫x －π6d x ；(3)⎠⎛－4 0|x ＋3|d x .解：(1)因为(2＋x 2)2＝4＋4x 2＋x 4，又⎝⎛⎭⎫4x ＋43x 3＋15x 5′＝4＋4x 2＋x 4，所以⎠⎛－2－1(2＋x 2)2d x ＝⎠⎛－2－1(4＋4x 2＋x 4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x ＋43x 3＋15x 5|－1－2 ＝⎝⎛⎭⎫－4－43－15－⎝⎛⎭⎫－8－323－325 ＝29315. (2)因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝32cos x ＋12sin x ，所以3ππ⎰cos ⎝⎛⎭⎫x －π6d x ＝3ππ⎰⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x d x ＝323ππ⎰cos x d x ＋123ππ⎰sin x d x ＝32sin x 3ππ－12cos x 3ππ＝－32sin π3－12⎝⎛⎭⎫cos π－cos π3 ＝－34＋12＋14＝0.(3)因为f (x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x <－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛－40|x ＋3|d x ＝⎠⎜⎛－4－3(－x －3)d x ＋⎠⎛－30(x ＋3) d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x －－34＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.8．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.求切点A 的坐标以及切线方程．解：由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，可得切线与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫x 02，0.画出草图，可得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 20与x 轴所围图形如图所示．故S ＝S 1＋S 2 ＝020x ⎰x 2d x ＋[02x x ⎰x 2d x －02x x ⎰ (2x 0x －x 20)d x ]高中数学课程11 ＝13x 3020x ＋13x 3002x x －(x 0x 2－x 20x ) 002x x＝x 3012＝112，解得x 0＝1，所以切点坐标为A (1,1)，所求切线方程为y ＝2x －1.。

高中数学《微积分》常用公式-微积分的牛顿-莱布尼茨公式

高中数学《微积分》常用公式-微积分的
牛顿-莱布尼茨公式
微积分是数学中的一个重要分支，它通过研究函数的变化率来分析和研究问题。

在微积分中，牛顿-莱布尼茨公式是一个常用的公式，它是微积分的基础之一。

1. 牛顿-莱布尼茨公式的定义
牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理，它是将微分与积分联系起来的公式。

它的数学表达式如下所示：
$$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$
其中，$\int_a^b f(x)dx$ 表示函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的积分，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

2. 牛顿-莱布尼茨公式的意义
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于它建立了微积分中积分和微分的联系。

通过该公式，我们可以通过求函数的原函数来计算函数在某个区间上的积分，或者通过求函数的导数来计算函数在某个点的变化率。

3. 牛顿-莱布尼茨公式的应用
牛顿-莱布尼茨公式在微积分中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：
- 计算曲线下面的面积：通过积分，我们可以计算出曲线在某个区间上的面积；
- 求函数的平均值：通过对函数在某个区间上的积分除以区间的长度，我们可以求得函数在该区间上的平均值；
- 解决微分方程：通过对微分方程两边同时积分，我们可以求得微分方程的解。

结论
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要工具，它将微分和积分联系在一起，帮助我们解决了许多数学和物理上的问题。

在学习微积分的过程中，掌握并理解牛顿-莱布尼茨公式的定义和应用是非常重要的。

(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)

高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
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附赠中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。

人教版高中数学选修2-2第5讲：定积分的概念与微积分基本定理(教师版)

性质 4
b
c
f ( x) d x
a
a
b
(f )x d x
c
( f ) x其d中(x
acb
（定积分对积分区间的可加性）
b
说明：①推广： a [ f1( x) f 2( x)
b
b
f m( x)] dx a f1( x)dx a f2 (x)dx
b
c1
c2
②推广 : f ( x)dx f ( x) dx f ( x)dx
b
f ( x) d x F( b) F( a)
a
若上式成立，我们就找到了用 f ( x) 的原函数（即满足 F (x)
f (x) ）的数值差 F (b)
计算 f (x) 在 [ a,b] 上的定积分的方法。
注： 1：定理如果函数 F ( x) 是 [a,b] 上的连续函数 f (x) 的任意一个原函数，则
a
a
c1
b
f ( x)dx
ck
③性质解释：
b
a fm(x)
y
性质 1
y=1
y A
性质 B4
C
Oa
b
x
M
O
a
N P bx
S曲边梯形 AMNB
S曲边梯形 AMPC
S曲边梯形 CPNB
2
二、微积分基本定理：
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t) （ v(t) o ），
证明：因为
b
f ( x) dx F (b) F (a)
a
x
( x) = f (t )dt 与 F (x) 都是 f (x) 的原函数，故 a

