高中数学选修微积分基本定理
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[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.
知识点一导数与定积分的关系
f(x)d x等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)=f(x))在积分区间[a,b]上的改变量F(b)-F(a).
以路程和速度之间的关系为例解释如下:
如果物体运动的速度函数为v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为s=v(t)d t.另一方面,如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)-s(a),所以有v(t)d t=s(b)-s(a).由于s′(t)=v(t),即s(t)为v(t)的原函数,这就是说,定积分v(t)d t等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)-s(a).
思考函数f(x)与其一个原函数的关系:
(1)若f(x)=c(c为常数),则F(x)=cx;
(2)若f(x)=x n(n≠-1),则F(x)=·x n+1;
(3)若f(x)=,则F(x)=ln x(x>0);
(4)若f(x)=e x,则F(x)=e x;
(5)若f(x)=a x,则F(x)=(a>0且a≠1);
(6)若f(x)=sin x,则F(x)=-cos x;
(7)若f(x)=cos x,则F(x)=sin x.
知识点二微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)d x=F(b)-F(a).
思考(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一?
(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么?
答案(1)不唯一.
(2)①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差;
②用求导公式找到F(x),使得F′(x)=f(x);
③利用微积分基本定理求出定积分的值.
题型一求简单函数的定积分
例1计算下列定积分.
(1)3d x;(2)(2x+3)d x;
(3)(4x-x2)d x;(4)(x-1)5d x.
解(1)因为(3x)′=3,
所以3d x=(3x)=3×2-3×1=3.
(2)因为(x2+3x)′=2x+3,
所以(2x+3)d x=(x2+3x)
=22+3×2-(02+3×0)=10.
(3)因为′=4x-x2,
所以(4x-x2)d x=
=-=.
(4)因为′=(x-1)5,
所以(x-1)5d x
=(x-1)6
=(2-1)6-(1-1)6=.
反思与感悟(1)用微积分基本定理求定积分的步骤:
①求f(x)的一个原函数F(x);
②计算F(b)-F(a).
(2)注意事项:
①有时需先化简,再求积分;
②若F(x)是f(x)的原函数,则F(x)+C(C为常数)也是f(x)的原函数.随着常数C的变化,f(x)有无穷多个原函数,这是因为F′(x)=f(x),则[F(x)+C]′=F′(x)=f(x)的缘故.因为f(x)d x=[F(x)+C]|=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a)=F(x)|,所以利用f(x)的原函数计算定积分时,一般只写一个最简单的原函数,不用再加任意常数C了.
跟踪训练1求下列函数的定积分:
(1)2d x;(2)(1+)d x.
解(1)2d x
=d x
=x2d x+2d x+d x
=x3+2x+
=×(23-13)+2×(2-1)-
=.
(2)(1+)d x
=(+x)d x
=
=-
=.
题型二求分段函数的定积分
例2求函数f(x)=在区间[0,3]上的定积分. 解由定积分的性质知:
f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x+f(x)d x
=x3d x+x2d x+2x d x
=++
=+-+-
=+.
反思与感悟(1)分段函数在区间[a,b]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式,即按照原函数分段的情况分就可以.
跟踪训练2求下列定积分:
(1)|x2-1|d x;(2),)d x.
解(1)∵y=|x2-1|=
∴|x2-1|d x=(1-x2)d x+(x2-1)d x
=+
=+-
=2.
(2),)d x
=,)|sin x-cos x|d x
=,)(cos x-sin x)d x+,,)(sin x-cos x)d x
=(sin x+cos x)+(-cos x-sin x)
=-1+(-1)-
=2-2.
题型三定积分的简单应用
例3已知f(a)=(2ax2-a2x)d x,求f(a)的最大值.
解∵′=2ax2-a2x,
∴(2ax2-a2x)d x=
=a-a2,
即f(a)=a-a2=-+
=-2+,
∴当a=时,f(a)有最大值.
反思与感悟定积分的应用体现了积分与函数的内在联系,可以通过积分构造新的函数,进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查,解题过程中注意体会转化思想的应用.
跟踪训练3已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0,f(x)d x=-2,求a、b、c的值.
解由f(-1)=2,得a-b+c=2.①
又f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,②
而f(x)d x=(ax2+bx+c)d x
=
=a+b+c,
∴a+b+c=-2,③
由①②③式得a=6,b=0,c=-4.
1.,)d x等于()
A.2(-1)
B.+1
C.-1
D.2-