[考研数学]二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别

二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别？

首先要搞清两个概念：矩阵的相似和合同

矩阵的相似： 设B A 、为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P 使B AP P =-1

，则A 与B 相似。 相似的性质(相似的必要条件)：若~A B ,则

(1)A B =； (2) ()()r A r B =；

(3)

E A E B λλ-=-即有相同的特征值； (4) ii ii a b =∑∑。

矩阵的合同：A 和B 为两个n 阶对称矩阵,若存在n 阶可逆矩阵C 使B AC C T

=，则称A 与B 合同。

例如：111,,,1412A B C ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

则有T C AC B =，显然两矩阵合同特征值未必相同！从而两矩阵合同未必相似！

由实对称矩阵的性质实对称矩阵一定能相似对角化。从而一定存在可逆阵P 使得1

P AP -=Λ,特别地,

必有正交矩阵Q （1T Q Q -=）使1123,,1,2,3T

i Q AQ Q AQ i λλλλ-⎛⎫

⎪==Λ== ⎪ ⎪⎝⎭

为A 的特征值，故而任意一个实对称矩阵A ，一定存在正交矩阵Q ，使得A 不仅合同而且相似于一个对角阵。

下面看看什么叫可逆线性变化和正交变换？

1112132122

23313233,0c c c C c c c C c

c c ⎛⎫

⎪

=≠ ⎪ ⎪⎝⎭

,若C 为可逆矩阵，称x Cy =为可逆线性变换； 若C 是正交矩阵，称x Cy =为正交变换。

下面来看看对一个二次型施行可逆线性变换会带来什么？

以三元二次型为例：

(),123,,()()()x Cy C T

T T T T f x x x x Ax

Cy A Cy y C AC y y By ∃=====

可逆

,且()T T T T B C AC C AC B ===,

故经可逆线性变换()123,,f x x x 仍为关于123,,y y y 的二次型，且原二次型矩阵A 和新二次型矩阵B 是合同的关系，若C 是正交矩阵,那么1

T

C C -=,1

T

B C AC C AC -==,所以,A B 不仅合同而且相似。

对于任意一个实对称矩阵A ，一定存在正交矩阵Q （1

T Q

Q -=）使得

1

12

3,,1,2,3T i Q AQ Q AQ i λλλλ-⎛⎫

⎪

==Λ== ⎪ ⎪⎝

⎭

为A 的特征值， 因此若用正交变换x Qy =,222

112233

x Qy

T

T

x Ax

y

y y y y λλλ∃=∧=++=(标准形)即A 与∧合同且A 与∧相似,其中∧的对角线123,,λλλ为A 的特征值。

所以只有用正交变换化二次型为标准形时,标准形平方项的系数才是A 的特征值。而经一般的可逆线性变换（如配方法）化二次型为标准形，标准形平方项的系数未必为A 的特征值。

下面来看一个具体的例子：

二次型 123(,,)f x x x =22212312135524x x x x x x x +++-，二次型的矩阵112150205A -⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

，

32231

121121521

5

0215021

5

02

0502(5)50

5

E A r r c c λλλλλλλλλλλ-------=--+---------

1

5

(5)

(5)(6)15

λλλλλλ--=-=----，A 的特征值为5,6,0，求出A 的特征向量再单位化可以组成正交矩阵Q ，123(,,)f x x x =22212312135524x x x x x x x +++-经正交变换x Qy =化为222

123

560y y y ++， 下面再看配方法：

123(,,)f x x x =222222221231213112323232355242(2)(2)(2)55x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-=+-+---++

22222123223312323(2)44(2)(2)x x x x x x x x x x x x =+-+++=+-++，

经可逆线性变换1123

2233

322y x x x y x x y x =+-⎧⎪

=+⎨⎪=⎩化二次型为标准形22

12

y y +。可见1,1,0并不是二次型矩阵A 的特征值！