微积分基本定理公式

微积分基本定理公式微积分基本定理公式，这可是数学领域里相当重要的一块内容！咱们先来说说啥是微积分基本定理公式。

简单来讲，微积分基本定理公式就像是一座桥梁，把导数和定积分这两个看似不太相关的概念紧密地联系在了一起。

它告诉我们，如果有一个函数 F(x) 是另一个函数 f(x) 的原函数，那么在某个区间 [a, b] 上，定积分∫（从 a 到 b）f(x)dx 就等于 F(b) - F(a)。

就比如说，咱们来算一个简单的例子。

假设 f(x) = 2x，那它的一个原函数 F(x) 就是 x²。

如果我们要计算在区间 [1, 3] 上的定积分∫（从 1到 3）2xdx ，根据微积分基本定理公式，那就等于 F(3) - F(1)，也就是3² - 1² = 9 - 1 = 8 。

还记得我之前给学生们讲这个公式的时候，有个学生特别可爱。

那是一节高中数学课，我正在黑板上推导微积分基本定理公式，底下的学生们都聚精会神地看着。

突然，一个平时特别活泼的男生举起了手，皱着眉头问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂！”我笑了笑，没急着回答他，而是先在黑板上写下了一个物理中的匀加速直线运动的速度与位移的关系式子。

然后我对他说：“你看，这个物理问题，如果没有微积分基本定理公式，咱们要想求出位移，得多麻烦呀。

但是有了它，一下子就能轻松搞定。

”这孩子听了之后，眼睛一下子亮了起来，好像突然明白了什么。

这微积分基本定理公式在实际生活中的应用那可多了去了。

比如说，要计算一条不规则曲线围成的面积，要是没有这个公式，那可真是让人头疼。

但有了它，咱们就能把复杂的问题简单化，轻松求出面积来。

再比如，在经济学中，计算成本和收益的时候，微积分基本定理公式也能大显身手。

它可以帮助我们分析企业的生产决策，找到最优的生产规模，从而实现利润最大化。

而且啊，这公式不仅仅是在数学、物理、经济这些学科里有用，它还能培养咱们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

2021_2022学年高中数学第四章定积分2微积分基本定理课件北师大版选修2_2

探究二
探究三
思维辨析
解:(1)∵(x2+2)2=x4+4x2+4,
又
1 5

5
∴
-1
-2
4 3
+ 3
+ 4 '=x4+4x2+4,
(2+x2)2dx=
-1
-2
(x4+4x2+4)dx
1 5
4
293
-1
+ 3 + 4 |-2 =
.
5
3
15
1
1
+1
1
(2)∵ = √ + = 2 + 2 ,
3.利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简函数,再求定积分.
知识梳理
思考辨析
1
【做一做 1】函数 f(x)=是 F(x)的导数,则 F(x)=
解析:∵(ln
1
x)'=,∴F(x)=ln
x+c(x>0,c 为常数).
答案:F(x)=ln x+c(x>0,c为常数)
.
知识梳理
思考辨析
【做一做 2】
将积分上限或下限参数化,在求定积分的表达式后要求将其函数化,
然后再与函数的性质、最值等结合在一起进行考查,解决此类问题
的关键是分清各变量之间的关系.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 3 已知 t>0,f(x)=2x-1,若
解析:∵
答案Байду номын сангаас3

0
f(x)dx=

0

0

1.6微积分基本定理-人教版高中数学选修2-2课件

1.6 微积分基本定理
一、引入
1.比由较定麻积烦分(四的步定曲义)可,有以没计有算更加01 x简2dx便有13 效,的但
方法求定积分呢?
2 x2dx 8
0
3
1(t2 2)dt 5
0
3
2 (t2 2)dt 22
0
3
s(b)
s(a)
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
b
b
a v(t)dt a s'(t)dt
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理（微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b
a f (x)dx
F(b)
F(a )
或
b a
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s'(ti1)t
i1
i1
i1
i1
当n越大，即t越小时，区间[a, b]的划分就越细，
n
n
v(ti1)t s'(ti1)t与S的近似程度就越好。
i1
i1
由定积分的定义
S
lim
n
n i1
b
n
a
v(ti1)
lim
n
n i1
b n
a
s' (ti1 )
5.若f (x) ax，则f '(x) ax ln a
6.若f (x) ex，则f '(x) ex
7.若f
(x)
loga
x，则f
'(x)

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