高中数学选修微积分基本定理

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[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.

知识点一导数与定积分的关系

f(x)d x等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)=f(x))在积分区间[a,b]上的改变量F(b)-F(a).

以路程和速度之间的关系为例解释如下:

如果物体运动的速度函数为v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为s=v(t)d t.另一方面,如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)-s(a),所以有v(t)d t=s(b)-s(a).由于s′(t)=v(t),即s(t)为v(t)的原函数,这就是说,定积分v(t)d t等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)-s(a).

思考函数f(x)与其一个原函数的关系:

(1)若f(x)=c(c为常数),则F(x)=cx;

(2)若f(x)=x n(n≠-1),则F(x)=·x n+1;

(3)若f(x)=,则F(x)=ln x(x>0);

(4)若f(x)=e x,则F(x)=e x;

(5)若f(x)=a x,则F(x)=(a>0且a≠1);

(6)若f(x)=sin x,则F(x)=-cos x;

(7)若f(x)=cos x,则F(x)=sin x.

知识点二微积分基本定理

一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)d x=F(b)-F(a).

思考(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一?

(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么?

答案(1)不唯一.

(2)①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差;

②用求导公式找到F(x),使得F′(x)=f(x);

③利用微积分基本定理求出定积分的值.

题型一求简单函数的定积分

例1计算下列定积分.

(1)3d x;(2)(2x+3)d x;

(3)(4x-x2)d x;(4)(x-1)5d x.

解(1)因为(3x)′=3,

所以3d x=(3x)=3×2-3×1=3.

(2)因为(x2+3x)′=2x+3,

所以(2x+3)d x=(x2+3x)

=22+3×2-(02+3×0)=10.

(3)因为′=4x-x2,

所以(4x-x2)d x=

=-=.

(4)因为′=(x-1)5,

所以(x-1)5d x

=(x-1)6

=(2-1)6-(1-1)6=.

反思与感悟(1)用微积分基本定理求定积分的步骤:

①求f(x)的一个原函数F(x);

②计算F(b)-F(a).

(2)注意事项:

①有时需先化简,再求积分;

②若F(x)是f(x)的原函数,则F(x)+C(C为常数)也是f(x)的原函数.随着常数C的变化,f(x)有无穷多个原函数,这是因为F′(x)=f(x),则[F(x)+C]′=F′(x)=f(x)的缘故.因为f(x)d x=[F(x)+C]|=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a)=F(x)|,所以利用f(x)的原函数计算定积分时,一般只写一个最简单的原函数,不用再加任意常数C了.

跟踪训练1求下列函数的定积分:

(1)2d x;(2)(1+)d x.

解(1)2d x

=d x

=x2d x+2d x+d x

=x3+2x+

=×(23-13)+2×(2-1)-

=.

(2)(1+)d x

=(+x)d x

=-

=.

题型二求分段函数的定积分

例2求函数f(x)=在区间[0,3]上的定积分. 解由定积分的性质知:

f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x+f(x)d x

=x3d x+x2d x+2x d x

=++

=+-+-

=+.

反思与感悟(1)分段函数在区间[a,b]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式,即按照原函数分段的情况分就可以.

跟踪训练2求下列定积分:

(1)|x2-1|d x;(2),)d x.

解(1)∵y=|x2-1|=

∴|x2-1|d x=(1-x2)d x+(x2-1)d x

=+

=+-

=2.

(2),)d x

=,)|sin x-cos x|d x

=,)(cos x-sin x)d x+,,)(sin x-cos x)d x

=(sin x+cos x)+(-cos x-sin x)

=-1+(-1)-

=2-2.

题型三定积分的简单应用

例3已知f(a)=(2ax2-a2x)d x,求f(a)的最大值.

解∵′=2ax2-a2x,

∴(2ax2-a2x)d x=

=a-a2,

即f(a)=a-a2=-+

=-2+,

∴当a=时,f(a)有最大值.

反思与感悟定积分的应用体现了积分与函数的内在联系,可以通过积分构造新的函数,进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查,解题过程中注意体会转化思想的应用.

跟踪训练3已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0,f(x)d x=-2,求a、b、c的值.

解由f(-1)=2,得a-b+c=2.①

又f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,②

而f(x)d x=(ax2+bx+c)d x

=a+b+c,

∴a+b+c=-2,③

由①②③式得a=6,b=0,c=-4.

1.,)d x等于()

A.2(-1)

B.+1

C.-1

D.2-

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